lê hồng đức v-ơng ngọc nguyễn tuấn phong lê hữu trí lê bích ngọc giảng trọng tâm theo ch-ơng trình chuẩn toán 10 lời nói đầu Bộ giáo dục Đào tạo công bố H-ờng dẫn ôn tập thi môn Toán THPT Cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT môn Toán, đề thi đại học cao đẳng môn Toán, cụ thể: cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT I Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu (3 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao hai đồ thị (một hai đồ thị đ-ờng thẳng) Câu (3 điểm): Hàm số, ph-ơng trình, bất ph-ơng trình mũ logarit Giá trị lớn nhỏ hàm số Tìm nguyên hàm, tính tích phân Bài toán tổng hợp Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khèi chãp, khèi nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu II Phần riêng (3 điểm) Theo ch-ơng trình chuẩn: Câu 4a (2 điểm): Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng, mặt phẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5a (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số thực âm Ph-ơng trình bậc hai hệ số thực có biệt thức  ©m  øng dơng cđa tÝch ph©n: tÝnh diƯn tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Theo ch-ơng trình nâng cao: Câu 4b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng, khoảng cách hai đ-ờng thẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 5b (1 điểm): Số phức: môđun số phức, phép toán số phức Căn bậc hai số phức Ph-ơng trình bậc hai hệ số phức Dạng l-ợng giác số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc số yếu tố liªn quan Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  Sù tiÕp xóc cđa hai ®-êng cong  Hệ ph-ơng trình mũ logarit ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Cấu trúc đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng I Phần chung cho tất thí sinh (7 điểm) Câu (2 điểm): Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số Các toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm đồ thị hàm số: chiều biến thiên hàm số, cực trị, tiếp tuyến, tiệm cận (đứng ngang) đồ thị hàm số Tìm đồ thị điểm có tính chất cho tr-ớc, t-ơng giao hai đồ thị (một hai đồ thị đ-ờng thẳng) Câu (2 điểm): Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình hệ đại số Công thức l-ợng giác, ph-ơng trình l-ợng giác Câu (1 điểm): Tìm giới hạn Tìm nguyên hàm Tính tích phân ứng dụng tích phân: tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay Câu (1 điểm): Hình học không gian (tổng hợp): quan hệ song song, quan hệ vuông góc đ-ờng thẳng, mặt phẳng Tính diện tích xung quanh hình nón tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khèi nãn trßn xoay, khèi trơ trßn xoay; tÝnh diƯn tích mặt cầu thể tích khối cầu Câu (1 điểm): Toán tổng hợp II Phần riêng (3 điểm) Theo ch-ơng trình chuẩn: Câu 6a (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đ-ờng tròn, elíp, mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7a (1 điểm): Số phức Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Theo ch-ơng trình nâng cao: Câu 6b (2 điểm): Ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng không gian Xác định toạ độ điểm, vectơ Đ-ờng tròn, ba đ-ờng cônic, mặt cầu Viết ph-ơng trình mặt phẳng, đ-ờng thẳng Tính góc, tính khoảng cách từ điểm đến đ-ờng thẳng, mặt phẳng Khoảng cách hai đ-ờng thẳng Vị trí t-ơng đối đ-ờng thẳng, mặt phẳng mặt cầu Câu 7b (1 điểm): Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  Số phức Đồ thị hàm phân thức hữu tỉ bậc hai bậc mét sè u tè liªn quan Sù tiÕp xóc cđa hai đ-ờng cong Hệ ph-ơng trình mũ logarit Tổ hợp, xác suất, thồng kê Bất đẳng thức Cực trị biểu thức đại số Dựa vào Nhóm Cự Môn xin trân trọng giới thiệu tới bạn đọc sách: Các giảng trọng tâm Môn Toán (gồm tập) miêu tả chi tiết ph-ơng pháp giải cho dạng toán th-ờng gặp đề thi tốt nghiệp THPT, đại học cao đẳng môn Toán Với môn Toán 10 phần kiến thức trọng tâm: Đại số bao gồm ch-ơng III, ch-ơng IV, ch-¬ng V cïng mét chót kiÕn thøc cđa ch-¬ng II Hình học có phần kiến thức ch-ơng I, ch-ơng II, ch-ơng III Từ đó, Các giảng trọng tâm Toán 10 đ-ợc chia thành phần: Phần I: Đại số, bao gồm chủ đề: Chủ đề - Hàm số Chủ đề - Ph-ơng trình hệ ph-ơng trình bậc Chủ đề - Bất đẳng thức Chủ đề - Ph-ơng trình bậc hai Chủ đề - Bất ph-ơng trình bậc hai Chủ đề - Hệ ph-ơng trình bậc hai Chủ đề - Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình hệ chứa dấu trị tuyệt đối Chủ đề - Ph-ơng trình, bất ph-ơng trình hệ vô tỉ Phần II: Hình học, bao gồm chủ đề: Chủ đề - Vectơ mặt phẳng Chủ đề - Đ-ờng thẳng toán liên quan Chủ đề - Đ-ờng tròn toán liên quan Chủ đề - Elíp toán liên quan Chủ đề - Hypebol toán liên quan Chủ đề - Parabol toán liên quan Tr-ớc phần nhỏ có: Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word A Kiến thức cần nhớ: Nhắc lại nội dung kiến thức mà em học sinh cần nhớ B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan: Chia theo chủ đề dạng toán đ-ợc trình bày theo phong cách thuật toán d-ới dạng b-ớc thực thí dụ minh hoạ sau Cuối thí dụ th-ờng có nhận xét để giúp em học sinh củng cố kiến thức C Các toán chọn lọc: Bao gồm ví dụ có tính tổng hợp cao đ-ợc trích từ đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng Với phong cách trình bày nh- vậy, tài liệu giúp tăng chất l-ợng giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh cung cấp giáo trình hoàn chỉnh mặt kiến thức, dễ đọc, dễ hiểu Để tài liệu ngày hoàn hảo Nhóm Cự Môn mong nhận đ-ợc ý kiến đóng góp quý báu bạn đọc gần xa Chủ biên Lê Hång §øc Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Mục lục lời nói đầu phần I: Đại số ch-ơng I hàm số bậc bậc hai A KiÕn thøc cÇn nhí .7 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 10 Đ 1: Hàm sè 10 § 2: Hµm sè bËc nhÊt .26 Đ 3: Hàm số bậc hai .32 C Các toán chọn lọc 38 ch-ơng II ph-ơng trình hệ ph-ơng trình A KiÕn thøc cÇn nhí .43 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 48 § 1: Đ 2: Đ 3: Đ 4: Đ 5: Đại c-ơng ph-ơng trình 48 Ph-ơng trình bậc bËc hai mét Èn .… 53 Một số ph-ơng trình quy ph-ơng trình bậc bậc hai 71 Ph-ơng trình hệ ph-ơng trình bậc nhiều ẩn 93 Hệ ph-ơng trình bậc hai hai Èn 101 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham kho, file word C Các toán chọn lọc 114 ch-ơng IV bất đẳng thức bất ph-ơng trình A Kiến thức cần nhớ .129 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 133 § 1: § 2: § 3: § 4: § 5: § 6: Đ 7: Bất đẳng thức … … … 133 Bất ph-ơng trình .154 Bất ph-ơng trình hệ bất ph-ơng trình bậc ẩn 156 DÊu cđa nhÞ thøc bËc nhÊt … 162 Bất ph-ơng trình hệ bất ph-ơng trình bậc hai Èn 168 DÊu cña tam thøc bËc hai … 171 Một số ph-ơng trình, bất ph-ơng trình quy bậc hai .188 C Các toán chọn lọc 194 ch-ơng V cung Góc l-ợng giác công thức l-ợng giác A Kiến thức cần nhí 219 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 222 C Các toán chọn lọc 255 phần II: hình học ch-ơng I vectơ A KiÕn thøc cÇn nhí 267 B Ph-¬ng pháp giải dạng toán liên quan 271 Đ 1: Vectơ 271 § 2: HƯ trơc toạ độ 287 C Các toán chọn lọc 296 ch-ơng II tích vô h-ớng hai vectơ ứng dơng A KiÕn thøc cÇn nhí 305 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 307 Đ 1: Giá trị l-ợng giác góc bất k× 307 Đ 2: Tích vô h-íng cđa hai vect¬ 309 Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Đ 3: Hệ thức l-ợng tam giác 322 C Các toán chọn lọc 327 ch-ơng III ph-ơng pháp toạ độ mặt phẳng A KiÕn thøc cÇn nhí 337 B Ph-ơng pháp giải dạng toán liên quan 347 § 1: § 2: § 3: § 4: § 5: § 6: §-êng th¼ng … 347 Đ-ờng tròn 359 §-êng ElÝp 377 §-êng Hypebol 389 §-êng Parabol 399 Ba đ-ờng Côníc 408 C Các to¸n chän läc 410 môc lôc … 335 XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN CỦA BỘ TÀI LIỆU NÀY CHƢƠNG  HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I HÀM SỐ TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ Với hàm số y = f(x), ta có: D = {x | y tồn tại}, D gọi tập xác định hàm số SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a, b) Một hàm số y = f(x) gọi tăng hay đồng biến khoảng (a, b) với x1, x2 thuộc khoảng ta có: x1 < x2  f(x1) < f(x2) Một hàm số y = f(x) gọi giảm hay nghịch biến khoảng (a, b) với x1, x2 thuộc khoảng ta có x1 < x2  f(x1) > f(x2) Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định tập D  Hàm số y = f(x) gọi hàm chẵn với xD ta có:  x  D   f ( x)  f ( x)  Hàm số y = f(x) gọi hàm lẻ với xD ta có:  x  D   f ( x)   f ( x) NhËn xÐt:   Hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng Hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa 1: Đường thẳng x = a trục đối xứng đồ thị y = f(x)  với phép biến đổi toạ độ: X  x  a x  X  a    Y  y y Y hàm số Y = F(X) hàm số chẵn TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa: Điểm I(a; b) tâm đối xứng đồ thị y = f(x)  với phép biến đổi toạ độ: X  x  a x  X  a    Y  y  b y Y b hàm số Y = F(X)b hàm số lẻ II HÀM SỐ BẬC NHẤT Định nghĩa: Hàm số bậc hàm số có dạng y = ax + b, a, b số a  Cho hàm số: y = ax + b, với a  Miền xác định D = Sự biến thiên: hàm số đơn điệu Cụ thể:  Với a > 0, hàm số đồng biến  Với a < 0, hàm số nghịch biến Trang http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Bảng biến thiên: Với a > Với a < x x - + - + + + y y - - Đồ thị: đồ thị hàm bậc đường thẳng (d), cần xác định hai điểm thuộc (d) ta có đồ thị (d)  Nếu b = 0, đồ thị (d) qua gốc toạ độ O điểm A(1, a)  Nếu b  0, đồ thị (d) qua hai điểm B(0, b) C( a>0 C y y=ax+b B a y=ax A O x y b , 0) a a 0, sang trái p đơn vị p < 0, ta nhận đồ thị hàm số y = a(x  p)2 gọi (P1) Tịnh tiến (P1) lên q đơn vị q > 0, xuống q đơn vị q < 0, ta nhận đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c Trang 10 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 1  a = m  m + = m   + >0 2  đó, hàm đồng biến b Hàm số: g(x)  f(x) = mx +  [(m2 + 1)x  4] = (m2  m + 1)x + có hệ số:   3 a = (m  m + 1) =   m     <    đó, hàm nghịch biến ThÝ dô Cho hàm số y = f(x) = ax + b, với a  a Chứng minh với giá trị x0 tuỳ ý cho trước, tìm hai số m n cho f(m) < f(x0) < f(n) b Chứng minh hàm số bậc khơng có giá trị lớn nhỏ  Giải a Ta biết với x0 tuỳ ý cho trước, có: x0  < x0 < x0 + Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với a > 0, hàm số đồng biến, đó: f(x0  1) < f(x0) < f(x0 + 1) từ đó, ta chọn m = x0  n = x0 + Trường hợp 2: Với a < 0, hàm số nghịch biến, đó: f(x0  1) > f(x0) > f(x0 + 1) từ đó, ta chọn m = x0 + n = x0  b Giả sử trái lại hàm số có:  Giá trị lớn f(x1) ứng với x1  Giá trị nhỏ f(x2) ứng với x2 Theo kết câu a), ln tìm hai số m n cho: f(x1) < f(n)  f(x1) giá trị lớn f(x2) > f(m)  f(x2) giá trị nhỏ ThÝ dô Cho hàm số y = f(x) = ax, với a  a Chứng minh f(kx1) = kf(x1) f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) b Các hệ thức câu a) với hàm số: y = g(x) = ax + b, với b  hay khơng ?  Giải a Ta có: Trang 34 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word f(kx1) = a(kx1) = akx1 = k(ax1) = kf(x1), đpcm f(x1 + x2) = a(x1 + x2) = ax1 + ax2 = f(x1) + f(x2) , đpcm b Ta xét:  Với hệ thức: g(kx1) = kg(x1)  a(kx1) + b = k(ax1 + b) b   akx1 + b = akx1 + bk  b(k  1) =  k = Vậy, hệ thức g(kx1) = kg(x1) với k = Với hệ thức: g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2)  a(x1 + x2) + b = (ax1 + b) + (ax2 + b)  ax1 + ax2 + b = ax1 + ax2 + 2b  b = 0, loại Vậy, hệ thức g(x1 + x2) = g(x1) + g(x2) không ỳng Dạng toán 2: Lp phng trỡnh ng thng Phng pháp thực Thực theo bước: ThÝ dô Viết phương trình y = ax + b đường thẳng: a Đi qua hai điểm A(4, 3) B(2, 1) b Đi qua điểm A(1, 1) song song với Ox  Giải a Ta có: A(4, 3)  (d): y = ax + b  = 4a + b (1) B(2, 1)  : y = ax + b  1 = 2a + b (2) Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = 5 Vậy, phương trình đường thẳng (d) có dạng: y = 2x  b Đường thẳng (d) qua điểm A(1, 1) song song với trục hồnh nên có phương trình: y = 1 ThÝ dơ Cho hàm số y = ax  3a a Xác định giá trị a để đồ thị hàm số qua điểm A(0; 4) Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm b Tính khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng tìm a)  Giải a Đồ thị hàm số qua điểm A(0; 4) khi: 4 = a.0  3a  3a = 4  a =  Vậy, hàm số có dạng y =  x + y B Trang 35 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, H sách tham khảo, file word A | O x Để vẽ đồ thị hàm số ta lấy thêm điểm B(3; 0) b Gọi H hình chiếu vng góc O lên đường thẳng Trong OAB vuông O, ta có: 1  OH =   2 OH OA OB OA.OB OA  OB 2 = 4.3 3 2 = 12 12 Vậy, khoảng cách từ gốc toạ độ đến đường thẳng §3 HÀM SỐ BẬC HAI Dạng toán 3: Kho sỏt s bin thiờn v vẽ đồ thị hàm số bậc hai Phương pháp thực Dựa lý thuyết phần kiến thức cần nhớ ThÝ dô Cho hàm số y = f(x) = x24x + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Từ lựa chọn phép tịnh tiến song song với trục Ox để nhận đồ thị hàm số y = x22 c Giải thích với giá trị m phương trình x24x + = m x22 = m có số nghiệm  Giải a Ta tính:  b  =  =  y=x22 y 2a 4a Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(2, 2), nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: O x  + 2 CĐ + + y 2 y=x24x+2 x S Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị A(0, 2), B(4, 2) b Giả sử: y = x22 = f(x + a)  x22 = (x + a)24(x + a) + = x2 + (2a4)x + a24a + Suy ra: Trang 36 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word 1    a = 0  2a   2  a  4a   Vậy, ta y = x22 = f(x + 2) Do đó, đồ thị hàm số suy phép tịnh tiến theo Ox đồ thị hàm số y = f(x) sang trái đơn vị c Vì số nghiệm phương trình số giao điểm đường thẳng y = m với đồ thị hàm số y = x24x + y = x22, chúng có số nghiệm ThÝ dô Cho hai hàm số (P1) (P2), biết: x 4x + a Khảo sát vẽ đồ thị hai hàm số (P1) (P2) hệ trục toạ độ b Tìm m để đường thẳng y = m cắt hai đồ thị vừa vẽ (P1): y = x2 + 2x + 3, (P1): y =  Giải a Ta có bảng sau: Khảo sát (P1)    b  =  = 2a 4a Khảo sát (P2)   b  =  = 5 2a 4a Bảng biến thiên:  Bảng biến thiên: x  x + +  y CĐ y -5 + +   CT Đồ thị: Hoành độ giao điểm (P1) (P2) nghiệm phương trình: x2 + 2x + = x  4x +  3x2  12x =  3x(x  4) =  Khi đó, toạ độ giao điểm là: E(0, 3) F(4, 5) b Từ đồ thị (P1) (P2), đường thẳng y = m cắt hai đồ thị  5  m  Vậy, với 5  m  thoả mãn điều kiện đầu y (P1) S2 O -5 (P ) ThÝ dô Cho hàm số (Pm): y = (1 + m)x  2(m  1)x + m  x  x   x S1 a Khảo sát biến thiên đồ thị hàm số với m = (tương ứng (P0)) Bằng đồ thị tìm x để y  0, y  Trang 37 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word b Viết phương trình đường thẳng qua đỉnh (P0) giao điểm (P0) với Oy c Xác định m để (Pm) Parabol Tìm quĩ tích đỉnh Parabol (Pm) m thay đổi d Chứng tỏ (Pm) qua điểm cố định, tìm toạ độ điểm cố định y  Giải (P0) (d) a Với m = ta (P0): y = x + 2x  -3 x Ta tính: -3  b C  = 1  = 4 -4 2a 4a S Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1, 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x - -1 + CT + + y -4 Đồ thị: ta lấy thêm vài điểm đồ thị A(1, 0), B(-3, 0), C(0, -3) Từ đồ thị suy ra: Cabri3D_Download_212_Win.exe  y0  y   3  x  b Giả sử phương trình đường thẳng (d) có dạng: (d): Ax + By + C = 0, A2 + B2 > Vì S(1, 4) C(0, 3) thuộc (d), ta được: B -1 O A   A  B  3B   A  B  C   A  B      C  3B  3B  C  C  3B (1) (I) Thay (I) vào (1), ta được: (d): Bx + By + 3B =  (d): x  y  = c Để (Pm) Parabol điều kiện là: + m   m  1, (Pm) có đỉnh Sm( m 1 , ) m 1 m 1 Để nhận phương trình quĩ tích đỉnh Parabol (Pm) m thay đổi, ta thực việc khử m từ hệ: Trang 38 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word m 1  4 y m 1  1  x  m   x  m  y   x=  2x + y  =  4 y m   y y  1 y  y  m 1 Vậy, quĩ tích đỉnh Sm đường thẳng (): 2x + y  = d Giả sử M(x0; y0) điểm cố định mà (Pm) ln qua, đó: y0 = (1 + m) x02  2(m  1)x0 + m  3, với m  ( x02  2x0 + 1)m + x02 + 2x0   y0 = 0, với m   x0   x0  x0         x0  x0   y0   y0  Vậy, họ (Pm) qua điểm cố định M(1; 0) ThÝ dô Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = |x1|(x + 3)  Giải Viết lại hàm số dạng: ( x  1)( x  3) nÕu x  y=  (1  x )( x  3) nÕu x  Bảng biến thiên: x    x  x  nÕu x  1y y=x  1(x + 3)  x  x  nÕu x    S =  1 + CT + y  Đồ thị: ta lấy điểm A(3; 0), S(1; 4), B(1; 0)  A  O   B x y= x2 x + Dạng toán 4: Hàm số dạng y = ax2 + bx + c, với a  Phương pháp thực Thực theo bước: B-íc 1: Vẽ đồ thị hàm số (P): y = ax2 + bx + c, với a  B-íc 2: Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c gồm hai phần:  Phần từ trục hoành trở lên đồ thị (P)  Đối xứng phần đồ thị phía trục hồnh (P) qua trục hồnh B-íc 3: Dựa vào đồ thị ta lập bảng biến thiên hàm số y = ax2 + bx + c ThÝ dô Cho hàm số (P): y = x2 + 2x3 a Khảo sát vẽ đồ thị hàm số b Dựa vào đồ thị vừa vẽ trên, tuỳ theo giá trị m, cho biết số nghiệm phương trình |x2 + 2x3| = m y Trang 39 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáoy=|x án, +x3| đề thi, sách tham khảo, file word y=m x 1 3  4  Giải a Ta tính:  b  = 1  = 4 2a 4a Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1; 4), nhận đường thẳng x = 1 làm trục đối xứng hướng bề lõm lên Bảng biến thiên: x  1 + CĐ + + y 4 Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị A(3; 0), B(1; 0) b Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = |x2 + 2x3| (phần đường đậm) đường thẳng (d): y = m, ta được:  Với m < 0, phương trình vơ nghiệm  Với m = 0, phương trình có hai nghiệm x = x = 3  Với < m < 4, phương trình có bốn nghiệm phân biệt  Với m = 4, phương trình có ba nghiệm phân biệt  Với m > 4, phương trình có hai nghiệm phõn bit Dạng toán 5: Lp phng trỡnh Parabol Phng pháp thực Thực theo bước: B-íc 1: Giả sử Parabol (P): y= ax2 + bx + c, với a  B-íc 2: Dựa vào điều kiện K để xác định a, b, c Trong bước ta cần lưu ý điều kiện thường gặp sau:  Điểm A(x0, y0)  (P) ta nhận điều kiện: y0 = a x02 + bx0 + c  (P) có đỉnh S(x0, y0) ta nhận điều kiện: b   x0   2a   y0     4a  (P) có giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) y0 ta nhận điều kiện: a  a     (hoặc   )  y   y   0   4a 4a Trang 40 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  (P) đạt giá trị cực đại (hoặc cực tiểu) điểm có hồnh độ x ta nhận điều kiện: a  a    b (hoặc  b )   x0   2a  x0   2a  (P) nhận đường thẳng x = x0 làm trục đối xứng ta nhận điều kiện: x0 =  B-íc 3: b 2a Kết luận ThÝ dô Xác định parabol y = ax2 + bx + 2, biết parabol đó: a Đi qua hai điểm M(1; 5) N(2; 8) b Đi qua điểm A(3; 4) có trục đối xứng x =  c Có đỉnh I(2; 2) d Đi qua điểm B(1; 6) tung độ đỉnh   Giải a Ta có:  M(1; 5)  (P)  = a + b + (1)  N(2; 8)  (P)  = 4a  2b + (2) Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = Vậy, ta (P): y = 2x2 + x + b Ta có:  A(3; 4)  (P)  4 = 9a + 3b + (1) 3 b  Trục đối xứng x =    =   b = 3a (2) 2 2a Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a =  b = 1 Vậy, ta (P): y =  x2  x + c Ta có: b   b  Đỉnh I(2; 2) Mà đỉnh S   =2 (1) ;   nên  2a  2a 4a   I(2, 2)  (P)  2 = 4a + 2b +  2a + b = 2 (2) Giải hệ phương trình tạo (1) (2) ta a = b = 4 Vậy, ta (P): y = x2  4x + d Ta có: Trang 41 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  B(1; 6)  (P)  = a  b (1)  Tung độ đỉnh:  (2) Từ (1) (2) ta có:  =    = a  b2  8a = a  b2 = 9a 4a a  b  b  a  b  a  b  a         2 (a  4)  9a b  9a b  9a a  a  16   a  b  a   ( P ) : y  x  3x    b  3    a       a  16 ( P) : y  16 x  12 x     a  16     b  12 Vậy, có hai parabol thoả mãn đề ThÝ dô Xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c a Đi qua ba điểm A(0; 1), B(1; 1), C(1; 1) b Có đỉnh I(1; 4) qua điểm D(3; 0) c Có giá trị cực tiểu 1 qua hai điểm A(2; 1), B(0; 3)  Giải a Ta có:  A(0; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  1 = c  B(1; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  1 = a + b + c  C(1; 1)  (P): y = ax2 + bx + c  = a  b + c Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 1, b =  c =  Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2  x  b Ta có:  D(3; 0)  (P): y = ax2 + bx + c  = 9a + 3b + c  I(1; 4)  (P): y = ax2 + bx + c  = a + b + c b  I(1; 4) đỉnh (P)   =   b = 2a 2a Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 1, b = c = Vậy, phương trình (P) có dạng: y = x2 + 2x + c Ta có:  A(2; –1)  (P)  –1 = a.22 + b.2 + c  B(0; 3)  (P)  = a.0 + b.0 + c   Có giá trị cực tiểu –1   = –1 4a Từ (1), (2) (3) ta có: (1) (2) (3) (1) (2) (3) (1) (2) (3) Trang 42 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word a = ; b = ; c = Vậy, phương trình (P): y = 2x2 + 6x + C CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC Tìm m để hàm số: VÝ dô 1: x 1 xác định [0; 1) x  2(m  1) x  m  2m b y =  x  2m   xác định (1; 3) 2x  m a y =  Giải a Điều kiện: x  m x  m  x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m   (x – m)(x – m – 2)    Vậy, để hàm số xác định [0; 1) {m ; m + 2}  [0; 1) m    m  2  m   m     m    m   1  m  b Điều kiện:  x  2m    x  2m      m  x  2 x  m   (*) Để hàm số xác định (1; 3) (1; 3) tập (*), tức là: m  <  2m   m = 2 Vậy, với m = thoả mãn điều kiện đầu VÝ dô 2: Cho a  , xác định tất hàm số f(x) cho: f(ax) = f(x), với x  (1)  Giải Đặt x = a a a t suy t = x ax = + t Khi đó: 2 a a (1)  f( + t) = f( t), t  2 (2) Trang 43 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Đặt g(t) = f( a a + t), suy g(t) = f( t) Khi đó: 2 (2)  g(t) = g(t), t   g(t) hàm chẵn a Vậy hàm số f(x) = g(x ) với g(x) hàm chẵn tuỳ ý Cho ba đường thẳng: (d1): y = 2x1, (d2): y = 2x, (d3): y = ax + Xác định a để ba đường thẳng đồng quy, vẽ đồ thị ba đường thẳng hệ trục toạ độ VÝ dô 3:  Giải Để (d1), (d2), (d3) đồng quy (d3) phải qua giao điểm (d1) (d2) Hoành độ giao điểm (d1) (d1) xác định bởi: 2x – = – x  x =  y = Do đó, giao điểm (d1) (d2) điểm M(1 ; 1) Lại có, M  (d3) suy ra: = a.1 +  a = – Vậy, với a = – 2, ba đường thẳng cho đồng quy điểm M(1; 1) Học sinh tự vẽ hình VÝ dơ 4: Xác định a, b, c cho biết parabol y = ax2 + bx + c qua điểm A(8, 0) có đỉnh I(6, 12)  Giải Ta có:  A(8, 0)  (P)  = 64a + 8b + c  Đỉnh I(6, 12)  (P)  12 = 36a + 6b + c  Đỉnh có hồnh độ  b =  b = 12a 2a (1) (2) (3) Giải hệ phương trình tạo (1), (2) (3) ta a = 3, b = 36, c = 96 Vậy, ta (P): 3x2  36x + 96 VÝ dô 5: Cho hàm số y = ax2 + bx + c, a  Chứng minh đồ thị hàm số b nhận đường thẳng x =  làm trục đối xứng 2a  Giải Với phép biến đổi toạ độ: Trang 44 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word  b  b   x  X  X  x    2a  2a      y  Y Y  y  hàm số có dạng: 2 b  b  b  b      Y = a X   + b X   + c = a X   + b X   + c 2a  2a  2a  2a       b b  b   = a X  X   + b X   +c a 4a  2a    b2 b2 = aX + – + c hàm số chẵn với a, b, c 4a 2a b Vậy, hàm số nhận đường thẳng x = – làm trục đối xứng 2a VÝ dô 6: Cho hàm số (P): y = x2 + 2x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận theo m số nghiệm phương trình x22|x| + m =  Giải y a Ta tính:  S A  b  =  =   O x 2a 4a y=m Vậy, đồ thị hàm số parabol có đỉnh S(1; 1), nhận đường thẳng x = làm trục đối xứng hướng bề lõm y= x2 + x xuống Bảng biến thiên: x  + CT y   Đồ thị: ta lấy thêm hai điểm đồ thị O(0; 0), A(2; 0) b Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số y = x2 + 2x (phần đường đậm) đường thẳng (d): y = m, ta được:  Với m > 1, phương trình vơ nghiệm  Với m = 1, phương trình có hai nghiệm x = 1 x =  Với < m < 1, phương trình có bốn nghiệm phân biệt  Với m = 0, phương trình có ba nghiệm phân biệt  Với m < 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt Trang 45 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 + 4x3 + mx2 có trục đối xứng song song với Oy VÝ dô 7:  Giải Giả sử đồ thị hàm số có trục đối xứng song song với Oy x = a (a  0) Khi đó, với phép biến đổi toạ độ: X  x  a x  X  a    Y  y y Y hàm số Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 hàm số chẵn Ta có: Y = (X + a)4 + 4(X + a)3 + m(X + a)2 = X4 + (4 + 4a)X3 + (6a2 + m + 12a)X2 + (4a3 + 12a2 + 2ma)X + a4 + ma2 + 3a3 Hàm số (1) chẵn (1) 4a  12a  2ma  m      a  1   4a  Vậy, với m = hàm số nhận đường thẳng x = –1 làm trục đối xứng Cho hàm số: VÝ dô 8: x  (m  4) x  2m  x2 Tìm m để đồ thị hàm số nhận điểm I(2; 1) làm tâm đối xứng y=  Giải Điểm I(2; 1) tâm đối xứng đồ thị với phép biến đổi toạ độ:  X  x  x  X     Y  y   y  Y 1 hàm số sau hàm lẻ Y+1= 2( X  2)2  (m  4)( X  2)  2m  X  (m  3) X  Y= X X Để hàm số hàm lẻ điều kiện là: m + =  m = 3 Vậy, với m = 3 thoả mãn điều kiện đầu VÝ dô 9: Cho hàm số: y = x33mx2 + 3(m21)x + 1m2 (Cm) Trang 46 http://topdoc.vn - Chia sẽ, cung cấp tài liệu, giáo án, đề thi, sách tham khảo, file word Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có hai điểm phân biệt đối xứng qua gốc toạ độ  Giải Hai điểm: A(xA, yA) với yA = x 3A  3m x A2 + 3(m21)xA + 1m2, (1) B(xB, yB) với yB = x  3m x + 3(m 1)xB + 1m , thuộc đồ thị hàm số Hai điểm A B đối xứng với qua gốc toạ độ B  x A  xB   y A  yB    B 2 (2) (3) (4) Thay (1), (2), (3) vào (4) ta được: 3m x A2 = 1m2 Để tồn hai điểm A B phương trình (5) phải có nghiệm Do < x A2 nên: (5)  m  1  m2 0<   3m 0  m  Vậy, với m