Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LƯỢNG GIÁC I CƠNG THỨC I Cơng thức lượng giác  , a   k ( k  ) cos a  tan a.cot a  1, a   k (k  )  cot a  , a  k  k   sin a I Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt sin a  cos a  1  tan a  a Cung đối:    cos     cos tan      tan  sin      sin  cot      cot  b Cung bù:     sin      sin  tan       tan  cos      cos c Cung phụ:   cot       cot     sin      cos 2    tan      cot  2      cos      sin  cot      tan  2  2  d Cung  :      sin       sin  tan      tan  cos      cos cot      cot  Chú ý: cos đối, sin bù, phụ chéo,  tan cot I Công thức cộng sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b sin  a  b   sin a.cos b  cos a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b cos  a  b   cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b  tan a.tan b tan a  tan b tan  a  b    tan a.tan b tan  a  b   Chú ý: sin sin.cos , cos.sin ; cos cos.cos , sin.sin trừ ; tan tan tổng chia trừ tích tan I Công thức nhân đôi Trang Gia sư Tài Năng Việt sin 2a  2sin a.cos a https://giasudaykem.com.vn cos2a  cos a  sin a  cos a    2sin a tan 2a  tan a  tan a I Công thức hạ bậc  cos2a  cos2a  cos2a sin a  cos a  tan a  2  cos2a  I Công thức tính theo t  tan 2 2t 1 t 2t a   sin a  cos a  tan a     k , k   2 1 t 1 t 1 t 2  I Công thức nhân ba tan a  tan a sin 3a  3sin a  4sin a cos3a  cos a  3cos a tan 3a   tan a I Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b ab a b cos a  cos b  cos cos cos a  cos b  2sin sin 2 2 ab a b ab a b sin a  sin b  2sin cos sin a  sin b  2cos sin 2 2 sin  a  b   sin  a  b       tan a  tan b  tan a  tan b   a, b   k , k    a, b   k  , k   cos a.cos b  cos a.cos b    I Cơng thức biến đổi tích thành tổng cos  a  b   cos  a  b   2 sin a.sin b  cos  a  b   cos  a  b   sin a.cos b  sin  a  b   sin  a  b   I 10 Bảng giá trị lượng giác cung đặc biệt cos a.cos b  Cung 00   sin cos tan cot ║   300   6 3   450   4   600   3 2 2 2 1  2  1200      3  1350      2 2  ║  1  1   900   2  5  1500     1800    1  ║  0 Chú ý:  sin   n với   00 ; 300 ; 450 ; 600 ; 900 ứng với n = 0; 1; 2; 3; Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  Công thức đổi từ độ sang radian ngược lại: a0   180  I 11 Đường tròn lượng giác sin π 3π π 4 2π π cos O -1 7π 5π 4 -1 3π Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II Phương trình lượng giác bản: II.1.1 Phương trình sin x  a  a  : Phương trình vơ nghiệm  a 1  x    k 2  sin x  sin    k    x      k 2  x    k 3600  sin x  sin    k  0  x  180    k 360   x  arc sin a  k 2  sin x  a   k    x    arc sin a  k 2  f  x   g  x   k 2 Tổng quát: sin f  x   sin g  x    k   f  x     g  x   k 2 * Các trường hợp đặc biệt  sin x   x    k 2  sin x  1  x    sin x   x  k   k    k 2 k   k   Ví dụ: Giải phương trình sau: a ) sin x  sin  12 b)sin x   sin 360 c) sin x  d ) sin x  Giải     x   k 2 x   k 2    12 12 a)sin x  sin    k    11  12  x     k 2 x   k 2   12 12  x  360  k 3600  x  360  k 3600 0 b) sin x   sin 36  sin x  sin  36      0 0  x  180   36   k 360  x  216  k 360  x  180  k1800  k  0  x  108  k180   2   3x   k 2 x  k    18 c)sin 3x   sin 3x  sin    k  3x  5  k 2  x  5  k 2   18   Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  x  arcsin  k 2  d )sin x    k   x    arcsin  k 2  II.1.2 Phương trình cos x  a   a  : Phương trình vơ nghiệm  a 1  cosx  cos  x    k 2  k    cosx  cos  x     k 360  k  0   cosx  a  x   arccosa  k 2  k   Tổng quát: cosf  x   cosg  x   f  x    g  x   k 2  k   * Các trường hợp đặc biệt k   cosx  1  x    k 2  k    cosx   x  k 2    k  k   Ví dụ: Giải phương trình sau:  a ) cos x  cos b) cos x  450   cosx   x   Giải a) cos x  cos  b) cos x  45   x    k 2  k  c)cos4 x   ; d ) cos x    x  450  450  k 3600  x  450  k 3600 0   cos x  45  cos45    k  0 0  x  90  k 360  x  45  45  k 360   3 3 3   cos4 x  cos  4x    k 2  x    k , k  4 16 3 d ) cos x   x   arccos  k 2 , k  4 II.1.3 Phương trình tan x  a c)cos4 x     k    tan x  t an  x =  k1800  k    tan x  a  x = arctan a  k  k   Tổng quát: tan f  x   tan g  x   f  x   g  x   k  k    tan x  t an  x =   k Ví dụ: Giải phương trình sau: a) tan x  tan  b) tan x     c) tan x  200  Giải Trang Gia sư Tài Năng Việt  https://giasudaykem.com.vn   k ,  k   3 1   1  1 b) tan x    x  arctan     k  x  arctan     k ,  k   4  3  3 0 0 c) tan x  20   tan x  20  tan 60  x  20  60  k1800  x  800  k1800 a) tan x  tan  x  II.1.4 Phương trình    x  200  k 450 ,  k  cot x  a  k    cot x  cot   x =  + k1800  k    cot x  a  x = arc cot a + k  k    cot x  cot   x =  + k 0 Tổng quát: cotf  x   cotg  x   f  x   g  x   k  k   Ví dụ: Giải phương trình sau: a ) cot x  cot 3   c) cot  x    6  b) cot x  3 Giải 3 3    3x   k  x   k ,  k   7  b) cot x  3  x  arctan  3  k  x  arctan  3  k ,  k   4           c) cot  x     cot  x    cot  x    k  x   k  x   k ,  k  6 6 6 6   a) cot 3x  cot Bài tập đề nghị: Bài 1: Giải phương trình sau: 1) sin  x  1  sin  3x  1   4) cot 450  x  3     2) cos  x    cos  x   4 2   5) sin2x  3) tan  x  3  tan   6) cos 2x  250      2 7) sin3x  sin x 8) cot  4x  2   10) sin  x  600   sin x  11) cos   13) tan x  cot   x  4  14) sin2x  cos3x 16) sin4x   cos x 17) sin5x   sin2x  2  15) sin  x    cos2x   18) sin2 2x  sin2 3x 20) sin4x  cos5x  21) 2sin x  2sin2x  19) tan  3x  2  cot 2x  22) sin2 2x  cos2 3x  x 24) cos x  2sin2   x   cos x  300 9) tan x  150   23) sin5x.cos3x  sin6x.cos2x   25) tan  3x   cot  5x     2  3 12) sin x  cos x  26) tan5x.tan3x  Trang  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn     27) sin  cos x   28) tan   sin x  1   4  4    Bài 2: Tìm x   ;  cho: tan  3x  2   2   Bài 3: Tìm x   0;3  cho: sin  x    2cos x    3 6   HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1: Giải phương trình sau: 18) sin2 2x  sin2 3x  1 cos4x  cos6x   cos4x   cos6x  cos4x  cos  6x  2 22) sin2 2x  cos2 3x   1 cos4x  cos6x    cos4x  cos6x 2 23) sin5x.cos3x  sin6x.cos2x  1 sin2x  sin8x   sin4x  sin8x   sin2 x  sin4x  2 24) cos x  2sin2 x   cos x  1  cos x    cos x  2   25) tan  3x   cot  5x     1 25 2    Vì tan  3x    cot  5x     không nghiệm pt (25) nên ta có: 2        tan  3x   cot  5x      tan  3x     tan  3x    tan  5x    2  cot  5x    2    26) tan5x.tan3x  1 26 Vì tan5x  tan3x  không nghiệm pt (26) nên ta có:   tan5x.tan3x   tan5x   tan5x  cot 3x  tan5x  tan   3x  tan3x 2  Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp: II.2.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác: II.2.1.1 Định nghĩa: phương trình bậc hàm số lượng giác phương trình có dạng at  b  t a,b số  a   t hàm số lượng giác  0; tan x   0; cot x   II.2.1.2 Phương pháp: Đưa phương trình lượng giác Ví dụ: 2sin x   0; cos2 x  Giải   x   k 2   a) 2sin x    sin x   sin x  sin   k    x  5  k 2  1 2 2  b) cos2 x    cos2 x   cos2 x  cos  2x    k 2  k    x    k  k  2 3 1 c) tan x    tan x   x  arctan  k  k   3 1 2 2 d) cot x    cot x   cot x  cot x  k  k   3 II.2.1.3 Phương trình đưa phương trình bậc hàm số lượng giác:  Ví dụ: Giải phương trình sau: 2cos x  sin x  Giải cos x  sin x   cos x  2sin x cos x   cos x 1  2sin x      x   k  cos x  cos x        x   l  k , l   sin x  1  2sin x     x  5  l  Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 29) 2cos x   30) tan 3x    II.2.2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn II.2.2.1 Định nghĩa: Phương trình bậc hai hàm số lượng giác phương trình có dạng at  bt  c  , a, b, c số  a   t hàm số lượng giác Ví dụ: a) 2sin x  sin x   phương trình bậc hai sin x b) cos x  3cosx   phương trình bậc hai cos2 x c) tan x  tan x   phương trình bậc hai tan x d) 3cot 3x  cot 3x   phương trình bậc hai cot 3x II.2.2.2 Phương pháp: Đặt ẩn phụ t hàm số lượng giác đưa phương trình bậc hai theo t giải tìm t, đưa phương trình lượng giác (chú ý điều kiện 1  t  đặt t sin cos) Giải a) 2sin x  sin x   0(1) Đặt t  sin x , điều kiện t  Phương trình (1) trở thành: t   nhân  2t  t     t   loai   Với t=1, ta sin x   x  k 2  k   b) cos x  3cosx     Đặt t  cosx , điều kiện t  Phương trình (2) trở thành:  3  13  nhân  t  2  t  3t     3  13  loai  t   3  13 3  13 3  13 Với t  ta cosx   x   arccos  k 2  k  2 Các câu lại giải tương tự  II.2.2.3 Phương trình đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác: Ví dụ: Giải phương trình sau: a)3sin 22 x  cos x   b)7 tan x  4cot x  12 Giải a)3sin 2 x  cos x     cos 2 x  cos x      3cos 2 x  cos x   cos x  3cos x    cos x   3cos x   *) Giải phương trình: cos x   x    k  x  *) Giải phương trình: 3cos x    cos x  Vì  k  ,k   7  nên phương trình 3cos x   vô nghiệm Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Kết luận: nghiệm phương trình cho x   b)7 tan x  4cot x  12 1 k  ,k   Điều kiện: sin x  cos x  Khi đó:  12   tan x  12 tan x   1  tan x  tan x Đặt t  tan x , ta giải phương trình bậc hai theo t: 7t  4t  12  Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 32) cos2 x  sin x   35) 2cos2x  2cosx -  38) 24 sin x  14cosx 21  31) 2cos2 x  3cos x   34) 2sin x  5sinx –  37) tan x  (1  3) tan x=0   39) sin  x    2cos 3     x   1 3  33) 2cos2x  4cos x  36) cos2 x  sin x   40) 4cos2 x 2( 1)cosx   II.2.3 Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx: II.2.3.1 Định nghĩa: Phương trình đẳng cấp bậc hai sinx cosx phương trình có dạng a.sin x  b.sin x cos x  c.cos x  d  a, b, c   II.2.3.2 Phương pháp:  Kiểm tra cos x  có nghiệm khơng, có nhận nghiệm  cos x  chia hai vế cho cos x đưa phương trình bậc hai theo tan x :  a  d  tan x  b tan x  c  d  Ví dụ: Giải phương trình sau Bài tập đề nghị: 41) 3sin x  4sin x cos x+5cos2 x  42) 2cos x  3 sin x  4sin x  4 44) 4sin x  5sin x cos x  6cos x  46) 4sin x  6cos x  43) 25sin x  15sin x  9cos x  25 45) 4sin x  5sin x cos x  II.2.4 Phương trình bậc sin x cos x : II.2.4.1 Định nghĩa: Phương trình bậc sin x cos x phương trình có dạng a sin x  b cos x  c a, b, c  a  b2  Ví dụ: sin x  cos x  1; 3cos x  4sin x  1; II.2.4.2 Phương pháp: Chia hai vế phương trình cho a b c sin x  cos x  2 2 a b a b a  b2 c  : Phương trình vơ nghiệm  Nếu a  b2  Nếu c a b 2  đặt cos  a a b 2  sin   a  b ta được: b a  b2 Trang 10 Gia sư Tài Năng Việt (hoặc sin   a  cos  https://giasudaykem.com.vn b ) a  b2 c c Đưa phương trình dạng: sin  x     (hoặc cos  x     ) sau giải phương trình a  b2 a  b2 lượng giác a b 2 Chú ý: Phương trình a sin x  b cos x  c a, b, c  a  b2  có nghiệm c2  a  b2 Giải Ví dụ: giải phương trình sau: a) sin x  cos x  1; b) 3cos x  4sin x  1; Bài tập đề nghị: Giải phương trình sau: 47) 2sin x  2cos x  48) 3sin x  4cos x  50) 3cos x  4sin x  5 51) 2sin x  cos x    53) sin4 x  cos4  x    (*) 4  49) 3sin  x  1  4cos x  1  52) 5sin x  6cos x  13;(*) 54) sin x  cos x III BÀI TẬP Bài Giải phương trình sau: 55 sin x  56 cos2 x   2     58 cot   x   59 sin x  sin  x   4 8   61 cos  x  200   sin  600  x      62 tan  x     cot  x   6 3   Bài Giải phương trình sau:   64 2sin  3x     65 cos2 x  cos2x=0 6  67 2sin x  sin x   68 4sin x  4cos x   70 2cot x  6cot x   57 tan  x  300        60 cot  x    cot   x  3  4  63 tan x  66  tan x  1 cos x  69 tan x  2cot x   71 sin x  cos4 x  cos x  72 1  cos4 x  sin x  sin 2 x (*) 73 3sin x  2sin x cos x  cos x  74 cos2 x  sin x  sin x  75 sin 2 x  sin x  cos 2 x  Bài Giải phương trình sau: 76 3sin x  4cos x  77 sin x  cos x   79 sin x  sin x  80 cos x  9cos x   Bài Giải phương trình sau: 81) sin x  cos x  78 cos x  sin x  Trang 11 Gia sư Tài Năng Việt 82) cos x  sin x   83) 84) 3sin x  cos x  5cos x  12sin x  13 sin x  sin x  2 cos x  sin x  85) 86) 87) 88) 89) 90) 91) 92) 93) 94) https://giasudaykem.com.vn 4sin x  3sin 2x 2cos2 x  24sin x  14cosx  21      tan   x   cot   x    6  6      sin  x    cos  x    3 3   3sin x  8sinxcosx   cos x    2sin 3x  sin x  cos x  sin x      sin  x    3cos  x    3 3     95) 4cos x 2 96) sin x –10sinxcosx  21cos x  97) 98) cos2 x  sin x  2sin 2x  cos 4x  sin3x.cosx  sinx.cos 3x sinx  cosx  sinx 99)  cosx   Dành cho HS – giỏi 100) cos x  sin x  2cos3x 101) HD: tanx  tan 2x  tan 3x tanx  tan 2x  tan 3x  sin 3x sin 3x 1     sin 3x   0 cos x.cos x cos 3x  cos x.cos x cos 3x  Giải phương trình Trang 12 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 1  0 cos x.cos x cos x  cos x  cos x.cos x     cos3 x  3cos x  cos x cos x    cos x  cos x     cos x cos x   102)  2sinx  cosx 1  cosx   sin x (1  cos 2x)sin 2x  sin x Hướng dẫn: (1  cos 2x)sin 2x  sin x 104) cosx 1  tanx  sinx  cosx   sinx 103) 105) cot x  tan x  sin x  cos x Hướng dẫn cot x  tan x  sin x  cos x , (điều kiện sin x  cos x  ) cos x sin x    sin x  cos x sin x cos x cos x  sin x   sin x  cos x sin x cos x   cos x  sin x  cos x  sin x    sin x  cos x  sin x cos x    cos x  sin x  cos x  sin x  sin x cos x   cos x  sin x   91a   cos x  sin x  sin x cos x   91b  HD giải pt 91b): cos x  sin x  sin x cos x  Đặt t  cos x  sin x  t   cos x  sin x    2sin x cos x   sin x cos x  t 1 Thay vào phương trình, ta được: t 1 t   t  2t    t  1   t  1  2 Ta giải phương trình: cos x  sin x  1  ; cos x  sin x  1  106) sin 2x  cos x   3    cos 2 x  1  cos x    4 Giải phương trình bậc hai hàm số cos 2x 2sin 17x  3cos 5x  sin 5x  HD: HD: sin 2x  cos x  107) Trang 13 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 2sin17x  3cos 5x  sin 5x  cos 5x  sin 5x  2    sin17x  sin   x   3  cos 7x  sin 5x   cos 5x  sin 7x   sin17x  108) x  tan 2x  450 tan 1800    2   cos x sin x  200) cos x  cos x b) cos x  sin x  cos x   109)  HƯỚNG DẪN GIẢI 52) 5sin x  6cos x  13;(*)  5sin x  1  cos x   13  sin x  3cos x  16     1  cos 2x          cos2x    53) sin4 x  cos4  x          4 2         1  cos2x   1  sin2 x   2   2cos2x  cos2 2x   2sin2x  sin2 x    cos2x  sin2x   cos2x  sin2x   cos2x   sin sin2 x     cos2 x  cos sin2 x  sin 4     sin   2x   sin 4  72) 1  cos4 x  sin x  sin 2 x 1  cos4 x  sin x  sin 2 x  Trang 14 Gia sư Tài Năng Việt 85) sin x  sin x  https://giasudaykem.com.vn 1 1  cos x   sin x  2  sin x  cos x  87) cos x  sin x  cos3x  cos x  sin x  cos3x BÀI TẬP BỔ SUNG: Giải phương trình sau: 201) cos5x sin4x  cos3x sin2x 202) cos2 x  cos2 2x  203) sin x  sin2x  sin3x  cos x  cos2x  cos3x 204) sin3x  sin5x  sin7x  205) cos2 x  cos2 2x  cos2 3x  (*)    3 x  206) sin   x   2sin3    (*) (hay) 4   2 HD : t    3 x     x  3t  2  sin   x   sin3t 4 4     3  207) sin  3x    2sin  x   4    III ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG QUA CÁC NĂM 1) cos 3x cos x  cos x  2)  sin x  cos x  sin x  cos2 x      cos x  sin x  cos  x   sin  3x     4  4  6 cos x  sin x  sin x cos x 4) 0  2sin x x  5) cot x  sin x 1  tan xtan   2  6) cos3x  cos2 x  cos x 1  3)   (Khối A - 2005) (Khối B - 2005) (Khối D - 2005) (Khối A - 2006) (Khối B - 2006) (Khối D - 2006) 7) 1  sin x  cos x  1  cos x  sin x   sin x (Khối A – 2007) 8) 2sin 2 x  sin x   sin x (Khối B – 2007) x x  9)  sin  cos   cos x  2 2  (Khối D – 2007) Trang 15 Gia sư Tài Năng Việt  7   4sin   x 3     sin  x     3 11) sin x  cos x  sin xcos x  sin xcosx 10)  sin x 12) 2sin x 1  cos2 x   sin x   2cos x 13)  2sin x cos x  1  2sin x 1  sin x  https://giasudaykem.com.vn (Khối A – 2008) (Khối B – 2008) (Khối D – 2008) (Khối A – 2009) 14) sin x  cos x sin x  cos 3x   cos x  sin x  (Khối B – 2009) 15) cos5 x  2sin 3x cos x  sin x  (Khối D – 2009)    sin x  cos2 x sin  x   4  16)  cos x  tan x 17)  sin x  cos x  cos x  cos x  sin x  (Khối A – 2010) (Khối B – 2010) 18) sin x  cos2 x  3sin x  cos x 1   sin x  cos2 x  2sin x.sin x 19)  cot x 20) sin x cos x  sin x cos x  cos2 x  sin x  cos x sin x  cos x  sin x  0 21) tan x  22) sin x  cos2 x  2cos x  (Khối D – 2010) 23) cos x  sin x cos x  cos x  sin x  (Khối B - 2012) 24) sin x  cos3 x  sin x  cos x  cos x (Khối D - 2012)   (Khối A - 2011) (Khối B - 2011) (Khối D - 2011) (Khối A A1 - 2012) Trang 16 ... Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn II.2 Một số phương trình lượng giác thường gặp: II.2.1 Phương trình bậc hàm số lượng giác: II.2.1.1 Định nghĩa: phương trình bậc hàm số lượng giác. .. 5π 4 -1 3π Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn II PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC II Phương trình lượng giác bản: II.1.1 Phương trình sin x  a  a  : Phương trình vơ nghiệm  a 1 ... Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  Công thức đổi từ độ sang radian ngược lại: a0   180  I 11 Đường tròn lượng giác sin π 3π π 4 2π π cos O -1 7π 5π 4 -1 3π Trang Gia sư Tài Năng