Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN B Ộ M ÔN T O A N Cơ BA N HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ■ T O Á N C Ạ O C Ấ P CHO CÁC NHÀ KINH TÊ (Phần i: Đại sơ tun tính) NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN MATHEDUCARE.COM LỜI NÓI ĐẤU Tiếp theo tẠp-“Tođn cao eấp cho nhã kinh tế*, Nhà xuất Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn cho biên soạn “Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp cho nhà kinh tế” Mục đích cùa sách nhảm giúp cho sinh viên tự bọc tốt mơn học, dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào Sau đại học Kết CẨU sách gổm hại phẩn tương úng vói nội dung giáo trình lý thuyết v& tập Trong mỏi học, chúng tơi tóm tắt lại khái niệm kết ví dụ miu Hướng dán phương pháp giải loại tập cụ tbé, cuối tập đáp số gợi ý để bạn tự rèn luyện Hy vọng sách giúp bạn tự học ôn tạp tót mơn học 'Tốn cao cấp cho nhà kinh tế ” Lần đẩu biẽn soạn, sách khổng tránh k h a thiếu sót, rát mong nhân góp ý bạn dọc nghiệp aể lẩn xuỉt sau hoàn thiện Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ mơn Tốn bản, Khoa Toán Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân ĐT/Fax: (04) 6283007 Email: hoangtoancb@neu.edu.vn Xin chân thành cảm ơn! Trường Bộ mơn Tốn C a bản, ĐH KTQD NGUYỄN HUY HOÀNG matheducare.com MATHEDUCARE.COM Phấn ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tái lần thứ (C ó sử a chữ a b ổ sung) matheducare.com MATHEDUCARE.COM C huơng1 K H Ô N G G IA N V EC TƠ § H ệ p h n g trìn h tu y ến tín h tổn g q u át A T óm tá t lý th u y ế t ví d ụ m ẫu Hệ phương trình tuyến tính tổng qt gồm m phương trình n ẩn: a„x, + al2x + — + aInx„ = b, a 2lx, + au x + - + a2nxn = b2 a„,x, + am2x2 + - + a „ x , = bm Hệ tam giác: an x, + a,jX2 + — + alnx„ = b, a22x2 + + a 2nx D = bj annxo = bn ơđó, * ajj = với i> j Hệ dạng tam giác có nghiệm Cách giải: Từ phương trình cuối giải ẩn x„, thay ngược lên phương trình ưên tìm ẩn lại, nghiệm hệ phưcmg trình Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: | x , + x j - X, =5 X j + X j = 5x, = matheducare.com MATHEDUCARE.COM Giải Lần luợt tìm giấ tĩị ẩn x ,,x 2,x, Hẹ phuơng trình đă cho có nghiẹm nhít: Hệ Müh thang: aMx, + a,jX2 + aHx2 + + a^x, + - - a 2« x + + + alax„ = b, + a \, = + a^x, b đó, 5tO,Vi = l,2 , ,m ;m < n aÿ = với i> j Cách giải: + Chọn trình); ẩn (sổ ẩn chíoh báng sổ phnơng ẩn tự d o + Chuyển ẩn tự sang a ị tnỳ ý: VẾ phải gán cho chiỉog nhũng giá x»*l ~ a B»l> xm»2 - x « - CT| Khi dó, la thu đuợc hẹ có dạng tam giác với ẩn chinh, giải hệ ta đuợc: v ạy ta cố nghiệm cùa hệ phương trình dã cho có dạng: (O p « i Vì giá trị m ì ta gán cho ẩn tự tuỳ ỷ nên bệ hình thang có số nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phuơng trình: 2x, - X, + Xj - X, -2 x „ = -2 + x2 2x, - x4 X, = = matheducare.com MATHEDUCARE.COM Giải: Chọn x ,,x 2,x , ẩn chính; x4 ẩn cự do, x4 * a , a e R Hệ phutmg trình ds cho tương dưong: Ì 2x, + 3x j’ Kj - X, = X, = = -8 a - a X, = - + a + a +8 Xj = ị ( a + 3) + a - * j = ỉ ( a + 3) X, = - ( a - l ) o ■x = ị ( a - l ) [x, = i ( a + !) Nghiệm tổng quát: ( ^ ( a - l ^ ị ^ a - l ^ ^ a + l),«*) Phương pháp khử ẩn liỀn tiếp Các phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính: • Đổi chỗ hai phuơng trình hệ cho nhau; • Nhan hai vế phuong trình ưong hẹ với số khác khổng; • Cộng v&o hai vế phuơng trinh hai vé tương úng phương trinh khỉc sau dã nhãn với số Bây chung Ún giới thiệu phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss dể giải hệ phuơng trình tuyến tính tổng qt Nội đủng: Chuyển hộ phương trình tuyến tính tổng quát vổ hệ tam giác hệ hình thang, phép biến dổi tuơng dương dối với hệ phutmg trình tuyến tính Chú ý: Để giải hệ phương trình tuyến tính ta thường biên đổi ữên ma trận mờ rộng tương ứng hệ phương ưình matheducare.com MATHEDUCARE.COM Cách giải: Tương ứng với hệ phương ưình tuyến tính tổng qt ta có ma trận mờ rơng khổng tính tổng qt giả sử a,, * Bước 1: Khử ẩn X, bàng cách lấy dòng nhân với cộng ®II a!2 A= *aml *22 ■•• »1 ••• a 2„ a»2 • • a^, b ,' b2 -> '»II »'» o vào dòng i, i = 2,3, ,m aôi _ a,n a'ớ t>; Bước 2: Khử ẩn Xj (giả sử a'^ * 0) cách lấy dòng hai nhân với â* - — cơng vào dòng i, i = 3,4, ,m »á Cứ tiếp tục trình ưên ta đưa phương ưìiih cho vé hệ tam giác hẹ hình thang Trong trình sừ dụng phép biến đổi tưong đương thấy hẹ phương trình xuất phương trình dạng: • 0x, + x + + 0xn = b * kết luận hẹ phương trình cho vơ nghiệm; • 0x, + Ox, + + 0xn = bỏ phưcmg trình Ví dụ 3: Giải hệ phuơng trình: X + 2y 2x 3x - '1 -3 ,3 -1 -2 3y - 3z = + z = y - 2z = r '\ 2 -¥ -7 4J ,0 -7 -3 '1 f -> -7 -3 r 7 K K ,0 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Hệ phương trình ưẻn tương đương với hệ phương trình: X + 2y - 3z = - l y + 72 = Oz = Hệ phương trình cho vơ nghiệm Vi dụ 4\ Giải hệ phương trình: X I + + z = y 2x + y - z = 3x - y + = ,3 -! 1 ^ —> ũ» '1 1 ' -1 1 Giải: '1 -4 -2 '1 1 -» -1 -1 -11 10 30 -1 Hệ phương trình cho tương đương với hệ sau: x + y + z = - y - 3z = - 1 X = o 10z = •y = [z = Vậy hệ phương trình có nghiệm nhát (1,2,3) Vi dụ 5: Giải hệ phương trình: -4x, - Xj + lOx, - 5x, = X, + 2x, - 2x, + X, = - x , + 3X j + x , - 2x4 = Giải: '- -1 10 ,-2 -2 -5 ' ' 1 —► -4 -2 , ,-2 -1 -2 10 -5 -2 , matheducare.com 1' ' MATHEDUCARE.COM -2 -♦ 7 1" -2 -1 —* 0, ,0 I 11 -1 ' Hẹ phuong trình đ a cho tuong đương với hệ phương trình sau: X, + X j - 2Xj + X, = Xj + x , - *4 = Xj + x4 = Chọn x ,,x ,,x , làcácẩncMnh; x.làấntựdo.gánchox,, =a, VaeR Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau: ix , + X , - 2k, = - a 7x , + 2x, = a [ *» ậ -« X, = - a - 2a - - ậ a O ' K2 = | a X, « - f a *2 *= X, = - a * -fa -a ( 27 ^ Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình I - — , - , - a , a l , o e E C hú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thn cỗ sỗ phuong trình sổ ẩn đểu có vơ stf nghiệm (có nghiệm khơng tầm tliúDg) B BỒI tập IểĐỂb&l Giải bệ pbuơng trình tuyến tính sau phương pháp kbử ẩn liên úếp Gaus«: 2x+3y*5 x -y — 2x- y = * +2y=4 x -3 y =5 X -2 v matheducare.com *3 MATHEDUCARE.COM 8x - y =10 * -9 * =19 X -6 y + z = x -4 y + z =18 * -3 y + z = 2 * + y - z = 26 x - y - z =4 X + y + z =6 x + y - z = J x - y + z =4 II 00 * + y -3 z = x - y + 2z = X - y + 3z =0 J x - y - z =2 x + y -3 z = x -4 y + z =1 x -3 y + 5z =0 X 2x + y -3 * = 10 3x+2y+ z =0 4x + 3y+ 5z = X + 2y + z « 12 2x+3y+2z =0 3x+ y +2z = x ,+ x ' =22 x ,+ x,-x,+ x =-2 x , + x ,+ x = 14 X, + x4 + X| = X,-X ,-X, J-X, = X,+Xj+X,-X4 = X, - X j +x, -X, = x4 + x, +Kj = 15 X, +X, = 2x3 + X, = 1i 4x, + X, =29 x ,+ k , + x, = 13 3x - y - z = -8 -2x + 2y + 3z = X + y + z =3 llể - y - z = -2 2x +3y + 2z = X, - 2x, + 3xj - X, = 2x, + X, - X, +3 x4 » 4x, - * j + SXj + x =3 X, 16 - x ¡ + x , - Xj = - -2x,+3x, 3x, - x , + 5x = + X j - \ , - Xj = matheducare.com MATHEDUCARE.COM Đảo ngược lại ta phép biến đổi: y> = h’ y2 = ^ ( z + z,), y ,= z , Sau phép biến dổi ta dạng tồn phương tác: f = —zf + —zị + 2z? 2 Bây ta xét ví dụ ứng với trường hợp mà tất cà hệ số a„ = 0,i = l,2, ,n Ví dụ 3: Biến đổi dạng tồn phương sau vế dạng tắc: f = x,x2 + X|X, +X2X3 Giải: Trước hết ta có al2 = * 0, nên ta áp dụng phép biến đổi làm xt bình phương sau: xi = y , - y *2 = y, + y X, = y Sau phép biến dổi ta đuạc dạng toàn phương: f = y ? - y ỉ+ y ,y , Ma ưận dạng toàn phưong là: '\ l' - J 0, Do a,, = * 0, theo dòng thứ ma trận ta dặt: z, =y, + y 3, z , = y 2, Z j= y Đảo ngược lại ta đuợc phép biến đổi: yi = z , - z 3,y , = z 2,y = z Sau phép biến đổi ta dạng tồn phương tắc: f =z ỉ - z \ - z ị matheducare.com MATHEDUCARE.COM Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta thực việc biến đổi đưa dạng toàn phương vé dạng tắc theo thuật tốn định dựa vào ma trận dạng toàn phương, ta đua dạng tãc băng cách nhóm dần phẩn từ, cụ thể ta xét lại ví dụ sau: Biến đổi dạng tồn phương sau vẻ dạng tắc: f = XjX, + x ,x , + x,x, Giải: Trước hết ta có a,, = 1* 0, nên ta áp dụng phép biến đổi làm xuất bình phương sau: x > = y ,- y X, = y ,+ y 2, x ,= y , (*) Sau phép biến đổi ta dạng toàn phuơng: f = y ? - y ỉ + 2yiyj Tiếp đó, ta nhóm tất phển tử chứa y, : f = (y? + 2ysy, ) - yị = (y? + 2y,y, + y32) - yị - y,2 = ( y , + y J)2- y ! - y ỉ Đạt z, = y ,+ y 3,z , = y ,,z = y (**) Sau phép biến đổi ta dạng tồn phương tắc: f = z f-z ị-z jằ Chú ý ta cần ma trận phép biến đổi đưa dạng toàn phuơng ban đầu dạng tồn phưcmg tắc từ (*) (**) ta viết ma trận cùa phép đổi biến, ma trận phép đổi biến cẩn tìm tích cùa hai ma trận Vé chất hai cách biến đổi đểu nội dung phuơng pháp Lagrange dưa dạng tồn phuơng vẻ dạng tắc Đinh lý (luật qn tính): Sơ' hệ số dương số hộ số âm dạng tác c“a d?nS «ồn phương khơng phụ thuộc vào phép biẾn đổi tuyến tính khơng suy biến đua dạng tồn phương vể dạng tắc matheducare.com MATHEDUCARE.COM Chú ý: Có nhiéu dạng tắc cùa dạng tồn phuơng, chì số qn tính dạng tắc dó ln gióng B Bài tập I Đề Biến đổi vẻ dạng tắc dạng tồn phuơng sau: a f = 2xf+ x j-4 x ,x 2- x 2x3; b f = xf+ x ị+ x J - x,x2- x2x3; c f =3xf+ 4Xj +5 x j +4 xix2- x2xj Cho biẽi ma trận cùa dạng toàn phuong f cùa biến sổ x „ x2, x3, x4 : '2 11 ' -1 A= 11 56 ,2 -1 5' - J Hãy viết dạng tồn phương cho biết dạng tắc dạng toàn phương f khuyết máy biến sổ? n Đáp số Đáp số không nhất: a f = ^ z f - z j+ z ị ; b f = z\ ~ z ị + 5zị; c f = -z? + - z l + -z ị ' 2 f = 2xf+ 56X j-6x , Jx,xj =X'AX (1) Í=I j i • Dạng toàn phương (1) gọi dạng toàn phương xác định dương ln ln nhận giá trị duong với bô số thực (x| t x j, ,x n) khơng thời • Dạng tồn phương (1) dược gọi dạng tn phương xác định ám ln luồn nhạn giá trị âm với sổ thực (x ,,x ,x ,) kh^Ịg dồng thời • Một dạng tồn phương nhận giá trị dương giá trị âm gọi dạng tồn phương khơng xác định Đa thức đặc trưng Cho ma ưận vuông cấp n: A= Ma trận XE - A, X biến số gọi ma trận đặc trưng cùa ma trận A Ma ưận đặc trung cùa ma trân A có dạng: matheducare.com MATHEDUCARE.COM x -a „ a.21 XE - A = a a.l2n -®.a X - a 2j an2 Định thức ma ưân đặc trưng cùa ma trận A gọi da thức đặc trưng ma trận Giá trị riêng ma trặn Giá trị ri'jng ma trận vuông A nghiệm cùa đa thức đặc ưưng cùa ma ưận dó Ví dụ 1: Cho ma trận Đa thúc đặc tnmg ma trận A dã cho da thức: Phuơng trình f(X) = cho ta nghiệm X, = 0; Xj = 5, từ dó suy ma trận A có giá trị riêng là: x = 0; x = Dấu hiệu dạng toàn phưong xác định Xét ma trân vuông cấp n bất kỳ: / A _ a 21 a, a 22 Ta gọi mỏi định thức thành lập từ phầri tử thuộc k dòng đẩu k cột dầu ma trân A đinh thức ma ưận matheducare.com MATHEDUCARE.COM (k = 1,2, ,n) Ma trận A có n định thức ký hiệu lẩn lượt là: a „ a i2 »12 II a u ã D ,= a ,„ D = a 2l a t3 a » a 2, - D n =|A| a 22 a 52 a 3J Định lý 1: Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định dương chi ma trận cùa có tít định thức dương: D, >0, Dj > , , Dn >0 Vi dụ 2: Xét dạng toàn phương: f = xf + x ị + x | + x ,x + x ,x , Ma trận dạng toàn phương là: 'l i) A= 2 Ma trận có tất định thức dương: D, = 1> 0; D, = 1 = 2>0; D ,= | a | = 1>0 f dạng toàn phương xác định dương Chú ý: Dạng toàn phương f xác định âm chì dạng toàn phương - f xác định dương Áp dụng dịnh lý cho dạng toàn phương - f suy ra: Đinh lý 2: Dạng toàn phương f dạng toàn phương xác định am ma trận có tất cà định thức cấp chan dương tấi định thức cấp lẻ âm: D, , ,(-l)nD >0 matheducare.com MATHEDUCARE.COM Ví dụ 3: Xét dạng toàn phương: f = ~ x f - x j - x ị +2X |X j + x ,x , Ma trận dạng toàn phương là: A= (-1 * -2 iì A - 'ẻ Ma ưận có: D ,= -1 < ; Dj =1 D,-=|A| = - i < Vậy dạng toàn phương cho dạng toàn phương xác định ỉm, Để xét díu cùa dạng tồn phutmg ta sử dụng giá vị riêng ma trận Định lý 3: • Một dạng tồn phuong f dạng toàn phương xác định duơng v ì chi ma trận có tất giá {rị riêng dưcmg • Một dạng tồn phương f dạng toàn phuong xác định âm chi ma trận có tất giá trị riẽng am • Một dạng tồn phương f dạng tồn phương khòng *éc định ma trận cùa có giẩ trị riêng trái dấu Vi dụ 4: Xét dạng toàn phương: f = x f + X j + X |X j Ma trận cùa dạng toàn phương là: matheducare.com MATHEDUCARE.COM Ma trận A có hai giá trị riêng là: -7 - , + Vs X = — >0; X, = ———> 2 Vì hai giá trị riêng dưong dạng toàn phương dạng tồn phương xác dinh dương Ví dụ 5: Xét dạng toàn phutmg: f = - x f - 2Xj - xỉ + X j X j Ma trận dạng toàn phương là: (-1 A= 0 -2 o'* 1 -1 Đa thức dặc tnmg: |X E -A | = / Ma trận A x+l 0 0 ' X + -1 = (A + 1XA.J + 3X + 1) -1 X+ có giá trị riêng là: * ,= - l < ; X2 = - ^ ĩ < ; ^ = ± ^ < Vi giá m nên8 déu 4111 dạng toàn phương dạng toan phương xác định âm matheducare.com MATHEDUCARE.COM Ví dụ 6: Với giá trị tham sơ' X dạng tồn phương sau lì dạng toàn phương xác định dương? f - x f +2XXj + —xỊ + 4x,xj -2x,x, + \jX , Giải: Ma trận cùa dạng toàn phương là: '2 -0 A = 2X Ta có: D, =|2| = ,D ,= 2 2X = 4X.2 - 4, D, = |a | = 2X2 -4 X -3 Dẻ tháy D, = » x = ±l;Dj = o \ = —3;X = Để dạng toàn phương xác định dương điểu kiện cần dù tất cà định thức dều dương, nghĩa là: D, > 0, D2 > 0, D, > X>1 X < -1 ; Dj > o X> X < -3 Vạy với X e(-a> ,-3)u(5,+ °o) dạng tồn phương xác định dương B Bài tập I Để Tun giá trị riêng cùa ma ưận: ■ỉ ;í ' Gí) matheducare.com MATHEDUCARE.COM '0 f ■ J 0, '3 -4 -1 ,4 -8 d '2 -\ -ì -3 2' -2 , 11 11 11 1 - - 0' ; f -2, - 1 ,1 -1 -1 Cho A B hai ma trận vuông cấp Chứng minh A ma trận khỗng suy biến hai ma trân AB BA có đa thức đặc trung 10 Cho A ma ữận vuông không suy biỂn Cho biết lo giá trị riêng A, chúng minh: a Xo 0; b lAo giá trị riêng cùa ma trận A“ 11 Chứng minh Xo giá trị riêng ma trận vuông A chi tổn ma ữận cột X * cho AX = ẰDX 12 Chứng minh Xc giá tri riêng ma trận vng A x ị giá trị riêng cùa ma trận A2 13 Hãy thừ tổng quát hoá mệnh để tập 12 chứng minh 14 Các dạng toàn phương sau dạng toàn phương xác định dương, xác định âm hay khồng xác định? a f = 2x¡ b f = - x f - x ; - x j + x , x j + x lx , - x 2x 3; c f = x f + x ị + x j + x 1X j - X j X,; +3xj + 5xị - 2x,x2+4x,x, + 2XjX,; matheducare.com MATHEDUCARE.COM d f = 2x,J +xị—4x1x j-4xjx,; e f = xf+ xj + x ỉ+ x ỉ+ x 1x j+2x,x, + + x , x , - x x - x x - x 3x f f = 2xf +3Xj +5x] + -2X |X 2+4X,X3 + +2 x,x + X j X , + x , x n Đáp số 8.a f(X) = X2 -4X + 3; X, =1,X2 =3; b f(A.) = X2 -5X -14; X, =-2, = 7; c f(X) = XJ -X 2-X + l ; X ,= - l , x = l; d f(X) = X5 + 3X2 + 3X.+U X = -1; c f(A.) = A.J -3A.-2; A1 = -2 ,X j= l; f f(X) = X4 -4X1 + 1ÓX-16; X,=-2,X2=2 Ta có: |XE - AB| = |A(A-'XE - B)| = |a || a -'XE - B| = | a -' x e - b || a |= | x.e - b a | Bài tốn khổng ữong trường hợp tổng quát? 10 a b Gợi ý Ta có|X0E - A| =|A(X.0A_i - E)| = |X0A| 11 140 Nếu x0 = |X0E - A | = |-A | = vô lý |A |*0 Xem lại định lý trang 229 giáo trình matheducare.com MATHEDUCARE.COM '2 Ta có tồn véc tơ X * 0, cho AX = X0X cho nên: AJ(X) = A(AX) = A(X0X) = x ị x => 'K giá ttị riêng cùa A2 13 Mệnh dé: ”Nê’u Xolà giá trị riêng cùa ma ưận vng A X." giá trị riêng ma ưận A m bạn đọc tự chứng minh theo phương pháp quy nạp giống ưong tập 12 14 a Xác định dương; b Xác định âm; c Xác định duơng; d Không xác định; e Không xác định; f Khổng xác định matheducare.com MATHEDUCARE.COM TÀI LIỆU THAM KHẢO [1], BỘ MÔN TỐN C BẢN, Bài tập Tốn cao cấp, NXt ĐHKTQD, 2005 [2] LÊ ĐÌNH TH - Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Phán l, Đại sốtuyêh tính, NXB Thống kê, 2003 [3], NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUỴẺN Hồ QUỲNH, Toán cao cấp tập 1, NXB Giáo dục, 2001 [4] NGUYỄN ĐÌNH TRÍ, TẠ VĂN ĐĨNH, NGUYỄN Hồ QUYNH, Bài tập Toán cao cấp tập 1, NXB Giáo dục, 2001 [5], HOÀNG KỲ, VŨ TUẤN, Bài lặp Đại số NXB ĐH & THCN, 1980 [6], LÊ ĐÌNH THỊNH, PHAN VÃN HẠP, HỒNG ĐÚC NGUN, LÊ ĐÌNH ĐỊNH, Đại sơ' tuyến tính phần tập NXB Khoa học Kỹ thuật, 1998 [7], MICHAEL HOY, JOHN LIVERNOIS, CHRIS Me KENNA, RAY REES, THANASIS STENGOS, Mathematics fo r Economics, The MIT Press Cambrige, Massachusetts, London, England (Second edition), 2001 [8] ALPHA C.CHIANG, Fundamental methods o f Mathematical Economics, Thứd Edition Me Graw - Hill, Inc matheducare.com MATHEDUCARE.COM M ỤC LỤC Lòi nói đầu C hinm g Khơng gian Vectơ Hệ phương trinh tuyến tính tồng quát Các phép toán Vectơ Các mối liên hệ tuyến tính C sờ khơng gian Vectơ Hạng hệ Vectơ 5 ]3 ]7 23 29 Chương Ma trận định (hức Các khái niệm Định thức Phép nhân ma trận nta trận nghịch đảo Hạng ma trận 35 C hinm g Hệ phương trìn h tuyến tính Hệ phương trình Cramer Hệ phương trinh tuyến tính tổng quát Hệ phương trinh tuyến tin h Một số mô hinh tuyến tính phân tích kinh tế 85 85 C hương Dạng toàn phương Các khái niệm Các phép biến đổi tuyến tính khơng gian R Biến đổi dạng tồn phương dạng tắc Dạng tồn phương xác định Tài liệu tham khảo matheducare.com 3S 38 55 73 90 100 109 119 119 123 128 133 142 MATHEDUCARE.COM HƯỚNG DÂN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẦP CHO CÁC NHÀ KINH TÉ N H À X IỈÁ T BẢN Đ Ạ I H Ọ C K IN H T Ẻ Q U Ĩ C DÂN Địa chỉ: 207 Đường Giải Phóng - Hà Nội Điện thoại: 043.8696407 * Chịu trách nhiệm xuất NGUYÊN THÀNH Đ ộ Chịu trách nhiệm nội dung NGUYÊN HÚY HOÀNG Biên tập: NGUYỄN HUY HOÀNG Chế bàn: QUANG KÉT Vẽ bia: TRÀN HOA In 1000 khổ 14.5*20.5cm xướng in DDHKTQD Mà số ĐKXB 88/20 lÓ-CXB/01/480 In xong nộp lưu chiểu Quý II năm 2010 matheducare.com ...MATHEDUCARE.COM LỜI NÓI ĐẤU Tiếp theo tẠp-“Tođn cao eấp cho nhã kinh tế*, Nhà xuất Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn cho biên so n “Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp cho nhà kinh tế” Mục đích cùa sách... Đại học Kinh tỄ Quốc dân ĐT/Fax: (04) 6283007 Email: hoangtoancb@neu.edu.vn Xin chân thành cảm ơn! Trường Bộ mơn Tốn C a bản, ĐH KTQD NGUYỄN HUY HỒNG matheducare.com MATHEDUCARE.COM Phấn ĐẠI SỐ... ý để bạn tự rèn luyện Hy vọng sách giúp bạn tự học ơn tạp tót mơn học 'Toán cao cấp cho nhà kinh tế ” Lần đẩu biẽn so n, sách khổng tránh k h a thiếu sót, rát mong nhân góp ý bạn dọc nghiệp aể