Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ ĐẠO HÀM Định nghĩa đạo hàm điểm  Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) x0  (a; b): f '(x )  lim f (x)  f (x ) x  x0 x x y x 0 x = lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục diểm Ý nghĩa đạo hàm  Ý nghĩa hình học: + f (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x ;f (x )  + Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x ;f (x )  là: y – y0 = f (x0).(x – x0)  Ý nghĩa vật lí: + Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s(t0) + Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q(t0) Qui tắc tính đạo hàm (C)' = (x) = (xn) = n.xn–1  x   (u  v) = u  v (uv) = uv + vu x  u  uv  vu (v  0)    v v2   v    v v (ku) = ku  Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x ux hàm số y = f(u) có đạo hàm u yu hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm x là: yx  yu.ux Đạo hàm hàm số lượng giác  lim sinx  1; x0 x sinu(x)  (với lim u(x)  ) x x xx u(x)  (sinx) = cosx (cosx) = – sinx  tanx    lim cos x Vi phân  dy  df (x)  f (x).x Đạo hàm cấp cao  cot x     sin2 x  f (x  x)  f (x )  f (x ).x   f ''(x)   f '(x) ; f '''(x)   f ''(x) ; f (n) (x)   f (n1) (x)  (nN, n  4)  Ý nghĩa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f(t0) VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghĩa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghĩa ta thực bước: Cách 1: B1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn y x 0 x f (x)  f (x ) f (x)  f (x ) Cách : Tính lim lim =L f '(x )  L (1) x x x x x  x0 x  x0 B2: Tính lim Quan hệ tính liên tục có đạo hàm + Hàm số liên tục có đạo hàm Ta thường gặp tốn CM hs liên tục khơng có đạo hàm + Hàm số có đạo hàm x0 liên tục x0 Vậy hàm số khơng có đạo hàm :+f(x) không liên tục tức lim f (x)  f (x ) x x x  x0   f’(x0+)≠f’(x0-) Bài 1: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: 1) y  f (x)  2x  x  x  ĐS: f’(1)=3 2) y  f (x)   2x x0 = –3 2x  x0 = x 1  4) y  f (x)  sinx x0 = 3) y  f (x)  5) y  f (x)  x x0 = 6) y  f (x)  ĐS: f’(-3)=-1/3 ĐS: f’(2)=-3  ĐS: f’( )= ĐS: f’(1)=1/3 x2  x  x0 = ĐS: f’(0)=-2 x 1 7) f(x)= x(x-1)(x-2) (x-1997) x0 = ĐS : f’(0)=- 1997! 8) f(x)= x(x+1)(x+2) (x+2013) x0 = -1000 ĐS: f’(-1000)= 1000!.1013!  sin x x   9) f(x) =  x x0 = ĐS: f’(0)=1 0 x     x sin x  10) f(x) =  x = ĐS: f’(0)=0 x 0 x = 11)  x cos x  f(x) =  điểm x0 = ĐS: f’(0)=0 x 0 x  1 - cosx x   12) f(x) =  x = ĐS: f’(0)=1/2 x 0 x = 13) (x  1)2 nÕux  f(x) =   x nÕux  x0 = ĐS: f’(0) k HD: tính đạo hàm trái phải có đạo hàm x0 14) f ( x)  x x  x0 = ĐS: f’(0)=0 15) f(x) = x x0 = ĐS: f’(0)=1 1 | x | 16) f(x) = |x | taïi x0 = ĐS: f’(0) kxđ ĐH trái khác ĐH phải x 1 x neáux  17) f(x) =  điểm x0 = ĐS: f’(0)=0 x neáux  Gia sư Tài Năng Việt 18) https://giasudaykem.com.vn (ĐHHH  1997): Chứng minh hàm số y = x  | x  3| liên tục x = -3 khơng có đạo 3x  hàm điểm ĐS: kxđ 53/100 ≠13/100 1    x sin x   x sin x  19) Cho f(x)   g(x)   x x  0 x  x  0 a Xét tính liên tục f(x), g(x) x=0 ĐS: liên tục x=0 b Tính f’(x), g’(x) x=0 ĐS:f’(0) kxđ; g’(0)=0   xsin x  20) Cho hàm số f(x) =  x 0 x = Chứng minh hàm số liên tục R khơng có đạo hàm x = ĐS: gh kẹp; giới hạn không hội tụ tới số cụ thể   xcos x  21) Cho hàm số f(x) =  x 0 x = a) Chứng minh hàm số liên tục R ĐS: Giới hạn kẹp b) Hàm số có đạo hàm x = khơng? Tại sao? ĐS: cos(a) ln thuộc đoạn [-1;1] không tiến tới số cụ thể ax + bx x  22) Cho hàm số f(x) =  x < 2x - Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x = ĐS:a=1;b=0 HD:b1 hàm số phải liên tục x=1 b2: có đạo hàm x=1(đạo hàm trái đạo hàm phải x=1) x  ax + b  23) Cho hàm số f(x) =  cos2x - cos4x x <  x Tìm a, b để hàm số có đạo hàm x = 24) ĐS: a=6;b=0 x + a x  4x - x > Cho hàm số f(x) =  Tìm a để hàm số khơng có đạo hàm x = ĐS :a≠2 HD : có ĐH a=2 ngược lại khơng có x x  25) Cho hàm số: f(x) =  Tìm a, b để f(x) có đạo hàm điểm x = ĐS:a=2; b=-1 ax  b x  p cosx  q sin x x  26) Cho hàm số: f(x) =  Chứng tỏ với cách chọn p, q hàm f(x) x  px  q  có đạo hàm điểm x = ĐS: hàm số liên tục :p=q+1; hs có ĐH p=q nên kxđ đc p,q Bài 2: Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: 1) f (x)  x  3x  4) f (x)  2) f (x)  x3  2x 3) f (x)  x  1, (x   1) 2x  7) f(x) = cos2x 8) f(x) = cosx 5) f (x)  sinx 6) f (x)  cosx VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm cơng thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) cơng thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tính đạo hàm hàm số sau: (Tổng, hiệu, tích, thương) Baøi 1: 1 1) y = x4  x3 + x2  x + a3 2) y  2x  x3  x  3 x – 2x2 + 3x 3) y = 4) y = - x4 + 2x2 + 5) y   x x x x ĐS: y '  6 x   x AD : y  x m n x  y'  mn x Tính : y  n1 2 x ;y  2x ;y  6) y = (x + 1)(x + 2)(x + 3) ĐS: y’=3x +12x+11 7) y  (x3  2)(1  x ) ĐS: y’=3x2-5x4+4x 8) y  (x2  1)(x  4)(x  9) ĐS: y’=6x5-56x3+88x 9) y  (x  3x)(2  x) ĐS:y’=-3x2-2x+6 10) y = ( x3 – 3x + ) ( x4 + x2 – ) ĐS:y’=7x6-10x4+8x3-12x2+4x+3     1 x 1   1 ĐS: y    x  x2 x ax  b 2x  2x  x3 x 1 12) y  ; y ;y  ;y  ;y  (ad  bc  0) AD: y  cx  d  3x 2x  2x  2x  x2 11) y  13) y = 14) y  15) y  16) y = 17) y = ax2  bx  c px  q x  3x  x 1 2x  3x  x  2x  x  3x  x2  x  AD: y = ;y= ;y= ;y= x 1 x 1 x2 x2 ĐS: y  x  2x  x  1 2x  4x  2x  12x  11 ĐS: y  x 3  x  3 2x ĐS: ĐS: y  x2  x2  x  ĐS: y   x  x2 x  2x x2  x 1 19) y = 2  2x  x  1 5x   x  x2 18) y  20) y  ĐS: y  ĐS: y  2x x  2x  x   x 1 5) y  (x  2x  5) ĐS: 7) y  2(2x  2) (x  2x  5)3 Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau; Tìm x để y’=0 1) y   x 2) y  x  3) y  x    x  ĐS: x=5 4) y   x   x ĐS: x=1   x 1 x   x 1 4x  12x x   2x  ĐS: -16x(3-2x2)3 2 x  2x3  5x  5x  6x  3)y = (8x  3x )5 ĐS :5(8-6x)(8x-3x2)4 x ĐS: y  Baøi 2: Tính đạo hàm hàm số sau: (Hàm số hợp: y=f’u u’x) 1) y  (x  x  1)4 ĐS:4(x2+x+1)3(2x+1)  2x   6) y    ĐS : 2) y  (1  2x )5 ĐS:-20x(1-2x2)4  x 1  4) y    2x   4x (x  1)2 (x  1)3 ĐS:   2x    x 1    x  1  9 x  4x  (x  1)4 2 3x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 5) y  x   x ĐS:x= 2 6) y  2 x  x  ĐS:x= 7) y  3x  9x  6x  ĐS:vô nghiệm 8) y  x  x  ĐS: VN 3 ;VN x x 2x x x ; y’=0 x=0 10)y = x2 + x x + 1ĐS: y’= 2x  9) y = ĐS: y '  11) y  2x  5x  ĐS:x=5/4 12) y  x  2x   x  2x  ĐS: y’=0 x=0 13) y  x3  3x  ĐS: x=-1 14) y  x  x ĐS: y  x 1 x x x x2 15) y   x  1 x  ĐS: y  16) y  17) y  x3 ĐS: y  x2  x 1 x  x 1  3x x2 1 ; VN x 2 ; x=-2 ; x=1/3 ĐS: y   x(x  2) ; x=0;x=-2 x2  x 1 18) y  (x  2) x  ĐS: y  2x  2x  , VN x2  19) y  20) y  21) y  4x  ĐS: y   x x2  x2  3x  x 1 x 4 x ĐS: y   x x2 1 ĐS: y  4  x2 22) y  x  x ĐS: y   2x 2 1 x2 23) y  24) y = 25) y  26)y =  x2 4 ĐS: y  x x2 x2  x2  x2 1 x ĐS: y'  ; x=±1 x 2x x  x2 x  2x ĐS: y '  x 1 2(x  1) 1 x 1 x ĐS: y  27) y  (x  2)3 x 1 ;x=2 x2 3 x ; VN 1 x ĐS: y  (x  2) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 28)yx  1với x≠1 ĐS:y’=-1 với x1 29) y=x2 3x+2với x≠1;x≠2 ĐS:y’=2x-3 với x2; y’=3-2x với 10 Baøi 12: Cho hàm số y   mx3   m  1 x  mx  Xác định m để : a) y '  , x  ĐS: m≥1/2 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) y '  có hai nghiệm phân biệt âm ĐS: 0