Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn BÀI TẬP TOÁN NÂNG CAO LỚP DẠNG 1: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG CÁCH ĐỀU Bài 1: Tính B = + + + + 98 + 99 Nhận xét: Nếu học sinh có sáng tạo thấy tổng: + + + + 98 + 99 tính hồn tồn tương tự 1, cặp số 51 50, (vì tổng thiếu số 100) ta viết tổng B sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thấy tổng ngoặc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, B = + 4949 = 4950 Lời bình: Tổng B gồm 99 số hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi cặp có số hạng 49 cặp dư số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng dư bao nhiêu?), đến học sinh bị vướng mắc Ta tính tổng B theo cách khác sau: Cách 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 B = 99 + 98 + +3 + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + 100 + 100 2B = 100.99 B = 50.99 = 4950 Bài 2: Tính C = + + + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ Áp dụng ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp số) Cách 2: Ta thấy: = 2.1 - = 2.2 - = 2.3 - 999= 2.500- Quan sát vế phải, thừa số thứ theo thứ tự từ xuống ta xác định số số hạng dãy số C 500 số hạng Gia sư Tài Năng Việt Áp dụng cách ta có: https://giasudaykem.com.vn Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn C = + + + 997 + 999 C = + 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 C = 1000.250 = 250.000 Bài Tính D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 Nhận xét: Các số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm tập để tìm số số hạng tổng D sau: Ta thấy: 10 = 2.4 +2 12 = 2.5 +2 14 = 2.6 +2 998 = 2.498 + Tương tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt 998 10 4951 hay khác ta lại thấy: số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm Khi ta có: D = 10 + 12 + + 996 + 998 D = 998 + 996 + + 12 + 10 + 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 Thực chất D D = 504.495 = 249480 (998 10)495 Qua ví dụ , ta rút cách tổng quát sau: Cho dãy số cách u1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dãy d, Khi số số hạng dãy (*) là: Tổng số hạng dãy (*) n u n u1 (1) d n (u u ) S n n (2) Đặc biệt từ công thức (1) ta tính số hạng thứ n dãy (*) là: un = u1 + (n - 1)d Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn n ( n 1) Hoặc u1 = d = S1 = + + + + n Bài Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lời giải Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có: 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 (1011 9899).98 9910 = 485495 + 9910 = 495405 E = 4954,05 (Ghi chú: Vì số số hạng dãy (9899 1011) 101 98 ) Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Lời giải Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = a (a 4006) 2004 (a 2003).2004 Khi ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004 Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 Nhận xét: Sau giải tốn dạng ta khơng thấy có vướng mắc lớn, tồn toán mà học sinh khơng gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ tiếp tục nghiên cứu dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp chút Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn DẠNG 2: DÃY SỐ MÀ CÁC SỐ HẠNG KHƠNG CÁCH ĐỀU Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lời giải Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiếp, đó: Gọi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 a2 = 2.3 a3 = 3.4 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 3a2 = 2.3.3 3a3 = 3.3.4 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng vế đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) 1.2 2.3 n( n 1) = n(n + 1)(n + 2) A= n ( n 1)( n 2) Cách 2: Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = n ( n 1)( n 2) * Tổng qt hố ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong k = 1; 2; 3; … Ta dễ dàng chứng minh công thức sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lời giải Áp dụng tính kế thừa ta có: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) B= (n 1) n ( n 1)( n 2) Bài Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lời giải n(n + 1)[(n - Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2 n 2)n C= n ( n 1)( n 2) 3(2 n 2)n = n(n 1)( n 5) Bài Tính D = 12 + 22 + 32 + … + n2 Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + … + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) Mặt khác theo tập ta có: A= n ( n 1)( n 2) + + + … + n = n ( n 1)( n 2) n ( n 1) n ( n 1)(2 n 1) = = n(n 1) 12 + 22 + 32 + … + n2 = Bài Tính E = 13 + 23 + 33 + … + n3 Lời giải Tương tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta đưa tổng B tổng E: Ta có: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) n ( n 1) - (1 + + + … + n) = (1 + 23 + 33 + … + n3) (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + n ( n 1) Mà ta biết B = ( n 1) n ( n 1)( n 2) Gia sư Tài Năng Việt 3 3 E=1 +2 +3 +…+n = https://giasudaykem.com.vn ( n 1) n ( n 1)( n 2) + n ( n 1) = n ( n 1) 2 Cách 2: Ta có: A1 = 13 = 12 A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Giả sử có: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chứng minh: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) k ( k 1) Thật vậy, ta biết: + + + … + k = Ak = [ k ( k 1) 2 ] Ak + (k + 1)3 = [ = (1') Cộng vào hai vế (1') với (k + 1) ta có: ] k ( k 1) ] + (k + 1) Ak+1 =[ k ( k 1) + (k + 1)3 2 ( k 1)( k 2) Vậy tổng với Ak+1, tức ta ln có: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 = = ( k 1)( k 2) Vậy ta có: 3 3 E = + + + … + n = (1 + + + … + n) = n ( n 1) 2 Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp Toán học - Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) giải phạm vi cấp THCS Bài (Trang 23 SGK Toán tập 1) Biết 12 + 22 + 32 +…+ 102 = 385, đố em tính nhanh tổng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lời giải Ta có: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + …+ 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + … + 102) = (12 + 22 + 32 + … + 102) = 4.385 = 1540 Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + … + 102 ta có: S = 4.P Do đó, cho S ta tính P ngược lại Tổng qt hóa ta có: Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn n(n P = 12 + 22 + 32 +…+ n2 = 1)(2 n (theo kết trên) 1) Khi S = 22 + 42 + 62 + … + (2n)2 tính tương tự trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + … + n2) = n ( n 1)(2 n n ( n 1)(2 n = = 1) 1) Còn: P = 13 + 23 + 33 + … + n3 = n ( n 1) Ta tính S = 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 sau: S = (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + … + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + … + n3) lúc S = 3 3 8P, Vậy ta có: S = + + +…+ (2n) n ( n 1) = Áp dụng kết trên, ta có tập sau: 8.n ( n 1) 2 2 n ( n 1) Bài a) Tính A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 Lời giải a) Theo kết trên, ta có: 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 = = n (2 n 1)(4 n 1) n (2 n 1)(4 n 1) Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 +…+ (2n)2 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)2 = = n (2 n 1)(4 n 1) - n ( n 1)(2 n = n (2 n 1) 1) 3 b) Ta có: 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 - 23 + 43 + 63 +…+ (2n)3 Áp dụng kết tập ta có: 13 + 23 + 33 + … + (2n)3 = n2(2n + 1)2 Vậy: B = 13 + 33 + 53 + … + (2n-1)3 = n2(2n + 1)2 - 2n2(n + 1)2 = = 2n4 - n2 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn MỘT SỐ BÀI TẬP DẠNG KHÁC Bài Tính S1 = + + 22 + 23 + … + 263 Lời giải Cách 1: Ta thấy: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 2S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 (1) (2) Trừ vế (2) cho (1) ta có: 2S1 - S1 = + 22 + 23 + … + 263 + 264 - (1 + + 22 + 23 + … + 263) = 264 - Hay S1 = 264 - Cách 2: Ta có: S1 = + + 22 + 23 + … + 263 = + 2(1 + + 22 + 23 + … + 262) = + 2(S1 - 263) = + 2S1 - 264S1 = 264 - Bài Tính giá trị biểu thức S = +3 + 32 + 33 + … + 32000 Lời giải: (1) (1) Cách 1: Áp dụng cách làm 1: Ta có: 3S = + 32 + 33 + … + 32001 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta được: 3S - 2S = (3 + + + … + 3 2001 ) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) 2001 Hay: 2S = 32001 - S= Cách 2: Tương tự cách trên: Ta có: S = + 3(1 +3 + 32 + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 2S = 32001 - S = 32001 *) Tổng qt hố ta có: Sn = + q + q2 + q3 + … + qn (1) Khi ta có: qSn = q + q2 + q3 + … + qn+1 Cách 1: Trừ vế (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = qn+1 - (2) S = qn 1 q Sn = + q(1 + q + q2 + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn) Cách 2: = + qSn - qn+1 S= qn 1 q qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 - Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 Hãy so sánh A B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (Vì 26 = 2.25) Vậy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: Áp dụng cách làm tập ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = + + 22 + 23 + … + 29 10 2A = + + + … + + Trừ vế (2) cho (1) ta có: 2A - A = (1) (2) (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29) = 210 - hay A = 210 - Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A * Ta tìm giá trị biểu thức A, từ học sinh so sánh A với B mà khơng gặp khó khăn Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.62 + 4.63 + … + 100.699 (1) 6S = + 2.6 + 3.6 + … + 99.699 Ta có: + 100.6100 (2) Trừ vế (2) cho (1) ta được: 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + … + 699) (*) Đặt S' = + 62 + 63 + … + 699 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 6100 6100 100 -1S' = thay vào (*) ta có: 5S = 100.6 499.6100 = 100 S= 499.6 25 Bài Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 chữ số nào? Lời giải Ta thấy: Từ đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, chữ số thứ 673 phải nằm dãy số có chữ số Vậy ta xét tiếp: Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như từ đến 260 có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu chữ số thứ 673 chữ số số 261 Một số tập tự giải: Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) Tính: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 Tính: D = 14 + 24 + 34 + + n4 Tính: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 Tính: F = + 83 + 85 + … + 8801 Tính: G = + 99 + 999 + … + 99 … (chữ số cuối gồm 190 chữ số 9) Tính: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n! Cho dãy số: 1; 2; 3; … Hỏi chữ số thứ 2007 chữ số nào? ***************************************************** Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn THỂ LOẠI TOÁN VỀ PHÂN SỐ: Bài Tính giá trị biểu thức A = 1.2 2.3 3.4 (n 1).n Lời giải Ta có: A = A= 1 11 1 n sau bỏ dấu ngoặc ta có: n n nn Nhận xét: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng hiệu hai m 1 b (b m) b b m thừa số mẫu Mỗi số hạng có dạng: (Hiệu hai thừa số mẫu giá trị tử phân số ln viết dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tương ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (số trừ nhóm trước số bị trừ nhóm sau liên tiếp), số hạng tổng khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản 4 3.7 7.11 Bài Tính giá trị biểu thức B = B= 4 1 7 Bài Tính giá trị biểu thức C = 11.15 3.7 7.11 11.15 xét, ta có: - = (đúng tử) nên ta có: B= vận dụng cách làm phần nhận 95.99 1 11 11 15 2.9 95.99 9.16 16.23 95 = 99 72 65.72 1 32 99 99 Nhận xét: Ta thấy: - = ≠ 72 tử nên ta áp dụng cách làm (ở tử chứa 72), giữ nguyên phân số ta khơng thể tách thành 1 9 , hiệu phân số khác để rút gọn tổng Mặt khác ta thấy: để giải vấn đề ta phải đặt làm thừa số chung ngồi dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản Gia sư Tài Năng Việt Vậy ta biến đổi: https://giasudaykem.com.vn Gia sư Tài Năng Việt C = 2.9 https://giasudaykem.com.vn 7 9.16 16.23 = 65.72 1 35 72 72 1 1 9 16 16 23 29 65 = 72 72 1.3 Bài Tính giá trị biểu thức D = = 3.5 5.7 49.51 Lời giải Ta lại thấy: - = ≠ tử phân số tổng nên cách ta đưa đưa vào thay Ta có: D = 1.3 1 1 1 3 5 = 49 3.5 5.7 1 = = 49.51 50 25 2 2 1.3 3.5 5.7 51 51 17 51 Bài Tính giá trị biểu thức E = 1 91 247 1 475 49.51 775 1147 Lời giải Ta thấy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 775 = 25.31 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 1147 = 31.37 Tương tự tập ta có: 6 6 6 = 31.37 25.31 1.7 7.13 13.19 19.25 11 1 1 1 1 1 36 1 1 = = 37 37 37 61 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 Bài (Đề thi chọn HSG Tốn - TX Hà Đơng - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003) E= 60.63 63.66 2 So sánh: A = B= 117.120 40.44 2003 44.48 76.80 Lời giải Lại áp dụng cách làm ta có: A= 3 60.63 63.66 117.120 2003 2003 Gia sư Tài Năng Việt 1 1 60 63 63 66 = = https://giasudaykem.com.vn 1 117 200 2003 = 60 120 2003 120 2003 180 2003 Tương tự cách làm ta có: 1 5 5 B= 2003 80 2003 64 2003 40 80 2 4 Ta lại có: 2A = Từ ta thấy 180 2003 180 2003 90 2003 B > 2A hiển nhiên B > A Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986) So sánh hai biểu thức A B: A = 124 1.1985 2.1986 1 1.17 2.18 3.19 B= 124 Ta có: A = 1 3.1987 16.2000 1984.2000 Lời giải 1 1 16 1984 1985 1986 1987 1 1 1 = 16 2000 16 1985 1986 1 1 1 Còn B = 16 17 18 1984 2000 1 1 1 = = 16 1984 17 18 2000 1 1 1 1 16 = 16 17 18 1 1984 16 Vậy A = B 17 18 = 2000 1984 1985 16 1985 1986 2000 ************************************************ 2000 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn THỂ LOẠI TOÁN VỀ PHÂN SỐ (TIẾP) Bài Chứng tỏ rằng: 1 13 25 n với n 2 n N Lời giải Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy: 2 ; 2.4 13 Thật ; 4.6 25 6.8 vậy: n ta phải so sánh: ( n 1) 2 1 2n (2n 2) n (2n 2) 2n 2 n Mà: 2 ( n 1) với: 2 n (2 n = n 1) ( n 1) 2n 2n 2n < n N n ( n 1) n (2 n 1) 1 1 Vậy ta có: 13 25 2.4 n 2n nên hiển nhiên 2 1; 2.4 4.6 1; 1 4 1) 1 2 n (2 n 2) 1 2n 2n 1 2n 4 6 2 6.8 1 2n (2n 2) 6.8 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) hiển nhiên với số tự nhiên n 1 1 Vậy: n ( n 13 25 1 1 n ( n 1)2 13 25 4.6 =1 2n nên: 1 n2 2n 2n hay Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 10 Tính giá trị biểu thức N = 1 1.2.3 2.3.4 Lời giải Ta có: N = 2 3.4.5 n (n 1)(n 2) 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1)(n 2) = 1 1 1 1 n.(n 1) (n 1)(n 2) 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 1 = 2 ( n 1)( n 2) 1 Bài 11 Tính giá trị biểu thức: H = 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n(n 1)(n 2) Lời giải Ta có: H = 3 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n.(n 1).(n 2) = 1 1 1 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( n 1).n.(n 1) n.(n 1).(n 2) 1 = n ( n 1)( n 2) 12 12 12 12 Bài 12 Chứng minh P = 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 Lời giải Ta có: P = 6 1.4.7 1 54.57.60 1 = = 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60 1 854 427 427 Vậy P < 12 = 2 57.60 3420 855 854 1 1 Bài 13 Chứng minh S = 2 2 100 Lời giải Ta thấy: 2 1.2 ; 4.7.10 7.10.13 1 1 1 ; 2.3 1 3.4 100 Áp dụng cách làm tập 99.100 ta có: S< 1 1.2 1 3.4 99.100 1 1100 hay S < Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 1 1.2 3.4 2005.2006 1 B= Chứng minh 1004.2006 1005.2006 2006.1004 Lời giải Bài 14 Đặt A = A Z B Áp dụng trên, ta có: A= 1.2 1 = 1 1 = 3.4 2005.2006 2005 2006 1 1 1 = = 2005 2006 1 1 1 = = 2 2006 2006 1 1 1 1 = - 2006 4 1003 1 = 1004 1005 2006 1 A 3010 Còn B = 1505 Z B 3010 1004 1005 2006 Như vậy, phần ta giải lượng lớn tập dãy số dạng phân số Tuy nhiên tập nhìn chung khơng đơn giản Vì để áp dụng có hiệu cần linh hoạt việc biến đổi theo hướng sau: - Nếu mẫu tích cách biến đổi thành hiệu phân số, từ ta rút gọn biểu thức tính giá trị - Đối với tập chứng minh ta áp dụng cách làm tính giá trị dãy số, từ ta biến đổi biểu thức cần chứng minh dạng quen thuộc Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC n 2n Bài Với n N *, kí hiệu n an ( 1) n! Hãy tính tổng a1 + a2 + a3 + … + a2007 Lời giải Ta thấy: ( 1)n an n N* n n n n! n! 2007 2005! 2006! 2007 3 2 Ta 3! 1 2 1992 2 Lời giải = 1 2 2 2 1991 1992 1990 2 1992 = 1991 2 990 1992 1991 1991 2 = 1990 2 23 .1 21990 = = 1S 1992 1991 1 2 2 S=4- 1989 S 1992 1991 - Chứng minh S < 2S 2 2006! 1991 1990 2005! 2007 2006! có: 2006 1992 2 2! 2! 2007 1! 2006! Bài Xét biểu thức: S = 3 1! 2006 n! ( n 1) Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2007 = a1 + 20 n n! - thì: 1990 1 2 1991 1990 hay S < 2 Bài Ta viết phân số sau: 1990 Số đứng vị trí phân số trên? ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; 1930 1 2 3 Lời giải Số thứ dãy số có tổng tử số mẫu số 2, hai số có tổng tử số mẫu số 3, ba số có tổng tử mẫu số 4… Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách phân số đến mẫu số 2, cách Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 1990 đứng vị trí thứ 1930 nhóm số 1930 có tổng tử mẫu số 1990 + 1930 = 3920 Số số đứng trước nhóm + + + … + 3918 = 1959.3919 Vì nhóm có tổng tử mẫu số 3920 gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm gồm 3918 số Vậy số 1990 đứng vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 1930 Bài tập tự giải 1 1 Tính: A = 5.6 6.7 7.8 24.25 phân số đến mẫu số 3, … phân số 2 Tính: B = 5 2 5 6.11 11.16 1 Chứng minh rằng: 1.6 1990 n 4! n! 2! 2! 2! 2! Chứng tỏ rằng: D = < 3! 4! 5! n! 1 1 Cho biểu thức P =1 199 200 1 a) Chứng minh rằng: P = 101 102 200 b) Gải tốn trường hợp tổng qt Tính: C = 2! 26.31 1 1990 996 3! Chứng minh rằng: n Z ( n 0, n1) Q = 1.2 khơng phải số nguyên Chứng minh rằng: S = 22 42 200 2 2.3 3.4 n (n 1) ... 12 12 12 Bài 12 Chứng minh P = 1.4 .7 4 .7. 10 7. 10.12 54. 57. 60 Lời giải Ta có: P = 6 1.4 .7 1 54. 57. 60 1 = = 1.4 4 .7 4 .7 7.10 7. 10 10.13 54. 57 57. 60 1 854 4 27 4 27 Vậy P < 12 = 2 57. 60 3420 855... 3.5 5 .7 1 = = 49.51 50 25 2 2 1.3 3.5 5 .7 51 51 17 51 Bài Tính giá trị biểu thức E = 1 91 2 47 1 475 49.51 77 5 11 47 Lời giải Ta thấy: = 1 .7 ; 91 = 13 .7 ; 77 5 = 25.31 ; 2 47 = 13.19 ; 475 = 19.25... ; 475 = 19.25 11 47 = 31. 37 Tương tự tập ta có: 6 6 6 = 31. 37 25.31 1 .7 7.13 13.19 19.25 11 1 1 1 1 1 36 1 1 = = 37 37 37 61 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông