Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ)

46 29 0
  • Loading ...
1/46 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 09/06/2018, 14:02

Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ)Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ)Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ)Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ)Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ)Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ) ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Hải Đường HÀM LỒI, HÀM LỒI SUY RỘNG TÍNH CHẤT CONVEX FUNCTIONS AND GENERALIZATIONS WITH THEIR PROPERTIES Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2014 Cơng trình hồn thành Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Trần Vũ Thiệu Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 21 tháng năm 2014 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên Mục lục Lời nói đầu Chương HÀM LỒI HÀM LÕM 1.1 TẬP LỒI TẬP LỒI ĐA DIỆN 1.1.1 Định nghĩa tập lồi, bao lồi nón lồi 1.1.2 Tập lồi đa diện 1.1.3 Các phép tốn bảo tồn tập lồi 1.2 HÀM LỒI (LỒI CHẶT) HÀM LÕM (LÕM CHẶT) 1.2.1 Định nghĩa ví dụ 1.2.2 Tính chất 1.2.3 Hàm lồi khả vi cách nhận biết hàm lồi 1.2.4 Các phép toán bảo toàn hàm lồi Chương HÀM LỒI HÀM LÕM SUY RỘNG 2.1 HÀM TỰA LỒI HÀM TỰA LÕM 2.2 HÀM GIẢ LỒI HÀM GIẢ LÕM 2.3 HÀM LỒI TẠI MỘT ĐIỂM 2.4 HÀM PHÂN THỨC AFIN 2.5 HÀM LÔGA-LỒI HÀM LÔGA-LÕM 4 8 12 15 17 21 21 27 30 32 33 Chương CỰC TRỊ CỦA HÀM LỒI HÀM LÕM SUY RỘNG 3.1 CỰC TIỂU ĐỊA PHƯƠNG TOÀN CỤC 3.2 CỰC TIỂU HÀM LỒI (CỰC ĐẠI HÀM LÕM) 3.3 BÀI TOÁN TỐI ƯU TỰA LỒI KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 36 37 41 43 44 Lời nói đầu Hàm lồi hàm lõm có nhiều tính chất đặc biệt, đáng ý sử dụng nhiều lý thuyết ứng dụng thực tiễn, đặc biệt giải tích lồi tối ưu hóa Chẳng hạn, cực tiểu địa phương hàm lồi tập lồi cực tiểu toàn cục, hàm lồi khả vi đạt cực tiểu tự điểm có đạo hàm hay hàm lồi đạt cực đại đỉnh tập lồi đa diện Một số hàm lồi suy rộngtính chất tương tự Vì hàm lồi hàm lồi suy rộng chủ đề hấp dẫn thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu trình bày khái niệm kết liên quan đến chủ đề hàm lồi, lõm hàm lồi, lõm suy rộng: hàm tựa lồi, tựa lõm (tựa lồi chặt, tựa lồi mạnh, tựa lõm chặt), giả lồi, giả lõm, giả lồi chặt, hàm lồi điểm, hàm phân thức afin, tính chất đáng ý chúng, đặc biệt tính chất cực trị mối quan hệ hàm Các tính chất hàm lồi hàm lồi suy rộng hay dùng thiết lập điều kiện tối ưu xây dựng lược đồ tính tốn giải tốn tối ưu có chứa hàm lồi hàm lõm Luận văn viết thành ba chương Chương “Hàm lồi hàm lõm” nhắc lại số kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện phép toán bảo tồn tập lồi Tiếp theo tập trung trình bày khái niệm hàm lồi, hàm lõm số tính chất tính liên tục, đạo hàm theo hướng, vi phân hàm lồi, hàm liên hợp, dấu hiệu nhận biết hàm lồi phép tốn bảo tồn hàm lồi, cho phép từ hàm lồi có tạo nhiều hàm lồi Nội dung trình bày chương minh họa nhiều ví dụ hình vẽ cụ thể, cung cấp thêm thông tin cần thiết giúp hiểu rõ tập lồi hàm lồi Chương “Hàm lồi (lồi chặt) hàm lõm (lõm chặt)” trình bày số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng tính chất đáng ý chúng Hàm tựa lồi (tựa lõm) mở rộng trực tiếp hàm lồi (hàm lõm) Đáng ý hàm tựa lồi tập mức lồi Các hàm tựa lồi chặt (tựa lõm chặt) có vai trò quan trọng lý thuyết tối ưu phi tuyến, cực tiểu địa phương hàm tựa lồi chặt (cực đại địa phương hàm tựa lõm chặt) tập lồi cực tiểu (cực đại) toàn cục Hàm tựa lồi chặt tựa lồi nửa liên tục Hàm giả lồi giống hàm lồi chỗ ∇f (¯ x) = x¯ x¯ cực tiểu tồn cục hàm Chú ý hàm giả lồi vừa tựa lồi chặt vừa tựa lồi hàm giả lồi chặt hàm tựa lồi mạnh Hàm phân thức afin vừa giả lồi vừa giả lõm Trong số trường hợp, hàm lồi thay hàm lồi điểm Các hàm lôga-lồi, lôga-lõm thường gặp lý thuyết xác suất nghiên cứu kinh tế đề cập tới chương Chương "Cực trị hàm lồi hàm lõm suy rộng" trình bày tóm tắt tính chất cực trị đáng ý hàm lồi hàm lõm suy rộng, tương tự tính chất đặc trưng hàm lồi hàm lồi chặt Chẳng hạn, cực tiểu địa phương hàm tựa lồi chặt cực tiểu toàn cục, cực tiểu hàm tựa lồi mạnh nhất, cực đại hàm tựa lồi liên tục đa diện lồi (nếu có) đạt đỉnh đa diện Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong q thầy bạn đóng góp ý kiến để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn sau Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Trần Vũ Thiệu, người thầy trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt kinh nghiệm nghiên cứu cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Tốn - Tin, Phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường THPT Hoàng Văn Thụ bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, 2014 Tác giả Nguyễn Thị Hải Đường Chương HÀM LỒI HÀM LÕM Chương nhắc lại số kiến thức tập lồi, tập lồi đa diện phép tốn bảo tồn tập lồi Tiếp theo tập trung trình bày khái niệm hàm lồi, hàm lõm số tính chất tính liên tục, đạo hàm theo hướng, vi phân hàm lồi, hàm liên hợp, dấu hiệu nhận biết hàm lồi phép tốn bảo tồn hàm lồi, cho phép từ hàm lồi có tạo nhièu hàm lồi Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [4], [6] [7] 1.1 1.1.1 TẬP LỒI TẬP LỒI ĐA DIỆN Định nghĩa tập lồi, bao lồi nón lồi Tập lồi khái niệm quan trọng sử dụng rộng rãi lý thuyết tối ưu Tập lồi có nhiều tính chất đáng ý, đặc biệt tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1 Tập C Rn gọi tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Nói cách khác, C tập lồi (1 − λ) a + λb ∈ C với a, b ∈ C ≤ λ ≤ Nói riêng, tập ∅ (không chứa phần tử nào), tập gồm phần tử tồn khơng gian Rn tập lồi Hình 1.1 Tập A lồi Tập B không lồi Sau số tập lồi đáng ý: a) Tập afin tập chứa trọn đường thẳng qua hai điểm thuộc b) Siêu phẳng tập có dạng H = x ∈ Rn : aT x = α, a ∈ R\ {0} , α ∈ R c) Nửa không gian đóng H1 = x ∈ Rn : aT x ≤ α , H2 = x ∈ Rn : aT x ≥ α d) Nửa không gian mở K1 = x ∈ Rn : aT x < α , K2 = x ∈ Rn : aT x > α e) Hình cầu đóng B (a, r) = {x ∈ Rn : x − a ≤ r} , a ∈ Rn , r > cho trước f) Tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax ≤ b} , A ∈ Rm×n , b ∈ Rm g) Nón lồi đa diện K = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0} , A ∈ Rm×n , ∈ Rm Từ định nghĩa tập lồi trực tiếp suy số tính chất đơn giản sau: a) Giao họ tập lồi tập lồi b) Tổng, hiệu hai tập lồi tập lồi C ± D = {x ± y : x ∈ C, y ∈ D} c) Nếu C ⊂ Rm , D ⊂ Rn tích C × D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} tập lồi Rm×n (Có thể mở rộng cho tích nhiều tập lồi) d) Tập M tập afin M = a + L với a ∈ M L không gian con, gọi không gian song song với M Khái niệm tương đương: M tập afin M tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính, tức có biểu diễn M = x ∈ Rn : Ax = b, A ∈ Rm×n , b ∈ Rm Giao họ tập afin tập afin Định nghĩa 1.2 a) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, λ1 + λ2 + + λk = 1, gọi tổ hợp lồi điểm a1 , a2 , , ak b) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λ1 + λ2 + + λk = 1, gọi tổ hợp afin điểm a1 , a2 , , ak c) Điểm x ∈ Rn có dạng x = λ1 a1 + λ2 a2 + + λk ak với ∈ Rn , λi ≥ 0, gọi tổ hợp tuyến tính khơng âm hay tổ hợp nón điểm a1 , a2 , , ak Định nghĩa 1.3 Cho E tập Rn a) Giao tập afin chứa E gọi bao afin E, ký hiệu af f E Đó tập afin nhỏ chứa E b) Giao tất tập lồi chứa E gọi bao lồi (convex hull) E, ký hiệu convE Đó tập lồi nhỏ chứa E Định nghĩa 1.4 Một tập K Rn gọi nón hay tập nón (mũi 0) với x ∈ K λ > λx ∈ K Nón K gọi nón lồi (convex cone) K tập lồi 1.1.2 Tập lồi đa diện Tập lồi đa diện dạng tập lồi có cấu trúc đơn giản hay gặp lý thuyết tối ưu Định nghĩa 1.5 Một tập giao số hữu hạn nửa không gian đóng gọi tập lồi đa diện (polyhedral convex set) Nói cách khác, tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình tuyến tính: ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ≤ bi , i = 1, 2, , m nghĩa tập x nghiệm Ax ≤ b với A = (aij ) ∈ Rm×n , b = (b1 , , bm )T Nhận xét 1.1 Vì phương trình tuyến tính biểu diễn tương đương hai bất phương trình tuyến tính nên tập nghiệm hệ (hữu hạn) phương trình bất phương trình tuyến tính tập lồi đa diện: Một tập lồi đa diện khơng bị chặn (khơng giới nội) Một tập lồi đa diện bị chặn (giới nội) gọi đa diện lồi (polytope) Các đa giác lồi theo nghĩa thông thường R2 ví dụ cụ thể đa diện lồi Hình 1.2 Tập lồi đa diện Ta nhắc lại khái niệm điểm cực biên phương cực biên tập lồi C: • x0 ∈ C điểm cực biên (extreme point) C không tồn x1 , x2 ∈ C x1 = x0 , x2 = x0 λ ∈ (0, 1) cho x0 = λx1 + (1 − λ) x2 Nói cách khác, điểm cực biên tập lồi điểm không nằm đoạn thẳng nối hai điểm khác thuộc tập • Một phương vơ hạn C gọi phương cực biên (extreme direction) C khơng thể biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính dương hai phương vơ hạn khác C Như vậy, d0 ∈ Rn phương cực biên C khơng thể có d0 = λ1 d1 + λ2 d2 với λ1 , λ2 > d1 = d0 , d2 = d0 hai phương vô hạn C Khi C tập lồi đa diện điểm cực biên C gọi đỉnh (vertex) C véc tơ phương cạnh vô hạn (unbounded edge) C phương cực biên C Cho D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0}, tức D tập nghiệm không âm hệ phương trình tuyến tính Theo định nghĩa, D tập lồi đa diện Tập không chứa trọn đường thẳng (do x ≥ 0) nên D có đỉnh Các phương cực biên (đã chuẩn hóa) D nghiệm sở hệ Ay = 0, eT y = 1, y ≥ 0, e = (1, , 1)T Ta có định lý biểu diễn sau đây, thường dùng chứng minh Định lý 1.1 ([2], tr 62) Mỗi điểm tập lồi đa diện D = {x ∈ Rn : Ax = b, x ≥ 0} biểu diễn dạng tổ hợp lồi tập hữu hạn đỉnh D cộng với tổ hợp tuyến tính khơng âm tập hữu hạn phương cực biên D 1.1.3 Các phép tốn bảo tồn tập lồi Các qui tắc thực tiễn để xác minh tính lồi tập C: Sử dụng định nghĩa: x1 , x2 ∈ C, ≤ λ ≤ ⇒ (1 − λ) x1 + λx2 ∈ C Chỉ C nhận từ tập lồi đơn giản (siêu phẳng, nửa không gian, hình cầu đơn vị ) phép tốn bảo tồn tính lồi phép giao, ảnh qua hàm afin (affine function), hàm phối cảnh (perspective function), hàm phân tuyến tính (linear-fractional function) Việc làm dựa tính chất sau tập lồi a) Giao số tập lồi tập lồi b) Với f : Rn → Rm hàm afin (hàm phối cảnh hay hàm phân tuyến tính) ảnh ảnh ngược tập lồi qua biến đổi f tập lồi Cụ thể C ⊆ Rn lồi ⇒ f (C) = {f (x) : x ∈ C} ⊆ Rm lồi, D ⊆ Rm lồi ⇒ f −1 (D) = {x ∈ Rn : f (x) ∈ D} ⊆ Rn lồi Để tiện theo dõi, ta nêu lại khái niệm hàm • f : Rn → Rm hàm afin f (x) = Ax + b với A ∈ Rm×n , b ∈ Rm Để ý phép đổi tỷ xích, phép tịnh tiến hay phép chiếu xác định hàm afin • Hàm phối cảnh f : Rn+1 → Rn xác định theo công thức f (x, t) = x/t với x ∈ Rn t > • Hàm phân tuyến tính f : Rn → Rm hàm có dạng Ax + b với x ∈ Rn cT x + d > f (x) = T c x+d Chẳng hạn hàm phân tuyến tính R2 x, với x1 + x2 + > f (x) = x1 + x2 + 1.2 1.2.1 HÀM LỒI (LỒI CHẶT) HÀM LÕM (LÕM CHẶT) Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.6 a) Hàm f : C → [−∞, +∞] xác định tập lồi C ⊆ Rn gọi hàm lồi C với x1 , x2 ∈ C ... hiểu rõ tập lồi hàm lồi Chương Hàm lồi (lồi chặt) hàm lõm (lõm chặt)” trình bày số lớp hàm lồi, hàm lõm suy rộng tính chất đáng ý chúng Hàm tựa lồi (tựa lõm) mở rộng trực tiếp hàm lồi (hàm lõm)... niệm hàm lồi, hàm lõm số tính chất tính liên tục, đạo hàm theo hướng, vi phân hàm lồi, hàm liên hợp, dấu hiệu nhận biết hàm lồi phép tốn bảo tồn hàm lồi, cho phép từ hàm lồi có tạo nhiều hàm lồi. .. trị hàm lồi hàm lõm suy rộng" trình bày tóm tắt tính chất cực trị đáng ý hàm lồi hàm lõm suy rộng, tương tự tính chất đặc trưng hàm lồi hàm lồi chặt Chẳng hạn, cực tiểu địa phương hàm tựa lồi
- Xem thêm -

Xem thêm: Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ), Hàm lồi, hàm lồi suy rộng và tính chất ( Luận văn thạc sĩ)

Từ khóa liên quan

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay