ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C ph ơng pháp toạ độ trong không gian I. Mc ớch yờu cu: - Hc sinh bit dựng cỏc biu thc ta ca cỏc phộp toỏn trờn cỏc vect tớnh ta ca vect v vn dng nú tớnh di on thng, tớnh gúc gia hai vect, tớnh din tớch tam giỏc v din tớch hỡnh bỡnh hnh, tớnh th tớch khi hp v khi t din. - Hc sinh bit cỏch chng minh ba im thng hng, bn im nphng, iu kin hai vect cựng phng hay vuụng gúc. - Xỏc nh ta tõm v bỏn kớnh ca mt cu cú phng trỡnh cho trc. Vit phng trỡnh mt cu khi bit mt s d kin xỏc nh. - Xỏc nh vect phỏp tuyn ca mt phng, xỏc nh vect ch phng ca ng thng. Vit phng trỡnh mt phng v ng thng. xỏc nh v trớ tng i ca cỏc ng thng v cỏc mt phng. Tớnh khong cỏch t mt im n mt ng thng, tớnh gúc v khong cỏch gia cỏc ng thng v mt phng. II. Phng phỏp phng tin: 1. phng phỏp: 2. Phng tin: Sỏch hng dn ụn tp thi tt nghip THPT mụn toỏn NXBGD nm hc 08-09) III. Ni Dung: * Các dạng toán cần luyện tập: theo sỏch ụn thi TN Bi tp Ni dung sỏch ụn thi TN Bi 1: Dựng cỏc biu thc ta ca phộp toỏn v vect tớnh toỏn v chng minh mt s yu t hỡnh hc. bi 1 tr.105 Bi 2: Xỏc nh tõm v bỏn kớnh mt cu, vit phng trỡnh mt cu. bi 1 tr.105 Bi 3: Vit phng trỡnh mt phng, tớnh gúc v khong cỏch cú liờn quan n mt phng. bi 2 tr.111 Bi 4: Vit phng trỡnh ng thng. bi 3 tr.115 A. CC KIN THC CN NH: 1. Toạ độ của vectơ: Cho hai vectơ 1 2 3 ( ; ; )a a a a và 1 2 3 ( ; ; )b b b b ta có: 1. 1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b = = = = 2. Vectơ 1 2 3 ( ; ; )k a ka ka ka = 2. Độ dài của vectơ: 2 2 2 1 2 3 a a a a = + + 5. Các cách viết pt mặt phẳng: a. phơng trình mp (P) đi qua M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có vtpt ( ; ; )n A B C = : A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. b. 2 vectơ 1 2 3 ( ; ; )a a a a , 1 2 3 ( ; ; )b b b b có giá // hoặc nằm trên mp(P). Thì pt mp (P) có vtpt ,n a b = ( Sau đó đa bầi toán về dạng a.) c. phơng trình mặt phẳng (P) đi qua 3 1 ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C 3. Tổng và hiệu: 1 1 2 2 3 3 ( ; ; )a b a b a b a b = 4. Tích vô hớng: 1 1 2 2 3 3 .a b a b a b a b = + + 5. Góc giữa hai vectơ: cos( , )a b r r = 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b a a a . b b b + + + + + + * 1 1 2 2 3 3 0a b a b a b a b + + = 2. Toạ độ của điểm: Cho hai điểm ( ; ; ) A A A A x y z và ( ; ; ) B B B B x y z thỡ: 1. Vectơ : ( ; ; ) B A B A B A AB x x y y z z = 2. Khoảng cách từ A đến B: AB = 2 2 2 ( ) ( ) ( ) B A B A B A AB x x y y z z = + + 3. Điểm M chia đoan AB theo tỉ số k: ( k1) MA = k. MB k1 OBKOA OM = ( k1). Ta ca M l: ( ; ; ) 1 1 1 A B A B A B x kx y ky z kz M k k k M l trung im caAB ( ; ; ) 2 2 2 A B A B A B x x y y z z M + + + 3. Tích có h ớng của hai vectơ: Cho hai vectơ 1 2 3 ( ; ; )a a a a và 1 2 3 ( ; ; )b b b b không cùng phơng. 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 , ( ; ; ) a a a a a a n a b b b b b b b = = c gi l tớch cú hng ca 2 vt ,a b 4. Ph ơng trình tổng quát mặt phẳng: Pttq (P): Ax + By + Cz + D = 0. (A 2 + B 2 + C 2 >0) Có vtpt ( ; ; )n A B C = . Chú ý: + Mặt (xOy) có pt: z = 0. + Mặt (yOz) có pt: x = 0. + Mặt (xOz) có pt: y = 0 điểm A, B, C. Khi đó (P) đi qua A và có vtpt n : ,n AB AC = . Chú ý: 1. Khi viết phơng trình mặt phẳng (P) thờng phải tìm một điểm M thuộc (P) và vtpt của (P). 6. Khoảng cách từ một điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z đến một mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = 0. 0 0 2 2 2 ( ,( )) Ax Bx Cx D d M P A B C + + + = + + 7. phơng trình đừơng thẳng đi qua điểm 0 0 0 ( ; ; )M x y z và có vtcp 1 2 3 ( ; ; )a a a a = : a. Phơng trình tham số: 0 1 0 2 0 3 ( ) x x a t y y a t t R z z a t = + = + = + b. Phơng trình chính tắc: 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a = = (Điều kiện a 1 , a 2 , a 3 đều khác 0) 8. ph ơng trình mặt cầu: Dạng 1: phơng trình mặt cầu theo tâm và bán kính (phơng trình chính tắc): Phơng trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c) bán kính R: 2 2 2 2 ( ) : ( ) ( ) ( )S x a y b z c R + + = Dạng 2: Phơng trình tổng quát của mặt cầu: 2 2 2 ( ) : 2 2 2 0S x y z ax by cz d+ + + = (Điều kiện a 2 + b 2 + c 2 d >0) Có tâm I(a; b; c), bán kính R = 2 2 2 a b c d+ + + Nếu tâm I (0;0;0)O thì (S): 2 2 2 2 x y z R+ + = GV: Giáp Minh Đức B. BI TP Bi toỏn 1: Xỏc nh ta ca im, ta ca vộc t. 2 ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC Ví dụ 1 : Cho )1;1;2(,)2;0;1( −− BA . Tìm tọa độ điểm C sao cho BCAC 3= . * Giải: Gọi tọa độ điểm C là: );;( zyxC , ta có: ( ) ( ) 1;1;2 2;0;1 +−−= +−−= zyxBC zyxAC Do đó: BCAC 3=          −= = = ⇔      +=+ −=− −=− ⇔ 2 1 2 3 2 5 )1(32 )1(30 )2(31 z y x zz yy xx Vậy       − 2 1 ; 2 3 ; 2 5 C Ví dụ 2 : Xác định tọa độ của vectơ a biết: kjia 543 +−= * Giải: Ta có: )5;4;3(543 −=⇔+−= akjia . Ví dụ 3 : Cho )1;2;0(,)3;5;2( −=−= ba , )2;7;1(=c . Hăy xác định tọa độ của vectơ d , biết cbad 3 3 1 4 +−= . * Giải: Gọi tọa độ của vectơ );;( zyxd = . Ta có          = = = ⇔          +−−= +−−= +−= 3 55 3 1 11 2.3)1( 3 1 3.4 7.32. 3 1 )5.(4 1.30. 3 1 2.4 z y x z y x Vậy:       = 3 55 ; 3 1 ;11d Bài tập tự luyện: (Bài 1,2,6 trang 68 Ôn thi tốt nghiệp môn toán 2009) Bài toán 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu : * Định lư 1: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz.Mặt cầu ( ) S tâm ( ) PT coù kính baùn RcbaI ,,, : ( ) ( ) ( ) (1) 2 222 Rczbyax =−+−+− * Nếu ( ) 0;0;0OI ≡ th́ PT mặt cầu ( ) S là : (2) 2222 Rzyx =++ Định lí 2: Trong KG, hệ trục tọa độ Oxyz Phương tŕnh: 2 2 2 2 2 2 0 (3)x y z Ax By Cz D+ + + + + + = với 2 2 2 0A B C D+ + − > là phương tŕnh mặt cầu tâm ( ) , ,I A B C− − − và bán kính 2 2 2 R A B C D= + + − 3 ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C Vớ du 1: Tỡm tõm v bỏn kớnh mt cu cú PT: 05624 222 =+++++ zyxzyx * Gii : Ta cú: 2 4 2 2 2 1 2 6 3 A A B B C C = = = = = = v bỏn kớnh 35)3(1)2( 222 =++=R ,Tõm I(2;1;-3). BI TP: Bi 1: Xỏc nh tõm v bỏn kớnh ca mt cu. 1) 2 2 2 4 6 5 0x y z x y+ + + = KQ: 1)Tâm I(2 ;-3 ;0) và R=3 2 2) 2 2 2 8 2 1 0x y z x z+ + + + = KQ: 2) Tâm I (4;0;-1) và R=4 Bi 2 : Lập phơng trình mặt cầu: 1) Tâm I(2;2;-3) và R=3 2) Qua A(3;1;0); B(5;5;0) và tâm I thuộc Ox 3) Qua 4 điểm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) và D(1;1;6) 4) Đờng kính AB với A(1;-3;5); B(-3; 4; -3) Giải: 1) Ta có phơng trình mặt cầu là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 9x y z- + - + + = 2) Ta có tâm I(a ;0 ;0) Do Mc (S) Di qua A và b nên ta có IA = IB = R =>IA 2 = IB 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 1 5 25 10 10;0;0 5 2 ( ) : 10 50 a a a I R PTmc S x y z => - + = - + => = => => = => - + + = 3) G/s Pt mặt cầu (S) là x 2 +y 2 +z 2 + ax+by+cz+d=0 (a 2 +b 2 +c 2 4d ) Do (S) đi qua A(1;4;0); B(-4;0;0); C(-2;-2;0) và D(1;1;6) nên ta có 4 17 4 16 2 2 8 6 38 a b d a d a b d a b c d ỡ + + =- ù ù ù ù - + = - ù ớ ù - - + =- ù ù ù + + + =- ù ợ 5 / 3 7 / 3 => phương trình mặt cầu 77 / 9 28 / 3 a b c d ỡ =- ù ù ù ù =- ù ị ớ ù =- ù ù ù =- ù ợ 4)Ta có tâm I(-1; 1 2 ;1) và R= 1 2 AB = 1 129 2 => Pt mặt cầu là: ( ) ( ) 2 2 2 1 129 1 1 2 4 x y z ổ ử ữ ỗ + + - + - = ữ ỗ ữ ỗ ố ứ Bi toỏn 3: PHNG TRèNH TNG QUT CA MT PHNG *Cỏc cỏch vit phng trỡnh mt phng. Dng 1: Mt phng qua 3 im A,B,C : Cp vtcp: AB , AC ( ) ( ) , qua A hay BhayC vtpt n AB AC = Dng 5: Mp cha (d) v song song (d / ) im M ( chn im M trờn (d)) Mp() cha (d) nờn d u u = 4 ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC Dạng 2: Mặt phẳng trung trực đoạn AB : ° (P) là mp trung trực của AB: (P) qua M vtpt AB → Dạng 3: Mặt phẳng α qua M và ⊥ d (hoặc AB) ° ( ) d qua M vtpt n u α α → → = Dạng 4: Mp α qua M và // β : Ax + By + Cz + D = 0 ° ( ) qua M vtpt n n α β α → → =  Mpα song song (d / ) nên 'd u u α → → = ■ Vtpt ' , d d n u u → → →   =     Dạng 6 Mp( α ) qua M, N và ⊥ ( β ) : ■ Mpα qua M,N nên α aMN = ■ Mpα ⊥ mpβ nên αβ bn = ° ],[ β α n nvtpt N) (hayM qua rr → = MN Dạng 7: Mp α chứa (d) và đi qua A . ■ Mpα chứa d nên α aa d = ■ Mpα đi qua )(dM ∈ và A nên MA u α → → = Vtpt của mp(α): , d n u MA α → → →   =     4) Các ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Viết PTTQ của mp ( ) α đi qua điểm ( ) 3;2;1 −M và song song với mặt phẳng ( ) β : 0532 =++− zyx * Giải: Vì mp ( ) α song song với mp ( ) β nên mp ( ) α có VTPT là: ( ) 1;3;2 −=n . Vậy PTTQ của mp ( ) α là: ( ) ( ) 01132 032312 =−+−⇔ =−++−− zyx zyx Ví dụ 2: Cho hai điểm ( ) ( ) 0;1;4,4;3;2 −− BA . Viết PTTQ của mặt phẳng trung trực của AB. * Giải: Gọi I là t.điểm của đoạn AB, ta có ( ) 2;1;3 −I Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua I và nhận vectơ ( ) 4;4;2 −=AB làm VTPT. Vậy PTTQ của mặt phẳng cần t́m là: ( ) ( ) ( ) 0322 0241432 =++−⇔ =++−−− zyx zyx Ví dụ 3: Cho ( ) ( ) ( ) 6;5;4,3;4;2,3;2;1 CBA −− .Viết PTTQ của mặt phẳng qua 3 điểm A,B,C. * Giải: Ta có ( ) ( ) 3;3;5,0;6;3 =−= ACAB [ ] ( ) ( ) 13;3;6339;9;18; −−=−−==⇒ ACABn 5 ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C Do ú mp ( ) ABC i qua ( ) 3;2;1A nhn vect ( ) 13;3;6 1 =n lm VTPT nờn cú phng trỡnh: ( ) ( ) ( ) 0391336 03132316 =++ =++ zyx zyx Vớ d 4: Vit PTTQ ca mt phng qua cỏc im l hỡnh chiu ca im ( ) 4;3;2 M trờn cỏc trc ta . Gii: Gi 321 ,, MMM ln lt l hỡnh chiu ca im ( ) 4;3;2 M trờn cỏc trc Ox, Oy, Oz thỡ: 321 OMOMOMOM ++= Do ú: ( ) ( ) ( ) 4;0;0,0;3;0,0;0;2 421 MMM Vy: phng trỡnh ca mt phng qua cỏc im l hỡnh chiu ca im ( ) 4;3;2 M trờn cỏc trc ta l : 012346 1 432 =+ =+ zyx zyx Bi tp cựng dng: Bài 1: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P): a. Đi qua A(1;3;-2) và nhận (2;3;1)n = làm vtpt. b. Đi qua B(1;3;-2) và song song với (Q): x+2y+z+4=0. c. Đi qua A(0; -1; 4) và song song với giá của các vectơ (3;2;1)n = , ( 3;0;1)n = . d. Đi qua hai điểm A(4;-1;1), B(3;1;-1) và // trục ox. e. (P) chứa Ox và đi qua điểm A (1; -2; 3). g. (P) đi qua ba điểm A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4). h. (P) đi qua A(1;0;1), B(2;1;2) và vuông góc với mp(Q): x+2y+3z+3=0. Bài 2: Lập phơng trình tổng quát của mặt phẳng (P) đi qua A(1;2;3), B(2;2;3) và vuông góc với mp(Q): x+2y+3z+4=0. Bài 3: Cho tứ diện ABCD có A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4; 0;6). a. Viết pttq của các mp: (ABC), (ACD), (ABD) (BCD). b. Viết pttq của mp(P) chứa cạnh AB và // với CD. Bài 4: Cho hai điểm A(1;2;3) B(3;4;-1): a. Viết phơng trình mp(P) là trung trực của AB. b. Viết phơng trình mp(Q) qua A và vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (yOz). c. Viết phơng trình mp(R) qua A và song song với (P). Bài 5: (ĐHL 96) Cho tứ diện có bốn đỉnh A(1;1;1), B(-2;0;2), C(0;1;-3),D(4;-1;0). Tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh D xuống mp(ABC). Bài 6: (ĐHCĐ - 99) Viết pt mp trung trực của đoạn thẳng AB biết A(2;1;4), B(-1;-3;5). Bài 7: (ĐHL 99) Cho điểm A(-1;2;3) và hai mặt phẳng (P): x 2 = 0, (Q): y z 1 = 0. Viết phơng trình mp(R) qua A với cả hai mp (P) và (Q). Bài 8: (ĐHD 99) Cho tứ diện có bốn đỉnh A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8). Tính độ dài đờng cao của tứ diện hạ từ đỉnh D xuống mp(ABC). Bài 9: Viết pttq của mp(P) chứa gốc toạ độ và với hai mặt phẳng (Q): x-y+z-7=0 và (R): 3x+2y-12z+5=0. 6 ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC Bài toán 4: Phương trình tham số của đường thẳng: 1.Phương tŕnh tham số của đường thẳng (d) : Qua M(x o ;y o ;z o ) có vtcp a r = (a 1 ;a 2 ;a 3 ) Rt; tazz tayy taxx (d) 3o 2o 1o ∈      += += += : 2.Phương tŕnh chính tắc của (d): 32 a z-z a yy a xx (d) o 1 o 0 : = − = − 3. Các dạng bài tập. Dạng 1: : Đường thẳng (d) đi qua A,B    = ABaVtcp hayBquaA d d )( )( Dạng 2: Đường thẳng (d) qua A và song song ( ∆ ) ∆ =∆ a d a vtcp neân )( // (d) Vì qua rr A d )( Dạng 3: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc mp( α ) α α n d a vtcp neân )( (d) Vì qua rr =⊥ A d)( Dạng4: PT d’ hình chiếu của d lên ( α ) : d / = ( α ) ∩ ( β )  Viết pt mp(β) chứa (d) và vuông góc mp(α) ( ) ( ) ( )        =⇒ =⇒⊥ =⇒⊃ ∈ ];[ )()( )( αβ βα β αβ β β nan bn aad dquaM d d ª    )( )( )( / β α d Dạng 5: Đường thẳng (d) qua A và vuông góc (d 1 ),(d 2 ) ] d a , d a [ avtcp qua 1 2 )( rrr = A d Dạng 6: PT d vuông góc chung của d 1 và d 2 : + Tìm d a = [ a r d1 , a r d2 ] + Mpα chứa d 1 , (d) ; mp( β ) chứa d 2 , (d) ⇒ d = (α) ∩ (β) Dạng 7: PT qua A và d cắt d 1 ,d 2 : d = ( α ) ∩ ( β ) với mp(α) = (A,d 1 ) ; mp(β) = (A,d 2 ) 4. Các ví dụ minh họa: 7 Qui ước: Mẫu = 0 thì Tử ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C Vớ d 1: Vit PTTS, PTCT ca ng thng qua ( ) ( ) 2;3;11;0;2 = aA VTCP coựvaứ . * Gii: PTTS ca ng thng cn tm l: 2 2 1 3 , , PTCT cuỷa laứ: 1 3 2 1 2 x t x y z y t t R z t = + = = = = + Vớ d 2: Tỡm PTCT ca ng thng bit qua im ( ) 1;3;4M v song song vi ng thng d : += = += tz ty tx 23 3 21 * Gii: Vect ch phng ca d l ( ) 2;3;2 =a .Vỡ // d nờn cng cú mt VTCP l a Vy PTCT ca l 2 1 4 7 3 x y z + = = 5. Bi tp t luyn: Bài 1: Viết ptts của đừơng thẳng (d) biết: a. (d) đi qua M(5;4;1) và có vtcp (2; 3;1)u = . b. (d) đi qua A(2;-1;3) và với mp(P): x-y+z-5=0. c. (d) đi qua B(2; 0; - 3) và // (d): 1 2 3 3 4 x t y t x t = + = + = d. (d) đi qua hai điểm P(1;2;3) và Q(5;4;4). Bài 2: Viết ptts của đừơng thẳng (d) biết: a. (d) đi qua M(1;2;-3) và có vtcp (2;1; 1)u = . b. (d) đi qua N(2;-3;1) và với mp(P):x+2y-z+4=0. d. (d) đi qua hai điểm A(1;3;5) và B(2;-1;3). Bi toỏn 5: Khong cỏch v gúc 1. Gúc gia hai vect: Nu l gúc gia hai vect ),,( zyxa = , )',','( zyxb = v 0, ba thỡ: 222222 '''. ''' . . cos zyxzyx zzyyxx ba ba ++++ ++ == Vớ d: Cho )1;3;4(=a , )3;2;1(=b . Tớnh =+ ba ? v gúc gia hai vect ba; * Gii: 8 ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC Ta có: ( ) 4;5;3=+ ba 25543 222 =++=+⇒ ba và 182 915 321.134 3.12.3)1(4 cos 222222 = ++++ ++− = ϕ Vậy ( ) ϕ =ba; với 182 915 cos = ϕ . 2. Góc giữa hai đường thẳng : Cho hai đường thẳng ∆ 1 và ∆ 2 lần lượt có PT: 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 : ; : x x y y z z x x y y z z a b c a b c − − − − − − ∆ = = ∆ = = Gọi ϕ là góc giữa hai đt ∆ 1 và ∆ 2 , ta có 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 212121 . cos cbacba ccbbaa ++++ ++ = ϕ * ∆ 1 ⊥ ∆ 2 ⇔ 212121 ccbbaa ++ = 0. Ví dụ : Tính góc giữa hai đường thẳng: ,      += +−= −= ∆      += +−= += ∆ tz ty tx tz ty tx 24 31 2 : 43 1 21 : 21 Giải: VTCP của ∆ 1 là ( ) 4;1;2 1 =a VTCP của ∆ 2 là ( ) 2;3;1 2 −=a .Do đó góc ϕ giữa ∆ 1 và ∆ 2 được tính: 294 9 23)1(.412 2.43.1)1.(2 cos 222222 = ++−++ ++− = ϕ 3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng : Cho đường thẳng ∆ và mặt phẳng (α) có PT: 0:)( : 000 =+++ − = − = − ∆ DCzByAx c zz b yy a xx α Gọi ϕ là góc giữa đt ∆ và mp (α), ta có 222222 . sin cbaCBA CcBbAa ++++ ++ = ϕ * ∆ // (α) hoặc ∆ ⊂ (α) ⇔ Aa + Bb + Cc = 0. Ví dụ : Tính góc giữa đt ∆ và mp(α): 07-z ) , , =+− +=+−=+=∆ 2:( 2425: yx tztytx α Giải: VTCP của ∆ là ( ) 2;1;1=a VTPT của (α) là ( ) 2;1;1 −=n .Do đó góc ϕ giữa ∆ và(α) được tính: 2 1 2)1(1.211 2.2)1.(11.1 sin 2 22 2 22 = +−+++ +−+ = ϕ ⇒ ϕ = 30 0 3. Góc giữa hai mặt phẳng : Cho hai mặt phẳng (α) và (β) có PT: 9 ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC 0'''':)( 0:)( =+++ =+++ DzCyBxA DCzByAx β α Gọi ϕ là góc giữa (α) và (β), ta có 222222 '''. ''' cos CBACBA CCBBAA ++++ ++ = ϕ Ví dụ : Tính góc giữa hai mp(α) và mp(β) : 032:)(2:( =−−−=+++ zyxyx βα 0;4z ) Giải: VTPT của (α) là ( ) 1;2;1 1 =n VTPT của (β) là ( ) 2;1;1 2 −−=n 4. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT MP: Định lí: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz. Khoảng cách từ một điểm ( ) 0000 ;; zyxM đến mặt phẳng (α) :Ax + By + Cz + D = 0 được tính bằng công thức: ( )( ) 222 000 0 ; CBA DCzByAx Md ++ +++ = α 5. Khoảng cách từ một điểm đến một đt: Định lí: Trong KG, với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng ∆ đi qua aM VTCP coù 0 và một điểm 1 M . Khoảng cách từ điểm 1 M đến đường thẳng ∆ được tính bằng công thức : ( ) [ ] a MMa Md 10 1 ; ; =∆ Ví dụ 2 : Tính khoảng cách từ điểm ( ) 1;3;2 1 M đến đường thẳng ∆ : 2 1 2 1 1 2 − + = − = + zyx . * Giải : Đường thẳng ∆ qua ( ) 2;1;2 0 −−M và có VTCP ( ) 2;2;1 −=a ⇒ ( ) 2;2;4 10 =MM Ta có: [ ] ( ) 6;10;8; 10 −=aMM ( ) [ ] 3 210 )2(21 610)8( ; ; 222 222 10 1 = −++ ++− = =∆⇒ a MMa Md 6. Khoảng cách giữa hai đt chéo nhau: Trong KG Oxyz, cho hai đường thẳng ∆ 1 , ∆ 2 chéo nhau. Đường thẳng ∆ 1 đi qua 1 M có VTCP 1 a , đường thẳng ∆ 2 đi qua 2 M và có VTCP 2 a . Khoảng cách giữa ∆ 1 và ∆ 2 là: ( ) [ ] [ ] . 21 2121 21 ; ; ; aa MMaa d =∆∆ Ví dụ 3 : Tính khoảng cách giữa hai đt ∆ 1 và ∆ 2 : 10 [...]... A(1;2;1),B(2;1;3) và mp(P): x-3y+2z-6=0 a Viết pt mp(Q) qua A, B và vuông góc với (P) 11 ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C b Viết pt đừơng thẳng là giao tuyến của mp(P) và (Q) Tìm toạ độ điểm K đối xứng với A qua (P) Bài toán 3: Hình chiếu của điểm lên đờng thẳng: x = 2 t Bài 26: Cho điểm A(1;2;-1) và (d ) : y = z = 1 t Xác định toạ độ hình chiếu vuông góc của A lên (d) Từ đó tìm toạ độ điểm A 1 đối xứng... điểm của (d) và (P) b Viết phơng trình đừơng thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) Bài toán 2: Hình chiếu của điểm lên mặt phẳng: Bài 22: Cho điểm A(2;3;-1) và mp(P): 2x-y-z-5=0 a Xác định toạ độ hình chiếu của A lên mp(P) b Tìm toạ độ của điểm A1 đối xứng với A qua (P) Bài 23: Cho điểm A(1;4;2) và mp(P): x+y+z-1=0 a Xác định toạ độ hình chiếu của A lên mp(P) b Tìm toạ độ của điểm A1 đối... Viết phơng trình mcầungoại tiếp tứ diện ABCD d Tính thể tích tứ diện ABCD Bài 33: Cho 4 điểm A(2;4;-1), B(1;4;-1), C(2;4;3), D(2;2;-1) a CMR các đừơng thẳng AB, AC, AD đôi một vuông góc Tính thể tích của tứ diện ABCD c Viết pt mcầu (S) đi qua bốn đỉnh A,B,C,D d Viết phơng trình mp(P) tiếp xúc với mcầu (S) và song song với mp(ABD) Bài 34: Trong không gian cho 4 điểm A(3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D(-1;1;2)... 1.(2) 12 + 2 2 + 12 12 + ( 1) 2 + (2) 2 = 600 = 1 2 Bi toỏn tng hp Bài toán 1: Hình chiếu của đờng lên mặt phẳng: Bài 20: Cho đừơng thẳng (d) và mp(P) có phơng trình: x = 2 + 2t (d ) : y = 1 + 3t và (P): 2x + y + z - 8 = 0 z = 1 + 5t a Tìm giao điểm của (d) và (P) b Viết phơng trình đừơng thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) Bài 21: Cho đừơng thẳng (d) và mp(P) có phơng trình: (d... độ tiếp điểm của (S) và mp(BCD) Bài 35: Cho điểm I(1;1;1) và đừơng thẳng (d ) : x +1 y 2 z 2 = = 3 2 2 a Xác định toạ độ hình chiếu H của I lên (d) b Lập phơng trình mcầu (S ) tâm I(2;3;-1) cắt đừơng thẳng (d) tại hai điểm A, B sao cho AB = 16 12 ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C x 2 y 1 z 1 = = Bài 36: Viết phơng trình mặt cầu tâm I nằm trên đờng thẳng (d): và tiếp xúc 3 2 2 với hai mặt...ễN THI TT NGHIP MễN TON 08 09 GIP MINH C x = 1 + t 1 : y = 1 t ; 2 z = 1 1 qua M 1 (1;1;1) vaứ coự VTCP a1 = (1;1;0 ) x = 2 3t : y = 2 + 3t z = 3t * Gii : 2 qua M 2 ( 2;2;0 ) vaứ coự VTCP a 2 = ( 3;3;3)... Trong không gian cho 4 điểm A(1;0;1), B(1;1;2), C(1;-1;1), D(4;5;-5) a Viết pt đừơng thẳng (d) qua D và mp(ABC) b Viết phơng trình mcầungoại tiếp tứ diện ABCD Bài 31: Cho mcầu (S): ( x 3)2 + ( y + 2)2 + ( z 1) 2 = 100 và mp(P): 2x-2y-z-2=0 Biết (P) cắt (S) theo đờng tròn (C) Xác định tâm, bán kính của đờng tròn (C) Bài 32: Cho 4 điểm A(1;0;-1), B(3;4;-2), C(4;-1;1), D(3;0;3) a CM A, B, C, D không đồng . ca vộc t. 2 ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN 08 – 09 GIÁP MINH ĐỨC Ví dụ 1 : Cho )1;1;2(,)2;0;1( −− BA . Tìm tọa độ điểm C sao cho BCAC 3= . * Giải: Gọi tọa.    = 3 55 ; 3 1 ;11d Bài tập tự luyện: (Bài 1,2,6 trang 68 Ôn thi tốt nghiệp môn toán 2 009) Bài toán 2: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU 1. Phương trình mặt cầu