HƯỚNG DẪN GIẢI MỘT SỐ CÂU KHÓ TRONG ĐỀ Câu 1: Có 25 học sinh chia thành nhóm A B, cho nhóm có nam nữ Chọn ngẫu nhiên từ nhóm học sinh Tính xác suất để hai học sinh chọn có nam nữ Biết xác suất chọn hai học sinh nam 0,57 A 0, 23 B 0,59 C 0, 02 D 0, 41 Chọn D Gọi số học sinh nhóm A, B x, y ⇒ x + y = 25, x, y ∈ ¥ *  ≤ x ≤ 12 Khơng tính tổng qt giả sử x < y ⇒  13 ≤ y ≤ 23 1 ≤ m ≤ x − Gọi số học sinh nam nhóm A, B m, n ⇒  1 ≤ n ≤ y − mn 57 = 0,57 ⇔ mn = xy ⇒ xy M 100 Ta có xác suất chọn hai học sinh nam xy 100 Từ điều kiện suy x = 5, y = 20 ⇒ mn = 57 ⇒ m = 3, n = 19 19 Vậy xác suất chọn hai học sinh có nam nữ là: + = 0, 41 20 20 u1 = u Câu 2: Cho dãy số ( un ) xác định  Tính giới hạn I = lim n n −1 un +1 = 2un + A I = B I = C I = D I = 2 Chọn C * * Ta có un +1 = 2un + ⇔ un+1 + = ( u n + ) Đặt = un + 5, ∀n ∈ ¥ ⇒ +1 = 2vn , ∀n ∈ ¥ n −1 n * n * Khi dãy số nhân với v1 = , công bội q = ⇒ = 6.2 = 3.2 ∀n ∈ ¥ ⇒ un = 3.2 − 5, ∀n ∈ ¥ ⇒ I = lim un 3.2n − = lim =3 2n − 2n − Câu 3: Với giá trị m hàm số y = A ≤ m < Chọn C B m < x−3 đồng biến khoảng ( 0;1) x−m C m ≤ ≤ m < D m ≤ m ∉ ( 0;1) m ≤ ⇔ Để hàm số cho đồng biến khoảng ( 0;1) ⇔  ( x − m) 3 − m > 1 ≤ m < Câu 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) ¡ 3− m Ta có y ' = đồ thị hàm số f ′ ( x ) cắt trục hoành điểm a, b, c, d (như hình vẽ) Xác định số khẳng định khẳng định sau: Hàm số y = f ( x ) nghịch biến khoảng ( −∞; a ) Hàm số y = g ( x ) = f ( − x ) đạt cực tiểu x = Maxa;df ( x ) = f ( c ) ; Mina;fd ( x ) = f ( d ) [ ] [ 1− b ] A B Chọn B Từ giả thiết ta có BBT hàm số y = f ( x ) x −∞ a b c + 0 + f '( x) C - d D +∞ + +∞ f ( x) −∞ Nhìn vào hình vẽ ta thấy: b c d a b c ∫ f ' ( x ) dx < ∫ f ' ( x ) dx < ∫ f ' ( x ) dx ⇒ < f ( a ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( b ) < f ( c ) − f ( d ) ⇒ f ( c ) > f ( a ) > f ( b ) > f ( d ) ⇒ Max f ( x ) = f ( c ) ; Min f ( x ) = f ( d ) [ a;d ] [ a ;d ] 1 − a − c  ; Ta có g ' ( x ) = −2 f ' ( − x ) ⇒ hàm số y = g ( x ) đạt cực tiểu − x ∈ { a; c} ⇔ x ∈     Vậy 1., sai 2x − Câu 5: Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) , điểm A ( 1; ) Tìm m để đường thẳng y = − x + m cắt đồ thị x +1 ( C ) điểm phân biệt B C cho tam giác ABC vuông cân A ? A m = B m = 0, m = C m = D m = −2 Chọn A 2x − = − x + m ⇔ x + ( − m ) x − m − = ( *) Phương trình hồnh độ giao điểm là: x +1 Điều kiện để có giao điểm PT(*) có nghiệm phân biệt khác −1 ⇔ ∀m  x1 + x2 = m − Khi hai giao điểm B ( x1 ; − x1 + m ) , C ( x2 ; − x2 + m ) , với   x1 x2 = − m − uuu ruuur  AB AC = ⇔m=0 ABC vuông cân A ⇔   AB = AC Câu 6: (VDT)Tìm tất giá trị thực tham số a để phương trình − x = a + x có nghiệm x ∈ [ 0;1] A ≤ a ≤ B a < −1 C ≤ a ≤ D < a < Chọn C −3 x − x − 1 − x2 < 0, ∀x ∈ [ 0;1] PT ⇔ a = = f ( x) ⇒ f '( x) = 1+ x 1+ x ( ) ⇒ f ( x ) nghịch biến [ 0;1] ⇒ f ( x ) ∈ [ 0;1] , ∀x ∈ [ 0;1] Vậy ≤ a ≤ Câu 7: Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình:  m = 1/ A  m ≤ Chọn A B m = x x ( ) x +1 + m ( D m ≤ C m < ) x − = x có nghiệm x  +1   −1   +1  PT ( 1) ⇔  + m = t = > , PT trở thành t − t + m = ( ) Đặt ÷  ÷  ÷ ÷  ÷ ÷       PT (1) có nghiệm PT (2) xảy trường hợp sau: TH1: (2) có nghiệm kép dương m = TH2: (2) có nghiệm phân biệt, có nghiệm dương m ≤ Câu 8: Cho a, b hai số thực dương khác thỏa mãn log a b − 8logb a b = − Tính giá trị biểu thức 3 P = log a a ab + 2016 ( A P = 2016 Chọn D ) ( B P = 2017 C P = 2019 ) D P = 2018 8 3+t 2 =− ⇔t = Đặt t = log a b , từ giả thiết ta có: log a b − 8log b a b = − ⇔ t − 3 t Do P = log a a ab + 2016 = + t + 2016 = 2018 3 a , b Câu 9: Cho hai số thực thay đổi lớn thỏa mãn a + b = 30 Gọi m, n hai nghiệm phương trình ( log a x ) − ( + log a b ) log a x − = Tính S = a + 2b + 30 mn đạt giá trị lớn ( ( ) ) A S = 50 B S = 70 C S = 65 Chọn B 2 Theo vi – ét ta có: log a m + log a n = + log a b = log a ( ab ) ⇔ mn = ab D S = 60 b b  a+ + ÷   b b 2 = 4000 Theo AM − GM ta có: mn = ab =  a ÷ ≤  ÷  2  ÷   b Dấu xảy a = ⇔ a = 10, b = 20 ⇒ S = 70 x−2 dx = a ln + b ln + c với a, b, c ∈ ¢ Khẳng định sau đúng: Câu 10: Biết I = ∫ x A a + b = B a = 2c C a + 2b = D a + c = b Chọn B 5 x−2 2− x x−2 I =∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = ( ln x − x ) + ( x − ln x ) = ln − 2ln + x x x 1 ⇒ a = 4, b = −2, c = ⇒ a = 2c Câu 11: Hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn ∫ f ( − x ) dx = a Tìm a để −1 ∫ f ( x ) dx = −1 A B −3 C −1 Chọn A Đặt t = − x ⇒ dt = −3dx , x = −1 ⇒ t = 5, x = ⇒ t = −1 −1 1 a = − f x dx = f ( x ) dx = Từ giả thiết: ∫5 ( ) −∫1 D Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, dương nghịch biến [ 0; 2] có f ( 1) = Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị y = f ( x ) , y = ( H) A , hai đường thẳng x = 0; x = Cơng thức tính diện tích hình f ( x) là: 2 f ( x ) −1 1− f ( x) dx + ∫0 f ( x ) ∫1 f ( x ) dx f ( x ) −1 dx C ∫0 f ( x) Chọn B B ∫ 2 1− f ( x) f ( x ) −1 dx + ∫ dx f ( x) f ( x) 1− f ( x) dx D ∫0 f ( x)   f ( x) > f  f ( x ) > = f ( 1) , ∀x ∈ [ 0;1)  ⇒ Từ giả thiết ⇒  0 < f ( x ) < = f ( 1) , ∀x ∈ ( 1; 2]  f ( x) <  f , ∀x ∈ [ 0;1) ( x) , ∀x ∈ ( 1; 2] ( x) Do chọn B ( ) 2 Câu 13: Hàm số f ( x ) có đạo hàm đến cấp hai ¡ thỏa mãn: f ( − x ) = x + f ( x + 1) Biết f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ ¡ , tính I = ∫ ( x − 1) f " ( x ) dx A Chọn A B −4 C D  f ( ) = f ( ) ⇔ f ( 2) = f ( 0) = Từ giả thiết f ( − x ) = x + f ( x + 1) ,thay x = 1, x = −1 ta có:   f ( ) = f ( ) Lấy đạo hàm hai vế ta lại có: −2 f ( − x ) f ' ( − x ) = x + f ' ( x + 1) + x f ( x + 1) ( ) ( )  −2 f ( ) f ' ( ) = f ' ( ) + f ( ) 2 f ' ( ) + f ' ( ) + =  f ' ( ) = −2 ⇔ ⇔ Thay x = 1, x = −1 ta có:   −2 f ( ) f ' ( ) = f ' ( ) − f ( )  f ' ( ) + f ' ( ) − =  f ' ( ) = 2 2 Do đó, I = ∫ ( x − 1) f " ( x ) dx = ( x − 1) f ' ( x )  − ∫ f ' ( x ) dx = f ' ( ) + f ' ( ) −  f ( ) − f ( )  = 0 Câu 14: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi M điểm biểu diễn cho số phức z = + 2i ; M’ điểm biểu diễn cho số phức z' = 3i z Tính diện tích tam giác OMM’ A S ∆OMM ' = B S ∆OMM ' = C S ∆OMM ' = D S ∆OMM ' = 15 Chọn B z = + 2i ⇒ z' = 3i z = −3 + 3i ⇒ M ( 2; ) ,M ' ( −3; 3) ⇒ ∆OMM ' vuông O ⇒ S ∆OMM ' = OM OM ' = Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z − + 3i = Tính giá trị lớn biểu thức P = x z − + i + y z − − 5i với x, y số thực dương A x + y B x + y C x + y D x + y Chọn C Ta gọi z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) ⇒ M ( a; b ) điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn ( C ) tâm I ( 2; −3 ) , bán kính R = Xét điểm A ( 1; −1) , B ( 3; −5 ) ∈ ( C ) AB = = R Khi P = x z − + i + y z − − 5i = x z − + i + y z − + 5i = xMA + yMB ⇒ MA = P − yMB x  P − yMB  2 Ta ln có: MA + MB = AB ⇒  ÷ + MB − AB = x   2 y  P  Py ⇒  + 1÷MB − MB +  − AB ÷ = ( *) x x  x  2 y2  y2   P2 2 Để phương trình ( *) có nghiệm thì: ∆ '( *) ≥ ⇔ P −  + 1÷ − AB ÷ ≥ x x  x  2  P y ⇔ − +  + 1÷ AB ≥ ⇔ P ≤ AB ( x + y ) ⇒ P ≤ AB x + y = x + y x x  Câu 16: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , SA ⊥ ( ABC ) SA = a Gọi M trung điểm BC , gọi ( P ) mặt phẳng qua A vng góc với SM Tính diện tích thiết diện ( P) hình chóp S ABC ? a2 a2 a2 a2 A B C D 4 Chọn A Dễ thấy BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM ) theo giao tuyến SM Hạ AH ⊥ SM ⇒ AH ⊥ ( SBC ) Qua H kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC I, K ⇒ thiết diện tam giác AIK a Ta có SA = AM = a ⇒ SM = a 6, AH = H trung điểm SM 1 a2 ⇒ IK = BC = a ⇒ S∆AIK = AH IK = 2 Câu 17: Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy tam giác cạnh a , hình chiếu vng góc A ' lên ( ABC ) trùng với tâm O tam giác ABC Một mp ( P ) chứa BC vuông góc với AA ' , cắt hình lăng trụ a2 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 a3 C D 6 ABC A ' B ' C ' theo thiết diện có diện tích a3 12 Chọn B A B a3 12 a a , AO = a a Giả sử ( P ) cắt AA ' H ⇒ S ∆HBC = ⇒ HI = Trong tam giác AA ' I ta có AI A ' O = HI AA ' ⇒ AA ' = A ' O a a3 2 Lại có AA ' = AO + A ' O ⇒ A ' O = Vậy VABC A ' B ' C ' = A ' O.S∆ABC = 12 Câu 18: Trên mặt phẳng ( P ) cho góc xOy = 60 Đoạn SO = a vng góc với mặt phẳng ( α ) Các điểm Gọi I trung điểm BC ⇒ AI = M , N chuyển động Ox, Oy cho ta ln có: OM + ON = a Tính diện tích mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ ngoại tiếp tứ diện SOMN 16 4π a π a2 8π a A B C D π a 3 3 Chọn A Gọi K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN , E trung điểm SO I đỉnh thứ tư hình chữ nhật EOKI Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SOMN bán kính R = IO = OK + OE Ta có MN MN = 2OK ⇒ OK = sin 60 a2  OM + ON  Lại có MN = OM + ON − 2OM ON cos 60 = ( OM + ON ) − 3OM ON ≥ a −  = ÷   a 4π a a Dễ thấy MN Min = , RMin = Vậy diện tích mặt cầu ( S ) là: S = 3 2 Câu 19: Cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z − 10 x + y − 10 z + 39 = Từ 2 2 điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm N cho MN = Biết M thuộc đường tròn cố định Tính bán kính đường tròn A B C D 11 Chọn B ( S ) có tâm I ( 5; −3;5) , bán kính R = Hạ IH ⊥ ( P ) ⇒ IH = Ta có IM = IN + MN = 45 ⇒ MH = IM − IH = ⇒ MH = khơng đổi Vậy M thuộc đường tròn cố định tâm H, bán kính Câu 20: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho A ( m;0;0 ) , B ( 0; 2m + 1;0 ) , C ( 0;0; 2m + ) khác O D điểm nằm khác phía với O so với mặt phẳng ( ABC ) , cho tứ diện ABCD có cặp cạnh đối diện Tìm khoảng cách ngắn từ O đến tâm I mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 10 A 10 B C D 11 Chọn B Ta chứng minh D ( m; 2m + 1; 2m + ) tâm I mặt cầu ngoại tiếp ABCD trung điểm OD 10 Ta có OD = 9m + 24m + 26 = ( 3m + ) + 10 ≥ 10 ⇒ ODMin = 10 ⇒ RMin = OI Min = OD = 2 ... : x + y + z − 10 x + y − 10 z + 39 = Từ 2 2 điểm M thu c mặt phẳng ( P ) kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S ) điểm N cho MN = Biết M thu c đường tròn cố định Tính bán kính đường tròn A... Đặt t = − x ⇒ dt = −3dx , x = −1 ⇒ t = 5, x = ⇒ t = −1 −1 1 a = − f x dx = f ( x ) dx = Từ giả thi t: ∫5 ( ) −∫1 D Câu 12: Cho hàm số y = f ( x ) xác định, dương nghịch biến [ 0; 2] có f ( 1)... f ( x) 1− f ( x) dx D ∫0 f ( x)   f ( x) > f  f ( x ) > = f ( 1) , ∀x ∈ [ 0;1)  ⇒ Từ giả thi t ⇒  0 < f ( x ) < = f ( 1) , ∀x ∈ ( 1; 2]  f ( x) <  f , ∀x ∈ [ 0;1) ( x) , ∀x ∈ ( 1;