Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn TÀI LIỆU MƠN TỐN LỚP NÂNG CAO DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm khái niệm dãy số viết theo quy luật ( phần tử dãy có mối liên hệ với ) - Biết nhận dạng dãy số viết theo quy luật phân tích để tìm quy luật B DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT THƯỜNG GẶP Định nghĩa: Dãy cộng dãy mà phần tử kể từ phần tử thứ lớn phần tử liền trước số đơn vị TQ: Dãy a1, a2, a3, a4, …… an-1, an dãy cộng  a2 – a1 = a3 – a2 = a4 - a3 =…= an- an - Ví dụ: Dãy số tự nhiên: 0, 1, 2, 3, 4…… Dãy số chia có số dư : 3, 10, 17, 24, 31…… Các loại tập dãy cộng: VD: Xét dãy cộng: a1, a2, a3, a4, …… an-1, an a) Tìm phần tử thứ n dãy: an = a1 + (n - 1) d b) Tính tổng dãy Sn = a1 + a2 + a3 + a4 +……+ an-1 + an = ( a1 + an ) n c) Số số hạng dãy: n= an - a1 +1 (Trong d khoảng cách hai phần tử liên tiếp) d Bài tập áp dụng: Cho dãy: 1, 4, 7, 10, 13,…… (1) a./ Tìm phần tử thứ 102 dãy? b./ Nếu viết dãy liên tiếp thành số chữ số thứ 302 số tạo thành số mấy? Giải: a./ Phần tử thứ 102 dãy a102 = + (102 - 1) = 304 b./ Phân tích: Dãy số viết liền thành số chia thành dãy sau Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn - Dãy số có chữ số chia dư là: 1, 4, gồm chữ số - Dãy số có chữ số chia dư 10, 13, …, 97 gồm 97 - 10 + = 30 số nên có 30 = 60 chữ số - Để viết tiếp dãy đến chữ số thứ 102 ta phải dùng số có chữ số kể từ 100… đảm bảo chia dư Vậy cần 302 - (3 + 60) = 239 chữ số hay 79 số có chữ số kể từ 100 chữ số số thứ 80 (là chữ số đầu trong số thứ 80 dãy 100, 103, 106, ) Mà số thứ 80 dãy là: 100 + (80 - 1).3 = 337 Vậy chữ số thứ 302 số tạo dãy (1) ( hàng chục số 337) 147101317……334337340… Chữ số thứ 302 Chú ý: Trong phần b./ chữ số thứ n phải tìm số lớn ta tiếp tục phân tích thành dãy số có 3, có … chữ số tiếp tục làm tương tự II/ Mở rộng VD: Cho dãy sau: 1, 3, 6, 10, 15…… (1) 2, 5, 10, 17, 26 … (2) Tìm phần tử thứ 108 dãy trên? Giải: - Dãy (1) chưa dãy cộng viết lại thành dãy sau: 1.2 2.3 3.4 4.5 , , , 2 2 Xét dãy thừa số thứ tử số: 1, 2, 3, 4, … (1)’ Đây dãy cộng, dễ thấy phần tử thứ 108 dãy (1)’ 108 Từ suy phần tử thứ 108 dãy (1) 108.109 = 5886 - Dãy (2) viết thành dãy : 12 + 1, 22 +1, 32 + 1, 42+ 1, 52 +1… Tương tự ta tính phần tử thứ 108 dãy (2) 1082 + = 11665 Dãy Fibonaci: Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Dãy số Fibonaci dãy bắt đầu hai phần tử 1, kể từ phần tử thứ dãy phần tử tổng hai phần tử liền trước phần tử 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21… Dãy số Fibonaci có nhiều tính chất thú vị ta nghiên cứu phần C CÁC BÀI TẬP Bài 1: Cho dãy sau: 1, 3, 5, 7, 9…… (1) 1, 10, 19, 28, 37, … (2) 1, 3, 6, 10, 15,… (3) 1, 7, 17, 31, 49, … (4) 1, 5, 11, 19, 29, … (5) a) Tìm phần tử thứ 123 dãy trên: b) Giả sử dãy (1 ) có 500 phần tử, dãy (2) có 200 phần tử Tìm dãy phần tử giống hai dãy? Bài 2: Cho dãy : 2, 22, 222, 2222, …, 222…22 2008 số Bài 3: Ta có: ak = (k + 3k + 3k + 1)3 (k + 1) k k3 = 1 k (k + 1)3 Do đó: a1 + a2 + a3 + … + a2008 Chun đề Tốn ỉ1 ỉ1 ổ 1 ữ ữ ỗỗ ỗỗ = ỗỗ - ữ + + + ữ ữ ữ ữ ốỗ 23 33 ứ ữ ữ çè1 ø çè 20083 20093 ø 8108486728 = 1= 20093 8108486729 Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHỦ ĐỀ 2: CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA ĐỒNG DƯ _ SO SÁNH HAI LUỸ THỪA A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm cách tìm số tận luỹ thừa với số số tự nhiên - Hiểu đồng dư, vận dụng tốt kiến thức đồng dư thức vào làm tập tìm chữ số tận chứng minh chia hết - Nắm phương pháp dùng để so sánh hai luỹ thừa với số mũ tự nhiên Vận dụng tốt kiến thức để làm tập B PHƯƠNG PHÁP TÌM SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT LUỸ THỪA Chú ý: a./ Các số có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa nào(khác 0) có tận 0, 1, 5, b./ Các số có tận 2, 4, nâng lên luỹ thừa có tận c./ Các số có tận 3, 7, nâng lên luỹ thừa có tận d./ Số a a4n+1 có chữ số tận giống ( n, a  N , a  ) CM: d./ Dùng phương pháp quy nạp: Xét toán: CMR a4n+1 – a 10 ( n, a  N * ) - Với n = ta dễ dàng chứng minh a5 – a - Giả sử toán với n = k (a4k+1 – a - Ta CM toán với n = k +  a 4(k+1) +1 - a - Ta có: a 4(k+1) +1 – a = a4 a4k+1 – a  a4 a4k+1 – a5 (Vì a5 a có chữ số 10 10 ( k , a  N * )) 10 tận cùng) - Mà a4 a4k+1 – a5 = a4 (a4k+1 – a) 10 Þ a 4(k+1) +1 – a 10 Đpcm 2./ Phương pháp Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Để giải tốn tìm chữ số tận luỹ thừa ta tìm cách đưa số luỹ thừa dạng đặc biệt đưa số mũ dạng đặc biệt biết cách tính theo phần ý 108 99 6195 ; 5151 ; 21000 ; 99 VD1: Tìm chữ số tận … Giải: - Tận 6195 - Tận 5151 là 21000 = 23 24 249 +1 mà 23 có tận 24 249 +1 có tận - Ta có 250 21000 = (24 ) ( Hoặc - Ta có : 99 99 = 99  99 = 16250 ) nên 21000  49 = 99 (….1) 49 có tận có tận nên 99 99108 = (… 9)108 = [(… 9)2]54 có tận 3./ Mở rộng 3.1/ Đồng dư: a/ Khái niệm: Trong ý d./ phần ta nói a đồng dư với a 4n+1 theo modun 10 (là hai số có số dư chia cho 10) Tổng quát : Số tự nhiên a đồng dư với số tự nhiên b theo modun m (m  0) a b chia cho m có số dư Ký hiệu a º b( mod m ) với a, b, m  N m  Khi a (1) m ta viết a º (mod m ) Hệ thức (1 ) gọi đồng dư thức b/ Một số tính chất đồng dư thức Nếu a º b(mod m) c º d (mod m) a + c º b + d (mod m) a.c º b.d (mod m) a n º b n (mod m) thì: a - c º b - d (mod m) Các tính chất áp dụng cho nhiều đồng dư thức modun c/ Ví dụ: Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn VD1 Tìm số dư 3100 cho 13 Tìm số dư phép chia nghĩa tìm số tự nhiên nhỏ 13 đồng dư với 3100 theo modun 13 33 100 99 Ta có = 3.3 = 3.(3 ) Vì 33 = 27 = 13 +1, nên 33 º 1(mod 13) (33)33 º 133 (mod 13) hay 399 º 1(mod 13)  399 º (mod 13) º (mod 13) nên 3100 º (mod 13) Vậy 3100 chia cho 13 có số dư VD Chứng minh 22008 – chia hết cho 31 Để chứng minh 22008 – chia hết cho 31 ta chứng minh 22008 – º (mod 31) Ta có : 22008 = 23 22005 = 23 (25)401 mà 25 =32 º (mod 31) nên ta có (25)401 º 1401(mod 31) Þ 23 22005 º 23 1(mod 31)  22008 º 8(mod 31)  22008 - º - (mod 31) Mặt khác º 8(mod 31) Nên 22008 - º (mod 31) Vậy 22008 – chia hết cho 31 Đpcm VD 3: CM với số tự nhiên n số 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 Ta có: 122n+1 =12.122n = 12 144n Vỡ 144 º 11(mod133) nên 144n º 11n (mod 133) suy 12 144n º 12 11n (mod 133) (1) Mặt khác: 11n+2 = 121 11n Mà 121 º - 12 (mod 133) nên 121 11n º - 12 11n (mod 133) (2) Cộng vế (1) (2) ta 122n+1 + 11n+2 º (mod 133) Vậy 122n+1 + 11n+2 chia hết cho 133 2008 VD 4: CM Đpcm + 23 24 Ta có = 25 mà 25 º 1(mod 24) nên 25 º 4 1(mod 24) Þ 25 2008 º 1(mod 24) cũn 23 º 23(mod 24) 82008 Suy + 23 º (mod 24) 2008 Vậy 58 + 23 24 Đpcm 3.2/ So sánh hai luỹ thừa a/ Phương pháp: Để so sánh hai luỹ thừa ta dùng tính chất sau: Chun đề Tốn Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn - Trong hai luỹ thừa số luỹ thừa có số mũ lớn lớn - Trong hai luỹ thừa số mũ luỹ thừa có số lớn lớn - Dùng luỹ thừa trung gian b/ Ví dụ: So sánh 10200 99100 648 1612 6100 3170 Giải: Xét VD 3: Ta có: 6100= 2100.3100 3170= 370.3100  Để so sánh 6100 3170 ta cần so sánh 2100 370 Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34 hay 2102 < 368 mà 2100 < 2102 < 368 < 370  2100 < 370 Vậy 6100 < 3170 C CÁC BÀI TẬP Bài 1: Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có: a) 714n – chia hết cho b) 124n + + 34n +1 chia hết cho c) 92001n + chia hết cho 10 d) n2 +n + 12 Bài 2: Tìm chữ số tận a) 2008 2009 b)19216 c) (123412)34 d) (195)1979 f) (3333)33 g) 357 735 h) (144)68 97 e) 19 1997 Bài 3: Cho A = 21 + 22+ 23 + … + 220 B = 31 + 32 + 33 + … + 3300 a) Tìm chữ số tận A b) Chứng minh B chia hết cho b) Chứng minh B – A chia hết cho Bài 4: Tìm số dư phép chia sau: a) 3100 : b) 9! : 11 c) (2100 + 3105) : 15 d) (15325 – 1) : Bài 5: Chứng minh rằng: Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a) 301293 – b) 2093n – 803n – 464n – 261n 271 c) 62n + 3n+2 3n 11 d) 52n+1.2n+2 + 3n+2.22n+1 19 (với " n Ỵ N) Bài 6: Ngày tháng năm 2010 bạn Nam kỷ niệm ngày sinh lần thứ 15 Biết ngày tháng năm 2008 ngày thứ a) Hãy tính xem bạn Nam sinh vào thứ ngày b) Bạn Nam tổ chức sinh nhật lần thứ 15 vào ngày thứ mấy? Bài 7: Chứng minh a2 + b2 + c2 thỡ ớt cỏc hiệu a2 – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho Bài 8: So sánh số sau: a) 3281 3190 b) 11022009 – 11022008 11022008 - 11022007 c) A = (20082007 + 20072007)2008 B = (20082008 + 20072008)2007 D HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 7: Nhận xét: Khi chia số nguyên tuỳ ý n cho số dư nhận số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Bởi Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Nếu n º (mod 9) n2 º (mod 9) Vậy dù với số nguyên n số n2 chia cho có số dư số 0, 1, 4, Gọi số dư chia a2, b2, c2 cho r1, r2, r3 Ta có: a2 + b2 + c2 º r1 + r2 + r3 º (mod 9) ( Vì a2 + b2 + c2 chia hết cho 9) Như r1, r2, r3 nhận giá trị 0, 1, 4, nên r1 + r2 + r3 chia hết cho trường hợp sau 1) r1 = r2 = r3 = Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 2) Một số r1, r2, r3 hai số lại 3) Một số r1, r2, r3 hai số lại 4) Một số r1, r2, r3 hai số lại Vậy trường hợp có hai số r1, r2, r3 Điều có nghĩa hai số a2, b2, c2 có số dư chia cho Vậy có hiệu a2 – b2 a2 – c2 b2 – c2 chia hết cho Đpcm Bài 8: Ta có c) A = (20082007 + 20072007)2008 = (20082007 + 20072007)1.(20082007 + 20072007)2007 > 20082007 (20082007 + 20072007)2007 = (2008.20082007 + 2008.2007 2007)2007 > (2008.20082007 + 2007.20072007)2007 = (20082008 + 20072008)2007 = B Vậy A > B Mở rộng: Ta chứng minh tốn tổng qt : (an + bn)n + > (an + + bn + 1)n với a, b, n số nguyên dương Thật vậy, khơng tính tổng qt, giả sử a ≥ b Ta co (an + bn)n + = (an + bn)n.(an + bn) > (an + bn)n.an = [(an + bn)a]n = (an.a + bn.a)n ≥ (an.a + bn.b)n = (an + + bn + 1)n Trong ví dụ với a = 2008, b = n = 2007, ta có A > B CHỦ ĐỀ CÁC VẤN ĐỀ NÂNG CAO VỀ TÍNH CHIA HẾT, ƯỚC VÀ BỘI A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm dấu hiệu chia hết, tính chất chia hết tổng - Hiểu mối quan hệ ước bội với tính chia hết B MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH VỀ TÍNH CHIA HẾT I Chú ý : Nhắc lại ước bội - Nếu a b ta nói b ước a Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn a bội b - Khi a d b d ta nói d ước chung a b Khi d số lớn tập hợp ước chung a b ta nói d ước chung lớn a b Ký hiệu ƯCLN(a,b) = d (a,b) = d - - Khi m a m b ta nói m bội chung a b Khi m # m số nhỏ tập hợp bội chung a b ta nói m bội chung nhỏ a b Ký hiệu BCNN(a,b) = m [a,b] = m Một số dấu hiệu chia hết cho Dấu hiệu chia hết cho 11: Một số chia hết cho 11 tổng chữ số vị trí lẻ tổng chữ số vị trí chẵn số chia hết cho 11 Dấu hiệu chia hết cho 4, 25 Những số có hai chữ số tận chia hết cho (hoặc 25) chia hết cho (hoặc 25) số chia hết cho (hoặc 25) Dấu hiệu chia hết cho 8, 125 Những số có ba chữ số tận chia hết cho (hoặc 125) chia hết cho (hoặc 125) số chia hết cho (hoặc 125) Một số tính chất: - Nếu tích chia hết cho số ngun tố p tích chứa thừa số chia hết cho p - Nếu tích a.b chia hết cho m b m hai số nguyên tố a chia hết cho m - Nếu a chia hết cho m n a chia hết cho bội chung nhỏ m n Cách phát biểu khác: Nếu a chia hết cho số nguyên tố a chia hết cho tích hai số - Nếu A B mA ± nB B (m,n  N, A B biểu thức số tự nhiên) II Các phương pháp chứng minh chia hết Sử dụng tính chất chia hết tổng Ví dụ: a/ Cho A = 20 + 21 + 22 + 23 + 24 + 25 … + 299 Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 10 Gia sư Tài Năng Việt CMR: https://giasudaykem.com.vn A chia hết cho 31 Giải: Ta có A = 20 + 21+ 22+ 23+ 24+ 25 … + 299 = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) + 25.(20+ 21+ 22+ 23+ 24)+… + 295 (20+21+ 22+23+ 24) = (20+ 21+ 22+ 23+ 24) (1 + 25 + 210 + … + 295) = 31 (1 + 25 + 210 + … + 295) chia hết cho 31 Đpcm b/ Tìm số tự nhiên n để 3n + chia hết cho n – Giải: Để 3n + n - Û [1.(3n + 4) - 3.(n - 1) ] n - Û n - hay n – Ỵ Ư(7) én - = én = Þ ê Vậy với n = n = ê êën - = êën = 3n + n - Sử dụng đồng dư thức Ví dụ: Chứng tỏ rằng: 175 + 244 - 1321 chia hết cho 10 Giải: Ta có 175 º 7(mod10) 244 º 6(mod10) 1321 = 13.(134 ) º 3(mod10) Þ 175 + 244 - 1321 º + - 3(mod10) Hay 175 + 244 - 1321 º 0(mod 10) Vậy 175 + 244 - 1321 10 Đpcm Sử dụng tính chất số nguyên tố Ví dụ: CMR: n5 – n 30 Giải: Bài tốn với n = n =1 Xét n  2: Đặt A = n5 – n = n (n2 +1)(n+1)(n-1) Ta có A A 10 ( Vì n5 n có chữ số tận giống nhau) (Vì A có tích số tự nhiên liên tiếp (n-1)n(n+1) )  A chia hết cho 10 Mà ƯCLN(3, 10) = nên A chia hết cho 3.10 Vậy A Đpcm 30 C CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI VÀ SỐ NGUYÊN TỐ Phương pháp chung để giải : Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 11 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 1/ Dựa vào định nghĩa ƯCLN để biểu diễn hai số phải tỡm, liờn hệ với cỏc yếu tố cho để tỡm hai số 2/ Trong số trường hợp, sử dụng mối quan hệ đặc biệt ƯCLN, BCNN tích hai số nguyên dương a, b, : ab = (a, b).[a, b], (a, b) ƯCLN [a, b] BCNN a b Việc chứng minh hệ thức khơng khó : Theo định nghĩa ƯCLN, gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = (*) Từ (*) => ab = mnd2 ; [a, b] = mnd => (a, b).[a, b] = d.(mnd) = mnd2 = ab => ab = (a, b).[a, b] (**) Chỳng ta hóy xột số vớ dụ minh họa Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 Lời giải : Do vai trò a, b nhau, khơng tính tổng quát, giả sử a ≤ b Từ (*), (a, b) = 16 nên a = 16m ; b = 16n (m ≤ n a ≤ b) với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Theo định nghĩa BCNN : [a, b] = mnd = mn.16 = 240 => mn = 15 => m = , n = 15 m = 3, n = => a = 16, b = 240 a = 48, b = 80 Chỳ ý : Ta áp dụng cơng thức (**) để giải toán : ab = (a, b).[a, b] => mn.162 = 240.16 suy mn = 15 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 216 (a, b) = Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b Do (a, b) = => a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vỡ : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 216 tương đương mn = tương đương m = 1, n = m = 2, n = tương đương với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180/60 = Tìm (a, b) = 3, tốn đưa dạng toán Kết : a = 3, b = 60 a = 12, b = 15 Chỳ ý : Ta tính (a, b) cách trực tiếp từ định nghĩa ƯCLN, BCNN : Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 12 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Theo (*) ta có ab = mnd2 = 180 ; [a, b] = mnd = 60 => d = (a, b) = Bài tốn : Tìm hai số ngun dương a, b biết a/b = 2,6 (a, b) = Lời giải : Theo (*), (a, b) = => a = 5m ; b = 5n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Vỡ : a/b = m/n = 2,6 => m/n = 13/5 tương đương với m = 13 n = hay a = 65 b = 25 Chỳ ý : phân số tương ứng với 2,6 phải chọn phân số tối giản (m, n) = Bài toán : Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140 Lời giải : Đặt (a, b) = d Với , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 => d = => a = 28 ; b = 35 Bài tốn : Tìm hai số nguyên dương a, b biết a + b = 128 (a, b) = 16 Lời giải : Lập luận 1, giả sử a ≤ b Ta có : a = 16m ; b = 16n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vì : a + b = 128 tương đương 16(m + n) = 128 tương đương m + n = Tương đương với m = 1, n = m = 3, n = hay a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Bài tốn : Tìm a, b biết a + b = 42 [a, b] = 72 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Không tính tổng quát, giả sử a ≤ b => m ≤ n Do : a + b = d(m + n) = 42 (1) [a, b] = mnd = 72 (2) => d ước chung 42 72 => d thuộc {1 ; ; ; 6} Lần lượt thay giá trị d vào (1) (2) để tính m, n ta thấy có trường hợp d = => m + n = mn = 12 => m = n = (thỏa mãn điều kiện m, n) Vậy d = a = 3.6 = 18 , b = 4.6 = 24 Bài tốn : Tìm a, b biết a - b = 7, [a, b] = 140 Lời giải : Gọi d = (a, b) => a = md ; b = nd với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = Do : a - b = d(m - n) = (1’) [a, b] = mnd = 140 (2’) => d ước chung 140 => d thuộc {1 ; 7} Thay giá trị d vào (1’) (2’) để tính m, n ta kết d = => m - n = mn = 20 => m = 5, n = Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 13 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Vậy d = a = 5.7 = 35 ; b = 4.7 = 28 BÀI TẬP 1) Tìm hai số biết ƯCLN chúng: Ví dụ 1: Tìm hai số tự nhiên, biết tổng chúng 100 có ƯCLN 10 Giải: Gọi hai số phải tìm a b (a  b) Ta có ƯCLN(a,b) = 10 Do a =10.a’ b = 10.b’ ƯCLN(a’,b’) = (a, b, a’, b’  N) Theo đầu bài: a + b = 100 suy 10.a’ + 10.b’ =100 nên a’+b’ = 10 (a’  b’) Chọn hai số nguyên tố có tổng 10 ta có a’ b’ Do a 10 30 b 90 70 Ví dụ 2: Tìm hai số tự nhiên biết ƯCLN chúng chúng có tích 300 Giải: Gọi hai số phải tìm a b (a  b) Ta có ƯCLN(a,b) = Do a =5.a’ b = 5.b’ ƯCLN(a’,b’) = (a, b, a’, b’  N) Theo đầu bài: a.b = 300 suy 25.a’.b’ =300 nên a’.b’ = 12 (a’  b’) Chọn hai số nguyên tố có tích 12 ta có a’ b’ 12 Do a 15 b 60 20 Ví dụ 3: Chứng minh số nguyên tố p > (p - 1).(p + 1) 24 Giải: Ta có : (p - 1).p.(p + 1) (Tích số tự nhiên liên tiếp) Vì p số nguyên tố p > nên ƯCLN(3, p) =  (p - 1).(p + 1) Do p số nguyên tố nên p – p + hai số chẵn liên tiếp nên có 1số bội số bội  (p - 1).(p + 1) Mà ƯCLN(3,8) = nên (p - 1).(p + 1) 8 Vậy (p - 1).(p + 1) 24 Đpcm 2) Các tốn phối hợp ƯCLN BCNN Ví dụ: Tìm hai số tự nhiên a, b (a £ b)biết ƯCLN(a,b) = 12, BCNN(a,b) =180 Giải: Theo đầu bài: ƯCLN(a,b) = 12 Do a =12.a’ b = 12.b’ Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 14 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ƯCLN(a’,b’) = (a’ £ b’; a’, b’  N) Vì ƯCLN(a,b) BCNN(a,b) = a.b nên 144a’.b’ = 2160 suy a’.b’ = 15 a’ b’ 15 Do a 12 36 b 180 60 D CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài tập tự giải : Bài : a) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết [a, b] = 240 (a, b) = 16 b) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 216 (a, b) = c) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 d) Tìm hai số tù nhiªn a, b biết a/b = 2,6 (a, b) = e) Tìm a, b biết a/b = 4/5 [a, b] = 140 HD: Đặt (a, b) = d Vì , a/b = 4/5 , mặt khác (4, 5) = nên a = 4d, b = 5d Lưu ý [a, b] = 4.5.d = 20d = 140 suy d = suy a = 28 ; b = 35 Bài 2: Tìm hai số a, b biết: a) 7a = 11b (a, b) = 45 b) a + b = 448, ƯCLN (a,b) = 16 chúng có chữ số tËn cïng giống Bµi 3: Cho hai số tự nhiên a b Tìm tất số tự nhiên c cho ba số, tích hai số ln chia hết cho số lại Bài 4: Tìm số tự nhiên m n cho ( 2m + 1)(2n + 1) = 91 Bài 5: Tìm số tự nhiên n cho 5n + 45 n+3 Bài 6: Tìm số nguyên tố p cho p + p + số nguyên tố Bài 7: Cho p, q , r ba số nguyên tố lớn Chứng minh rằng: p2 + q2 + r2 hợp số E HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 7: CM “ Bình phương số nguyên tố lớn chia cho có số dư 1.” Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 15 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ : SO SÁNH HAI PHÂN SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm phương pháp để so sánh hai phân số, hiểu thuật ngữ toán học phần bù 1, phần thừa - Biết nhận dạng dạng tập từ có định hướng để sử dụng phương pháp so sánh hai phân số cách thích hợp tìm lời giải tốn - Có thể tự tạo tập phương pháp tương tự hoá, tổng quát hoá toán ban đầu B NHẮC LẠI VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC I/ Nhắc lại kiến thức - Để so sánh hai phân số ta thường đưa chúng hai phân số có mẫu số số dương, phân số có tử số lớn phân số lớn Tổng quát: a c ìïï b > > Ûí b b ïïỵ a > c Chun đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 16 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn - Ngồi số phương pháp khác sau: 1/ Quy đồng đưa hai phân số có tử số số dương: Phân số có mẫu lớn phân số lớn 2/ Sử dụng phần bù phần thừa VD: So sánh a+ a+ với a số tự nhiên khác a+ a+ Lời giải: C1: Quy đồng đưa mẫu số C2: Ta có: a + a + 2- 1 = = 1còn a+ a+ a+ a + a + 3- 1 = = 1a+ a+ a+ Mà 1 1 Þ 1> 1> a+ a+ a+ a+ Vậy: a+ a+ < a+ a+ 3/ Dùng phân số trung gian tính chất bắc cầu bất đẳng thức m 2009 + m2008 + * VD1: Cho hai phân số A = B = với m Ỵ N 2009 2010 m m +1 +1 Hãy so sánh A B Lời giải: Nhận xét: - Nếu m = A = B - Với m > ta so sánh mA mB từ dễ dàng so sánh A B Ta có: mA = mB = m (m2008 + 1) m2009 + m m- = = + 2009 2009 2009 m +1 m +1 m +1 m (m2009 + 1) m2010 + m m- = = + m2010 + m2010 + m2010 + m- m- > Þ mA > mB A > B m2009 + m2010 + Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 17 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Mở rộng: Bài toán tổng quát hoá thành dạng m n+ + mn + * A = n+ B = với m, n Ỵ N n+ m +1 m +1 VD2:Một phân số có tử mẫu số nguyên dương Nếu cộng tử mẫu phân số với số tự nhiên n ¹ phân số thay đổi nào? Lời giải: Gọi phân số a Ta xét ba trường hợp: a = b; a > b; a< b b - Trường hợp a = b ta có: a a a+ n = Vậy giá trị phân số không thay đổi = = b a a+ n - Trường hợp a > b ta có:( a >1) b a b+ a- b a- b = = 1+ b b b Còn Vì a + n (b + n)+ (a + n)- b - n a- b = = 1+ b+ n b+ n b+ n a- b a- b a a+ n > Þ > b b+ n b b+ n Vậy: Khi cộng tử mẫu phân số lớn (cả tử mẫu số dương) với số tự nhiên khác phân số có giá trị lớn giá trị phân số ban đầu -Trường hợp a < b ta có:( a < Þ 1< 1Nên b b+ n b b+ n b b+ n Vậy: Khi cộng tử mẫu phân nhỏ (cả tử mẫu số dương) với số tự nhiên khác phân số có giá trị nhỏ giá trị phân số ban đầu VD3: Tìm số tự nhiên x cho x 10 < < 11 15 11 Lời giải: Ta có: x 10 9.15 11.x 10.15 < < Û < < 11 15 11 11.15 11.15 11.15 Hay 135 < 11x < 150 Û 135 150 < x< Þ x = 13 11 11 Vậy x = 13 Phương pháp chung: Tìm mẫu thức chung phân số từ xét tử số tìm giá trị x thoả mãn tốn VD4: Chứng minh rằng: 1 1 + + + + < 2 100 Lời giải: Xét vế trái ta cú 1 1 1ổ ỗỗ1 + + + + + + = 22 42 62 1002 22 ỗố 22 1ổ 1 1 ữ < ỗỗ1 + + + + + ữ ữ= ỗố 1.2 2.3 3.4 49.50 ứ 1 ÷ + + + ÷ ÷< 32 42 502 ứ 1ổ 1 ỗỗ1 + 1- ữ = < ữ ốỗ 50 ứữ 200 Đpcm C CÁC DẠNG BÀI TẬP Bài 1: So sánh biểu thức A B biết: a/ A= 19 23 29 + + 41 53 61 12 + 1411 1920 + c/ A= 1920 - b/ A= Chuyên đề Toán 23 1412 B= 21 23 33 + + 41 49 65 12 + 1412 1921 + B= 1921 - B= Năm học: 2010 – 2011 23 1411 Trang 19 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 1002009 + d / A= 1002008 + 50 + 51 + 52 + + 59 e/ A= + 51 + 52 + + 58 n f / A= n+ n2 - g / A= n +1 B= B= B= B= 1002010 + 1002009 + 30 + 31 + 32 + + 39 30 + 31 + 32 + + 38 n+ với n Î N n+ n2 + với n Î N n2 + Bài 2: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 + + + + + + < 31 35 37 47 53 61 1 1 1 < b) < + + + 6 100 1 1 1 + - + + < c) < 5 98 99 1 99 < < d) 15 100 10 1 1 + + + < e) < 1! 2! 3! 100! a) Bài 3: Tìm số tự nhiên x biết: a) x < < 100 110 50 b) 123 x 124 < < 1000 2008 1000 Bài 4: Tìm hai phân số có mẫu 17 mà tử số số tự nhiên liên tiếp để phân số nằm hai phân số 11 Bài 5: Tìm hai phân số có tử 1, mẫu hai số tự nhiên liên tiếp cho phân số 13 84 nằm hai phân số Bài 6: Tìm hai phân số có mẫu 21 nằm hai phân số - - Bài 7: Chứng minh có vơ số phân số nằm hai phân số a b với m m a, b, m Î N , m ¹ a > b D HƯỚNG DẪN GIẢI Bài 1.b/: Xét hiệu A – B < suy A < B Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 20 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c/ Dùng phần thừa CHUYÊN ĐỀ 5: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN SỐ HỌC A.KIẾN THỨC CƠ BẢN - Nắm phương pháp dùng giải toán số học - Biết nhận dạng dạng tập từ có định hướng để sử dụng phương pháp phù hợp tìm lời giải tốn - Có thể tự tạo tập phương pháp tương tự hoá toán ban đầu B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I/ Phương pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng 1/ Các ví dụ: VD1: Tuổi anh gấp lần tuổi em trước kia, lúc anh tuổi em Khi anh tuổi em tổng số tuổi hai người 28 Tính số tuổi người Lời giải: Gọi độ dài đoạn thẳng AB biểu thị số tuổi em trước tuổi anh biểu thị đoạn thẳng AC gấp lần đoạn thảng AB ta có mơ hình quan hệ tốn sau A A A B B D D A C Tuổi em trước Tuổi em (tuổi anh trước kia) Tuổi em sau (tuổi anh nay) Tuổi anh sau C 28 E Do anh em số tuổi định nên ta biểu thị tuổi anh trước ( tức tuổi em ) đoạn AD, tuổi anh sau đoạn AE BD = DC = CE số tuổi anh em Từ sơ đồ ta tính AB = Vậy tuổi em tuổi Tuổi anh 12 tuổi Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 21 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn * Nhận xét: Với sơ đồ đoạn thẳng ta thể trực quan đại lượng toán quan hệ chúng đẽ dàng tìm đáp án tốn VD2: Tìm số tự nhiên có tận biết sau xố số số tự nhiên giảm 484 đơn vị Lời giải: Xoá số tận trừ số đơn vị sau chia cho 10 Ta có sơ đồ sau: Số ban đầu Theo sơ đồ ta có : 484 Số lại Số lại là: (484 - 7): = 53 Vậy số tự nhiên ban đầu 53 10 + = 537 2/ Một số tập: Bài 1.1: Trên hai ngăn giá sách có tổng cộng 118 Nếu lấy ngăn thứ sau thêm vào ngăn thứ hai 10 sách số sách ngăn thứ gấp đoi số sách ngăn thứ Tính số sách ngăn lúc ban đầu Bài 2.1: Mẹ 28 tuổi Sau năm tuổi mẹ gấp lần tuổi Tính tuổi mẹ tuổi nay? Bài 3.1: Số dân trước hai huyện A B tỉ lệ với Hiện dân số huyện A tăng thêm 8000 người, dân số huyện B tăng thêm 4000 nên dân số huyện A gấp dân số huyện B Tính số dân huyện II/ Phương pháp giải thiết tạm 1/ Các ví dụ: VD1: Xét tốn cổ: “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn” Hỏi lồi có con? Lời giải: Giả sử tất 36 chó tổng số chân là: 36.4 = 144 chân, thừa 44 chân so với đầu số chân gà Chun đề Tốn Năm học: 2010 – 2011 Trang 22 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Vậy số gà là: 44: = 22 Số chó 36 – 22 = 14 VD 2: Một đội bóng thi đấu tất 25 trận thắng hoà Biết trận thắng đội điểm, trận hoà điểm Tổng số điểm đội đạt 59 điểm Tính số trận thắng trận hồ đội bóng Lời giải: Giả sử tất trận đội hồ, số điểm đạt 25 điểm Do tổng số điểm đội đạt 59 điểm thừa 34 điểm so với giả sử đội có trận thắng trận thắng nhiều trận hoà điểm Vậy số trận thắng đội 34 : = 17 trận Số trận hoà là: 25 – 17 = trận Vậy đội thắng 17 trận, hoà trận 2/ Một số tập: Bài 1.2: Một nhà hàng có 22 ghế gồm loại chân, chân chân Tính số ghế loại, biết số ghế chân gấp đôi số ghế chân tổng số có tất 100 chân ghế Bài 2.2: Một thi có 20 câu hỏi, đội dự thi phải trả lời đủ 20 câu hỏi, câu trả lời cộng thêm điểm, trả lời sai bị trừ điểm Một đội dự thi đạt 52 điểm Tính xem đội trả lời câu, sai câu ? Bài 3.2: Trên đoạn đường AC dài 200 km có điểm B cách A 10 km Lúc hai ô tô xuất phát chiều xe thứ từ A, xe thứ hai từ B tới C với vận tốc 50 km/h 40 km/h Hỏi lúc khoảng cách đến C xe thứ hai gấp đôi khoảng cách đến C xe thứ ? III/ Phương pháp lựa chọn Một số tốn số tự nhiên giải cách vào kiện tốn để tìm số giái trị thoả mãn điều kiện sau thử xem trường hợp thoả mãn đầu toán lựa chọn kết 1/ Các ví dụ: VD1: Tìm số tự nhiên có chữ số biết số chia hết cho 18 chữ số xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn tỉ lệ với 1: : Lời giải: Vì số tỉ lệ với : : 1, 2, 2, 4, 3, 6, nên số phải tìm có số lập nên từ ba chữ số Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 23 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Nhưng số phải tìm chia hết cho 18 nghĩa chia hết tổng chữ số phải chia hết cho Như có ba chữ số 3, 6, thoả mãn điều kiện Mặt khác số chia hết cho 18 nên phải chia hết cho suy có chữ số tận số chẵn Vậy số phải tìm 396 hặc 936 thoả mãn điều kiện toán Nhận xét: Ta xét điều kiện số có ba chữ số chia hết cho 18 trước Tuy nhiên phải thử chọn nhiều kết Vì cần lưu ý sử dụng phương pháp kiểm tra điều kiện loại nhiều giá trị không thoả mãn trước để vùng lựa chọn thu hẹp lại giúp ta tìm đáp án tốn nhanh VD2: Tìm số tự nhiên x biết tổng chữ số x y, tổng chữ số y z x + y + z = 60 Lời giải: Nhận xét: Ta thấy x số có hai chữ số x < 60 Khi x = ab suy y = 10a + b.Có hai trường hợp z 1) Nếu a + b < 10 z = y = a + b 2) Nếu a + b ³ 10 z = a + b – Xét trường hợp 1: Do x + y + z = 60 nên ta có 10a + b + (a + b) + (a + b) = 60 hay 4a + b =20 suy b = 20 – 4a b nhận giá trị 0, 4, 8, tương ứng ta tìm giá trị a 5, 4, Tuy nhiên cặp giá trị a = 3, b = bị loại a + b > 10 Từ ta tìm x 50 44 Xét trường hợp 2: Ta có 10a + b + (a + b) + (a + b – ) = 60 hay 4a + b = 23 Kết hợp điều kiện ta tìm a = 4, b = thoả mãn từ tìm x = 47 Vậy có số thoả mãn đầu 2/ Một số tập: Bài 1.3: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết chia số cho tích chữ số hiệu số phải tìm với số gồm chữ số số viết theo thứ tự ngược lại 18 Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 24 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 2.3: Có ba tờ bìa ghi số 23, 79 ab Xếp ba tờ bìa lại thành số có chữ số Cộng tất số có chữ số lại (đổi chỗ tờ bìa ta lại sơ có chữ số khác) kết 989 896 Tìm số ab Bài 3.3: Trên bia có vòng tròn tính điểm 18, 23, 28, 33, 38 Muốn trúng thưởng phải bắn số phát để đạt 100 điểm Hỏi phải bắn phát vào vòng để trúng thưởng Chuyên đề Toán Năm học: 2010 – 2011 Trang 25 ... 99100 64 8 161 2 61 00 3170 Giải: Xét VD 3: Ta có: 61 00= 2100.3100 3170= 370.3100  Để so sánh 61 00 3170 ta cần so sánh 2100 370 Vì 23 < 32 nên (23)34 < (32)34 hay 2102 < 368 mà 2100 < 2102 < 368 a = 6m ; b = 6n với m, n thuộc Z+ ; (m, n) = ; m ≤ n Vỡ : ab = 6m.6n = 36mn => ab = 2 16 tương đương mn = tương... với a = 6, b = 36 hoặcc a = 12, b = 18 Bài toán : Tìm hai số nguyên dương a, b biết ab = 180, [a, b] = 60 Lời giải : Từ (**) => (a, b) = ab/[a, b] = 180 /60 = Tìm (a, b) = 3, tốn đưa dạng toán Kết