Trích dẫn phần tài liệu MỤC LỤC Trang Chƣơng I MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề Chủ đề Kỹ thuật biến đổi tương đương Sử dụng tính chất tỉ số, tính chất giá trị tuyệt đối tính chất tam thức bậc hai chứng minh bất đẳng thức 44 Sử dụng tính chất tỉ số 45 Sử dụng tính chất giá trị tuyệt đối 54 Sử dụng tính chất tam thức bậc hai 59 Chứng minh bất đẳng thức phương pháp phản chứng Chứng minh bất đẳng thức tổng, tích dãy số - Phương pháp quy nạp Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức CAUCHY Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân Kỹ thuật chọn điểm rơi đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng Chủ đề 68 86 117 118 141 Kỹ thuật ghép cặp bất đẳng thức Cauchy 161 Kỹ thuật thêm bớt 175 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu 191 Kỹ thuật đổi biến số 199 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức BUNHIACOPXKI 220 Kỹ thuật chọn điểm rơi 221 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng 236 Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức 252 Kỹ thuật thêm bớt 275 Kỹ thuật đổi biến bất đẳng thức Bunhiacopxki 289 Chƣơng II MỘT SỐ KỸ THUẬT GIẢI TOÁN ĐẶC SẮC Chủ đề Ứng dụng nguyên lý DIRICHLET chứng minh bất đẳng thức 307 Chủ đề Phương pháp hệ số bất định chứng minh bất đẳng thức 319 Chủ đề Ứng dụng hệ bất đẳng thức SCHUR 333 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Chủ đề 10 Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức tốn tìm cực trị Dồn biến nhờ vận dụng kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức kinh điển 344 344 Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật đổi biến số 367 Dồn biến nhờ kết hợp với kỹ thuật thứ tự biến 382 Phương pháp tiếp tuyến 389 Khảo sát hàm nhiều biến số 393 Kết hợp với việc sử dụng Bổ đề 398 Vận dụng kỹ thuật dồn biến cổ điển 405 Chƣơng III TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Chủ đề 11 Chủ đề 12 Một số bất đẳng thức hay khó Một số bất đẳng thức đề thi học sinh giỏi, thi TSĐH tuyển sinh lớp 10 chuyên toán 409 649 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Định nghĩa Giả sử A B hai biểu thức số chữ Khi + A  B; A  B; A  B; A  B gọi bất đẳng thức + Các bất đẳng thức viết lại sau A  B  0; A  B  0; A  B  0; A  B  + Một bất đẳng thức đúng, sai Quy ước: Khi nói bất đẳng thức mà khơng nói thêm ta hiểu bất đẳng thức II Tính chất bất đẳng thức + Tính chất giao hốn Với số thực A B bất kì, ta ln có A  B  B  A + Tính chất bắc cầu Với số thực A, B, C bất kì, ta ln có A  B, B  C  A  C + Tính chất liên hệ với phép cộng - Với số thực A, B M bất kì, ta ln có A  B  AM BM - Với số thực A, B, C, D , ta ln có  A  B; C  D  A  C  B  D  A  B; C  D  A  D  B  C Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word + Tính chất liên hệ với phép nhân - Với số thực A, B bất kì, ta ln có  A  B; M   A.M  B.M  A  B; M   A.M  B.M - Với số thực A, B, C, D , ta ln có  0  A  B      A.C  B.D  0CD   + Tính chất liên hệ với lũy thừa - Với số thực A, B bất kì, ta ln có  A  B   An  Bn  , với n số thực dương  A  B  An  Bn , với n số tự nhiên lẻ  A  B  An  Bn  , với n số tự nhiên chẵn  m  n  0; A   Am  An  m  n  0;  A   Am  An + Tính chất liên hệ với tính nghịch đảo - Với số thực dương A, B bất kì, ta ln có A  B  1  A B III Một số bất đẳng thức cần nhớ + A2  với  A + A2k  với  A k số tự nhiên + A 0 với A + AB  A  B + AB  A  B Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Chƣơng I – MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung chương I gồm:  Giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức  Nêu số tính chất liên quan, số lưu ý phương pháp chứng minh bất đẳng thức  Giới thiệu tập mẫu trình phân tích, suy luận để tìm lời giải lời giải trình bày cụ thể  Giới thiệu số tập tự luyện Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A  B Tư tưởng phương pháp biến đổi tương đương bất đẳng thức thành bất đẳng thức mà phổ biến dạng sau: + Sử dụng định nghĩa bất đẳng thức: A  B  A  B  + Dạng tổng bình phương: A  B  mX2  nY2  kZ2  , với số m, n, k dương + Dạng tích hai thừa số dấu: A  B  X.Y  A  B  X2n Y  + Xây dựng bất đẳng thức từ điều kiện ban đầu: Nếu x, y, z  [a, b] ta nghĩ tới bất đẳng thức sau  x  a  x  b  0;  x  a  y  a  z  a   0;  x  b y  b z  b   Một số đẳng thức cần nhớ a  b  a  b   + ab   a  2ab  b ; a  b 2 2 2    a  b  c  2ab  2bc  2ca +  a  b  b  c  c  a   a b  ab  b c  bc  c a  ca  2abc +  a  b  c ab  bc  ca   a b  ab  b c  bc  c a  ca  3abc +  a  b  b  c  c  a   abc  a  b  c ab  bc  ca  +  a  1 b  1 c  1  abc  ab  bc  ca  a  b  c  +  a  1 b  1 c  1  abc  ab  bc  ca   a  b  c  + a  b  c  3abc  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca  + abc 2 2 2 2 3     + abc 2  2  2 2 2   a  b3  c  a  b b  c c  a   + a  b  c a  b2  c2  a  b3  c3  a 2b  ab2  b2c  bc2  c2a  ca Một số bất đẳng thức Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word    + a2  b2  2ab; a  b2  a  b + a  b  ab  2  ab   4ab  + a  b  c  ab  bc  ca 2  + a   ab  bc  ca     c   ab  bc  ca   3abc a  b  c  + a2  b2  c2  a  b  c  b4 2 + Bất đẳng thức tam giác b  c  a  b  c a  b  c     c  a  b  c  a  b  c  a  a  b  c  a  b c  a  b    Với a, b, c ba cạnh tam giác Một số kỹ thuật phép biến đổi tƣơng đƣơng + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức + Kỹ thuật sử dụng đẳng thức + Kỹ thuật thêm bớt số, biểu thức + Kỹ thuật đặt biến phụ + Kỹ thuật thứ tự biến + Kỹ thuật khai thác tính bị chặn biến Một số ví dụ minh họa Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: a) a  b2  c2  ab  bc  ca  b) a  b2  c2   a  b  c  Phân tích: Các bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức     a  2ab  b2  b2  2bc  c2  c2  2ca  a 2 2 a b  bc  ca  0 a  b2  c2  ab  bc  ca        Suy a2  b2  c2  ab  bc  ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c b) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức a     b2  c2   a  b  c  a  2a   b2  2b   c2  2c       2  a 1  b 1  c 1 Suy  a2  b2  c2   a  b  c  0  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng: a  b2  c2  a  b  c    3   Phân tích: Đây bất đẳng thức quen thuộc, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức     a  b2  c  a  b  c a  b2  c  a  b  c  a    3   2 ab  bc  ca        a  b2  c2  a  b  c   Suy  3   Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Nhận xét: Qua hai ví dụ ta nhận thấy biến đổi tương đương bất đẳng thức bậc hai thường xuất      2 đại lượng a  b ; b  c ; c  a  với điều kiện dấu đẳng thức xẩy a  b  c Do trước biến đổi bất đẳng thức ta nên dự đoán dấu đẳng thức xẩy để từ có hướng hợp lí Ví dụ Cho a, b, c số thực Chứng minh rẳng:  a2  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e  Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức tương tự bất đẳng thức trên, ta giải cách xét hiệu vế trái vế phải phân tích thành tổng bình phương Để tích ab, ac, ad, ae vào bình phương ta cần ghép a với b, c, d, e, vai trò b, c, d, e nên ta nghĩ đến việc biến đổi sau  a  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e   a  kb    a  kc   a  kd   a  ke  2 2 0 Trong trường hợp ta chọn k  , tức ta phải nhân hai vế với Lời giải Xét hiệu hai vế bất đẳng thức  a2  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e       a  b2  c2  d2  e2  ab  ac  ad  ae a  4ab  4b  a  4ac  4c2  a  4ad  4d2  a  4ae  4e2      a  2e  a  2b    a  2c   a  2d    2 Suy      0  a2  b2  c2  d2  e2  a b  c  d  e  Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  2b  2c  2d  2e Nhận xét: Với bất đẳng thức trên, phép biến đổi tương đương ta dùng tính chất tam thức bậc hai để chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực thỏa mãn điều kiện a, b, c  Chứng minh rẳng: 1 1   b)    2 3  ab  abc 1a 1b 1a 1b 1c Phân tích: Để ý ta thấy, mẫu biểu thức xuất hiệt bình phương, ý tưởng chứng minh bất đẳng a) thức xét hiệu phân tích làm xuất bình phương Chú ý đến giả thiết a, b   ab   Lời giải a) Xét hiệu hai vế bất đẳng thức 1 1 1       2 2  ab  a  ab  b  ab 1a 1 b a  b ab   0 a  b2  ab         1   2  ab 1a 1b Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  Suy b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1 1 1         3 3 3  abc  abc  abc 1a 1b 1 c 1a 1b 1c Áp dụng bất đẳng thức câu a ta 1 1 2      3  abc  a 3b3  abc4 1a 1 b 1c 4    abc  a 3b3 abc4 1    3  abc 1a 1 b 1c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Suy Ví dụ Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b3  a  b Chứng minh rẳng: a2  b2  ab  Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy có biểu thức a2  b2  ab Trong giả thiết lại xuất biểu thức a  b Vậy mối liên hệ hai biểu thức nào? Dễ thấy    đẳng thức a  b a2  b2  ab  a  b3 Do cách tự nhiên ta nhân hai vế giả thiết với biểu thức a  ab  b2  a2  b2  ab để làm xuất a  b3 a2  b2  ab , ta a  b3 a  b3  xong Tới cần chứng minh a  b3 a  b3 Lời giải Biến đổi giả thiết ta Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word   a   b  a    ab  b   a  a  b3  a  b  a  b3 a  ab  b2  a  b a  ab  b2 3 2  a  b3  b  a  ab  b  a  b3 2 Ta cần chứng minh a  b3   a  b3  a  b3   2b3   b 3 a b Do b  hiển nhiên Nên bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b Chứng minh rằng: a2  b2  2ab  b2  a Phân tích: Bất đẳng thức có chứa bậc hai biểu thức có chứa bình phương, lại có thêm điều kiện a  b  , nên ta bình phương hai vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:  a  b2  2ab  b2   a2  a  b2  a  b2 2ab  b2  2ab  b2  a    2b a  b  a  b2 2ab  b2    Vì a  b  nên b a  b  Vậy bất đẳng thức chứng minh Ví dụ Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng:  a  b4  c4  abc a  b  c  Phân tích: Bất đẳng thức bất đẳng thức có vế trái lũy thừa bậc chẵn Để ý ta   thấy abc a  b  c  ab.bc  bc.ca  ca.ab , tự nhiên ta nghĩ đến việc biến đổi bất đẳng thức thành tổng bình phương Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b4  c4  a 2bc  b2ac  c2ab   2a  2b4  2c4  2a 2bc  2b2ac  2c2ab    a   2a b   b  c   2b c   c  a   2a c  2a bc  2b ac  2c ab   b    b  c    c  a    ab  bc    bc  ac    ab  ac    a  b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2  a  b4  c4  abc a  b  c Suy 2  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Ví dụ Cho a, b số thực dương tùy ý Chứng minh rẳng: a 10      b10 a2  b2  a  b8 a  b4  Phân tích: Để ý ta thấy a10 a2  a a 4, b10 b2  b8 b4 , ta biến đổi tương đương để thu gọn chứng minh bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word a 10      b10 a  b2  a  b8 a  b4   a  a b  a b  b  a  a b  a b8  b12 12 10 2 10 12   a b a 12 4     b   a   a b  b       a b2 a  b2  a 2b8 b2  a   a 2b2 a  b2 a  b6   2 2 2 Bất đẳng thức cuối Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  Chứng minh rằng: ab  2bc  3ca  Phân tích: Từ giả thiết a  b  c  ta rút biến theo biến lại, chẳng hạn c  a  b , thay vào biểu thức bất đẳng thức ta 3a2  4ab  2b2 biểu thức chứa hai biến xuất bình phương Đến ta tìm cách phân tích thành tổng bình phương để chứng minh bất đẳng thức Lời giải   Theo giả thiết c   a  b , nên bất đẳng thức cho tương ứng với      ab  c 2a  3a   ab  a  b 2b  3a    ab  2ab  3a  2b2  3ab   3a  4ab  2b2   a  a  b  0 Từ ta có điều phải chứng minh Dấu đẳng thức xảy a  b  c    a2  a 11   Ví dụ 10 Chứng minh với số thực a dương, ta có: 2a a 1 Phân tích: Bất đẳng thức cần chứng minh chứa biến a, nên thông thường ta sử dụng phương pháp biến đổi tương đương để chứng minh Để ý thêm ta thấy, bất đẳng thức chứa đại lượng   a2  2a làm ta liên tưởng đến đẳng thức a  , lại thấy đẳng thức xẩy a  nên suy   nghĩ tự nhiên biến đổi tương đương bất đẳng thức làm xuất đại lượng a   xem  a a 1 11  ;    nên chứng minh tốn khơng Với a  ta có 2a 2 a 1 ta chuyển vế để biến đổi bất đẳng thức Lời giải Biến đổi tương đương bất đẳng thức     a2  a 11 a a 1      5 2a 2a a2  a 1 2 2  a 1 a 1 a 1 5        0 2a 2 a2   a a  1     a  1   2   5a  a   a a2      a  1  a  1 0 2    a2  a2   0 Bất đẳng thức cuối nên ta có điều phải chứng minh Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Đẳng thức xảy a  Ví dụ 11 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a   2 abc ab bc ca Phân tích: Quan sát bất đẳng thức cần chứng minh ta nhận thấy đặc điểm sau:   + Hai vế bất đẳng thức có bậc + Bất đẳng thức cần chứng minh làm ta liên tưởng đến bất bất đẳng thức hay dùng   x  y3  xy x  y Lời giải   Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức x  y3  xy x  y với x, y số dương Thật           x3  y3  xy x  y  x  y x2  y2  xy  xy x  y  x  y Áp dụng bất đẳng thức ta      0 bc b  c ca c  a a  b3 b3  c3 c3  a ab a  b      2 abc ab bc ca ab bc ca   a  b3 b3  c c  a   2 abc ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Suy  Ví dụ 12 Chứng minh với số thực x ta có 2x  1   x2  x   2x  x2  x  Phân tích: Bất đẳng thức chứa biến có chứa bậc hai Trước hết ta kiểm tra điều kiện xác định thức 2   1 1 3 x  x    x     x2  x    x     2 2 4   Nên bất đẳng thức xác định với x Quan sát bất đẳng thức ta thấy thay x x vế trái bất đẳng thức trở  2x  1   x2  x  vế phải bất đẳng thức 2x  x2  x  , nhân hai vế với 1 2x  1 x2  x   2x  1 x2  x  , tức bất đẳng thức không thay đổi Như ta cần xét trường hợp x không âm Với  x  , ta thấy vế trái dương vế phải nhỏ khơng nên ta chia nhỏ trường hợp  x  1 x  để chứng minh bất đẳng thức 2 Lời giải 2   1 1 Vì x  x    x     x2  x    x     2 2   Nên bất đẳng thức xác định với x Trang 10 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word a b c  P  a  b3  b3  c  c  a      c a  b  a b c   2a  b  c     b c a   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a b c a  b  c     3 abc  6 b c a abc Suy P  12 Vậy giá trị nhỏ P 12 Đẳng thức xẩu a  b  c  Bài 55 Cách 1: Đặt x  2a  3b  3c; y  3a  2b  3c; z  3a  3b  2c      Khi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   x y y z z x  42        8y x z y x z x y y z z x       y x z y x z Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Cách 2: Biến đổi vế trái bất đẳng thức ta a  b  3c a  3b  c 3a  b  c   3a  3b  2c 3a  2b  3c 2a  3b  3c  7 c b a 1      3a  3b  2c 3a  2b  3c 2a  3b  3c    1 17 a bc      3a  3b  2c 3a  2b  3c 2a  3b  3c  15 17 a bc  8 abc Bất đẳng thức đung       Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c Bài 56 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a 2b a 2b  a 2b a 2b a 2b         2ab  a 2a  b a  a  b  a a a      abc a2b b2c c2a    1 Áp dụng tương tự ta 2a  b 2b  c 2c  a Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Bài 57 Cách 1: Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh trở thành   a bb bc    b ca ca    c ab ab    0 b2c2 c2a a 2b2 Bất đẳng thức hiển nhiên Do tốn chứng minh Cách 2: Quy đồng phá dấu ngoặc ta a 3b3  b3c3  c3a  a 2b2 bc  ca  b2c2 ca  ab  c2a ab  bc   a b 3 b c 3         c a   abc  bc  ca   a bc  ca  ab   ab c  ab  bc  3 2   Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc x  y3  xy x  y ta điều phải chứng minh Bài 58 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Trang 87 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word    bc 2a b  c b  c a   a bc 25   a  b  c a b2  a c  a 2 b2  c2  25.27 Áp dụng tương tự ta       b  c 3c  a 3a  b 2 2 2 2 a   b   c   a b bc ca  a b c       Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Bài 59 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có   a b  c    ab  bc  ca b2  c2  bc  ab  bc  ca  bc  b2  c2 Suy b2  bc  c2      , áp dụng tương tự ta  b  c a  b  c      b  c  a  b  c  2 4a ab  bc  ca         a  b  c a  b  c  a b c Ta cần chứng minh    bc ca ab  ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c a b c Hay      b  c c  a a  b  ab  bc  ca  a  b  c a b c Hay   abc  bc ca ab  ab  bc  ca  a  b  c a b c Bất đẳng thức tương đương với    b  c c  a a  b  ab  bc  ca  a2 b  c b2 a  b c2 a  b ab  bc  ca  a b2 c2         b  c c  a a  b b2  bc  c2 c2  ca  a a  ab  b2   abc 2 2 2 2 2 2 Bất đẳng thức cuối theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Vậy toán chứng minh Bài 60 Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có 1  a2 1  b2  1 1   33     c a b c   Ta cần chứng minh  1 1 1     33     ab bc ca a b c      1 1 1     3  33     a b c   ab bc ca   2 abc 3 ab  bc  ca  0 a b2 c a b2 c Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh xong Cách 2: Kết hợp với giả thiết ta có         0 Trang 88 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  1 1 1  a b b c c a    ab  bc  ca    3      ab bc ca b a c b a c  ab bc ca  1a  b a  c b  c b  a c  a c  b 1a b b c c a 3              3 2 a a b b c c  2b a c b a c ab ac bc ba ca cb 3     a a b b c c 2 2 a  ab  bc  ca a  ab  bc  ca a  ab  bc  ca 3   a2 a2 a2 a2  b2  c2  1 1 3   3 1  1  1 2 2 a b c a b c Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 61 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1    a  b b  c a  2b  c 2a  2b  2b  2c 8   2 2 a 1 b 1 b 1 c 1 b 7 Hoàn toàn tương tự 1 1   ;   bc ca c 7 ca ab a 7 Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta điều phải chứng minh Bài 62 Ta có c  6ab  c a  b  c  6ab  ab  bc  ca  c2  2ab  3ab     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ab 1 ab ab 1      c  6ab  ab  bc  ca c  2ab  Hoàn toàn tương tự ab bc ca 1 ab bc ca     2     c  6ab a  6bc b  6ca  c  2ab a  2bc b  2ca  Phép chứng minh hoàn tất ta ab bc ca c2 b2 c2   1   1 c2  2ab a  2bc b2  2ca c  2ab a  2bc b2  2ca Bất đẳng thức cuối theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức Vậy toán chứng minh Bài 63 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a  b  c    b 1  a  c 1  b  a 1  a  ab  bc  ca  abc  a  b  c  ab  bc  ca   Để ý  a  b  c    ab  bc  ca   3; abc  a  b  c   a b c 2 2 a  b  c  Suy bất đẳng thức chứng minh Ta ab  bc  ca  abc  a  b  c  Bài 64 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a2  b2  1   c2  a  b  c      Trang 89 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Do ta 1   c2  c2   a  b2  a  b2  1   c2 abc      Hoàn toàn tương tự ta 1  a  b2  c2    a  b2  b2  c2  c2  a  abc 1  Hay ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh    Bài 65 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b   b    b  Hoàn toàn tương tự ta a2 b2 c2  a2      b  c  a   b  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a2  b2 c2   a b2 c2   a 2 c2   a b c   b3  c     b 2 c 2 a 2  b2 c2 a2 Ta quy toán chứng minh a b c     a 2c  b2a  c2b  a  b2  c2   abc b2 c2 a 2 Dễ dàng chứng minh a2  b2  c2  3; a2c  b2a  c2b   abc   Bất đẳng thức chứng minh xong Bài 66  Cách 1: Dễ thấy 9abc  a  b  c     ab  bc  ca  3abc  ab  bc  ca 1 ; y  ; z   x  y  z   xy  yz  xz  a b c x y z    Bất đẳng thức viết lại thành x2  y2  z2  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta x x x 1 x x        2x  y z  x x2  x2  xy  yz  zx xy zx Đặt x   x Hoàn toàn tương tự ta  y  z   x2  y2  z2  Vậy bất đẳng thức chứng minh Cách 2: Đặt a  xy; b  yz; c  zx giả thiết trở thành  9x2 y2z2  xy  yz  zx    3xyz  xy  yz  zx xyz  Khi vế trái viết lại thành 1    2 2 2  3y z  3z x  3x y  Ta quy toán chứng minh x x2  3xyz  x x  3x y z x  x  3xyz 2 y y2  3xyz 2  y   z y  3z x y z  3x y2z2 y z  y2  3xyz z2  3xyz z z2  3xyz  2 Trang 90 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Đến ý đến 3xyz  xy  yz  zx ta chứng minh bất đẳng thức tương tự cách Bài 67 Từ giả thiết abc  , ta đặt a    x y z ;b ;c x; y; z  Khi bất đẳng thức viết y z x lại thành x y  z  1 x  8yz y  8zx z  8xy Bất đẳng thức bất đẳng thức 27 Bài 68 Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 9      2  ab  bc  ca  ab  bc  ca  a  b  c Bất đẳng thức chứng minh 1  ab Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có    ab 25 25 Áp dụng tương tự ta 1  ab  bc  ca      ab  bc  ca 25 Ta quy toán chứng minh ab  bc  ca  12 Bất đẳng thức cuối ab  bc  ca  a2  b2  c2  12 Bất đẳng thức chứng minh Bài 69 Từ giả thiết ta có  a  b2  c2  3 a 2b2c2  abc  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 1 ab bc ca    a b c 23  8abc   8abc     23  25 abc 8abc 8abc Bất đẳng thức chứng minh Bài 70 Áp dụng giả thiết bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có    2       ab  c a  b  c bc ca ab ab  c 1     c c c c Hoàn toàn tương tự ta có bất đẳng thức cần chứng minh Bài 71 Chú ý đến a2   a2    2a  Áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh a  b  c   Bài 72 Để ý ab  a  b2  ab a  b2  a b  2ab , áp dụng tương tự ta quy toán chứng minh a  b2 a  b2 2ab 2bc 2ca   1 2 a b b c c  a2 2 a  b2 b2  c2 c2  a Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a  b   b  c   c  a  a  b2 c  a  b  b  c  c  a  Bất đẳng thức tương đương với ac  bc b2  c2 c2  a   abc   4 2 a  b2  c2  2  ab  bc  ca a  b2  c2 4 Trang 91 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Bất đẳng thức chứng minh Bài 73 Từ giả thiết ta abc  3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1    a b c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có 1 1  3  2     abc a b c 3   1    a  b  c  3  3 abc   3 a b c  abc    Cộng thoe vế hai bất đẳng thức thu gọn ta 1   abc  a b c Bất đẳng thức chứng minh Bài 74 Giả sử a số lớn ba số a, b, c suy  a  Khi biến đổi tương đương ta chứng minh a2  b2  c2  1  a2    b  c   2 2 b 1 c 1 a 1 a 1 Từ ta quy tốn chứng minh  a  3a  4a a  bc  2   0 a 1 a2           Bất đẳng thức cuối Vậy toán chứng minh Bài 75 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a 2  2bc  b2  2ca  c2  2ab    Ta có a2  2bc  a2  b2  c2  a  a2  a  a Hoàn toàn tương tự ta a2  2bc  b2  2ca  c2  2ab  a  a  b4  b6  c4  c6 Ta có a  a  b  b6  c  c   a  b2  c a  b3  c3 2    a  b3  c3 3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta a    a  b2  c2  abc Suy a 2  2bc  b2  2ca  c2  2ab    2 2  2  a  b3  c3 3  a  b  c   a  b  c    b3  c3  2 3 Bất đẳng thức chứng minh Bài 76 Ta có Trang 92 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 2        3a     3b     3c   b  c  ca  a  b     a b c  1    a  b  c  12        4 2  b  c c a a  b  ab bc ca    Theo bất đẳng thức Neibizt bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có a b c    bc ca ab 1 9      2 2 2 2 4 a b c ab bc ca ab  bc  ca   2                           Suy ta  3a     3b     3c    48 b  c  ca  a  b  Bất đẳng thức chứng minh Bài 77 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 6a  6a    a   6a  a   4a  a  ab  ac ab  ac ab  ac  2   2a  2a  a   3 2a.2a  a   ab  ac ab  ac        8a  Do ta  6a  6a     27  4a   ab  ac  b  c   Hoàn toàn tương tự ta  a b c  P  108 a  b4  c4  216     b  c c a a  b  108  a   b2  c  2  648 Vật giá trị nhỏ P 648, đẳng thức xẩy a  b  c  Bài 78 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a 3bc ab  ca a  b  c  a 1.1  b  c  a 3  216     Hoàn toàn tương tự ta a  b  c  b  c  a  c  a  b  Bất đẳng thức chứng minh Bài 79 Bạn đọc tự giải Bài 80 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta   ab bc ca     2 2  2a  3b2   2b  3c  2c  3a      ab bc ca  3    2  2a  3b  2b  3c  2c  3a   Từ a  b  c  suy ab  bc  ca  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ab ab ab ab  1        2 2  6b 4a   2a  3b  a   b   4a  6b      Trang 93 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 1 1 1 1 11 1          4a  2a  2a   2a 2a   a  ab a b ab Do ta    2 2a  3b  24 36 72 Hoàn toàn tương tự ta ab bc ca   2 2 2a  3b  2b  3c  2c  3a  a  b  c a  b  c ab  bc  ca 3        24 36 72 24 36 72 Lại có   ab bc ca      Suy 2 2 2  2a  3b  2b  3c  2c  3a    Hay bất đẳng thức chứng minh Bài 81 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta       abc abc a b c      bc  ca  ab a  b  c  3abc a  b  c  3abc a  b  c  a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca   2 Từ giả thiết áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a  b  c   9; ab  bc  ca    9; a  b  c a b c    abc  bc  ca  ab Bất đẳng thức chứng minh Bài 82 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta   27abc Do ta a  b Do ta a  ab  b2  a  b a   b3  a  b2 a  ab  b2  , hoàn toàn tương tự ta 2 ab a b a  ab  b2  a  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a  b2  c c2  a 1      ab bc ca abc   Bất đẳng thức chứng minh 1 Bài 83 Đặt x  ; y  ; z  , giả thiết viết lại thành xy  yz  zx  a b c Suy x  y  z  x y z 3    yz  zx  xy  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành Trang 94 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word          x  y  z x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z    x  y  z  xyz xyz x y z     yz  zx  xy  3xyz  x  y  z 3xyz x  y  z  x  y  z 3 2 t3 3 Đặt t  x  y  z  , dễ dàng chứng minh  1 t Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 84 Bạn đọc tự chứng minh x xz Bài 85 Nếu x, y, z  0, x  y  y yz Do   1 b c a      3a  b 3a  c 2a  b  c  3a  c 3a  b ac ab 2a 2a  2b 2a  2c 4a       2 3a  b 3a  c 2a  b  c 4a  b  c 4a  b  c 4a  b  c Bài toán chứng minh xong x y z Bài 86 Đặt a  k ; b  k ; c  k Khi tốn quy chứng minh y z x yz zx xy    2 kzx  k xy kxy  k yz kyz  k zx  k3 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta chứng minh toán ac ca  b2 a2 ab Bài 87 Để ý ta thấy   ab  bc  ca b2  c2  bc ab  bc  ca b2  c2  bc      Do bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ac ca  b2 ab ab  c2 bc bc  a   0 b2  c2  bc c2  a  ca a  b2  ab ac ca  b2 c2a a  b  c   ca , ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành Lại thấy b  c2  bc b  c2  bc c2a a2b b2c ab  bc  ca    2 2 2 abc b  c  bc c  a  ca a  b  ab Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta c2 a a 2b b2 c   b2  c2  bc c2  a  ca a  b2  ab ab  bc  ca ab  cb  ca   2 2 2 abc a b  c  bc  b c  a  ca  c a  b  ab                   Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 88 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có a2 a2 a2 a a    9a  3a   6a 6a 3a  3a      Do ta Trang 95 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word   a b c  a a  24        9a  9b  9c   3a     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2 2    b b c c    3b  3c          a a b b c c b3 c3     a bc a       3a  3b  3c      3a  3b  3c        a2 a3 b3 c3 b2 c2  Suy ta    24     3a  3b  3c   9a  9b  9c   Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 98 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với                  6ab a  b  6bc b  c  9ca c  a  a  b b  c c  a      ab a  b  bc b  c  4ca c  a  10abc  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta     ab bc ca    10 c a b  ab bc ca a c b 4c b 4a          10 c a b c a c b a b Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 90 Dễ dàng chứng minh a  b4  ab a  b3 , ta có   a  b4  ab a  b3 Hoàn toàn tương tự ta a  b4  ab a  b 3   b4  c  bc b  c 3      a b 11 1     2ab 2a b  c4  a  ca c  a Bất đẳng thức chứng minh Bài 91 Áp dụng bất đẳng Bunhiacopxki ta có  ab  bc  ca 3   1 ab  bc  ca    1 a b c abc   a  b2  b2  c2  c2  a 2ab  2bc  2ca              a  b b  c c  a   ab  bc  ca a  b2 b2  c c2  a 2ab 2bc 2ca       ab bc ca ab bc ca 2ab 2bc 2ca   3 ab bc ca 1 1 1 Giả thiết viết lại thành    Đặt x  ; y  ; z   x  y  z  a b c a b c Bài toán quy chứng minh 2   3 xy yz zx Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki kết hợp với x  y  z  , ta có Bất đẳng thức trở thành  xy  yz  zx xy  yz  zx   3.2 x  y  z  3 Trang 96 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Vậy bất đẳng thức chứng minh     ab a  b2 Bài 92 Ta có Khi áp dụng tương tự ta   a  b2  ab a  b2  ab a  b2 b2  c c2  a   a  b2  ab b2  c2  bc c2  a  ca 2  ab  b  c c  a   6    a  b2  ab b2  c2  bc c2  a  ca    Bài toán quy chứng minh  a  b2  c2  abc     a  b   b  c  c  a  a  b2  ab  b2  c2  bc  c2  a  ca 6 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a  b b  c c  a   a  b2  ab  b2  c2  bc c2  a  ca  Ta cần chứng minh  abc     2 a  b2  c2  ab  bc  ca  abc    2 a  b2  c2  ab  bc  ca  a  b2  c2 a  b  c  6 Đặt x  a2  b2  c2 ; y  ab  bc  ca  x  y bất đẳng thức trở thành  x  2y      x  2y 2x  y 6x 6  8 2x  y x  2y 2x  y x  2y Bất đẳng thức cuối theo bất đẳng thức Cauchy Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 93 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  a b2  c2   Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có Do ta  a b2  c2     81  81     c2   27 4a 81  2  a3   3    81a  b  c2 2 27  4a     81a  b 81a b2  c2 Áp dụng tương tự ta 1  a b2  c b c2  a   81a b2  c2  81  2  a3   3   c a  b2 81    2 2 2  a3    a3    a3   3 3 3    Lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta    81 a b  ab2  b2 c  bc2  c2a  ca  Trang 97 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 81 81  81     2 2 2  a3    a3    a3   3 3 3    2 2 81 a b  ab  b c  bc  c a  ca   a b2  c2    b c2  a   81.9 a b c 3   81.2 a Suy    c a  b2  8  b3  c3 243 162 81    4  243   162 Vậy bất đẳng thức chứng minh    Bài 94 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có b  b2  b   Do ta a  b  2 b b2 a  b  2 b b2     b2  2a Áp dụng tương tự ta b 4 b c  2 c c2  c  a   a  a 2  2a 2b 2c   b 4 c 4 a 4 a b c    b 4 c 4 a 4 Đến áp dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu để chứng minh bất đẳng thức Bài 95 Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với abc  1  abc       2a  b 2b  c 2c  a  a  b b  c c  a Ta cần chứng minh         Ta có    a  b  c   2a 1 b  2b1 c  2c 1 a    c a b 1 b c a          2a  b 2b  c 2c  a  2a  b 2b  c 2c  a  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta     a  b  c b c a    1 2a  b 2b  c 2c  a a  b  c   ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c   Như ta cần chứng minh  ab  bc  ca  a  b  b  c  c  a  abc c a b    2a  b 2b  c 2c  a ab  bc  ca 2 2 a  b  c   a  b  c Mà theo bất đẳng thức Cauchy ta có  ab  bc  ca   ab  bc  ca  2 Phép chứng minh hoàn tất ta Trang 98 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word a  b  c  a  b  c  3  ab  bc  ca  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a    a  b  c ab  bc  ca  3 Hay Đây đánh giá Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 96 Khơng tính tổng qt, giả sử a số lớn ba số Từ giả thiết a  b  c  , suy  a  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  1 1      42 a  b  c  117  10 a  b2  c2 a b c  69   69  Hay  10b2  42b      10c2  42c     10a2  42a   48 b   c  a    2b  1 16  5b  2c  1 16  5c   a  2 20a   Hay   2 b c a Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 2b  1 16  5b   2c  1 16  5c   2b  1  2c  1 2 b c b c 16  5b 16  5c 2 2b  2c  a 2   b c b c   16  5b 16  5c 16  5b 16  5c  Ta cần chứng minh  a 2  a  2 20a      a  2 b c  16  5b 16  5c Thật vậy, a  b; a  c , ta có a b c  16  5b 16  5c   a   5a  1  a b c b c 3a     16  5b 16  5c 16  5a 16  5a 16  5a a  2 Cho nên a  2  b c  16  5b 16  5c 3a 16  5a    3a 3a Đánh giá tương đương với a  Hay a  2 a  2 16  5a   a  2 5a  1 Bây ta cần a   16  5a   a  16  5a  a  a  2 5a  13  a  2  , đánh giá cuối với a Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  2; b  c  hốn vị Bài 97 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a4 b4 c4  a2 b2 c2         2  b  c  a   b 1 c 1 a 1       Trang 99 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word a2 b2 c2 Ta cần chứng minh    12 b 1 c 1 a 1 b2  b2 Thật vậy, ta có b2   b   b 1  4 2 b 4b c2 4c2 a 4a Do  ;   Áp dụng tương tự ta c 1 a  a2 b 1 c b Công theo vế bất đẳng thức ta  a b2 c2  a2 b2 c2         4.3  12 b 1 c 1 a 1 c a  b Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu đẳng thức xẩy a  b  c  Bài 98 Giả sử a  a, b, c ta có b  c   c      Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:     b  b  b  bc  c  c P  a a  b  b2     bc  c2 a a  c  c2   3 bc bc b2  bc  c2 2 3 2   bc  bc  b  bc  c  2  bc           Đẳng thức xảy a  0, b  2, c  hoán vị Vậy giá trị lớn P 12 Bài 99 Cách Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2           yz x3 x3   yz yz      12    x 2 zx y3 y3    y2 zx zx 2 3 zy z z    z2 xy xy Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có:  x3 y3 z3  2 2    x  y  z2   x  y  z  xy  yz  zx  y  z z  x x  y   3  x y z      x  y2  z2  xy  yz  zx   y z z x x  y Mặt khác ta có 2 5 x  y2  z2  xy  yz  zx  xyz  xyz 4 12 12  x  y  z  12 x3 y3 z3    Bài toán chứng minh xong Do yz zx xy Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có                   Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 100 x  y2  z2   xyz x2  y2  z2      x yz y zx z xy xy  yz  zx  x   y   z     6 x3 y3 z3    Bài toán chứng minh xong yz zx xy Bài 100 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Do a    b2  c    a    8abc b2  8abc c2  8abc  a  b  c a  b  c a  8bc  b  8ca  c  8ab  a  b  c   ab  bc  ca      a  b  c 27  a  b  c    6 6 2  3 a  b  c  a  b  c   8  8          1 3  27 a  b  c 27 3 abc    27 a  b  c           Do a2  b2  c2   a  b  c Bài toán chứng minh xong Bài 101 Đặt x ,y a ,z b giả thiết viết lại a + b +c = c Khi ta có: y2 x2 z2 a2 b2 c2      xy2  2x2 xz2  2z2 yz2  2y2 a  2b2 b  2c2 c  2c2  2ab2 2bc2 2ca  2 2 2  a  b  c     abc ab  bc  ca 2   b  2c c  2c   a  2b   ab  ab  bc  bc  2 ca  ca  2 bc  ; ca  Tương tự 3 2 2 2 a b  b c  c a  a  b  c  2ab  2bc  2ca   Từ ta có a  b  c  Bài toán chứng minh xong Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có  a 2b2  ab.ab.1     Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 101 ... MINH BẤT ĐẲNG THỨC Nội dung chương I gồm:  Giới thiệu phương pháp chứng minh bất đẳng thức  Nêu số tính chất liên quan, số lưu ý phương pháp chứng minh bất đẳng thức  Giới thiệu tập mẫu q trình. .. tìm lời giải lời giải trình bày cụ thể  Giới thiệu số tập tự luyện Chủ đề MỘT SỐ KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TƢƠNG ĐƢƠNG Kiến thức cần nhớ Giả sử ta cần chứng minh bất đẳng thức A  B Tư tưởng phương. .. biến đổi tƣơng đƣơng + Kỹ thuật xét hiệu hai biểu thức + Kỹ thuật sử dụng đẳng thức + Kỹ thuật thêm bớt số, biểu thức + Kỹ thuật đặt biến phụ + Kỹ thuật thứ tự biến + Kỹ thuật khai thác tính