Tải file word website http://dethithpt.com LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO Mục lục Ôn tập vấn đề bản………………………….…………….…………………… Tìm nghiệm phương trình………………………………………………………… Nghiệm dương nhỏ – nghiệm âm lớn nhất……………………… … Số nghiệm phương trình…………………………………………………………… Tổng nghiệm phương trình đoạn [a ; b ] ……… ………… Tìm m để phương trình có nghiệm………………….……………………………… Tìm m để phương trình n có nghiệm thuộc (a ; b )…….… … Tìm GTLN-GTNN hàm số…………………………………… ……… ……… Vấn đề Ôn tập vấn đề Câu Khẳng định sau đúng? 2018 A Hàm số y = có tập xác định D = ¡ + tan x sin x B Hàm số y = có tập xác định D = ¡ \ {3} - cos x C Hàm số y = cos x + có tập xác định D = ¡ Kỹ thuật hàm đặc trưng …………………………………………….………………….… 10 Bài tốn GTLN-GTNN có chứa tham số m ………………………………… Tải file word website http://dethithpt.com 2x có tập xác định D = ¡ x- x sin x æ5p ö ; y2 = - sin x cos ỗ - 2x ữ Cõu Cho cỏc hm s y1 = ữ ỗ ữ; y3 = sin x cos x + tan x v ỗ ố2 ứ cos3 x D Hàm số y = sin y4 = x cos x Hỏi có hàm số có đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng? A B C D Câu Trong hàm số y1 = sin x ; y2 = sin x ; y3 = tan x ; y4 = cot x có hàm số thỏa mãn tính chất f (x + k p ) = f (x ), " x Ỵ ¡ , k ẻ  A B Cõu Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? C D Câu Đường cong hình bên mơ tả đồ thị hàm số y = A sin (x + a )+ B (với A, B, a é pù 12a số a Ỵ ê0; ú) Tính S = A + B + ê ú p ë û A S = B S = C S = D S = Câu Một guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ gầu gắn điểm A guồng đến mặt nước tính theo cơng é ỉ ứ ú x- ÷ thức h = y đó: y = 2,5sin ờ2p ỗ ữ ỗ ữỳ+ vi x l thi gian quay ỗ 4ứ ố ỷ guồng với x ³ tính phút Ta quy ước y > gầu mặt nước y < gầu nước Vậy gầu vị trí cao nào? 1 A x = B x = C x = D x = Câu Gọi n số nguyên thỏa mãn (1 + tan10 ).(1 + tan )L (1 + tan 450 ) = n Khẳng định sau đúng? A n Ỵ [1;7 ] B n Î [8;19 ] C n Î [20;26 ] D n Î [27;33] Câu Tìm số nguyên dương n nhỏ thỏa mãn 1 + +L + = sin 450.sin 46 sin 46 0.sin 47 sin134 0.sin1350 sin n A n = B n = 45 C n = 46 D n = 91 Câu Cho góc a thỏa < a < A P = p B P = sin a + cos a = × 2 Tính P = sin a - cos a C P = - × D P = 2 Tải file word website http://dethithpt.com Câu 10 Cho góc a thỏa mãn tan a = A P = v a ẻ ổ3p ự a a ỗ ;2p ỳ Tớnh P = sin + cos ỗ ç2 ú è 2 û B P = - C P = - D P = Vấn đề Tìm nghiệm phương trình ỉ pư ỉp ỉp + cos ỗỗ - x ữ = Nu t t = cos ỗ - xữ Cõu 11 Cho phng trỡnh cos ỗỗx + ữ thỡ phng trỡnh ữ ữ ữ ỗ ữ ữ ữ ỗố ỗ ỗ ố6 ø è6 ø 3ø cho trở thành phương trình đây? A t - 8t + = B t - 8t - = C t + 8t - = D t - 8t + = ỉ pư Câu 12 Cho x thỏa mãn (sin x - cos x )+ sin x cos x + = Giá trị cos ỗỗx + ữ ữ ữ bng ỗ ố 4ø A - B 1 A x = p C x = ± D B x = k 2p (k ẻ  ) + k 2p (k ẻ  ) p 2 Câu 13 Phương trình sin x - sin x cos x + cos x = tương đương với phương trình phương trình sau? A cos x - sin x = B sin x - cos x = C cos x - sin x = - D sin x - cos x = - Câu 14 Cho hai phương trình cos x - = (1) cos x = (2) Tập nghiệm phương trình (1) đồng thời nghiệm phương trình (2) C - + k 2p (k ẻ  ) D x = 2p + k 2p (k ẻ  ) ỡ p p p pü Câu 15 Tìm góc a Ỵ ïí ; ; ; ïý để phương trình cos x + sin x - cos x = tương đương với ïỵï ùỵ ù phng trỡnh cos (2 x - a ) = cos x A a = p B a = p C a = p D a = p é 5p ù Câu 16 Trên đoạn ê- 2p; ú, đồ thị hai hàm số y = sin x y = cos x cắt điểm? ê 2ú ë û A B C D Câu 17 Biểu diễn tập nghiệm phương trình cos x + cos x + cos x = đường tròn lượng giác ta số điểm cuối A B C D Câu 18 Có giá trị a thuộc [0;2p ] để ba phần tử S = {sin a ,sin 2a ,sin 3a } trùng với ba phần tử T = {cos a ,cos 2a ,cos 3a } A B C D n+ n * Câu 19 Phương trình cos x cos x cos x cos x cos x = vi n ẻ Ơ cú tập nghiệm trùng với tập nghiệm phương trình sau đây? A sin x = B sin x = sin n x C sin x = sin n + x D sin x = sin n + x Câu 20 Tính diện tích đa giác tạo điểm đường tròn lượng giác biểu diễn nghiệm ỉ pử ca phng trỡnh tan x + tan ỗ ữ= ỗx + ữ ỗ ố ứ 4ữ A 10 10 B 10 C D Tải file word website http://dethithpt.com Vấn đề Nghiệm dương nhỏ Nghiệm âm lớn Câu 21 Nghiệm dương nhỏ phương trình sin x + cos x = có dạng pa với a, b số b nguyên nguyên tố Tính S = a + b A S = B S = C S = 15 D S = 17 sin x pa Câu 22 Nghiệm âm lớn phương trình với a, b + + cot x = có dạng + cos x - cos x b số nguyên, a < a, b nguyên tố Tính S = a + b A S = B S = C S = D S = ỉ ỉ p p - xữ - cos ỗ + 2x ÷ Số vị trí biểu diễn Câu 23 Cho phương trình sin x + sin x = cos ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố4 ứ ố4 ứ nghim ca phương trình đường tròn lượng giác là? A B C D Câu 24 Cho phương trình sin x + cos x sin x + cos x = (cos x + sin x ) Tổng nghiệm âm lớn nghiệm dương nhỏ phương trình A - p B - p 18 C - p 20 Câu 25 Nghiệm dương nhỏ phương trình cos x (2 cos x + 1) = D p pa có dạng với a, b b số nguyên nguyên tố Tính S = a + b A S = B S = C S = 15 D S = 17 2018 2018 2020 2020 Câu 26 Cho phương trình sin x + cos x = (sin x + cos x ) Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình đường tròn lượng giác là? A B C D 2020 ỉ pư pa Câu 27 Nghiệm âm lớn phương trình tan 2018 x + cot 2018 x = sin 2017 ỗỗx + ữ vi ữ cú dng ỗố ứ 4ữ b a, b l cỏc số nguyên, a < a, b nguyên tố Tính S = a + b A S = - B S = - C S = D S = Câu 28 Cho phương trình 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x )(sin x + cos x )cos x = nhỏ phương trình có dạng S = a + b A S = pa b cos x Nghiệm dương - tan x với a, b số nguyên nguyên tố Tính B S = C S = D S = 1 1 Câu 29 Biết phương trình + + +L + = có nghiệm dạng sin x sin x sin x sin 2018 x k 2p vi k ẻ  v a, b ẻ  + , b < 2018 Tớnh S = a + b x= a - b A S = 2017 B S = 2018 C S = 2019 D S = 2020 sin x p Câu 30 Phương trình có nghiệm? = x 18 A B C D Vô số Vấn đề Số nghiệm phương trình Tải file word website http://dethithpt.com Câu 31 Phương trình cos x + cos 2 x + cos x - = cos x (2 sin x + 1) có nghiệm thuộc khoảng (0;2018) ? A 2565 B 2566 C 2567 D 2568 (1 - cos x )(1 + cos x ) Câu 32 Phương trình = có nghiệm thuộc khoảng (0;2018p ) ? (1 + cos x )sin x A 3025 B 3026 C 3027 D 3028 ép ù Câu 33 Phương trình sin ê x - x - 16 x - 80 ú= có nghiệm nguyên dương? ê ú ë4 û A B C D ỉ p Câu 34 Phương trình sin x + cos ỗỗx + ữ cú bao nhiờu nghim thuc khong (0;2017p ) ? ữ= ỗ ố ứ 4÷ A 4032 B 4033 C 4034 D 4035 Câu 35 Tìm số nghiệm phương trình tan x - tan x - tan x = tan x tan x tan x đoạn [- p; p ] ( A ) B C D Vấn đề Tổng nghiệm phương trình đoạn [a ; b ] Câu 36 Tổng tất nghiệm phương trình tan x - tan x = [0; p ) 3p 5p C 2p D 2 Câu 37 Tổng tất nghiệm phương trình cos (sin x ) = đoạn [0;2p ] A p B A B p C 2p D 3p = Gọi S tập giá trị tham số a thuộc đoạn [0;4 p ] để phương trình có nghiệm kép Tổng phần tử tập S Câu 38 Cho phương trình x - (2 cos a - 3)x + cos a - 3cos a - A 20p B 15p C 16p D 17p Câu 39 Tính tổng S tất nghiệm phương trình (2 cos x + 5)(sin x - cos x )+ = khoảng (0;2p ) A S = 7p B S = 11p Câu 40 Tổng nghiệm phương trình A 11p 36 B p C S = p D S = 5p æ pư 3- 3+1 0; ÷ + = trờn khong ỗ ữ ỗ ữ bng ỗ ố 2ứ sin x cos x 7p C D p 18 Câu 41 Tổng nghiệm phương trình sin x cos x + sin x + cos x = (0;2p ) D p é pù Câu 42 Tổng tất nghiệm phương trình sin x (1 - sin x ) = đoạn ê0; ú ê ë 2ú û 3p 3p 37p 36p A B C D 70 35 sin x + sin x - 5sin x - cos x + Câu 43 Tổng tất nghiệm phương trình = đoạn cos x + [0;100p ] A p B 2p C 3p Tải file word website http://dethithpt.com 14701p 14850p D ỉ pư Câu 44 Tổng tt c cỏc nghim ca phng trỡnh sin ỗỗx - ÷ ÷= sin x đoạn [0;2018] çè ø 4÷ A 7375p B 7475p C A 2018p B 4036p C 412485p D 824967p Câu 45 Tổng tất nghiệm phương trình cos x (tan x - cos x ) = cos3 x - cos x + đoạn [0;43p ] A 4220 p B 4225 p C 4230 p D 4235 p Vấn đề Tìm m để phương trình có nghiệm Câu 46 Có giá trị tham số m thuộc tập E = {- 3; - 2; - 1;0;1;2} để phương trình 2m sin x cos x + cos x = m + có nghiệm? A B C D Câu 47 Cho phương trình m sin x + sin x cos x + 3m cos x = Tìm tất giá trị tham số thực m để phương trình có nghiệm ì 4ü ì 4ü é 4ù ỉ 4ư A m Ỵ ïí 0; ïý B m Ỵ ¡ \ ïí 0; ïý C m Ỵ ờ0; ỳ D m ẻ ỗ ữ ỗ0; ữ ỗ ùợù ùỵ ù ù ỳ ố 3ữ ứ 3 ù ù ợù ỵ ỷ ổ3p + sin ỗỗ - x ữ ữ ữ çè ø tan a Câu 48 Cho phương trình = Gọi S tập hợp tất giá trị thực sin x + tan a a thuộc đoạn [0;2p ] để phương trình có nghiệm Tổng phần tử tập S B 2p C p D 6p ỉ pư ỉ pư x+ ÷ x- ÷ Câu 49 Cho phương trỡnh sin ỗ ữ.cos ỗ ữ ỗ ỗ ữ= m + sin x - cos x Gọi S = [a; b ] tập tất ç ç è ø è 3÷ 6ø giá trị tham số m để phương trình có nghiệm Tính a + b A a + b = - B a + b = - C a + b = D a + b = m + = Có giá trị nguyên Câu 50 Cho phương trình sin x + cos x + 3sin x cos x tham số m để phương trình có nghiệm? A B C 13 D 15 Câu 51 Cho phương trình tan + tan x + cot x + = m Có giá trị nguyên m nhỏ sin x 2018 để phương trình có nghiệm? A 2004 B 2008 C 2011 D 2012 A p Câu 52 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x = m.tan x có nghiệm x ¹ k p ộ A m ẻ ờ- ;4ữ ữ ÷ ê ë ø é ù B m Î ê- ;4 ú ê ë ú û æ1 C m ẻ ỗ ữ ỗ- ;4ữ ỗ ố ữ ứ D m ẻ (- 1;4 ) Cõu 53 Cho phương trình cos x - (2m + 1)cos x + m + = Tìm tất giá trị thực tham số æp 3p ÷ ; ÷ m để phương trình có nghiệm thuc khong ỗ ỗ ỗ ố2 ữ ứ A - £ m £ B - £ m £ C - £ m < D - < m < Câu 54 Cho phương trình cos x + (1 - m )cos x + 2m - = Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [- 10;10 ] để phương trình có nghiệm? A B C 10 D 11 Tải file word website http://dethithpt.com Câu 55 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình cos x = cos x + m sin x có nghiệm ỉ pư thuc khong ỗỗ0; ữ ữ ữ ỗ ố 12 ứ ỉ 1ư ỉ1 ỉ 1ư 0; ÷ ;2÷ A m ẻ ỗ B m ẻ ỗ C m ẻ (0;1) D m ẻ ỗỗ- 1; ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ỗ ố 2ø è2 ø è 4÷ ø Câu 56 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x + m cos x = - m có nghiệm x é p pù thuộc đoạn ê- ; ú ê ë 2ú û 3 B m > - C - £ m £ D - < m < 2 Câu 57 Cho phương trình mx + p = p cos x Tổng tất giá trị nguyên tham số m để ỉ pư phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç0; ÷ ÷ ç è 2÷ ø A - 54 B - 35 C 35 D 51 A m ³ - Câu 58 Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên hình vẽ x - ¥ f ' (x ) - - + - 0 +¥ + +¥ f (x ) - m ù Có số ngun - ¥m để phương trình f é ë3cos (x + 1)+ 1û= - có nghiệm? A B C D 13 Câu 59 Cho hàm số y = f (x ) có bảng biến thiên hình vẽ x - ¥ - f ' (x ) + - 0 +¥ + +¥ f (x ) - Có số ngun - ¥dương m để phương trình f (2 sin x + 1) = f (m ) có nghiệm? A B C Câu 60 Cho hàm số f (x ) liên tục ¡ , thỏa f (x )> với x > f (x ) < - với x < - , có đồ thị hình bên Có giá trị ngun tham số m để phương trình f (3sin x + 2) = f (m ) có nghiệm? A C B D D Tải file word website http://dethithpt.com Vấn đề Tìm m để phương trình có n nghiệm thuộc khoảng (a ; b ) Câu 61 Cho phương trình cos x + (3 - 2m )cos x + m - = Tìm tất giá trị thực tham ỉ p pư số m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng çç- ; ÷ ÷ ç è 3÷ ø A - £ m £ B < m £ C £ m £ Câu 62 Tìm tất giá trị tham số m để phương trình sin x + D £ m < ổ pữ sin ỗ x+ ữ - = m cú ỳng ỗ ữ ỗ ố 4ứ ổ 3p nghim thuc khong ỗỗ0; ữ ữ ỗ ố 4ữ ứ A - < m < - + B - < m £ - + C - < m £ - + D - < m < - + 2 Câu 63 Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m - = Gọi S tập tất giá trị ngun m ỉ 3p thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình có nghim thuc ỗỗ0; ữ ữ ữ Tng cỏc phn t ca S bng ỗ ố 2ứ A - 15 B - 14 C D 15 Câu 64 Cho phương trình (cos x + 1)(4 cos x - m cos x ) = m sin x Số giá trị nguyên tham số é 2p ù m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ê0; ú ê ë ú û A B C D Câu 65 Có số thực m để phương trình (sin x - 1)(2 cos x - (2m + 1)cos x + m ) = có nghiệm thuộc đoạn [0;2p ]? A B C D Câu 66 Cho phương trình sin x + cos x + cos x = m Có giá trị nguyên tham số m é p pù để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú ê ë 4ú û A B C D Câu 67 Cho phương trình (sin x - 1)(cos x - cos x + m ) = Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [0;2p ] 1 1 B - < m £ C < m < D - < m < 4 4 2 Câu 68 Biết m = m0 phương trình sin x - (5m + 1)sin x + 2m + 2m = có A £ m < ỉp nghim phõn bit thuc khong ỗỗ- ;3p ữ Mnh no sau õy l ỳng? ữ ữ ỗ è ø æ3 ù A m0 = - B m0 = C m0 ẻ ỗỗ ; ỳ ỗ ố5 10 ỳ ỷ ổ 2ử - ;- ữ D m0 ẻ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 5ứ Cõu 69 Cú bao nhiờu giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [- 10;10 ] để số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình + cos 2 x - ỉ pư sin x - m = m sin ỗ ữ trờn ng trũn lng giỏc l ç2 x - ÷ ç è ø 3÷ 4? A B C 10 D 12 Câu 70 Cho phương trình (m + 1)cos x + (m - 1)sin x = 2m + Có giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x1 - x = A B C 2p D Vô số Tải file word website http://dethithpt.com Vấn đề Kỹ thuật hàm đặc trưng Câu 71 Có số ngun m để phương trình m + sin (m + sin x ) = sin (3sin x )+ sin x có nghiệm thực? A C B D Câu 72 Cho phương trình (8 sin x - m ) = 162 sin x + 27m Có giá trị ngun tham số ỉ pư m phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữ ữ? ç è 3÷ ø A B C D Vơ số Câu 73 Cho phương trình m + 3 m + 3sin x = sin x Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? A B C D Câu 74 Tập tất giá trị tham số m để phương trình m + m + + + sin x = sin x có nghiệm [a; b ] Giá trị a + b - C Câu 75 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình A D - B sin x (2 - cos x )- (2 cos3 x + m + 1) cos3 x + m + = cos3 x + m + é 2p có nghiệm thuộc ê0; ÷ ÷ ÷? ê ë 3ø A B C D Câu 76 Cho phương trình sin x - cos x + sin x + cos x - cos x + m - m = Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm ? A B C D 3 Câu 77 Cho phương trình sin x + m + sin x = sin x + sin x + m - + Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm ? A 18 B 19 C 20 D 21 Câu 78 Cho phương trình tan x + (sin x + cos x ) = m (sin x + 3cos x ) Có giá trị nguyên tham số m đoạn [- 2018;2018] để phương trình cú ỳng mt nghim thuc ổ pử ữ? ỗ 0; ữ ỗ ỗ ố 2ữ ứ A 2015 B 2016 C 2018 Câu 79 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình cos x + A B C Câu 80 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình nghiệm A B C D 4036 cos x + m = m có nghiệm D m có + cos x + + sin x = D Tải file word website http://dethithpt.com Vấn đề Tìm GTLN-GTNN hàm số ỉp sin x ÷ Câu 81 Giá trị nhỏ giá trị lớn ca hm s f (x ) = sin ỗ ln lt l ữ ỗ ữ ỗ ố3 ứ é p pù Câu 82 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x ) = cos3 x - cos x đoạn ê- ; ú lần ê ë 3ú û lượt 19 A - B C D - 4 27 A - B C - 3 2 D 2018 Câu 83 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = (3 - 5sin x ) M + m A 2018 (1 + 4036 ) B 2018 C 4036 Giá trị C 6054 Câu 84 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x - sin x + Tính P = M - 2m A P = C P = D P = æ 2x ỉ x ÷ ÷ Câu 85 Giá trị nhỏ f (x ) = sin çç ÷+ cos ç ÷+ gần với s no sau õy? ỗ ỗ ỗ ốx + 1ữ ø èx + 1÷ ø 1 A - B - C - D - cos x + sin x + Câu 86 Gọi m, M giá trị nhỏ lớn hàm số y = Tính cos x - sin x + S = 11m + M A S = - 10 B S = C S = D S = 24 sin x + cos x + Câu 87 Gọi M , m giá trị lớn nhỏ hàm số y = Khi đó, + sin x B P = M + 3m A - B C D + 2 Câu 88 Biết giá trị nhỏ hàm số y = có dạng a + b với a, b số + - cos x cos x nguyên Tính S = a + b A S = B S = C S = D S = Câu 89 Cho hàm số y = + sin x + + cos x - Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Khi giá trị M + m gần với số sau đây? 11 A B C D 2 2 Câu 90 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x ) = sin 2018 x + cos 2018 x A 21008 B 21009 C D 21008 Vấn đề 10 Bài tốn GTLN-GTNN có chứa tham số m Câu 91 Có giá trị tham số thực a để hàm số y = ? 10 cos x + a sin x + có giá trị lớn cos x + Tải file word website http://dethithpt.com Câu 63 Cho phương trình m sin x - 3sin x cos x - m - = Gọi S tập tất giá trị ngun m ỉ 3p thuộc đoạn [- 5;5] phng trỡnh cú ỳng nghim thuc ỗỗ0; ữ ữ ữ Tng cỏc phn t ca S bng ỗ è 2ø A - 15 B - 14 C D 15 Lời giải Phương trình Û m (sin x - 1)- 3sin x cos x - = Û 3sin x cos x + m cos x + = Nhận thấy cos x = khơng thỏa phương trình Chia hai vế phương trình cho cos x ta tan x + tan x + m + = Đặt t = tan x , ta phương trình bậc hai t + 3t + m + = ỉ 3p Để phương trình cho cú ba nghim thuc ỗỗ0; ữ ữ phng trỡnh t + 3t + m + = có hai ỗ ố 2ữ ứ  nghim trỏi du m + < Û m < - ắ mắẻm[-ẻ ắắ đ m = {- 5; - 4; - 3; - 2} ắ ắ đ S = - 14 Chọn B 5;5] Câu 64 Cho phương trình (cos x + 1)(4 cos x - m cos x ) = m sin x Số giá trị nguyên tham số é 2p ù m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ê0; ú ê ë ú û A B C D Lời giải Phương trình Û (1 + cos x )(4 cos x - m cos x ) = m (1 - cos x ) écos x = - ê Û (1 + cos x )(4 cos x - m ) = Û ê m êcos x = ê ë é 2p ù ® phương trình cos x = - vụ nghim Vi x ẻ ờ0; ỳắ ắ ê û ú ë é 2p ù ® 2x Î  Với x Î ê0; ú¾ ¾ ê ë ú û sin é 4p ù ê0; ú Dựa vào đường tròn lượng giác, ê ë ú û ta thấy yêu cầu toán - < O m £ - Û - < m £ - đ m ẻ {- 3; - 2} Chn B Vỡ m ẻ  ắ ắ Câu 65 Có cos số - thực m để phương trình (sin x - 1)(2 cos x - (2m + 1)cos x + m ) = có nghiệm thuộc đoạn [0;2p ]? A B C D ésin x = ê ê Lời giải Phương trình Û (sin x - 1)(2 cos x - 1)(cos x - m ) = Û êcos x = ê ê êcos x = m ë  sin x = Û x = p + k 2p (k ẻ  ), m x ẻ [0;2p ]ắ ắ ® x= p é p êx = + k 2p p 5p ê  cos x = Û ê ® x = ,x = (k ẻ  ), m x ẻ [0;2p ]ắ ắ p 3 êx = - + k 2p ê ë 33 Tải file word website http://dethithpt.com Do u cầu tốn tương đương với phương trình cos x = m có ìï p p 5p ü nghiệm [0;2p ] khác í , ïý (xem hình vẽ) Từ đường ïỵï 3 ùỵ ù trũn lng giỏc ta suy ch cú hai giá trị m thỏa mãn m = - m = Bởi vì: Với m = - 1, phương rình cos x = - có nghiệm x = p thuộc [0;2p ] Với m = 0, phương rình cos x = có hai nghiệm x = p sin cos O (trùng với 3p thuộc [0;2p ] Vậy có hai giá trị m thỏa mãn Chọn B Câu 66 Cho phương trình sin x + cos x + cos x = m Có giá trị nguyên tham số m é p pù để phương trình có nghiệm thuộc đoạn ê- ; ú ê 4û ú ë nghiệm tính) x = A B C 3 Lời giải Ta có sin x + cos x = + cos x 4 Phương trình + cos x + cos x = m Û cos x + cos x = m - 4 ộ p pự đ x ẻ [- p; p ] nên t Ỵ [- 1;1] Đặt t = cos x , với x Ỵ ê- ; ú¾ ¾ ê 4û ú ë D Khi phương trình trở thành t + t = m - (*) é p pù  Ứng với t Ỵ [- 1;1) phương trình cos 4x = t cho ta hai giá trị x Ỵ ê- ; ú ê ë 4ú û é p pù  Với t = phương trình cos 4x = t cho ta giá trị x Ỵ ê- ; ú ê ë 4ú û Do u cầu tốn tương đương với (*) có hai nghiệm t phân biệt thuộc [- 1;1) Xét hàm f (t ) = t + t [- 1;1) Ta có f ' (t ) = 8t + ắ ắ đ f ' (t ) = 8t + Û t = Bảng biến thiên t - - f ' (t ) - + f (t ) 1 16 47 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán Û < 4m - £ < mÊ 16 64 ắ mắẻ Âắ đ m = Vậy có giá trị nguyên Chọn A Câu 67 Cho phương trình (sin x - 1)(cos x - cos x + m ) = Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn [0;2p ] 1 < m £ C < m < D - < m < 4 ésin x = Lời giải Phương trình tương đương với ê êcos x - cos x + m = (1) ê ë ® t Ỵ [- 1;1] Phương trình (1) trở thành t - t = - m (2) Đặt t = cos x , vi x ẻ [0;2p ]ắ ắ A £ m < B - Phương trình sin x = có nghiệm x = p thuộc đoạn [0;2p ] 34 Tải file word website http://dethithpt.com Do u cầu tốn Û phương trình (1) có nghiệm phân biệt (khác p ) thuộc đoạn [0;2p ] Û phương trình (2) có nghiệm phân biệt thuộc [- 1;1]\ {- 1;0} ® f ' (t ) = Û t = Xét hàm f (t ) = t - t (- 1;0)È (0;1] Ta có f ' (t ) = 2t - ¾ ¾ Bảng biến thiên - t f ' (t ) - - + f (t ) 11 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu toán - < 4- m < Û > m > Chọn C 4 Câu 68 Biết m = m0 phương trình sin x - (5m + 1)sin x + 2m + 2m = có ỉp nghiệm phân biệt thuộc khong ỗỗ- ;3p ữ Mnh no sau õy l ỳng? ữ ữ ỗ ố ứ ổ3 ù A m0 = - B m0 = C m0 ẻ ỗỗ ; ỳ ỗ5 10 ỳ è û ỉ 2ư - ;- ÷ D m0 ẻ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ố 5ứ Lời giải Đặt t = sin x (- £ t £ 1) Phương trình trở thành 2t - (5m + 1)t + 2m + 2m = (*) sin sin t2 cos cos O O t2 Hình Hình u cầu tốn tương đương với:  Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm t1 = - (cho nghiệm x ) nghiệm < t < (cho bốn nghiệm x ) (Hình 1)  Do t1 = - ắ ắ đ t2 = - c = - m2 - m a ém = ê  Thay t1 = - vào phương trình (*) , ta ê êm = ê ë  Trường hợp 2: Phương trình (*) có nghiệm t1 = 3ắắ đ t = - ẽ (0;1)(loaùi ) 1 ắắ đ t = ẻ (0;1)(thoû a) (cho hai nghiệm x ) nghiệm - < t £ (cho ba nghiệm x ) (Hình 2)  Do t1 = ắ ắ đ t2 = c = m2 + m a ém = ¾ ¾ ® t = Ï (- 1;0 ](loại ) ê ê  Thay t1 = vào phương trình (*) , ta êm = ¾ ¾ ® t = Ï (- 1;0 ](loại ) ê ë ỉ Vậy m = thỏa mãn yêu cầu toán Do m = - ẻ ỗỗ- ; - ữ ữ Chn D ố 5ữ ứ ỗ 35 Tải file word website http://dethithpt.com Câu 69 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [- 10;10 ] để số vị trí biểu diễn æ pö sin x - m = m sin ỗ 2x - ữ ữ ỗ ữ trờn ng trũn lng giỏc l ỗ ố 3ứ nghim ca phng trình + cos 2 x - 4? A B C 10 D 12 ỉ p 2x - ÷ Lời giải Phương trình Û sin x - cos x - m = m sin ỗ ữ ỗ ỗ ố ứ 3ữ ổ ổ pữ pữ t ắắ đ sin ỗ 2x - ÷ = (điều kiện - £ t £ ) Đặt t = sin x - cos x = sin ỗỗ2 x - ữ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ứ 3÷ 3÷ ( ) t Û 2t - mt - 2m = (*) ỉ pư ÷= t cho ta nghiệm có số vị trí biểu din 2x - ữ ng vi mi t ẻ (- 2;2) thỡ phng trỡnh sin ỗ ỗ ỗ ố ø 3÷ đường tròn lượng giác ỉ pư  Với t = phương trình sin ỗỗ2 x - ữ ữ= cho ta cỏc nghim cú s v trớ biu din trờn ng ỗố ø 3÷ tròn lượng giác ỉ p÷ = - cho ta nghiệm có số vị trí biểu diễn đường  Với t = - thỡ phng trỡnh sin ỗỗ2 x - ữ ữ ç è 3ø tròn lượng giác Do u cầu tốn tương đương với phương trình (*) có nghiệm t thuộc khoảng Phương trình trở thành: t - m = m (- 2;2) phương trình (*) có hai nghiệm -  Trường hợp 1: Phương trình (*) có nghiệm thuộc (- 2;2) Với t Î (- 2;2), ta có (*) Û m = 2t = f (t ) t+ Bảng biến thiên t - f ' (t ) + - +¥ f (t ) ém > Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu trường hợp Û ê êm = ë  Trường hợp 2: Phương trình (*) nhận - làm nghiệm ìï (- 2)2 - m (- 2)- 2m = Û ïí : vơ lí ïï 2.2 - 2m - 2m = ùợ ộm > ẻ ắ ắmắ ắđ m ẻ {0;3;4;5; ;10} ắ ắ đ cú giỏ tr Chọn B Vậy ê êm = mỴ [- 10;10] ë Câu 70 Cho phương trình (m + 1)cos x + (m - 1)sin x = 2m + Có giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x1 - x = A B 2p C 2 D Vô số Lời giải Điều kiện có nghiệm: (m + 1) + (m - 1) ³ (2m + 3) Û Phương trình Û m+ 2m + cos x + m- 2m + sin x = 36 2m + 2m + - 6- 22 £ m£ - + 22 Tải file word website http://dethithpt.com éx = b + a + k 2p m+ 2m + Û cos (x - a ) = cos b Û ê ;cos b = với cos a = êx = - b + a + l 2p 2m + 2m + ë 2p 2p Yêu cầu toỏn: x1 - x = ắắ đ 2b + (k - l )2p = 3 2p 1 Û cos 2b + (k - l )2p = cos Û cos 2b = - Û cos b - = 2 é m = - (thỏ a mã n) ỉ 2m + (2m + 3) êê ÷ ÷ ỗỗỗ = = Chn C ữ ữ ờm = - 17 (thoỷ ỗố 2m + ÷ 2m + a maõ n) ø ê ë Vấn đề Kỹ thuật hàm đặc trưng Câu 71 Có số nguyên m để phương trình m + sin (m + sin x ) = sin (3sin x )+ sin x có nghiệm thực? A B C D Lời giải Cộng thêm sin 3x vào hai vế phương trình ta m + sin x + sin (m + sin x ) = sin (3sin x )+ sin x + sin x Û (m + sin x )+ sin (m + sin x ) = (3sin x )+ sin (3sin x ) ® hàm số f (t ) đồng biến Xét hàm f (t ) = t + sin t ¡ Ta có f ' (t ) = + cost ³ 0, " t ẻ Ă ắ ắ đ m = sin x Ỵ [- 4;4 ] Chọn D Suy m + sin x = 3sin x ¾ ¾ Câu 72 Cho phương trình (8 sin x - m ) = 162 sin x + 27m Có giá trị ngun tham số ỉ pư m phng trỡnh cú nghim thuc khong ỗỗ0; ữ ữ ữ? ỗ ố 3ứ A B C ổ pử đ sin x ẻ 0; nên u Ỵ 0; Lời giải Đặt u = sin x , vỡ x ẻ ỗỗ0; ữ ữắ ắ ỗ ố 3ữ ứ ( ) ( D Vơ số ) Phương trình trở thành: (u - m ) = 81u + 27m Û (u - m ) + 27 (u - m ) = (3u ) + 27.(3u ) (*) Xét hàm f (t ) = t + 27t ¡ Ta có f ¢(t ) = 3t + 27 > 0, " t ẻ Ă đ hm số f (t ) đồng biến Nhận thấy (*) có dạng f (u - m ) = f (3u ) Û u - m = 3u Û u - 3u = m ( ) Xét hàm g (u ) = u - 3u, " u Ỵ 0; Khảo sát ta - £ g (u ) < Vậy phương trình cho có nghiệm - £ m < ắ mắẻ Âắ đ m ẻ {- 2; - 1} Chọn B Câu 73 Cho phương trình m + 3 m + 3sin x = sin x Có giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm? A B C D 3 Lời giải Phương trình Û m + m + 3sin x = sin x Û m + 3sin x + 3 m + 3sin x = sin x + 3sin x Xét hàm f (t ) = t + 3t , " t Ỵ ¡ Hàm đồng biến nên suy f ( ) m + 3sin x = f (sin x ) Û m + 3sin x = sin x Û m = sin x - 3sin x Đặt u = sin x (- £ u £ 1), phương trình trở thành m = u - 3u ìï max g (u ) = ï [- 1;1] Xét hàm g (u ) = u - 3u , " u Ỵ [- 1;1] Ta tìm ïí ïï g (u ) = - ïỵ [- 1;1] Do đó, để phương trình cho có nghiệm Û g (u ) £ m £ max g (u ) Û - £ m £ [- 1;1] [- 1;1] 37 Tải file word website http://dethithpt.com ắ ắắ đ m ẻ {- 2; - 1;0;1;2} Chn C mẻ  m + + + sin x = sin x có Câu 74 Tập tất giá trị tham số m để phương trình m + nghiệm [a; b ] Giá trị a + b A B C ( ) Lời giải Phương trình Û m + + + sin x + D - m + + + sin x = (1 + sin x )+ + sin x Xét hàm số f (t ) = t + t vi t ẻ [0; + Ơ ) Hàm đồng biến [0;+ ¥ ) nên suy f Û ( m + 1+ ) + sin x = f m + + + sin x = ( + sin x ) + sin x Û m + + + sin x = + sin x Û m = sin x - + sin x ù Đặt u = + sin x , sin x ẻ [- 1;1]ắ ắ đ uẻ ộ ờ0; ú ë û Phương trình trở thành: m = u - u - ù Ta có g ' (u ) = 2u - 1; g ' (u ) = Û u = Xét hàm g (u ) = u - u - với u Ỵ é ê0; ú ë û Bảng biến thiên u g ' (u ) - + 1- g (u ) - 5 Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm Û - £ m £ ìï ïï a = ¾¾ ¾¾ ®í ® a + b = - - Chọn D ïï ïïỵ b = - Câu 75 Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x (2 - cos x )- (2 cos3 x + m + 1) cos3 x + m + = cos3 x + m + é 2p ÷? có nghiệm thuộc ê0; ÷ ÷ ê ë 3ø A B Lời giải Phương trình tương đương với C sin x + sin x = (2 cos3 x + m + 2) cos3 x + m + + D cos3 x + m + ® f  t  đồng biến Xét hàm f (t ) = 2t + t với t  Ta có f ' (t ) = 6t + > ¾ ¾ ìï sin x ³ cos3 x + m + Û ïí ïïỵ sin x = cos3 x + m + é 2p ö Û sin x = cos3 x + m + (vì sin x ³ 0, " x ẻ ờ0; ữ ữ ữ) 3ø Mà f (sin x ) = f ( ) cos3 x + m + , suy sin x =   cos x  cos3 x  m   m  2 cos3 x  cos x  é 2p ổ1 ự ị uẻ ỗ Khi ú phương trình trở thành m = - 2u - u - Đặt u = cos x , vỡ x ẻ ờ0; ữ ữ ỗ- ;1ỳ ữ ỗ ê ú ø è ë û 38 Tải file word website http://dethithpt.com é æ1 ù = ẻ ỗ - ;1ỳ ỗ ỗ ỳ è û 2 Xét g (u ) = - 2u - u - , có g ' (u ) = - 6u - 2u; g ' (u ) = Û ê ê æ ù 1 ờu = - ẻ ỗ ỗ- ;1ỳ ỳ ố ỷ ỗ Bng bin thiờn 1 u 0 g ' (u ) 1 g (u ) 28 27 - ém = - - ê Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm ê 28 ê- £ m < ê 27 ë mỴ  ắ ắắ đ m ẻ {- 4; - 3; - 2; - 1} Chọn D Câu 76 Cho phương trình sin x - cos x + sin x + cos x - cos x + m - m = Có giá trị ngun tham số m để phương trình có nghiệm ? A B C Lời giải Điều kiện: cos x + m ³ D Phương trình cho tương đương với + sin x + sin x + cos x = + cos x + m + Û (sin x + cos x ) + sin x + cos x = cos x + m + Û ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = ( cos x + m cos x + m cos x + m )+ 2 cos x + m ® hàm số f (t ) đồng biến Xét hàm f (t ) = t + t với t ³ Ta có f ' (t ) = 2t + > 0, " t ³ ¾ ¾ Mà f ( sin x + cos x ) = f ( ) cos + m , suy sin x + cos x = cos x + m Û (sin x + cos x ) = cos x + m Û + sin x = cos x + m Û sin x - cos x = m ổ pử ộ sin ỗ 2x - ữ ữẻ ỗ ỗ ố ứ 4÷ Vì sin x - cos x = 2; ự ỳ ỷ ắắ đ phng trỡnh ó cho cú nghim - 2Ê mÊ ắ mắẻ Âắ đ m ẻ {- 1;0;1} Chn B Cõu 77 Cho phương trình sin x + m + sin x = sin x + sin x + m - + Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm ? A 18 B 19 C 20 D 21 ìï a = sin x + m Lời giải Đặt ïí ïï b = sin x ỵ Phương trình trở thành: a + b = a3 + b3 - + Û (a + b - 2) = a + b - Û (a + b ) - (a + b ) + 12 (a + b )- (a + b )(a - ab + b ) = Û (a + b )(3ab - 6a - 6b + 12) = Û (a + b )(a - 2)(b - 2) = ã Vi b = ắ ắ đ sin x = : vơ nghiệm ® · Với a = ¾ ¾ sin x + m = Û sin x = 8- m 8- m £ Û £ m £ 12 ắ mắẻ Âắ đ m ẻ { 4;5;6; ;12} 4 sin x + m + sin x = Û m = - sin x - sin x Phương trình có nghiệm - £ ® · Với a + b = ¾ ¾ 39 Tải file word website http://dethithpt.com Đặt t = sin x (- £ t £ 1), ta m = - t - t Xét hàm f (t ) = - t - t đoạn [- 1;1], ta - £ f (t ) £ với t ẻ [- 1;1] đ m ẻ {- 5; - 4; ;4;5} Suy phương trình có nghiệm Û - Ê m Ê ắ mắẻ Âắ Hp hai trường hợp ta 18 giá trị nguyên m (vì m = 4, m = lặp lại) Chọn A Câu 78 Cho phương trình tan x + (sin x + cos x ) = m (sin x + 3cos x ) Có giá trị nguyên tham số m đoạn [- 2018;2018] để phương trình có nghiệm thuộc ổ pử ỗ 0; ữ ữ? ỗ ỗ ố 2ữ ø A 2015 B 2016 Lời giải Điều kiện: cos x ¹ C 2018 D 4036 Vì cos x ¹ nên phương trình tương đương với Û (tan x + 2) tan x + = m (tan x + 3) Đặt t = ỉ pư 0; ữ đ t ẻ (1; + Ơ ) tan x + 1, vỡ x ẻ ỗ ữ ỗ ữắ ắ ç è 2ø Khi phương trình trở thành 3t (t + 1) = m (t + 2) Û m = Xét hàm f (t ) = 3t + 3t t2 + (t + 5t + 2) 3t + 3t t Î 1; + ¥ f ' t = > 0, " t ẻ (1; + Ơ ) vi Ta có ( ) ( ) t2 + (t + 2) Bảng biến thiên t f ' (t ) +¥ + +¥ f (t ) Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm m > m Ỵ [- 2018;2018] có 2016 giỏ tr Chn B ắắắ ắ ắđ m ẻ 3, 4, ,2018 ắ ắ đ { } mẻ  Cõu 79 Số giá trị nguyên tham số m để phương trình cos x + A B C ìï cos x + u = m Lời giải Đặt u = cos x + m , ta có hệ ïí ïï u - cos x = m ỵ cos x + m = m có nghiệm D éu = - cos x Trừ vế theo vế ta cos x - u + u + cos x = Û (u + cos x )(cos x - u + 1) = Û ê = cos x + ë  u = cos x + 1, ta m + cos x = cos x + ộ3 ự sat ắ ắđ m ẻ ;3ú (1) Û m + cos x = (cos x + 1) Û m = cos x + cos x + ¾ khao ê ë4 ú û  u = - cos x , ta ìï - cos x ³ m + cos x = - cos x Û ïí ïïỵ m + cos x = cos x ìï cos x £ Û ïí sat ïï m = cos x - cos x ắ khao ắ ắđ m ẻ [0;2 ] ợ ® có số nguyên dương thỏa mãn Chọn C Vy m ẻ {0;1;2;3} ắ ắ Cõu 80 S cỏc giá trị nguyên tham số m để phương trình nghiệm A + cos x + + sin x = B C ìïï + cos x ³ p 2p Û - + k 2p £ x £ + k 2p (Hình vẽ) Lời giải Điều kiện: í ïïỵ + sin x ³ 40 D m có Tải file word website http://dethithpt.com ìï m ³ ï Phương trình Û ïí ïï + (sin x + cos x )+ + (sin x + cos x )+ sin x cos x = m ïïỵ ộ- + ự ắ kien ắắ đ tẻ ê ; 2ú Đặt t = sin x + cos x ¾ dieu ê ú ê ú ë û m2 Phương trình (1) trở thành + 2t + 2t + 2t - = é- + ù ú ; Xét hàm f (t ) = + 2t + 2t + 2t - với t Ỵ ê ê ú ê ú ë û é ù 4t + - 1+ > 0, " t Ỵ ê ; 2ú Ta có f ' (t ) = + ê ú 2t + 2t - ê ú ë û ìï max f (t ) = f = + ïï ï Suy ïí ỉ- + ÷ ïï f (t ) = f ỗ ữ ỗ = + ữ ỗ ùù ữ ỗ ố ø ïỵ sin cos ( ) ìï ïï + £ m £ Do để phương trình có nghiệm Û í ïï ïïỵ m ³ ắ mắẻ Âắ đ m ẻ {5;6;7;8;9} Chn D ( )Û 2+1 3+1£ m£ 2+1 Cách Bài tốn lập m vế nên dùng MODE nhanh Nhập hàm F (X ) = + cos X + + sin X với Start = - p ; End = 2p 5p ; Step = 114 Vấn đề Tìm GTLN-GTNN hàm số ỉp sin x ÷ Câu 81 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x ) = sin ç ÷ ç ÷ ç3 è ø A - B Lời giải Vì £ sin x £ ¾ ¾ ® 0£ p C - sin x £ p 3 2 D é pù ỉp p £ sin Trên đoạn ê0; ú hàm số sin tăng nờn suy sin Ê sin ỗỗ sin x ữ ữ ữ ỗ 3ỷ ỳ ố3 ứ ổp Ê hay Ê sin ỗỗ sin x ữ Chn D ữ ữ ỗ ố3 ø é p pù Câu 82 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f (x ) = cos3 x - cos x đoạn ê- ; ú lần ê 3û ú ë lượt 19 A - B C D - 4 27 Lời giải Ta có f (x ) = cos3 x - cos x = cos3 x - cos x + ộ p pự đ tẻ t t = cos x , vỡ x ẻ ờ- ; ỳắ ắ ë 3ú û é1 ù ê ;1ú ê ë2 ú û é1 ù Khi hàm số trở thành f (t ) = 2t - 2t + với t Ỵ ê ;1ú ê ë2 ú û ìï ïï f (x ) = 19 é1 ù 27 Chọn C Khảo sát hàm số f (t ) đoạn ê ;1ú, ta tìm ïí ïï ê ë2 ú û max f x = ( ) ïïỵ 41 Tải file word website http://dethithpt.com 2018 Câu 83 Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số y = (3 - 5sin x ) Giá trị M + m A 2018 (1 + 4036 ) B 2018 C 4036 C 6054 Lời giải Ta có - £ sin x Ê ắ ắ đ - 5sin x ³ - 2018 hay - £ - 5sin x Ê ắ ắ đ - Ê - 5sin x Ê ắ ắ đ Ê £ (3 - 5sin x ) £ 82018 Vậy giá trị lớn hàm số M = 6054 , giá trị nhỏ hàm số m = Chọn D Câu 84 Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = sin x - sin x + Tính P = M - 2m A P = C P = B P = D P = 2 Lời giải Ta có y = sin x - sin x + = (sin x - 2) + 2 Do - Ê sin x Ê ắ ắ đ - £ sin x - £ - ¾ ¾ ® £ (sin x - 2) £ ìï M = 10 ắắ đ Ê (sin x - 2) + Ê 10 ắ ắ đ ùớ ¾¾ ® P = M - 2m = Chọn D ïïỵ m = ỉ 2x ỉ 4x ữ ữ + cos ỗ Cõu 85 Giỏ tr nh nht ca f (x ) = sin ỗỗ ÷ ÷+ gần với số sau õy? ỗ ữ ỗ ỗ ốx + 1ứ ốx + 1÷ ø 1 C - ỉ 2x ÷= - sin 2 x cos ỗ ữ ỗ ữ ỗ x + 1ø è x2 + A - B - D - æ 4x ữ= Li gii Ta cú cos ỗ ữ ỗ ữ ỗ x + 1ứ ố 2x 2x Do f (x ) = - sin 2 + sin + x +1 x +1 2x Đặt t = sin Ỵ [- 1;1], ta f (t ) = - 2t + t + x +1 Xét hàm f (t ) = - 2t + t + đoạn [- 1;1], ta f (t ) = - Chọn A [- 1;1] Lời giải hợp lý xét kỹ khơng ổn - £ Khi t = sin 2x £ (xét hàm) x +1 2x Ỵ [- sin1;sin1] Tương tự trên, xét hàm f (t ) = - 2t + t + đoạn x +1 2 f (t ) = f (- sin1) = - (- sin1) + (- sin1)+ » 0,25 Chọn C [- sin1;sin1], ta [- sin1;sin1 ] Nhận xét Bài toán hay tự luận, trắc nghiệm dùng MODE nhanh cos x + sin x + Câu 86 Gọi m, M giá trị nhỏ lớn hàm số y = Tính cos x - sin x + S = 11m + M A S = - 10 B S = C S = D S = 24 Lời giải Gọi y0 giá trị hàm số cos x + sin x + có nghiệm cos x - sin x + cos x + sin x + Ta có y0 = Û (2 y0 - 1)cos x - ( y0 + 2)sin x = - y0 cos x - sin x + Khi phương trình y0 = 2 Phương trình có nghiệm Û (2 y0 - 1) + ( y0 + 2) ³ (3 - y0 ) Û 11 y02 - 24 y0 + £ Û £ y0 £ ¾ ¾ ® 11 ïìï M = ï ¾¾ ® P = Chọn B í ïï m = 11 ỵï Câu 87 Gọi M , m giá trị lớn nhỏ hàm số y = M + 3m 42 sin x + cos x + + sin x Khi đó, Tải file word website http://dethithpt.com A - Lời giải Ta có y = B sin x + cos x + + sin x = Đặt u = sin x + cos x , điều kiện u £ u+ Xét hàm y = ( Tính y - u2 + ) = 1- đoạn é ê ë , y C sin x + cos x + (sin x + cos x ) + D + 2 u+ u2 + 1- u Khi y = ; y ¢= Û u = 2; ù Ta có y ¢= ú û (u + 1) u + ( 2)= 1+ , y (1) = ìï M = max y = ùù ắắ đ ùớ ắắ đ M + 3m = Chọn B ïï m = y = - ïïỵ Câu 88 Biết giá trị nhỏ hàm số y = có dạng a + b với a, b số + - cos x cos x nguyên Tính S = a + b A S = B S = C S = D S = Lời giải Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu, ta ( ) 2+1 y= + ³ = + 2 4 - cos x cos x - cos x + cos x ïì a = ¾¾ ® S = Chọn C Suy ïí ïïỵ b = Câu 89 Cho hàm số y = + sin x + + cos x - Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Khi giá trị M + m gần với số sau đây? 11 A B C D 2 2 Lời giải  Xét t = + sin x + + cos x ắắ đ t = (1 + sin x )+ (1 + cos x )+ (1 + sin x )(1 + cos x ) = + + sin 2 x ắắ đ t= + + sin 2 x ³ + = 1+ ắắ đ y = + sin x + + cos x - ³ Dấu '' = '' xảy sin x =  Lại có + sin x + + cos x Ê ắắ đ y= (12 + 12 )(1 + sin x + + cos2 x ) = 2 + sin x + + cos x - £ 2 - Dấu '' = '' xảy sin x = cos x ỡù m = ắắ đ M + m = + 2 - ; 3,56 Chọn B Vậy ïí ïï M = 2 - ỵ Câu 90 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f (x ) = sin 2018 x + cos 2018 x 1 B 1009 21008 Lời giải Đặt a = sin x , b = cos x Ta có C A D p 21008  sin 2018 x + cos 2018 x £ sin x + cos x = Dấu " = " xảy Û x = k 1009 1009 1009 ỉ ỉ a + b ữ ỗa + b ữ p p ữ = 1008 Dấu " = " xảy Û x = + k  sin 2018 x + cos 2018 x = 2.ỗ ỗ ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ ç è ø 2 è ø 43 Tải file word website http://dethithpt.com ; giá trị lớn Chọn D 21008 Vậy giá trị nhỏ Vấn đề 10 Bài tốn GTLN-GTNN có chứa tham số m Câu 91 Có giá trị tham số thực a để hàm số y = cos x + a sin x + có giá trị lớn cos x + ? A B C cos x + a sin x + Lời giải Ta có y = Û y (cos x + 2) = cos x + a sin x + cos x + Û a sin x + (1 - y )cos x = y - D Phương trình có nghiệm Û a + (1 - y ) ³ (2 y - 1) Û y - y - a £ Û 1- + 3a + + 3a £ y£ 3 éa = 1 + 3a = Û + 3a = Û ê Chọn C êa = - ë - m sin x Câu 92 Có giá trị nguyên tham số m thuộc [0;10 ] để hàm số y = có giá trị cos x + nhỏ nhỏ - ? A B C 11 D 12 - m sin x Lời giải Ta có y = Û y (cos x + 2) = - m sin x Û m sin x + y cos x = - y cos x + Yêu cầu toán Û + + 3a = 1Û Phương trình có nghiệm y + m ³ (2 y - 1) Û y - y + - m £ Û Yêu cầu toán Û 2- 3m + + 3m + £ y£ 3 2- 3m + < - 2Û ém > 21 3m + > Û m > 21 Û ê ê ê ëm < - 21 ¢ ắ mắmẻ [ẻ0;10 ắắ đ m ẻ {5;6;7;8;9;10} Chn B ] ỉ pư ỉx ÷ + cos ỗ Cõu 93 Cho hm s y = sin ỗỗx - ữ ữ ữỗ ữ ỗ ỗ è è2 ÷ ø 6ø sin x + a (với tham số) Gọi m, M ép 2p ù giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số đoạn ê ; ú Có giá trị nguyên a ê6 û ú ë 321 để m - M £ ? A B C D ỉ ỉ x÷ p÷ - sin x = cos x - sin x + = - sin ỗ x- ữ Li gii Ta cú cos ỗ ỗ ỗ ữ ỗ2 ữ ỗ ố ứ ố ứ 6ữ ổ pử ổ pư x- ÷ Do y = sin ỗỗx - ữ ữ- sin ỗ ữ ỗ ữ+ a + ỗ ỗ ố ứ ố 6ữ 6ø ỉ pư ép 2p ù , x Ỵ ; ỳắ ắ đ t ẻ [0;1] t t = sin ỗỗx - ữ ữ ữ ỗ ố 6ø ë6 ú û ỉ 1ư t- ÷ Hàm số trở thành y = 2t - 2t + a + = ỗ ữ ỗ ữ + a + ỗ ố 2ứ đVỡ £ t £ ¾ ¾ 1 Ê t- Ê ắắ đ 0Ê 2 2 ỉ 1÷ ỉ 1ư 1 ç t- ÷ £ Suy a + Ê ỗỗt - ữ + a + Ê a + ỗ ữ ữ ỗ ỗố ÷ è 2ø ø 2 44 Tải file word website http://dethithpt.com ìï ï m = a2 + 321 ổ 1ử 321 ắắ đ ùớ đ m2 - M Ê ỗỗa + ữ - (a + 1) £ Û - £ a Ê ắắ ữ ữ ỗ ùù ố ứ 4 ïïỵ M = a + Suy có giá trị nguyên thỏa Chọn D Câu 94 Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ hàm số y = sin x + cos x + m Hỏi tập S có phần tử? A B C D Lời giải Ta có sin x + cos x = sin x - sin x + = (1 - sin x ) = cos x ắ ắ đ y = cos x + m 4 2 Vì Ê cos x Ê ắ ắ đ m £ cos x + m £ + m Suy y = { m , m + } éìï m ³ m + êï êíï êïỵ m + = ê u cầu tốn Û ê Û ê êìï m + ³ m êï êíï m = ê ëïỵ Câu 95 Cho x , y số thực ém = - ê Vậy S = {- 3;2} Chọn B êm = ë thỏa mãn cos x + cos y = Giá trị nhỏ biểu thức P = tan x + tan y D C 3 ỉ ỉ ỉ 1 ÷ ÷ ÷- + ỗỗ - 1ữ = ỗỗ + Li gii Ta cú P = ỗỗ - 1ữ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗcos x ữ ữ ố ứ ècos y ø è1 + cos x + cos y ÷ ø ỉ (1 + 1) ữ ỗ ữ p dng BT cng mu, ta c P ỗ - = - = Chn B ữ ỗ ữ ç 2+ ÷ ç è2 + cos x + cos y ø A B Câu 96 Cho hàm số y = f (x ) xác định ¡ , thỏa mãn f (tan x ) = sin x - cos x vi mi ổ p pử xẻ ỗ - ; ÷ ÷ Với a, b hai số thực thay đổi thỏa mãn a + b = 1, giá tr nh nht ca biu thc ỗ ỗ ố 2÷ ø S = f (a ) f (b ) 5- 5+ D 2 tan x - tan x tan x + tan x - = Lời giải Theo giả thiết, ta có f (tan x ) = + tan x + tan x + tan x t + t- ¾¾ ® f (t ) = t2 + A 25 B - C Do S = f (a ) f (b ) = f (a ) f (1 - a ) = a + a - (1 - a ) + (1 - a )- khao sat - ³ Chọn C 2 a2 + (1 - a ) + æ pö Câu 97 Cho hai số thực x , y thuc ỗỗ0; ữ ữ v tha cos x + cos y + sin (x + y ) = Giỏ tr nh ỗ ố 2ữ ứ P = cos x cos y + y x B C D p p p 3p Lời giải Ta có cos x + cos y + sin (x + y ) = Û sin x + sin y = sin (x + y ) A Suy x + y = p 45 Tải file word website http://dethithpt.com a b (a + b ) , ta m+ n é ứ p 2ỉ ữ ỗ 2 ỳ (cos2 x + cos2 y ) ờởcos x + cos ỗốỗ2 - x ữữứỳỷ éëêcos2 x + sin x ùûú P³ = = = x+ y x+ y x+ y p Áp dụng BĐT cộng mẫu m + Dấu '' = '' xảy Û x = y = n p Nhận xét Việc suy x + y = ³ Chọn C p chứng minh sau: ỉ pư p p Với x , y Ỵ çç0; ÷ suy - x , - y thuc ữ ữ ỗ ố 2ứ 2 ộ pự Trên đoạn ê0; ú, hàm y = sin x đồng bin 2ỳ ỷ ổ pử ỗỗ0; ữ ữ ữ ỗố ứ ổp ùỡù p đ sin x > sin ỗ - yữ = cos y ữ ùù x > - y ắ ắ ỗ ữ ỗ è2 ø p  Nếu x + y > Þ ïí ỉp ïï p ® sin y > sin ỗ = cos x ùù y > - x ắ ắ ữ ỗ - xữ ữ ỗ ố2 ứ ùợ ắắ đ sin x + sin y = sin x sin x + sin y.sin y > sin x cos y + sin y.cos x = sin (x + y ): mâu thuẫn  Tương tự cho x + y < p p : thỏa mãn Câu 98 Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn M tất æ pù hàm số y = a + b sin x + c cos x vi x ẻ ỗỗ0; ỳ ỗố ỳ ỷ  Trường hợp x + y = A M = 1+ B M = + ( Lời giải Ta có a + b sin x + c cos x ) £ (a é = ê1 + ê ë C M = + 2 ( D M = + ) + b + c )(1 + sin x + cos x ) ù ỉ pư ú£ + sin ỗ ữ ỗx + ữ ữ ç è øú û ( ) Suy a + b sin x + c cos x £ + b c ïìï = ìï ïï a = ïï a = 2 ; b = c = sin x cos x ïï ï 2+ 2 + Chọn C Þ ïí Dấu '' = '' xảy Û ïí a + b + c = ïï ïï p ỉ p÷ ỉ p ù ïï x = ùù x+ ữ = 1, x ẻ ỗ 0; ỳ ùùợ ùù sin ỗ ỗ ỗ ữ ç ç ú è è 4û 4ø ïỵ Câu 99 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn sin (2 - 2ab )- sin (a + b ) = 2ab + a + b - Giá trị nhỏ biểu thức S = a + 2b 10 - 3 10 - 10 - B C 2 Lời giải Ta có sin (2 - 2ab )- sin (a + b ) = 2ab + a + b - A D 10 - Û sin (2 - 2ab )+ (2 - 2ab ) = sin (a + b )+ (a + b ) ® hàm số f (t ) đồng biến Xét hàm f (t ) = sin t + t với t Î ¡ Ta có f ' (t ) = cos t + ³ ¾ ¾ Mà f (2 - 2ab ) = f (a + b ) nên - 2ab = a + b Û b = Khi S = a + 2b = a + 2- a (vì b > Þ a < ) 2a + 10 - - 2a Chọn A Khảo sát hàm số (0;2) ta S = 2a + 46 Tải file word website http://dethithpt.com Câu 100 Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn cos (x + y + 1)+ = cos (3 xy )+ xy - x - y Giá trị nhỏ biểu thức S = x ( y + 2) 28 + 11 + B C 21 Lời giải Ta có cos (x + y + 1)+ = cos (3 xy )+ xy - x - y A D 7+ 21 Û cos (x + y + 1)+ (x + y + 1) = cos (3 xy )+ (3 xy ) ® hàm số f (t ) đồng biến Xét hàm f (t ) = cos t + 3t với t Ỵ ¡ Ta có f ' (t ) = - sin t + > ¾ ¾ Mà f (x + y + 1) = f (3 xy ) nên x + y + = xy Û x = Khi S = (y + 1)(y + 2) 3y - = y+ 3y - 11 + y2 + 3y + Chọn A Khảo sát ta tìm S = 3y - HẾT 47 ... số f (x ) = sin 2018 x + cos 2018 x A 21008 B 21009 C D 21008 Vấn đề 10 Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m Câu 91 Có giá trị tham số thực a để hàm số y = ? 10 cos x + a sin x + có giá trị lớn... Cõu 26 Cho phương trình sin 2018 x + cos 2018 x = (sin 2020 x + cos 2020 x ) Số vị trí biểu diễn nghiệm phương trình đường tròn lượng giác là? A B C 2018 2018 Lời giải Phương trình Û sin x (1... (sin 2018 x + cos 2018 x )- = Û 2017 (sin 2018 x + cos 2018 x ) = : vơ nghiệm  sin x + cos x = Û tan x = - Û x = - 1009 ỉa1009 + b1009 ỉa + b ÷ ÷ = với a = sin x , b = cos x ỗỗ ữ sin 2018 x