Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tài liệu toán lớp HỆ THỐNG KIẾN THỨC TỐN HÌNH Đ-ờng trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đ-ờng thẳng vuông góc với đoạn thẳng trung điểm đ-ợc gọi đ-ờng trung trực đoạn thẳng b) Tổng quát: a đ-ờng trung trực cđa AB  a  AB t¹i I   IA =IB a B I A Các góc tạo đ-ờng thẳng cắt hai đ-ờng thẳng a) Các cặp góc so le trong: A A1 B3 ; A4 B2 b) Các cặp góc đồng vị: A1 B3 ; A1 B3 ; A1 vµ B3 ; A1 vµ B3 2B c) Khi a//b A1 B2 ; A4 B3 gọi 41 cặp góc phía bù a b Hai đ-ờng thẳng song song c a) DÊu hiÖu nhËn biÕt - NÕu đ-ờng thẳng c cắt hai đ-ờng thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với a b b) Tiên đề Ơ_clít - Qua điểm đ-ờng thẳng có đ-ờng thẳng song song với đ-ờng thẳng M b a c, Tính chất hai đ-ờng thẳng song song Gia s Ti Nng Vit https://giasudaykem.com.vn - Nếu đ-ờng thẳng cắt hai đ-ờng thẳng song song thì: Hai góc so le nhau; Hai góc đồng vị b»ng nhau;  Hai gãc cïng phÝa bï d) Quan hệ tính vuông góc với tính song song c - Hai đ-ờng thẳng phân biệt vuông góc với đ-ờng thẳng thứ ba chúng song song víi b a a  c   a / / b b c - Một đ-ờng thẳng vuông góc với hai đ-ờng thẳng song song vuông góc với đ-ờng thẳng c b c  b   c  a a / / b a e) Ba đ-ờng thẳng song song - Hai đ-ờng thẳng phân biệt song song với đ-ờng thẳng thứ ba chúng song song với a//c vµ b//c => a//b a b c Góc tam giác a) Định nghĩa: Góc tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: Mỗi góc tam giác tổng hai góc không kỊ víi nã ACx  A  B Hai tam gi¸c b»ng A B C x Gia s Ti Nng Vit https://giasudaykem.com.vn A a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh t-ơng ứng nhau, góc t-ơng ứng b»ng C B A' ABC  A 'B 'C'   AB  A 'B '; AC  A 'C'; BC  B 'C'  A  A '; B  B '; C  C'   C ' B' b) Các tr-ờng hợp hai tam giác *) Tr-ờng hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác Nếu ABC A'B'C' có: AB  A 'B '  AC  A 'C'   ABC  A 'B 'C'(c.c.c) BC  B 'C' *) Tr-ờng hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB  A 'B '  B  B '   ABC  A 'B 'C'(c.g.c) BC  B 'C'   *) Tr-ờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) A C B A' C' B ' A C B A' B' C' Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn A - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác NÕu ABC vµ A'B'C' cã: B  B'   BC  B 'C'  ABC  A 'B 'C'(g.c.g )  C  C'  C B A' C' B' c) Các tr-ờng hợp hai tam giác vuông Tr-ờng hợp 1: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Tr-ờng hợp 2: Nếu cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vuông góc nhọn kề cạnh tam giác vuông hai giác vuông B B' A C A' C' Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tr-ờng hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông cạnh huyền góc nhọn tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Tr-ờng hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác vuông B B' A C A' C' Quan hƯ gi÷a yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn ABC : Nếu AC > AB B > C A B C - Trong mét tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn ABC : Nếu B > C AC > AB Quan hệ đ-ờng vuông góc đ-ờng xiên, đ-ờng xiên hình chiếu Khái niệm đ-ờng vuông góc, đ-ờng xiên, hình chiếu đ-ờng xiên - LÊy A  d, kỴ AH  d, lÊy B d B H Khi : Gia s Ti Nng Vit https://giasudaykem.com.vn - Đoạn thẳng AH gọi đ-ờng vuông A góc kẻ từ A đến đ-ờng thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đ-ờng thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đ-ờng xiên kẻ từ A đến đ-ờng thẳng d d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu B H đ-ờng xiên AB đ.thẳng d Quan hệ đ-ờng xiên đ-ờng vuông góc: Trong đ-ờng xiên đ-ờng vuông góc kẻ từ điểm đ-ờng thẳng đến đ-ờng thẳng đó, đ-ờng vuông góc đ-ờng ngắn Quan hệ đ-ờng xiên hình chiếu: Trong hai đ-ờng xiên kẻ từ điểm nằm đ-ờng thẳng đến đ-ờng thẳng đó, thì: - Đ-ờng xiên có hình chiếu lớn lớn - Đ-ờng xiên lớn có hình chiếu lớn - Nếu hai đ-ờng xiên hai hình chiếu ng-ợc lại, hai hình chiếu hai đ-ờng xiên Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại VD: AB - AC < BC < AB + AC TÝnh chất ba đ-ờng trung tuyến tam giác Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Ba ®-êng trung tuyÕn tam giác qua điểm Điểm A cách đỉnh khoảng độ F G dài đ-ờng trung tuyến qua đỉnh Êy: GA  GB  GC  DA EB FC B E C D G trọng tâm tam giác ABC 10 Tính chất ba đ-ờng phân giác tam giác Ba đ-ờng phân giác A tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác - Điểm O tâm đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC (líp 9) O C B 11 TÝnh chÊt ba ®-êng trung trực tam giác Ba đ-ờng trung trực tam giác A qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam giác - Điểm O tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC O B C 12 Ph-ơng pháp chứng minh số toán (sử dụng cách sau đây) a) Chứng minh tam giác cân Chứng minh tam giác có hai cạnh Chøng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng Chứng minh tam giác có đ-ờng trung tuyến vừa đ-ờng cao Chứng minh tam giác có đ-ờng cao vừa đ-ờng phân giác đỉnh b) Chứng minh tam giác Chứng minh tam giác ®ã cã ba c¹nh b»ng Chøng minh tam giác có ba góc Chứng minh tam giác cân có góc 600 c) Chứng minh tứ giác hình bình hành Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Tø gi¸c cã cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có cạnh đối hình bình hành Tứ giác có hai cạnh đối song song hình bình hành Tứ giác có góc đối hình bình hành Tứ giác có hai đ-ờng chéo cắt trung điểm đ-ờng hình bình hành d) Chứng minh tứ giác hình thang: Ta chứng minh tứ giác có hai cạnh đối song song e) Chứng minh hình thang hình thang cân Chứng minh hình thang có hai góc kề đáy Chứng minh hình thang có hai ®-êng chÐo b»ng f) Chøng minh mét tø giác hình chữ nhật Tứ giác có ba góc vuông hình chữ nhật Hình cân có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có góc vuông hình chữ nhật Hình bình hành có hai đ-ờng chéo hình chữ nhật g) Chứng minh tứ giác hình thoi Tứ giác có bốn cạnh Hình bình hành có hai cạnh kề Hình bình hành có hai đ-ờng chéo vuông góc với Hình bình hành có đ-ờng chéo đ-ờng phân giác góc h) Chứng minh tứ giác hình vuông Hình chữ nhật co hai cạnh kề Hình chữ nhật có hai đ-ờng chéo vuông góc Hình chữ nhật có đ-ờng chéo đ-ờng phân giác góc Hình thoi có góc vuông Hình thoi có hai đ-ờng chéo 13 Đ-ờng trung bình tam giác, hình thang a) Đ-ờng trung bình tam giác Định nghĩa: Đ-ờng trung bình tam giác đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh tam giác Định lí: Đ-ờng trung bình tam giác song song với cạnh thứ ba nửa cạnh https://giasudaykem.com.vn Gia sư Tài Năng Việt A E D DE / /BC, DE  BC B C b) §-êng trung bình hình thang Định nghĩa: Đ-ờng trung bình hình thang đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên hình thang Định lí: Đ-ờng trung bình hình thang song song với hai đáy nửa tổng hai đáy B A EF//AB, EF//CD, EF  AB  CD E F D C 14 Tam giác đồng dạng a) Định lí Ta_lét tam giác: Nếu đ-ờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng t-ơng ứng tỉ lệ A B 'C'/ /BC AB '  AC' ; AB AC AB '  AC' ; B 'B  C'C B 'B C'C AB AC B' a C' B C b) Định lí đảo định lí Ta_lét: Nếu đ-ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng t-ơng ứng tỉ lệ đ-ờng thẳng song song với cạnh lại tam gi¸c VÝ dơ: AB'  AC'  B'C'/ /BC ; Các tr-ờng hợp khác t-ơng tự AB AC c) Hệ định lí Ta_lét - Nếu đ-ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh t-ơng ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho Hệ tr-ờng hợp đ-ờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại ( B'C'/ /BC AB'  AC'  B'C' ) AB AC BC 10 https://giasudaykem.com.vn Gia sư Tài Năng Việt A a C' B' A C B a B' C' C B d) TÝnh chất đ-ờng phân giác tam giác: Đ-ờng phân giác (hoặc ngoài) tam giác chia cạnh đối diện thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn A A B C D C B D' DB  AB DC AC D'B  AB D'C AC ABC S e) Định nghĩa hai tam giác đồng dạng : Hai tam giác đồng dạng hai tam giác có góc t-ơng ứng cạnh t-ơng ứng tỉ lệ A A '; B  B '; C  C'  A 'B 'C'   AB AC BC  A 'B '  A 'C'  B 'C'  k( tØ số đồng dạng ) MN / /BC AMN S f) Định lí hai tam giác đồng dạng: Nếu đ-ờng thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác cho A ABC *) L-u ý: Định lí tr-ờng hợp đ-ờng thẳng cắt phần kéo dài hai cạnh tam giác song song với cạnh lại M B g) Các tr-ờng hợp đồng dạng hai tam giác 10 N a C 11 https://giasudaykem.com.vn Gia sư Tài Năng Việt *)Tr-êng hỵp 1: Nếu ba cạnh tam giác tỉ lệ với ba cạnh tam giác hai tam giác đồng dạng A' A C B' Nếu ABC A'B'C' cã: AB  AC  BC  ABC A 'B ' A 'C' B 'C' C ' S B A 'B 'C'(c.c.c) *)Tr-ờng hợp 2: Nếu hai cạnh tam giác tỉ lệ với hai cạnh tam giác hai góc tạo cạnh hai tam giác đồng dạng A' A C B' C' NÕu ABC vµ A'B'C' cã: AB  BC  A 'B ' B 'C'   ABC  B  B' S B A 'B 'C'(c.g.c) *)Tr-êng hợp 3: Nếu hai góc tam giác lần l-ợt hai góc tam giác hai tam giác đồng dạng; A' A C B' Nếu ABC vµ A'B'C' cã: A  A '   ABC A 'B 'C'(g.g ) B  B '  S B 11 C ' 12 https://giasudaykem.com.vn Gia sư Tài Năng Vit h) Các tr-ờng hợp đồng dạng hai tam giác vuông *)Tr-ờng hợp 1: Nếu hai tam giác vuông có góc nhọn chúng đồng dạng; B' B C A C' A’ S NÕu ABC vµ A'B'C' cã: A  A '  90    ABC A 'B 'C' C  C'  *)Tr-ờng hợp 2: Nếu hai cạnh góc vuông tam giác vuông tỉ lệ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác ®ång d¹ng; B' B C A C' A' S Hai tam giác vuông ABC A'B'C' có: AB AC  ABC A 'B 'C' A 'B ' A 'C' *)Tr-ờng hợp 3: Nếu cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông tỉ lệ với cạnh góc vuông cạnh huyền tam giác vuông hai giác đồng dạng S Hai tam giác vuông ABC vµ A'B'C' cã: AB  BC  ABC A 'B 'C' A 'B ' B 'C' S 15 TØ sè hai ®-êng cao, tØ sè diƯn tÝch cđa hai tam giác đồng dạng - Tỉ số hai đ-ờng cao t-ơng ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng - Tỉ sô diện tích hai tam giác đồng dạng bình ph-ơng tỉ số đồng d¹ng - Cơ thĨ : A 'B'C' ABC theo tØ sè k 12 Gia sư Tài Năng Việt 13 https://giasudaykem.com.vn S => A 'H '  k vµ A 'B'C'  k AH SABC 16 HƯ thøc l-ỵng tam giác vuông (lớp 9) b2 ab' c2  ac ' A  a2  b2  c2 (Pi_ta_go)  bc = ah c h  h2  b'c '  12  12  12 c' b c B h b b' H C a 17 Diện tích hình b a h a S a.b h a a Sa S  ah S  ah b h E F h a a S  (a  b)h  EF.h S  ah d2 h a S  a h d1 S  d1  d2 18 Học sinh cần nắm vững toán dựng hình (dùng th-ớc compa) a) Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho tr-ớc; b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tr-íc; c) Dựng đ-ờng trung trực đoạn thẳng cho tr-ớc, dựng trung điểm đoạn thẳng cho tr-ớc; d) Dựng tia phân giác góc cho tr-ớc; 13 Gia sư Tài Năng Việt 14 https://giasudaykem.com.vn e) Qua mét điểm cho tr-ớc, dựng đ-ờng thẳng vuông góc với đ-ờng thẳng cho tr-ớc; f) Qua điểm nằm đ-ờng thẳng cho tr-ớc, dựng đ-ờng thẳng song song với đ-ờng thẳng cho tr-ớc; g) Dựng tam giác biết ba cạnh, biết hai cạnh kề góc xen giữa, biết cạnh hai góc kề 14 ... : A 'B'C' ABC theo tØ sè k 12 Gia sư Tài Năng Việt 13 https://giasudaykem.com.vn S => A 'H '  k vµ A 'B'C'  k AH SABC 16 HƯ thøc l-ợng tam giác vuông (lớp 9) b2 ab'  c2  ac ' A  a2  b2... b c B h b b' H C a 17 Diện tích hình b a h a S  a.b h a a Sa S  ah S  ah b h E F h a a S  (a  b)h  EF.h S  ah d2 h a S  a h d1 S  d1 d2 18 Học sinh cần nắm vững toán dựng hình (dùng... BC  B 'C'  *) Tr-ờng hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) A C B A' C' B ' A C B A' B' C' Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn A - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác