Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 TÓM TẮT LÝ THUYẾT – DẠNG TOÁN CHƯƠNG HH LỚP 12 I TỌA ĐỘ ĐIỂM – TỌA ĐỘ VECTƠ TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ M ( xM ; yM ; zM )  OM  xM i  yM j  zM k a  (a1; a2 ; a3 )  a  a1 i  a2 j  a3 k Cho A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) Các tính chất: Cho hai vecto a  (a1; a2 ; a3 ), b  (b1; b2 ; b3 ) ta có:  AB  ( xB  xA ; yB  y A ; zB  z A )  AB  ( xB  xA )2  ( yB  y A )  ( zB  z A ) M trung điểm AB :  x  x B  x C y A  y B  yC z A  z B  z C  G A ; ;  3   G trọng tâm tứ diện ABCD thì: G  xA  xB  xC  xD ; yA  yB  yC  yD ; z A  zB  zC  zD  4   Ứng dụng tích có hướng: SABC  1 AB, AC   2 b) Diện tích h b hành ABCD: SABCD   AB, AD    c) Thể tích tứ diện ABCD: VABCD  1 AB, AC  AD  6 d) Thể tích khối hộp: VABCDA’B’C’D’ = [ AB, AD] AA ' Tọa độ điểm đặc biệt: M  Ox  M ( x;0;0) M  Oy  M (0; y;0) M  Oz  M (0;0; z )  ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) z  a.b  a1b1  a2b2  a3b3  x  x y  yB z A  z B  M A B ; A ;  2   G trọng tâm ABC thì: a) Diện tích tam giác ABC:  a  b  (a1  b1; a2  b2 ; a3  b3 ) M  (Oxy )  M ( x; y;0) M  (Oxz )  M ( x;0; z ) M  (Oyz )  M (0; y; z ) k  (0;0;1) O j  (0;1;0) a1  b1   a  b  a2  b2 a  b  3 y i  (1;0;0)  | a | a  a2  a3 2 x  a  b  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  a1.b1  a2 b2  a3 b3  cos(a, b)  a12  a22  a32 b12  b22  b32 (với a  , b  ) Tích có hướng vectơ: a a  b   a, b     b2 Độ dài tích có hướng : a  a, b       b2  a3 a3 ; b3 b3 a3 a3 ; b3 b3 a1 a1 ; b1 b1   a1 a1 ; b1 b1 a2   b2  a2   b2   Hoặc u , v   u v sin u , v Điều kiện vectơ phương:  a phương b  a1 a2 a3   (b , b , b  0) b1 b2 b3  a cuøng phương b   a, b     Điều kiện vectơ đồng phẳng: a, b, c đồng phẳng   a, b  c    VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI Vị trí tương đối mặt phẳng: Cho 2mp (  ): A1 x  B1 y  C1 z  D1  (  ): A2 x  B2 y  C2 z  D2  A, B, C thẳng hàng AB, AC phương KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm Mo (xo ;yo ;zo ) đến mặt phẳng  A2 ; B2 ; C2  0 A B C  (  ) cắt (  )  ; ; có cặp khác A2 B2 C2 (  ): Ax + By + Cz + D = 0: d ( M o ,( ))  Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang Axo  Byo  Czo  D A2  B  C Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018  (  ) // (  )  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2  ( 1 ) ≡ (  )  A1 B1 C1 D1    A2 B2 C2 D2 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d qua M1  a, M M   có VTCP a ): d ( M , d )   a  (  )  (  )  n1.n2   A1 A2  B1.B2  C1.C2  Vị trí tương đối đường thẳng: Cho đt Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: d1 qua M1 có VTCP a1 ; d1 qua M1 có VTCP a1 ; d2 qua M2 có VTCP a2 d2 qua M2 có VTCP a2   a1 , a2    d1 cắt d2   d1 //d2      a1 , a2      M1  d    a1 , a2     a1 , a2  M 1M    d1  d2     M1  d  d1 chéo d2  a1 , a2  M1M   d1  d  a1.a2  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: a) Cách 1:  x  x0  a1t  Cho d:  y  y0  a2t (  ): Ax  By  Cz  D  z  z  a t  + Thay ptts d vào pt (  ) ta có: A(xo + a1 t) + B(yo + a2 t) + C(z0 + a3 t) + D = (1)  Phương trình (1) có nghiệm  d cắt (  )  Phương trình (1) vơ nghiệm  d // (  )  Phương trình (1) vơ số nghiệm  d  (  ) * Tìm tọa độ giao điểm I d (  ):   Thay ptts d vào pt (  ), giải tìm t Thay t vừa tìm vào ptts d tìm x,y,z  I(x;y;z) b) Cách 2: Đt d qua M có VTCP a ; mp (  ) có VTPT n  d cắt (  )  a.n   a.n   d // (  )     M  ( )    a.n  d  ( )     M  ( ) d  ( )  a; n phương  a1 , a2  M 1M    a1 , a2    Khoảng cách đường thẳng song song: d  d1 , d   d  d1 , d   d  M , d  (lấy M  d1 ) Khoảng cách mặt phẳng song song: d  (1 ),( )   d  M ,( )  (lấy M  (1 ) ) Khoảng cách đt mp song song: d  d , ( )   d  M , ( )  (lấy M  d ) GĨC Góc mặt phẳng: Cho (1 ) có VTPT n1 , ( ) có VTPT n2 , ta có : cos   n1.n2 n1 n2 Góc đường thẳng: Cho d1 có VTCP a1 , d2 có VTCP a2 , ta có : cos   a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng: Cho d có VTCP a , ( ) có VTPT n , ta có : sin   n.a n.a Góc tam giác ABC : cos A  AB.AC AB.AC II PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Muốn viết phương trình mặt cầu (S) ta cần tìm yếu tố: tâm bán kính Mặt cầu (S) có: + Tâm I(a;b;c) Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang r I Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 + Bán kính r Vậy ptmc (S): ( x  a)  ( y  b)2  ( z  c)  r 2 Mặt cầu (S): x  y  z  2ax  2by  2cz  d  có tâm I (a;b;c) , bán kính r  a  b2  c  d , (với a  b  c  d  ) 1/ Bài tốn 1: Viết phương trình mặt cầu dạng Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) qua điểm A( x A ; y A ; z A ) : Mặt cầu (S) có: + Tâm I(a;b;c) A  x A  xI    y A  y I    z A  z I  + Do (S) qua A nên có bán kính: r  IA  2 r I r  IA Vậy ptmc (S): ( x  a)  ( y  b)2  ( z  c)  r Dạng 2: Mặt cầu (S) có đường kính AB: Mặt cầu (S) có:  x  x y  yB z A  z B  + Gọi I trung điểm AB  Tâm I  A B ; A ;  2   A  xB  xA    yB  yA    zB  z A  + Do (S) có đkính AB nên có bkính: r  AB  2 B AB (r  IA  IB) r (Ta tính bán kính r = IA hay r = IB) Vậy ptmc (S): ( x  a)  ( y  b)2  ( z  c)  r r I Dạng 3: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) tiếp xúc với mp(P): Ax+By+Cz+D = 0: Mặt cầu (S) có: + Tâm I(a;b;c) Aa  Bb  Cc  D + Do (S) tiếp xúc với mp(P) nên có bán kính: r  d  I ,( P)   A2  B  C Vậy ptmc (S): ( x  a)  ( y  b)2  ( z  c)  r I r P) r  d(I,(P) Dạng 4: Mặt cầu (S) qua điểm A,B,C,D: + Gọi ptmc (S): x  y  z  2ax  2by  2cz  d  (đk: a  b  c  d  ) + Do (S) qua điểm A,B,C,D nên: (Thay tọa độ A,B,C,D vào ptmc (S) có hệ pt, giải hệ tìm a,b,c,d) + Vậy ptmc (S): x  y  z  2ax  2by  2cz  d  III PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương trình tổng quát: Muốn viết phương trình tổng quát mp(P) ta cần tìm yếu tố: + Điểm thuộc mp(P) là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )  + VTPT mp(P) là: n  ( A; B; C ) , n  VTPT n  (A; B;C)  (VTPT vectơ vng góc với mp(P))  Ptmp (P) có dạng: A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = Chú ý * Nếu (P) : Ax + By + Cz + D = có M  x ; y0 ; z  P) Các trường hợp đặc biệt:  ( ) / /Ox  ( ) : By  Cz  D   D   ( )  Ox  Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 véctơ pháp tuyến n  ( A; B; C )  ( ) / /Oy  ( ) : Ax  Cz  D   D   ( )  Oy  * Ptmp theo đoạn chắn: Nếu mp(P) cắt trục tọa độ Ox, Oy, Oz A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) thì:  ( ) / /Oz  ( ) : Ax  By  D   D   ( )  Oz  (P): (Oxy ) : z  0; (Oxz ) : y  0; (Oyz ) : x  x y z    ( a, b, c  0) a b c 1/ Bài tốn 1: (P) có điểm thuộc có VTPT * Phương pháp chung: Dựa vào kiện đề ta xác định tọa độ điểm thuộc (P) VTPT vng góc với (P) + Điểm thuộc mp(P) là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )  + VTPT mp(P) là: n  ( A; B; C ) , n    Ptmp (P) là: A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = VTPT n  (A; B;C) M  x ; y0 ; z  P) * Một số cách xác định VTPT thường gặp: 1/ (P) // (Q): Ax + By + Cz + D = + VTPT (Q) là: n(Q)  (A;B;C) n P  n Q P) + Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n(P)  n(Q)  (A;B;C) Q)  x  x0  a1t x  x0 y  y0 z  z0  2/ (P)  d:  y  y0  a2t (hay d: )   a a a z  z  a t  nP  a d d P) + VTCP d là: a d  (a1;a ;a ) + Do (P) // (Q) nên (P) có VTPT là: n (P)  a d  (a1;a ;a ) 3/ (P) mp trung trực đoạn thẳng AB  x  x y  yB z A  z B  + Gọi I trung điểm AB  I  A B ; A ;   ( P) 2   B n  P   AB I P) + Do (P)  AB nên (P) có VTPT: n  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA  A B n  P   AB 4/ (P)  AB (P) có VTPT: n  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA  P) A 2/ Bài tốn 2: (P) có điểm thuộc có VTCP * Phương pháp chung: Dựa vào kiện đề ta xác định tọa độ điểm thuộc (P) VTCP u, v (P) (VTCP vectơ nằm (P) hay song song với (P)) VTPT n   u, v  v + Điểm thuộc mp(P) là: M0 (x0 ;y0 ;z0 ) + VTPT mp(P) là: n  u, v   ( A; B; C )  Ptmp (P) là: A(x - x0 ) + B(y - y0 ) + C(z - z0 ) = * Một số cách xác định VTCP mp(P): Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang u P) M0 Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 1/ (P) // d hay (P) chứa d VTCP a d d VTCP (P) ad d P) d ad 2/ (P) // AB hay (P) chứa AB AB VTCP (P) P) A B AB 3/ (P)  (Q) VTPT n  Q  Q VTCP (P) n Q P) Q)  x  x0  a1t x  x0 y  y0 z  z0  4/ Chú ý: Nếu (P) chứa d:  y  y0  a2t (hay d: )   a1 a2 a3 z  z  a t  (P) chứa ln điểm M thuộc d Lấy M  x ; y0 ; z   d  M  x ; y0 ; z   (P) d P) M 3/ Bài tốn 3: (P) có VTPT (hoặc VTCP) chưa có điểm thuộc * Phương pháp chung: Dựa vào kiện đề ta xác định VTPT hay VTCP (P) + VTPT mp(P) là: n  ( A; B; C )  Ptmp (P) là: Ax + By + Cz + D = (trong D ẩn chưa biết, đặt đk cho D cần) + Sử dụng kiện lại để tìm D, kiện thường gặp là: + d ( M ,( P))  Axo  Byo  Czo  D D A2  B  C + mp(P) tiếp xúc mặt cầu  d(I, (P))  R  D (I R tâm bán kính mặt cầu (S)) IV PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Phương trình tham số: Muốn viết phương trình Phương trình tắc: Muốn viết phương tham số đt d ta cần tìm yếu tố: trình tắc đt d ta cần tìm yếu tố: + Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 ) + Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )  + VTCP d là: a  (a1;a ;a ) , a   (VTCP vectơ nằm d hay song song với d)  Ptts d: + VTCP d là: a  (a1;a ;a ) ,  a1; a2 ; a3    Ptct d: x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3  x  x0  a1t   y  y0  a2t (t  ) z  z  a t  Chú ý:  VTCP trục Ox : i  (1;0;0) VTCP a a d M0  VTCP trục Oy : j  (0;1;0)  VTCP trục Oz : k  (0;0;1) Cách tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P): Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018  x  x0  a1t  Cho d:  y  y0  a2t (P): Ax  By  Cz  D  z  z  a t  + Tọa độ giao điểm I d (P) nghiệm hệ:  x  x0  a1t y  y  a t   z  z  a 3t   Ax  By  Cz  D  + Thay ptts d vào pt (P) ta có: A(xo + a1 t) + B(yo + a2 t) + C(z0 + a3 t) + D = (1) + Giải pt(1) tìm t + Thay t vừa tìm vào ptts d tìm x,y,z + Giao điểm d (P) : I(x;y;z) GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 x  x0 y  y0 z  z0   a1 a2 a3 (P): Ax  By  Cz  D  + Tọa độ giao điểm I d (P) nghiệm hệ  x  x0 y  y0 z  z0    a2 a3  a1  Ax  By  Cz  D   + Chuyển hệ hệ pt ẩn tìm x,z,y + Giao điểm d (P) : I(x;y;z) * Chú ý: Nếu d: 1/ Bài tốn 1: d có điểm có VTCP * Phương pháp chung: Dựa vào kiện đề ta xác định tọa độ điểm thuộc d VTCP nằm d hay song song với d + Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 )  + VTCP d là: a  (a1;a ;a ) , a   (VTCP vectơ nằm d hay song song với d)  x  x0  a1t   Ptts d:  y  y0  a2t (t  ) z  z  a t  * Một số cách xác định VTCP thường gặp: 1/ d  (P): Ax + By + Cz + D = + VTPT (P) là: n (P)  (A;B;C) d + Do d  (P) nên d có VTCP là: a d  n (P)  (A;B;C) a d  nP P)  x  x0  a1t x  x0 y  y0 z  z0  2/ d //  :  y  y0  a2t (hay  : )   a1 a2 a3 z  z  a t  ad  a  + VTCP  là: a   (a1;a ;a ) d + Do d //  nên d có VTCP là: a d  a   (a1;a ;a ) 3/ d qua điểm A, B d có VTCP: ad  AB   xB  x A ; yB  y A ; zB  zA  a d  AB d A B 2/ Bài tốn 2: d có điểm có VTPT * Phương pháp chung: Dựa vào kiện đề ta xác định tọa độ điểm thuộc d VTPT u, v d (VTPT vectơ vng góc với d) + Điểm thuộc d là: M0 (x0 ;y0 ;z0 ) + VTCP d là: a d  u, v   (a1; a2 ; a3 ) VTCP a   u, v  u d M0 Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang v Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201  x  x0  a1t   Ptts d:  y  y0  a2t (t  ) z  z  a t  * Một số cách xác định VTPT đt d: 1/ d   VTCP a   VTPT d  a d 2/ d // (P) hay d nằm (P) VTPT n  P  (P) VTPT d n P d P) d 3/ d  AB AB VTPT d B AB d A 3/ Bài tốn 3: d có điểm thuộc, chưa có VTCP d có VTCP, chưa có điểm thuộc (bài toán thường cho đt d “cắt” đường thẳng  cho trước)  x  x0  a1t  1/ PP chung: Giả sử d qua A cắt  :  y  y0  a2t M z  z  a t  + Gọi M  d   M  x0  a1t; y0  a2t ; z0  a3t    + Tính AM   A; B;C  (ẩn t) + Dựa vào kiện lại để tìm ẩn t, kiện hay gặp là: + AM  a  (a1; a2 ; a3 )  n  P a   A.a1  B.a  C.a  a b M d A A B C + AM phương với b  (b1;b2 ;b3 )     b1 b2 b3 + Khi có t ta tìm tọa độ điểm M + Viết phương trình đường thẳng d cần tìm qua A M *Lưu ý: Nếu đt d cắt đt 1 ,  cho trước ta gọi hai điểm M  d  1 , N  d   theo ẩn t , t Sử dụng kiện đề tìm t , t 2/ Chú ý: + M  d  Ox  M(x ;0;0)  Ox ; M  d  Oy  M(0; y ;0)  Oy; M  d  Oz  M(0;0; z )  Oz B  + AM   A; B;C  phương với i  (1;0;0)   C  3/ Đt d đường vng góc chung đt d1 d2  x  x0  a1t  x  x1  b1t '   ; d1 :  y  y0  a2t d :  y  y1  b2t ' z  z  a t z  z  b t ' 3   d2 B + VTCP đt d1 : ad1  (a1 ; a2 ; a3 ) + VTCP đt d1 : ad2  (b1 ; b2 ; b3 ) + Gọi A, B chân đường vng góc chung d , d2 + Ta có: A  d1  A( x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t ) B  d  B( x1  b1t '; y1  b2t '; z1  b3t ') + AB đường vng góc chung Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang d1 A a d2 AB a d1 Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201    AB  ad1  AB.ad1   Giải hệ tìm t, t’   AB  a AB a    d d   + Suy tọa độ A, B + Viết ptđt d qua điểm A, B V TÌM ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG THỎA ĐIỀU KIỆN  x  x0  a1t  1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc đt d :  y  y0  a2t z  z  a t  + Gọi M  x0  a1t; y0  a2t ; z0  a3t   d + Dựa vào kiện đề để tìm ẩn t  M( ; ; ) * Các kiện hay gặp: 1/ AB  ( xB  xA )  ( yB  y A )  ( zB  z A ) 2/ d (M ,( ))  2 Axo  Byo  Czo  D A2  B  C  a, MM    3/ d ( M , d )  M0  d  a 1 AB, AC   2 8/ A, B, C thẳng hàng  AB  (a1; a2 ; a3 ), AC  (b1; b2 ; b3 ) a a a phương    b1 b2 b3 7/ SABC  9/ a  (a1; a2 ; a3 ) vng góc b  (b1; b2 ; b3 ) 4/ ABC vuông A  AB  AC  AB AC  5/ ABC cân A  AB  AC  AB  BC 6/ ABC    AB  AC 2/ Chú ý: + M(x ;0;0)  Ox (Cần đưa ptđt d ptts)  a.b   a1b1  a2b2  a3b3  a a a 10/ a phương với b    b1 b2 b3 M(0; y ;0)  Oy M(0;0; z )  Oz + Nếu đề yêu cầu tìm điểm M  1 , N   ta gọi tọa độ điểm M, N theo ẩn t , t Sử dụng kiện đề tìm t , t VI TÌM ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG 1/ PP chung: Giả sử cần tìm điểm M thuộc mp(P): Ax + By + Cz + D = + Gọi M  a; b; c   ( P)  A.a  B.b  C.c  D  (ta phương trình chứa ẩn a,b,c) + Dựa vào kiện đề để tìm thêm phương trình chứa ẩn a,b,c + Giải hệ phương trình tìm a,b,c  M( ; ; ) 2/ Chú ý: M  (Oxy)  M(a; b;0) ; M  (Oyz)  M(0; b;c) ; M  (Oxz)  M(a; 0;c) VII HÌNH CHIẾU VNG GĨC - ĐỐI XỨNG – KHOẢNG CÁCH 1/ HÌNH CHIẾU VNG GĨC Dạng 1: Tìm hình chiếu vng góc H điểm A mp (P): + Lập ptđt d qua A vng góc với (P):  A(x0 ;y0 ;z0 )  d  VTCP: a  nP (Do d  (P))  x  x0  a1t   ptts d:  y  y0  a2t z  z  a t  + Gọi H hình chiếu A lên (P), ta có: H  d  ( P ) + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H Các em nhận tài liệu môn [toán] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang d A P) H Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 Dạng 2: Tìm hình chiếu vng góc H điểm A đt d: + Lập ptmp (P) qua A vng góc với d:  M0 (x0 ;y0 ;z0 )  (P)  VTPT: n  ad (Do (P)  d)  ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  + Gọi H hình chiếu A lên d, ta có: H  d  ( P ) + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H Dạng 3: Tìm hình chiếu vng góc d’ đt d mp (P): (d cắt (P)) + Gọi A  d  ( P ) ,thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ A + Lấy điểm M  d, viết ptđt  qua M  (P) + Gọi B    ( P) ,thay ptts  vào pt (P) tìm tọa độ B + Viết ptđt d’ qua điểm A, B đt cần tìm d P) A H  A P) d M B d' 2/ ĐỐI XỨNG Dạng 1: Tìm điểm đối xứng A’ điểm A qua mp (P): + Lập ptđt d qua A vng góc với (P):  A(x0 ;y0 ;z0 )  d  VTCP: a  nP (Do d  (P)) d  x  x0  a1t   ptts d:  y  y0  a2t z  z  a t  + Gọi H hình chiếu A lên (P), ta có: H  d  ( P ) + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H + Gọi A’ điểm đối xứng A qua (P)  H trung điểm AA’  A '  xH  xA ; yH  y A ; zH  z A  A H P) A' Dạng 2: Tìm điểm đối xứng A’ điểm A qua đt d: + Lập ptmp (P) qua A vng góc với d:  M0 (x0 ;y0 ;z0 )  (P)  VTPT: n  ad (Do (P)  d)  ptmp (P): A( x  x0 )  B( y  y0 )  C ( z  z0 )  + Gọi H hình chiếu A lên d, ta có: H  d  ( P ) + Thay ptts d vào pt (P) tìm tọa độ H + Gọi A’ điểm đối xứng A qua d  H trung điểm AA’  A '  xH  xA ; yH  y A ; zH  z A  Dạng 3: Viết ptmp (P’) đối xứng với mp (P): Ax+By+Cz+D=0 qua điểm A + Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên (P’) // (P)  (P) có pt dạng: Ax+By+Cz+D’= (D’  D) + Do (P’) đối xứng với (P) qua A nên: d(A,(P’)) = d(A,(P))  D’ + Vậy ptmp (P’): Ax+By+Cz+D’=0 d A' P) A H P ') A P) 3/ KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm Mo (xo ;yo ;zo ) đến mặt Khoảng cách đường thẳng chéo nhau: d1 qua M1 có VTCP a1 ; d2 qua M2 có VTCP a2 Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201 phẳng (  ): Ax + By + Cz + D = 0: d ( M o ,( ))  d  d1 , d   Axo  Byo  Czo  D A2  B  C 2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M0 đến đt d (d qua M1 có VTCP a ):  a, M M    d (M , d )  a  a1 , a2  M 1M    a1 , a2    Khoảng cách đường thẳng song song: d  d1 , d   d  M , d  (lấy M  d1 ) Khoảng cách mặt phẳng song song: d  (1 ),( )   d  M ,( )  (lấy M  (1 ) ) Khoảng cách đt mp song song: d  d , ( )   d  M , ( )  (lấy M  d ) VIII VỊ TRÍ GIỮA MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU 1/ Bài toán 1: Mặt phẳng cắt mặt cầu + Giả sử mặt cầu (S) có tâm I bán kính r + Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn giao tuyến (C) (có tâm H bán kính r’)  d(I, (P))  r I + H hình chiếu vng góc I lên mp(P) + IH = d(I,(P)) + Tam giác IAH vuông H + r '  r  IH  r   d(I, (P))  r A r’ H P) 2/ Bài toán 2: Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu + Giả sử mặt cầu (S) có tâm I bán kính r + Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu (S) điểm H  d(I, (P))  r + H hình chiếu vng góc I lên mp(P) + r = IH = d(I,(P)) I r H P) r  IH  d(I,(P) IX VỊ TRÍ GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT CẦU 1/ Bài toán 1: Đường thẳng cắt mặt cầu hai điểm phân biệt + Giả sử mặt cầu (S) có tâm I bán kính r + Đường thẳng d cắt mặt cầu (S) hai điểm phân biệt A B  a d , IM     d(I, d)  r ad + H hình chiếu vng góc I lên đt d + H trung điểm AB 2  AB  + r  AH  IH      d(I, d)    + Tam giác IAB cân I, tam giác IAH vng H *Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d mặt cầu (S): 2 Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang 10 I d r A H B Tài Liệu Ôn Thi THPT Quốc Gia Năm 2017 – 2018 GV: PHẠM THÀNH LUÂN – DĐ: 0966.666.201  x  x0  a1t  Giả sử d :  y  y0  a2t ; ( S ) : ( x  a)2  ( y  b)  ( z  c)  r z  z  a t  + Thay pt tham số d vào pt mặt cầu (S) ta có phtrình bậc hai theo ẩn t: At  Bt  C  (1)  t + Nếu pt(1) có nghiệm t d cắt (S) hai điểm phân biệt A, B (Thay nghiệm t vào ptts d để tìm tọa độ A, B) + Nếu pt(1) có nghiệm kép t d tiếp xúc (S) điểm H (Thay nghiệm t vào ptts d để tìm tọa độ H) + Nếu pt(1) vơ nghiệm d (S) khơng có điểm chung 2/ Bài toán 2: Đường thẳng tiếp xúc mặt cầu + Giả sử mặt cầu (S) có tâm I bán kính r + Đthẳng d tiếp xúc mặt cầu (S) điểm H  d(I, d)   a d , IM    r ad + H hình chiếu vng góc I lên đt d Các em nhận tài liệu mơn [tốn] [lý] : 44 phố vọng – 0966.666.201 Trang 11 I r d H ... 2 8/ A, B, C thẳng hàng  AB  (a1; a2 ; a3 ), AC  (b1; b2 ; b3 ) a a a phương    b1 b2 b3 7/ SABC  9/ a  (a1; a2 ; a3 ) vng góc b  (b1; b2 ; b3 ) 4/ ABC vuông A  AB  AC  AB AC  5/...  3/ Đt d đường vng góc chung đt d1 d2  x  x0  a1t  x  x1  b1t '   ; d1 :  y  y0  a2t d :  y  y1  b2t ' z  z  a t z  z  b t ' 3   d2 B + VTCP đt d1 : ad1  (a1 ; a2 ; a3... đt d1 : ad2  (b1 ; b2 ; b3 ) + Gọi A, B chân đường vng góc chung d , d2 + Ta có: A  d1  A( x0  a1t ; y0  a2t ; z0  a3t ) B  d  B( x1  b1t '; y1  b2t '; z1  b3t ') + AB đường vng góc