Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ I NGUYÊN HÀM Khái niệm Định nghĩa Cho hàm số f ( x) xác định K (K đoạn, khoảng, nửa khoảng) Hàm số F ( x) gọi nguyên hàm hàm số f ( x) K, F '( x)  f ( x) , với x  K Định lý Giả sử F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) khoảng K Khi a Với số C, hàm số G( x)  F ( x)  C nguyên hàm f ( x) b Ngược lại, G(x) nguyên hàm f ( x) tồn số C cho G(x) = F(x) + C c Họ tất nguyên hàm f ( x)  f ( x)dx  F ( x)  C , F ( x) nguyên hàm f ( x) , C số d Bảng nguyên hàm Nguyên hàm số hàm số thường gặp Nguyên hàm hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm hàm số hợp u  u( x)  kdx  kx  C , k  R  kdu  ku  C , k  R x  dx  x 1  C (  1) 1  u  du  u 1  C (  1) 1   dx  ln x  C ( x  ) x  du  ln u  C ( x  ) u  dx  x C x  du  u C u  e dx  e x x  a dx  x  e du  e C u ax  C (0  a  1) ln a u  a du  u C au  C (0  a  1) ln a  cos udu  sin u  C  cos xdx  sin x  C Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  sin udu   cos u  C  sin xdx   cos x  C dx  cos x  tan x  C ; dx  sin x du  cos   cot x  C u  tan u  C ; du  sin u   cot u  C Ngồi số công thức thường gặp k  (ax  b) dx  (ax  b) k 1  C , (a  0, k  1); a k 1 1 ax b e C; a  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C e ax  b  ax  b dx  a ln ax  b  C , a   cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C dx  Một số tính chất nguyên hàm Định lý Nếu F ( x), G( x) tương ứng nguyên hàm f ( x), g ( x) a  f '( x)dx  f ( x)  C b  [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx  F ( x)  G( x)  C ; c  a.f(x)dx  a  f ( x)dx  aF( x)  C (a  0) Một số phương pháp tìm nguyên hàm a Phương pháp đổi biến số Cơ sở phương pháp đổi biến số định lý sau: Cho hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục K hàm số y  f (u) liên tục cho f [u( x)] xác định K Khi F nguyên hàm f, tức  f (u )du  F (u )  C  f [u ( x)]dx=F[u(x)]+C b Phương pháp tích phân phần Một số dạng thường gặp: Dạng  P( x).eax b dx ,  P( x) sin(ax  b)dx ,  P( x)cos(ax  b)dx c dv  sin(ax  b)dx, dv  cos(ax  b)dx) Cách giải: Đặt u  P( x), dv  eax b dx ( hoaë Dạng  P( x) ln(ax  b)dx Cách giải: Đặt u  ln(ax  b), dv  P( x)dx Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn I TÍCH PHÂN Định nghĩa Cho hàm f ( x) liên tục khoảng K a, b hai số thuộc K Nếu F ( x) nguyên hàm f ( x) hiệu số F (b)  F (a) gọi tích phân b b f ( x) từ a đến b ký hiệu  f ( x)dx Trong trường hợp a  b tích phân f  a; b   f ( x)dx a a Tính chất tích phân Cho hàm số f ( x), g ( x) liên tục K a, b, c ba số thuộc K a b   f ( x)dx   a  a f ( x)dx    f ( x )dx a b c b a a c   f ( x)dx   f ( x )dx   f ( x )dx b b b a a   k f ( x )dx  k  f ( x )dx b b b a a a   [ f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx Một số phương pháp tính tích phân  Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số u (b ) b  f [u ( x)]u '( x)dx  a  f (u )du Trong u (a) f ( x) hàm số liên tục u ( x) có đạo hàm liên tục khoảng J cho hàm hợp f [u( x)] xác định J; a, b  J Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách Cách Đặt ẩn phụ u  u( x) ( u hàm x) Cách Đặt ẩn phụ x  x(t ) ( x hàm số t)  Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u( x), v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục khoảng K a, b hai số b b thuộc K  u ( x)v '( x)dx  u ( x)v( x)   v( x)u '( x)dx b a a a Ứng dụng tích phân  Tính diện tích hình phẳng  Nếu hàm số y  f ( x) liên tục  a; b  diện tích S hình phẳng giới hạn đồ b thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b S   f ( x) dx a Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , y  g ( x) hai đường thẳng x  a, x  b b S   f ( x)  g ( x) dx a  Tính thể tích vật thể Thể tích vật thể B giới hạn hai mặt phẳng vng góc với b trục Ox điểm a, b V   S ( x)dx Trong S(x) diện tích thiết diện a vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x   a; b  S(x) hàm liên tục  Tính thể tích khối tròn xoay  Hàm số y  f ( x) liên tục không âm  a; b  Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quay quanh trục hoành tạo nên b khối tròn xoay Thể tích V tính cơng thức V    f ( x)dx a Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số x  g ( y) , trục tung hai đường thẳng y  c, y  d quay quanh trục tung tạo nên khối tròn xoay Thể tích V tính d cơng thức V    g ( y)dy c CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Phần Tìm nguyên hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số (  x )dx x a  ( x  2)( x  x  4)dx b d  sin xdx e  tan xdx g  sin x.cos xdx h 2x x x  10 dx k x3  x  dx x5 l  sin(2 x  1)dx  c  sin f  cot i  xdx xdx ( x  1)( x  3) x2 m  (1  x )10 xdx dx Gia sư Tài Năng Việt n  ln x  x dx https://giasudaykem.com.vn o x  xe dx p dx  (1  x) Dạng Tìm ngun hàm phương pháp đổi biến Tính tích phân I   f ( x)dx Phương pháp Đổi biến t   ( x) , rút x theo t +) Xác định vi phân: dx   '(t )dt +) Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f ( x)dx  g (t )dt Khi I   g (t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn Hàm số có mẫu Đặt t mẫu Hàm f ( x,  ( x)) Đặt t   ( x) Hàm f ( x, n  ( x), m  ( x)) Đặt t  mn  ( x) Hàm f ( x)  asin x  b cos x c sin x  d cos x  e Đặt t  tan x Hàm lẻ với sinx Đặt t  cos x Hàm lẻ với cosx Đặt t  s inx Hàm chẵn với sinx cosx t =tanx Phương pháp Đổi biến x   (t ) +) Lấy vi phân dx   '(t )dt +) Biểu thị f(x) theo t dt, Giả sử: f(x)dx= g(t)dt Khi I   g (t )dt Lưu ý: Một số dấu hiệu dẫn tới việc chọn ẩn phụ: Dấu hiệu Có thể chọn     x | a | sin t ,   t    x | a | cost ,  t   a2  x2 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn x2  a2 |a|     x  sin t ,   t  ; t   x  | a | ,  t   ;t    cost x2  a2     x | a | tan t ,   t    x | a | cott ,  t   ax ax Đặt x  a cos 2t ax ax Đặt x  a  (b  a)sin t ( x  a)(b  x) Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  (2 x  1)3 dx b d  sin(7 x  6)dx e g  sin 2012 x.cos xdx h 9x2 l  o  cos (5 x  2) dx r u 1 x  2z z 5 dz 1 x  xe dx  1 e x dx m  x  x dx dx 1 x x dx  x4  x2  v x2  (1  x)39 dx  n  2x dx  4x  2x 1 x  x  2012 dx x (1  x )2 t s k xdx  2x2   cos (3x  1) dx sin(3 x  1) x q  sin x.cos xdx x f 1 sin cos dx x x p c  x( x  1)dx x xdx  4x  Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp phần Bài Tìm nguyên hàm hàm số a  xe x dx b  x cos xdx d  x ln xdx e  x ln( x  x  1) x 1 c  ( x  1).ln xdx dx f  e x cos xdx dx Gia sư Tài Năng Việt g x  cos x dx https://giasudaykem.com.vn h dx  sin x Dạng Nguyên hàm số hàm phân thức hữu tỷ Bài Tìm nguyên hàm a d g i dx 4x  b  x  dx  x  3x  dx x3 e x  x  3x  dx x2  5x  h  x3  x  dx x2  k  2x  dx c  (2 x  1) f x  4x  dx x  x 1 h 3x3  14 x  13x  dx  x2  5x   x2  x  dx ( x  1)3 l x 2x  dx  5x  2 4x  dx  3x  xdx 3 Dạng Nguyên hàm số hàm số lượng giác Các toán bản: a) Nguyên hàm hàm số có dạng:  f ( x)  cos ax.cos bx  f ( x)  sin ax.sin bx  f ( x)  sin ax.cos bx  f ( x)  sin ax; cos2bx Phương pháp chung: Dùng công thức biến đổi, công thức hạ bậc để đưa tổng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm: a  cos3x.cos xdx b  s inx.cos 2 xdx c  cos3 x.sin xdx b) Nguyên hàm hàm số có dạng: f ( x)  sin n x.cosm x Phương pháp chung: Dựa vào tính chẵn lẻ m, n để biến đổi đặt ẩn phụ cho phù hợp Bài Tìm nguyên hàm a  (sin x  cos x)dx 3 b  (sin x  cos x)dx cos3 x c  dx sin x Gia sư Tài Năng Việt d dx  sin https://giasudaykem.com.vn e  sin 2xdx x sin x dx g  cos6 x f dx  sin x h tan x  cos2 x dx Dạng Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến lượng giác Bài Tìm nguyên hàm a  a  x dx b  x  a dx c  x  a dx d  ax dx ax e  ( x  a)(b  x)dx f  dx ( x  a )( x  b) g dx  x2  a2 k (a1 x  b1 x  c1 )dx  ( x  d )(ax  bx  c) l  ( x  a ) ( x  b) h dx 2 với ( a  b ) dx  m (a  x )2 k 1  4sin x  3cos x dx s inx  cos x n  8cos xdx  sin x  cos2 x Bài Tìm nguyên hàm a  dx (1  x )3 cos2 x d  dx sin x g xdx  x  1   x x2 b  e  dx ( x  2)( x  1) h  dx s inx  cos x x2 1 dx dx c  f  x (1  x )3 2x x2 1 dx Dạng Nguyên hàm số hàm số mũ lơgarit Bài Tìm ngun hàm a dx  e (3  e x x ) d  x.ln xdx b  x ln x dx  ln x c  ( x  1).e x 1dx e e dx  ex  f 2x Phần Tính tích phân   ln x dx x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  Dạng Dùng định nghĩa tính chất tích phân Bài 10 Tính tích phân a x b  ( x  )2 dx  ( x  3x  1)dx 2 c  ( x x  1)dx  d 16  x  x  dx e dx x9  x  f  tan xdx  g   ( 2 x2  x  0 x  dx  4sin x  cos x)dx cos2 x h i   cos2 xdx    cos x  s inx.cos x l  dx  s inx x x k  (sin  cos4 )dx 2   sin m dx (5 x  6) n   2  cos5x.sin3xdx  o  s inx.cos ( x  )dx  p ( x  1)dx  x ln x x  Dạng Tính tích phân phương pháp phân tích Bài 11 Tính tích phân  a xdx 0 ( x  1)2 b x dx 0 x2  c  cos3 xdx    d dx 0 cos4 x e sin xdx 0 cos x  s inx f s inx  cos x   s inx  2cos x  dx  g  cos3 x.sin xdx h x dx ( x  1)  Dạng Tính tích phân phương pháp đổi biến Bài 12 Tính tích phân sau a  ( x  1) xdx 25 b  x x  1dx c x x2 dx  4x  Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn   d  2x 1 x2  x  dx cos3 x  dx  sin x e  ecos x s inx.cos xdx f   g  sin xdx h   cos x s inx.cos xdx i 0  ln x 1 x dx e 2  ln k  (sin x  e s inx ).cos xdx l  (3  e ) e dx x x  m 0 e x x dx Bài 13 Tính tích phân d   b  x dx e x2 1  3x dx x2 dx x c dx 1 x 2 dx a   x2   f a ax dx , (a  0) ax  g sin xdx 0 2sin x  cos2 x x h dx x2  Bài 14 Tính tích phân  a 2012  x sin xdx 1 d  1 x  1 x ln   x  dx cos4 x 0 sin x  cos4 x dx b cos xdx ex  1  c  e x sin xdx 0  cos2 x  ln( x  f x  1)dx 1   sin xdx g  x 1  2 h  ln(1  t anx)dx i  x.cos xdx 0   s inx )dx  cos x k  ln( l dx 0 e2 x  m  Dạng Tính tích phân phương pháp tích phân phần Bài 15 Tính tích phân 10 e dx  ex 2x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  b  x e2 x dx a  ( x  1)e2 x dx  d  x ln( x  1)dx c  (1  x) sin 3xdx e e  e x cos xdx f  cos(ln x)dx 0  ln(1  x) 1 x dx g h  cos x.ln(1  cos x)dx  Dạng Liên kết phương pháp đổi biến số tích phân phần Bài 16 Tính tích phân  a  x (e  x  1)dx 2x e5 ln x.ln(ln x)dx b  x e2 c  ( x  sin x  es inx ).cos xdx  Dạng Lập cơng thức tích phân truy hồi Bài 17 Lập cơng thức tích phân truy hồi cho tích phân sau  a I n   sin n xdx b I n   x n  xdx với n số nguyên dương 0 • Dạng Ứng dụng tích phân Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số sau a y  x  x trục hoành b y  x3  3x  đường thẳng x  y   c y  sin x cos3 x ; y  x  0; x   d y   x  x ; y  3x x2 e y  x ; y  ; y  x f y  x  x  ; y   x Bài 19 Tính thể tích khối tròn xoay quay quanh trục hình phẳng giới hạn 11 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a y  ln x ; trục hoành hai đường thẳng x  1, x  b y  xe x , trục hoành đường thẳng x  c y  cos2 x  x sin x , y  0, x  0, x  x2 , y  2, y  d y  Phần Bài tập tổng hợp Bài 20 Tính tích phân (ln x  2013)2 a  dx x e 3x b  dx ( x  3)2 d x  x dx  2 f    cos x  2sin x 2 dx  dx  4sin x  3cos x  dx h  (s inx  3cos x) dx x4  1  sin x x3  c  s inx e  dx  cos x o g i  cos x cos x  cos3 xdx  k  (es inx  cos x) cos xdx cos xdx sin x  4sin x  l  x m x dx  3x  Bài 21 Tính tích phân  e ln x a  dx x b  x.cos 3x x cos dx 2 c  x3 ln( x  1)dx  d  x ln( x  x  1)dx ln 3 e  x.tan xdx  f x3  x  x  g  dx x2  x  e3 h  e ln dx x ln x ln(ln x) i dx x sin (ln x) m  xe x ex  e2 x ex  dx dx  2(2 x  1) dx k  ( x  2)( x  1) e4 l   x2 1 1 x  dx e2  3 n  3 x  dx o  x3  x  x  dx 2 p   sin 12 dx x cot x Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 22 Tính tích phân ln  a e x  e x b  x  x dx e e (e  1) x ln ln e x dx e c x ln dx  2e x   x4  e  dx x 1 3 ln(t anx) d  dx  sin x f dx  x (1  x ) ln  2(e g x x2 h  (1  x )2  1) e  x i 1 x dx 1 x  2x  x dx l x 0  x8 dx m    n   k 1 e x dx o x x2  cos2 x  4sin x dx  dx sin x tan x 0 cos2 x dx (B-08)  2sin x 0  sin x dx p  sin x  s inx dx  3cos x e q (A-05)  r ln x 1 x(2  ln x)2 dx  3ln x ln x dx x e s   x  e  2x e u  dx  2e x t  ln( x  x)dx 2 x x Bài 23 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường sau a y  y  x  0, x  y  b y   x  x , y  x   3 c y  0, y  s inx, x  , x  2 d y  x  x  , x  2, y  x  e y  2 x , y  2 x , x  e f y  x , y  x  x , x  g y  (e  1) x, y  (1  e x ) x h y   x2 x2 , y 4 i y  x  x  , y  x  13  sin( x  ) dx v  sin x  2(1  s inx  cos x) Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 24 Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox a y  x, y  x b y  x ln x, y  0, x  e  c y  0, y  cos x  x s in x , x  0, x  Bài 25 Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Oy: y  0, y  x  x Bài 26 Tính tích phân  sin 2012 x 0 sin 2012 x  cos2012 x dx  ln( x   x )dx b c 1 sin x   2012x dx   x sin x  ( x  1) cos x d  dx x sin x  cos x  x sin x 0 cos2 x dx e  cot x  sin x  cos xdx  h x ln( x  2) 4 x 4x 1 dx 2x 1  4 g  a f   i dx x3  x  x x2  x    k   ( x  1)(1  2sin x)  cos2 x x cos x  cos2 x cos2 x dx  ex l  Bài 27 Tính tích phân  a b  ln(1  x) dx x2 x 0 x4  3x2  dx  x(1  sin x)dx c  Bài 28 Tính tích phân x2 1 a  ln xdx x ( x  1)2 c  dx x 1 1 b  x  x dx TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2009-2013  KQ:   KQ: 27 (3  ln ) 16 Bài 1: Tính I =  (cos3 x  1) cos xdx - ĐHKA-2009 Bài 2: Tính I =  ln x  x  1 dx - ĐHKB-2009 14 dx Gia sư Tài Năng Việt Bài 3: Tính I = e 1 Bài 4: Tính I = dx - ĐHKD-2009 1 KQ: ln(e2+e+1) – x  e x  x 2e x 0  2e x dx - ĐHKA-2010 e Bài 5: Tính I = x https://giasudaykem.com.vn ln xdx  x(2  ln x) 1   2e   ln     KQ:   ln - ĐHKB-2010 KQ:  1 e 3 Bài 6: Tính I = I    x   ln xdx - ĐHKD-2010 x  KQ:  Bài 7: Tính I =  x sin x  ( x  1) cos x dx - ĐHKA-2011 x sin x  cos x KQ: e2 1     ln    1        x sin x dx cos x Bài 8: Tính I =  Bài 9: Tính I =  4x 1 dx 2x 1  KQ:  - ĐHKD-2011 KQ: 34  10 ln KQ: 2  ln  ln 3 KQ:  2ln  3ln   ln( x  1) dx - KA-2012 x2 Bài 10: Tính tích phân I   Bài 11: Tính tích phân I   x3 dx - ĐHKB-2012 x  3x  2 / Bài 12: Tính tích phân I   x(1  sin 2x)dx - ĐHKD-2012 KQ: Bài 13: Tính tích phân I   1 Bài 14: 2  ln(2  3) - ĐHKB-2011 x2  ln xdx - ĐHKA-2013 x2 Tính tích phân I   x  x dx - ĐHKB-2013 ( x  1) dx - ĐHKD-2013 x  32  KQ: ln  2 KQ: 2 1 Bài 15: Tính tích phân I   15 KQ:  ln ... - KA-2 012 x2 Bài 10: Tính tích phân I   Bài 11: Tính tích phân I   x3 dx - ĐHKB-2 012 x  3x  2 / Bài 12: Tính tích phân I   x(1  sin 2x)dx - ĐHKD-2 012 KQ: Bài 13: Tính tích phân I ... khối tròn xoay Thể tích V tính d cơng thức V    g ( y)dy c CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP Phần Tìm ngun hàm Dạng 1: Tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm Bài Tìm nguyên hàm hàm số (  x )dx x... thức tích phân truy hồi cho tích phân sau  a I n   sin n xdx b I n   x n  xdx với n số nguyên dương 0 • Dạng Ứng dụng tích phân Bài 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số sau