Phuong trinh vi phan tuyen tinh cap 2 he so hang

9 8 0
  • Loading ...
1/9 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 12/06/2018, 10:13

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤPHỆ SỐHẰNG SỐ Là pt có dạng : y " ay ' by  f ( x) (1) với : a, b : số Pt liên kết : y " ay ' by  (2) Cách tìm nghiệm đltt pt : y " ay ' by  Gọi pt : k  ak  b  (*) pt đặc trưng (2) , pt (*) có :   a2  4b có trường hợp sau : a Nếu   : pt (*) có nghiệm phân biệt : k1,2  a   pt (2) có nghiệm đltt : y1  ek1x y2  ek2 x VD : Giải : y " y ' y  Bài giải : - Pt đặc trưng : k  5k    k1  2, k2  - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  e3 x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2e3 x , (C1 , C2  ) b Nếu   : pt (*) có nghiệm kép : k1  k2  pt (2) có nghiệm đltt : y1  e a x y2  xe a x a VD : Giải : y " y ' y  Bài giải : - Pt đặc trưng : k  4k    k1  k2  2 - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  xe2 x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2 xe2 x , (C1 , C2  )  y  e2 x (C1  C2 x) , (C1 , C2  ) c Nếu   : pt (*) khơng có nghiệm thực, (*) có nghiệm phức : k1,2  a  i  a   i 2 pt (2) có nghiệm đltt : y1  e a x sin  x y1  e a x cos  x VD : Giải : y " y ' 10 y  Bài giải : - Pt đặc trưng :  '   10  9 k  2k  10  pt có nghiệm phức : k1,2  1  3i - nghiệm đltt pt :  y1  e x sin 3x y2  e x cos3x - Nghiệm tổng quát pt cho :  y  C1e x sin 3x  C2e x cos3x , (C1 , C2  ) y  e x (C1 sin 3x  C2 cos3x) , (C1 , C2  ) VD : Giải : y " y ' 12 y  Bài giải : - Pt đặc trưng :    48  39  k  3k  12  pt có nghiệm phức : k1,2  3  39i 39   i 2 - nghiệm đltt pt : y1  e  x  x 39 39 x sin x y2  e sin 2 - Nghiệm tổng quát pt cho :  x   x 39 39 y  C1e sin x  C2e cos x , (C1 , C2  ) 2  x 39 39 y  e (C1 sin x  C2 cos x) , (C1 , C2  ) 2 Vậy : ptvptt cấphệ số số LN có nghiệm MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT y " ay ' by  f ( x) (1) x f ( x)  e P( x) , ( P( x) đa thức ) a Nếu  khơng nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e xQ( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y  e ( x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :   '    4 k1,2  1  2i k  2k   - nghiệm đltt pt : y1  e x sin x y2  e x cos x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e2 x ( Ax  Bx  C ) - Có :  y '  2e2 x ( Ax2  Bx  C )  e2 x (2 Ax  B) y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B  2C ) y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B  2C)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax  Ax  4Bx  A  4B  4C ) 2x - Thế vào pt : y " y ' y  e ( x  1)  e2 x (13 Ax2  12 Ax  13Bx  A  6B  13C )  e2 x ( x  1)  13A  12 A  13B   A  6B  13C  1 12 215 C   A B 13 169 2197  nghiệm riêng pt cho : 12 215 y  e2 x ( x  x ) 13 169 2197  - Nghiệm tổng quát pt cho : 12 215 y  C1e x sin x  C2e x cos x  e2 x ( x  x ) 13 169 2197 (C1 , C2  ) b Nếu  nghiệm đơn pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x xQ( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y  e (2 x  1) 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  k  5k     25  24  k1  2, k2  - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  e3 x - nghiệm riêng pt cho có dạng :  y  e2 x x( Ax  B) y  e2 x ( Ax  Bx) - Có : y '  2e2 x ( Ax2  Bx)  e2 x (2 Ax  B)  y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B)  y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax2  Ax  4Bx  A  4B) - Thế vào pt : y " y ' y  e (2 x  1) 2x    e2 x (2 Ax  A  B)  e2 x (2 x  1) 2 A   A  B  A  1  B  3  nghiệm riêng pt cho : y  e2 x (1x  3x) - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2e3 x  e2 x ( x  3x) , (C1 , C2  ) c Nếu  nghiệm kép pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x x 2Q( x) , ( Q( x) đa thức bậc Q( x) = bậc P( x) ) VD : Giải : y " y ' y  e 2x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' y  - Pt đặc trưng :  k  4k   '  k1  k2  - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  xe2 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e2 x x A - Có : y '  Ae2 x x2  Ae2 x x   y '  e2 x (2 Ax2  Ax) y "  2e2 x (2 Ax2  Ax)  e2 x (4 Ax  A) y "  e2 x (4 Ax  Ax  A) - Thế vào pt : y " y ' y  e    2x e2 x A  e2 x 2A  1 A  nghiệm riêng pt cho : y  e2 x x 2 - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e2 x  C2 xe2 x  e2 x x , (C1 , C2  ) y  e2 x ( x  C2 x  C1 ) , (C1 , C2  )  x f ( x)  e a Nếu  P1 ( x)sin  x  P2 ( x) cos  x , ( P1 ( x), P2 ( x) đa thức )    i khơng nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x Q1 ( x)sin  x  Q2 ( x) cos  x  ( Q1 ( x), Q2 ( x) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x), P2 ( x) ) VD : Giải : y " y  sin 3x Bài giải : - Pt liên kết : y " y  - Pt đặc trưng :   '  1 k1,2  i k 1  - nghiệm đltt pt : y1  sin x y2  cos x y " y  sin 3x  e0 x 1sin 3x  0cos3x  - Có :     0     i   3i  3i  k1,2 - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e0 x  A sin 3x  B cos3x   - Có : y  A sin 3x  B cos3x y '  A cos3x  3B sin 3x y "  9 A sin 3x  9B cos3x - Thế vào pt : y " y  sin 3x  8 A sin 3x  8B cos3x  sin 3x  8 A   8B  A   B0   nghiệm riêng pt cho :  y   sin 3x  0cos 3x y   sin 3x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1 sin x  C2 cos x  sin 3x , (C1 , C2  ) b Nếu    i nghiệm pt đặc trưng (1) có nghiệm riêng dạng : y  e x x Q1 ( x)sin  x  Q2 ( x) cos  x  ( Q1 ( x), Q2 ( x) đa thức có bậc bậc cao P1 ( x), P2 ( x) ) VD : Giải : y " y ' 10 y  e cos3x x Bài giải : - Pt liên kết : y " y ' 10 y  - Pt đặc trưng :   '  9 k1,2   3i k  2k  10  - nghiệm đltt pt : y1  e x sin 3x y2  e x cos3x y " y ' 10 y  e x cos3x  e1x  0sin 3x  1cos3x  - Có :     1      i   3i  k1 - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e x x  A sin 3x  B cos3x   y  e x  Ax sin 3x  Bx cos3x  - Có : y '  e x ( Ax sin 3x  Bx cos 3x)  e x ( A sin 3x  Ax cos 3x  B cos 3x  3Bx sin 3x)  y '  e x ( Ax sin 3x  Bx cos3x  A sin 3x  Ax cos3x  B cos3x  3Bx sin 3x) y "  e x ( Ax sin 3x  Bx cos 3x  A sin 3x  Ax cos 3x  B cos 3x  3Bx sin 3x)  e x ( A sin 3x  Ax cos 3x  B cos 3x  3Bx sin 3x  A cos 3x  A cos 3x 9 Ax sin 3x  3B sin 3x  3B sin 3x  Bx cos 3x)  y "  e x (8 Ax sin 3x  8Bx cos 3x  A sin 3x  Ax cos 3x 2 B cos 3x  Bx sin 3x  A cos 3x  B sin 3x) x - Thế vào pt : y " y ' 10 y  e cos3x  e x A cos3x  e x 6B sin 3x  e x cos3x  A   6B   A B0  nghiệm riêng pt cho : y  e x x sin 3x - Nghiệm tổng quát pt cho : y  C1e x sin 3x  C2e x cos3x  e x x sin 3x , (C1 , C2  ) ...  2e2 x ( Ax2  Bx  C )  e2 x (2 Ax  B) y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B  2C ) y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B  2C)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax  Ax  4Bx  A  4B  4C ) 2x... B) y  e2 x ( Ax  Bx) - Có : y '  2e2 x ( Ax2  Bx)  e2 x (2 Ax  B)  y '  e2 x (2 Ax  Ax  2Bx  B)  y "  2e2 x (2 Ax2  Ax  2Bx  B)  e2 x (4 Ax  A  2B) y "  e2 x (4 Ax2  Ax ...  k1  k2  - nghiệm đltt pt : y1  e2 x y2  xe2 x - nghiệm riêng pt cho có dạng : y  e2 x x A - Có : y '  Ae2 x x2  Ae2 x x   y '  e2 x (2 Ax2  Ax) y "  2e2 x (2 Ax2  Ax)  e2 x (4
- Xem thêm -

Xem thêm: Phuong trinh vi phan tuyen tinh cap 2 he so hang, Phuong trinh vi phan tuyen tinh cap 2 he so hang

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay