TOÁN HỌC LỚP CHUYÊN ĐỀ I: SỐ HỮU TỈ I ÔN LẠI CÁC TẬP HỢP - Số tự nhiên: N - Số nguyên: Z -2 -1 - Số hữu tỉ: Q -1/2 - Số vô tỉ: I 0 3/2 2 - Số thực: I+Q=R II Số hữu tỉ: Kiến thức cần nhớ: - Số hữu tỉ có dạng Error! Reference source not found.trong b≠0; Error! Reference source not found số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu Số số hữu tỉ dương, khơng phải số hữu tỉ âm - Có thể chia số hữu tỉ theo hai chách: Cách 1:Số thập phân vơ hạn tuần hồn (Ví dụ: Error! Reference source not found ) số thập phân hữu hạn (Ví dụ: Error! Reference source not found.) Cách 2: Số hữu tỉ âm, số hữu tỉ dương số - Để cộng, trừ, nhân, chia số hữu tỉ, ta thực phân số: Cộng trừ số hữu tỉ Nhân, chia số hữu tỉ Qui tắc - Đưa mẫu, cộng trừ tử số giữ nguyên mẫu - Nhân tử với tử, mẫu với mẫu Phép chia phép nhân nghịch đảo Nghịch đảo x 1/x Tính chất a) Tính chất giao hốn: x + y = y +x; x y = y z b) Tính chất kết hợp: (x+y) +z = x+( y +z) (x.y)z = x(y.z) c) Tính chất cộng với số 0: x + = x; x.y=y.x ( t/c giao hoán) (x.y)z= x.(y,z) ( t/c kết hợp ) x.1=1.x=x x =0 x(y+z)=xy +xz (t/c phân phối phép nhân phép cộng Bổ sung Ta có tính chất phân phối phép chia phép cộng phép trừ, nghĩa là: Error! Reference source not found.; Error! Reference source not found ; x.y=0 suy x=0 y=0 -(x.y) = (-x).y = x.(-y) TOÁN HỌC LỚP - Các kí hiệu:  : thuộc ,  : không thuộc ,  : tập Các dạng tốn: Dạng 1: Thực phép tính - Viết hai số hữu tỉ dạng phân số - áp dụng qui tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số để tính - Rút gọn kết (nếu có thể) Chỉ áp dụng tính chất: a.b + a.c = a(b+c) a : c + b: c = (a+b):c Không áp dụng: a : b + a : c = a: (b+c) Ví dụ: Error! Reference source not found Bài 1: a) − −1 + 26 b) 11 − 30 − 17 34 c) d) 1 1 17 24 e) −5 : ;   4 5 f) :  −  Bài số 2: Thực phép tính: a)  −1  + .11 −  6 1 3 − 4. +  2 4 −1     − − − 24     c) b)       d)  −  −  −  − −       10   Bài số 3: Tính hợp lí:  −2   −16   +     11   11  1  1  13    : −− + : c) :  −  + :  −    7  7  14   21  Dạng 2: Biểu diễn số hữu tỉ trục số: -Phương pháp: Nếu Error! Reference source not found số hữu tỉ dương, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều dương trục Ox a phần , ta vị trí số Error! Reference source not found Ví dụ: biểu diễn số Error! Reference source not found.: ta chia khoảng có độ dài đơn vị thành phần nhau, lấy phần ta phân số biểu diễn số Error! Reference source not found Hình vẽ: a)  b)  − Nếu Error! Reference source not found số hữu tỉ âm, ta chia khoảng có độ dài đơn vị làm b phần nhau, lấy phía chiều âm trục Ox a phần , ta vị trí số Error! Reference source not found BÀI TẬP Biểu diễn số hữu tỉ sau trục số: a Error! Reference source not found Dạng 3: So sánh số hữu tỉ Phương pháp: TOÁN HỌC LỚP * Đưa phân số có mẫu số dương so sánh tử số * So sánh với số 0, so sánh với số 1, với -1… * Dựa vào phần bù * So sánh với phân số trung gian( phân số có tử số phân số mẫu số phân số kia) BÀI TẬP Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) x= −25 444 y = ; −777 35 b) x = −2 110 17 y = c) x = y = 0,75 20 −50 Bài So sánh số hữu tỉ sau: a) −7 ; 19 2010 e) f) b) −37 −3737 ; 4141 41 2000 2001 ; 2001 2002 g) c) 497 −2345 2341 −499 d) 1 31 2002 2001 19 ; h) ; k) 2000 2001 60 90 Dạng 4: Tìm điều kiện để số số hữu tỉ dương, âm, số (không dương không âm) Phương pháp: Dựa vào t/c Error! Reference source not found số hữu tỉ dương a,b dấu, số hữu tỉ âm a,b trái dấu, a=0 Ví dụ: Cho số hữu tỉ x = m − 2011 Với giá trị m : 2013 a) x số dương b) x số âm c) x không số dương khơng số âm HD: a Để x>0 Error! Reference source not found., suy m-2011>0 ( 2013>0), suy m>2011 b Để x 23 Error! Reference source not found x+4 x+4 -1 -23 23 x -5 -3 -27 19 TOÁN HỌC LỚP Với biểu thức có dạng ax+bxy+cy=d ta làm sau: - Nhóm hạng tử chứa xy với x (hoặc y) - Đặt nhân tử chung phân tích hạng tử lại theo hạng tử ngoặc để đưa dạng tích Ví dụ: Tìm x, y nguyên cho: xy+3y-3x=-1 Giải: y(x+3)-3x+1=0 (Nhóm hạng tử chứa xy với hạng tử chứa y đặt nhân tử chung y ) y(x+3)-3(x+3)+10=0 ( phân tích -3x+1=-3x-9+10=-3(x+3)+10 ) (x+3)(y-3)=-10 Lập bảng: x+3 10 -1 -10 -5 -2 y+3 10 -10 -1 -2 -5 X -2 -4 -13 -1 -8 -5 Y -2 -13 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: Error! Reference source not found ta nhân quy đồng đưa dạng Ax+By+Cxy+D=0 Ví dụ: Error! Reference source not found (nhân quy đồng với mẫu số chung 3xy) Error! Reference source not found  3x+3y-xy=0 ( toán quay dạng ax+by+cxy+d=0)  x(3-y)-3(3-y)+9=0  (x-3)(3-y)=-9 Lập bảng: x-3 -9 -3 3-y -9 -3 x -6 y 12 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để số hữu tỉ x = −101 số nguyên a+ Bài 2: Tìm số nguyên x để số hữu tỉ t = Bài 3: Chứng tỏ số hữu tỉ x = 3x − số nguyên x−5 2m + phân số tối giản, với m  N 14m + 62 Bài 4: Tìm x để biểu thức sau nguyên A=Error! Reference source not found ; B=Error! Reference source not found.; C=Error! Reference source not found.; D=Error! Reference source not found ; E=Error! Reference source not found Bài 5: Tìm số x,y ngun thỏa mãn: TỐN HỌC a, xy+2x+y=11 LỚP b, 9xy-6x+3y=6 c, 2xy+2x-y=8 d, xy-2x+4y=9 Dạng 7: Các tốn tìm x Phương pháp: - Quy đồng khử mẫu số - Chuyển số hạng chứa x vế, số hạng tự vế ( chuyển vế đổi dấu) tìm x Chú ý: Một tích thừa số không - Chú ý toán nâng cao: dạng lũy thừa, dạng giá trị tuyệt đối, dạng tổng bình phương 0, tốn tìm x có quy luật BÀI TẬP Bài Tìm x, biết:  3 a) x  −  = ;   21  2 15 c) x :  −  = − ; 16  5 28 b) x = ; 9 d) −4 :x = − Bài Tìm x, biết: a) x+ = ; 10 b) 3 x− = Bài Tìm x, biết: a) −33 ; x+ x = 25 Bài 4: a) 2  −3  b)  x −  + : x = 0;  3  x +1 x + x + x + + = + 65 63 61 59 b) x + x + x + 10 x + 12 + = + 1999 1997 1995 1993 e) x − 29 x − 27 x − 25 x − 23 x − 21 x − 19 + + + + + = 1970 1972 1974 1976 1978 1980 = x+5 x+6 x+7 + + = −3 2005 2004 2003 x + 29 x + 27 x + 17 x + 15 − = − 31 33 43 45 c) d) c) 1909 − x 1907 − x 1905 − x 1903 − x + + + +4= 91 93 95 91 x − 1970 x − 1972 x − 1974 x − 1976 x − 1978 x − 1980 + + + + + 29 27 25 23 21 19 HD: Error! Reference source not found => Error! Reference source not found => x= -2010 Bài 5:Giải phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt) a) x +1 x + x + x + + = + 35 33 31 29 (HD: Cộng thêm vào hạng tử) b) x − 10 x − x − x − x − + + + + = 1994 1996 1998 2000 2002 (HD: Trừ vào hạng tử) = x − 2002 x − 2000 x − 1998 x − 1996 x − 1994 + + + + 10 TOÁN HỌC c) x − 1991 x − 1993 x − 1995 x − 1997 x − 1999 + + + + = = d) LỚP x − x − x − x − x −1 + + + + 1991 1993 1995 1997 1999 x − 85 x − 74 x − 67 x − 64 + + + = 10 15 13 11 (HD: Trừ vào hạng tử) (Chú ý: 10 = 1+ + + ) x − 2x − 13 3x − 15 4x − 27 (HD: Thêm bớt vào hạng tử) − = − 13 15 27 29 Dạng 8: Các tốn tìm x bất phương trình: Phương pháp: - Nếu a.b>0 Error! Reference source not found Error! Reference source not found.; - Nếu a.b≥0 Error! Reference source not found Error! Reference source not found.; e) - Nếu a.b Error! Reference source not found Error! Reference source not found => Error! Reference source not found Error! Reference source not found =>x>3 xError! Reference source not found Error! Reference source not found (không tồn x) => -5 900 th× AM < BC c NÕu A < 900 th× AM > BC TÝnh chÊt: thõa nhËn NÕu hai tam gi¸c có hai cạnh t-ơng ứng từnmg đôi nh-ng góc xen chúng không cạnh đối diện với góc lớn cạnh lớn hơn, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn Giải: Vẽ tia đối tia MA tia lấy điểm D cho MD = MA Suy AD = 2AM A XÐt  MAB vµ  MDC cã: MA = MD; AMB = DMC (®èi ®Ønh) MB = MC (gt) Do ®ã:  MAB =  MDC (c.g.c) B M C Suy ra: AB = DC; BAM = CDM Ta cã: BAM = CDM mà BAM CDM (so le trong) nên AB // CD  BAc + ACD = 1800 VËn dông vào tính chất xét ABC CDA có: AB = CD; AC cạnh chung Do đó: a BAC = ACD (BAC = 900; BAC + ACD = 1800 )nªn ACD = 900  BAC = ACD  BC = AD  AM = BC b BAC > ACD (BAC > 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD < 900  BAC > ACD  BC > AD  AM < BC c BAC < ACD (BAC < 900; BAC + ACD = 1800) nªn ACD > 900  BAC < ACD  BC < AD  AM > Tom l¹i: NÕu A = 900 th× AM = BC BC TON HC Nêu A > 900 AM < NÕu A < 900 th× AM > LỚP BC BC Bài 12: Trong tr-ờng hợp sau tr-ờng hợp ba cạnh tam gi¸c a 5cm; 10cm; 12cm b 1m; 2m; 3,3m c 1,2m; 1m; 2,2m Giải: a Đúng vì: + 10 > 12 b Sai v×: + < 3,3 c Sai vì: 2,2 = 1,2 + Bài 13: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 4cm; AC = 1cm Hãy tìm độ dài cạnh BC biết độ dài số nguyên (cm) Giải: A Theo bất đẳng thức tam giác AB - AC < BC < AB + AC C B  - < BC < +  < BC < Do độ dài cạnh BC số nguyên (cm) nên BC = 4cm Bài 14: a Tính chu vi tam giác cân có hai cạnh 4m 9m b Cho tam giác ABC điểm D nằn B C Chứng minh AD nhỏ nửa chu vi tam giác ABC Giải: a.Cạnh 4m cạnh bên cạnh 4m cạnh bên cạnh đáy lớn tổng hai cạnh (9 > + 4) trái với bất đẳng thức tam giác Vậy cạnh 4m cạnh đáy thoả mãn < + A Chu vi tam giác là: + + = 22m b XÐt tam gi¸c ABD cã: AD < AB + BD (1) XÐt tam gi¸c ACD cã AD < AC + DC (2) B D C Céng tõng vÕ cđa (1) vµ (2) TỐN HỌC LỚP 2AD < AB + AC + (BD + DC) Suy AD < AB + AC + BC Bµi 15: Độ dài hai cạnh tam giác 7cm, 2cm Tính độ dài cạnh lại biết số đo theo xentimét số tự nhiên lẻ Giải: Gọi độ dài cạnh lại x (cm) Theo bất đẳng thức tam giác ta có: - < x < + tøc < x < Do x số tự nhiên lẻ nên x = Cạnh lại 7cm Bài 16: Cho tam giác ABC trung tuyÕn Am vµ gãc B > C H·y so sánh hai góc AMB AMC A Giải: Trong tam giác ABc B > C nên AC > AB Hai tam giác AMB AMC có AM cạnh chung MB = MC nh-ng AC > AB B M C Nên AMC > AMB Các đ-ờng đồng quy tam gi¸c Tính chất ba đường trung tuyến tam giác  Đoạn thẳng AM nối đỉnh A tam giác ABC với trung điểm M cạnh BC gọi đường trung tuyến tam giác ABC Đôi đường thẳng AM gọi đường trung tuyến tam giác ABC Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến  Tính chất: Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm (điểm gọi trọng tâm) Điểm cách đỉnh khoảng Error! Reference source not found độ dài đường trung tuyến qua đỉnh  Trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên  Nếu tam giác có hai đường trung tuyến tam giác cân TOÁN HỌC LỚP Ba đường trung tuyến tam giác qua điểm Điểm cách đỉnh khoảng Error! Reference source not found.độ dài đường trung tuyến qua đỉnh ấy: A E F G D B C G trọng tâm tam giác ABC Tính chất tia phân giác góc  Điểm nằm tia phân giác góc cách hai cạnh góc đó.Điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc nằm tia phân giác góc  Tập hợp điểm nằm bên góc cách hai cạnh góc tia phân giác góc x Oz phân giác Error! Reference source not found.Error! Reference source not found A O z M Error! Reference source not found.=> MA = MB B y Error! Reference source not found.=> M Error! Reference source not found Oz A Tính chất ba đường phân giác tam giác ✓ Trong tam giác ABC, tia phân giác góc A cắt cạnh BC điểm M, đoạn thẳng AM đường phân giác tam giác ABC(đôi ta gọi đường thẳng AM đường phân giác tam giác) B C M A LỚP ✓ Tính chất: Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy ✓ Tính chất ba B M C đường phân giác tam giác: Ba đường phân giác tam giác qua điểm Điểm cách ba cạnh tam giác ✓ Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường phân giác tam giác tam giác cân A A 2 O B B C M C TỐN HỌC LỚP Tính chất đường trung trực đoạn thẳng  Điểm nằm đường trung trực đoạn thẳng cách hai mút đoạn thẳng d A B Error! Reference source not found.=> AB = AC M C  Điểm cách hai mút đoạn thẳng nằm đường trung trực đoạn thẳng Tập hợp điểm cách hai mút đoạn thẳng đường trung trực đoạn thẳng Tính chất ba đường trung trực tam giác A  Trong tam giác, đường trung trực cạnh gọi đường trung trực tam giác  Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời O đường trung tuyến ứng với cạnh  Tính chất ba đường trung trực tam giác: Ba đường trung trực B tam giác qua điểm Điểm cách ba đỉnh tam C giác O giao điểm đường trung trực Error! Reference source not found OA = OB = OC LỚP  Nếu tam giác có đường trung tuyến đồng thời đường trung trực ứng với cạnh tam giác tam giác cân A B C H Tính chất ba đường cao tam giác  Đường cao tam giác: Trong tam giác, đoạn vuông góc kẻ từ đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện gọi đường cao tam giác Đôi ta gọi đường thẳng AI đường cao tam giác  Tính chất ba đường cao tam giác: Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác A J I B C TOÁN HỌC LỚP A A J K J O C B I C B≡I≡K≡O Lưu ý: Trực tâm tam giác nhọn nằm tam giác Trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng trực tâm tam giác tù nằm bên tam giác Tính chất tam giác cân: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến đường cao xuất phát từ đỉnh đối diện với cạnh  Nhận xét: ✓ Trong tam giác,nếu hai bốn loại đường( đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao xuất phát từ đỉnh đường trung trực ứng với cạnh đối diện đỉnh này) trùng tam giác tam giác cân ✓ Trong tam giác đều, trọng tâm, trực tâm, điểm cách ba đỉnh, điểm nằm tam giác cách ba cạnh bốn điểm trùng Bµi tËp: Bµi 1: Gäi AM lµ trung tuyÕn tam giác ABC, A/M/ đ-ờng trung tuyến tam gi¸c A/B/C/ biÕt AM = A/M/; AB = A/B/; BC = B/C/ Chøng minh r»ng hai tam gi¸c ABC A/B/C/ A Giải: Xét ABC A/B/C/ cã: AB = A/B/ (gt); BM = B/M/ B M C (Cã AM lµ trung tun cđa BC A/ vµ A/M/ lµ trung tun cđa B/C/) AM = A/M/ (gt) ABM =  A/B/M/ (c.c.c) Suy B = B/ B/ M/ C/ V× cã AB = A/B/; BC = B/C/ (gt) B = B/ (c/m trªn) Suy ra: ABC = A/B/C/ Bài 2: Cho tam giác ABC (A = 900) trung tun AM, tia ®èi cđa tia MA lÊy ®iĨm D cho MD = MA a TÝnh sè ®o ABM TỐN HỌC LỚP b Chøng minh ABC = BAD c So sánh: AM BC Giải: a Xét hai tam giác AMC DMB có: B D MA = MD; MC = MB (gt) M1 = M2 (®èi ®Ønh) M Suy AMC = DMB (c.g.c)  MCA = MBD (so le trong) Suy ra: BD // AC mµ BA ⊥ AC (A = 900) A C  BA ⊥ BD  ABD = 900 b Hai tam giác vuông ABC BAD có: AB = BD (do AMC = DMB c/m trªn) AB chung nên ABC = BAD (hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông nhau) c ABC = BAD BC = AD mµ AM = 1 AD (gt) Suy AM = BC 2 Bµi 3: Cho tam giác ABC có AB < AC; BM CN hai đ-ờng trung tuyến tam giác ABC Chứng minh CN > BM Giải: Gọi G giao ®iĨm cđa BM vµ CN XÐt ABC cã BM vµ CN hai đ-ờng trung tuyến cắt G Do đó: G tâm tam giác ABC Suy Gb = 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®-êng trung tun AI cđa ABC Ta có: A; G; I thẳng hàng Xét AIB AIC cã: AI c¹nh chung, BI = IC AB < AC (gt)  AIB < AIC XÐt GIB vµ GIC cã GI c¹nh chung; BI = IC AIC > AIB  GC > GB  CN > BM A G B I C TỐN HỌC LỚP Bµi 4: Cho tam giác ABC có BM CN hai đ-ờng trung tuyÕn vµ CN > BM Chøng minh r»ng AB < AC Giải: A Gọi G giao điểm BM vµ CN  ABC cã: BM vµ CN lµ hai ®-êng trung tuyÕn N M Do ®ã: G lµ tâm tam giác ABC G Suy GB = 2 BM; GC = CN 3 VÏ ®-êng trung tuyến AI tam giác ABC B I ®i qua G (TÝnh chÊt ba ®-êng trung tuyÕn) Ta cã: CN > BM mµ GB = I C 2 BM; GC = CN nªn GB < GC 3 XÐt GIB = GIC cã: GI c¹nh chung; BI = IC; GB < GC Suy ra: GIB < GIC Xét AIB AIC có: AI cạnh chung; BI = IC; AIB < AIC Suy ra: AB < AC Bµi 5: Trên hình bên có AC tia phân giác gãc BAD vµ CB = CD Chøng minh: ABC = ADC B Gi¶i: H VÏ CH ⊥ AB (H  AD) A C CK ⊥ AD (K  AD) C thuộc tia phân giác BAD K D Do đó: CH = CK XÐt CHB (CHB = 900 ) Vµ tam gi¸c CKD (CKD = 900) Cã CB = CD (gt); CH = CK (c/m trên) Do đó: CHB = CKD (cạnh huyền - góc vuông) HBC = KDC ABC = ADC Bài 6: Cho tam giác ABC kẻ Ax phân giác BAC C kẻ đ-ờng thẳng song song với tia Ax, cắt tiâ đối tia AB t¹i D Chøng minh: xAB = ACD = ADC Giải: D Vì Ax tia phân giác góc BAC TỐN HỌC LỚP Nªn xAB = xAC (1) Ax // CD bị cắt đ-ờng thẳng AC A hai gãc xAC vµ ACD lµ gãc so le nªn xAC = ACD (2) x hai gãc xAB ADC góc đồng vị nên B C xAB = ADC (3) So s¸nh (1); (2); (3) ta cã: xAB = ACD = ADC Bµi 7: Cho tam giác ABC, kẻ tia phân giác Bx góc B, Bx cắt tia AC M Từ M kẻ đ-ờng thẳng song song với AB, cắt BC N Tõ N kỴ tia NY // Bx Chøng minh: B a xAB = BMN b Tia Ny tia phân giác góc MNC N Giải: a.Trong tam giác ABC đỉnh B có: ABx = xBC (vì Bx tia phân giác góc B) A M C BMN = ABx (2 gãc so le v× MN // BA) VËy xBC = BMN x y b BMN = MNy (2 gãc so le v× Ny // Bx) xBC = yNC (2 góc đồng vị Ny // Bx) VËy MNy = yNC mµ tia Ny lµ tia nằm hai tia NM NC Do đó: Ny tia phân giác MNC Bài 8: Cho tam giác ABC Gọi I giao điểm hai tia phân giác hai góc A B Qua I vẽ đ-ờng thẳng song song với BC cắt AB M, cắt AC N Chứng minh rằng: MN = BM + CN Giải: Ba phân giác củam tam giác qua điểm nên CI tia phân giác góc C Vì MN // BC nên C1 = I1 (2 gãc so le trong) A C1 = C2 nên C2 = I2 Do đó: NIC cân NC = NI (1) M N Chøng minh t-¬ng tù ta cã: MB = MI (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: B C MI + IM = BM + CN hay MN = BM + CN TOÁN HỌC LỚP Bài 9: Cho tam giác ABC (A = 900) đ-ờng trung trực cạnh AB, AC cắt D Chứng minh D trung điểm cạnh BC Giải: Vì D giao điểm đ-ờng trung trực cạnh AB AC nên tam giác A DAB DAC cân góc đáy tam giác DBA = DAB vµ DAC = DCA Theo tÝnh chất góc tam giác ta có: B D C ADB = DAC + DCA ADC = DAB + DBA Do ®ã: ADB + ADC = DAC + DCA + DAB + DBA = 1800 Tõ ®ã suy ba điểm B, D, C thẳng hàng Hơn DB = DC nên D trung điểm BC Bài 10: Cho hai điểm A D nằm đ-ờng trung trực AI đoạn thẳng BC D nằm hai điểm A I, I điểm nằm BC Chứng minh: a AD tia phân giác cđa gãc BAC b ABD = ACD A Gi¶i: a Xét hai tam giác ABI ACI chúng có: AI c¹nh chung AIC = AIB = 1v IB = IC (gt cho AI đ-ờng trung trực đoạn thẳng BC) B I C VËy ABI = ACI (c.g.c)  BAI = CAI Mặt khác I trung điểm cạnh BC nên tia AI nằm hai tia AB AC Suy ra: AD tia phân giác góc BAC b Xét hai tam giác ABD ACD chúng có: AD cạnh chung Cạnh AB = AC (vì AI đ-ờng trung trực đoạn thẳng BC) BAI = CAI (c/m trªn) VËy ABD = ACD (c.g.c)  ABD = ACD (cặp góc t-ơng ứng) TON HC LP Bài 11: Hai điểm M N nằm đ-ờng trung trực đoạn thẳng AB, N trung điểm đoạn thẳng AB Trên tia đối tia NM cxác định M/ cho MN/ = NM a Chứng minh: AB ss-ờng trung trực đoạn thẳng MM/ b M/A = MB = M/B = MA Gi¶i: a Ta có: AB MM/ (vì MN đ-ờng trung trực đoạn M thẳng AB nên MN AB ) Mặt khác N trung điểm MM/ (vì M/ nằm tia đối tia NM NM = NM/) A N B Vậy AB đ-ờng trung trực đoạn MM/ b Theo gả thiết ta có: MM/ đ-ờng trung trực đoạn thẳng AB nên MA = MB; M/B = M/A M/ Ta lại có: AB đ-ờng trung trực đoạn thẳng MM/ nên MA = M/B Từ suy ra: M/A = MB = M/B = MV Bài 12: Cho tam giác ABC có AB < AC Xác định điểm D c¹nh AC cho : DA + DB = AC Giải: A Vẽ đ-ờng trung trực đoạn thẳng BC D cắt cạnh AC D D điểm cần xác định Thật B C Ta có: DB = DC (vì D thuộc đ-ờng trung trực đoạn thẳng BC) Do ®ã: DA + DB = DA + DC Mà AC = DA + DC (vì D nằm A vµ C) Suy ra: DA + DB = AC Bài 13: a Gọi AH BK đ-ờng cao cđa tam gi¸c ABc Chøng minh r»ng CKB = CAH b Cho tam giác cân ABC (AB = AC), AH BK đ-ờng cao Chứng minh CBK = BAH TON HC Giải: a Trong tam giác AHC BKC có: CBK CAH góc nhọn Và có cạnh t-ơng ứng vuông góc với CB ⊥ AH vµ BK ⊥ CA VËy CBK = CAH b Trong tam giác cân cho đ-ờng cao AH đ-ờng phân giác góc A Do đó: BAH = CAH Mặt khác: CAH CBK hai góc nhọn có cạnh t-ơng ứng vuông góc nên CAH = CBK Nh- BAH = CBK LỚP K A B H C A K B H C Bài 14: Hai đ-ờng cao AH BK tam giác nhọn ABC cắt D a TÝnh HDK C = 500 b Chøng minh DA = DB tam giác ABC tam giác cân Giải: A Vì hai góc C ADK nhọn có K cạnh t-ơng ứng vuông góc nên C = ADK Nh-ng HDK kề bù với ADK nênhai góc C HDK bï Nh- vËy HDK = 1800 - C = 1300 b NÕu DA = DB th× DAB = DBA B H C Do hai tam giác vuông HAB KBA Vì có cạnh huyền có góc nhọn Từ suy KAB = HBA hai gãc nµy cïng kỊ víi ®¸y AB cđa tam gi¸c ABC Suy tam gi¸c ABC cân với CA = CB Bài 15: Cho tam giác ABC cân A phân giác AM Kẻ đ-ờng cao BN cắt AM H a Khẳng định CN AB hay sai? A Đúng B Sai b Tính số đo góc: BHM MHN biết C = 390 A BHM = 1310; MHN = 490 C BHM = 1410; MHN = 390 B BHM = 490; MHN = 1310 D BHM = 390; MHN = 1410 TỐN HỌC LỚP Gi¶i: A a Chän A AM BC tam giác ABC câb A N Suy H trực tâm tam giác ABC H Do ®ã CH ⊥ AB b Chän D B M C Ta cã: BHM = C = 390 (hai góc nhọn có cạnh t-ơng ứng vuông góc) MHN = 1800 - C = 1410 (hai gãc cã c¹nh t-ơng ứng vuông góc góc nhọn, góc tù) Vậy ta tìm đ-ợc BHM = 390; MHN = 1410 Bài 16: Cho góc xOy = 600 điểm A n»m gãc xOy vÏ ®iĨm B cho Ox đ-ờng trung trực AC, vẽ điểm C cho Oy đ-ờng trung trực AC a Khẳng định OB = OC hay sai? b Tính sè ®o gãc BOC A 600; B 900; C 1200; D 1500 Gi¶i: B x a Chän A NhËn xÐt là: OA = OB Ox đ-ờng trung trực AB OA = OC Oy đ-ờng trung trùc cđa AC A Do ®ã: OB = OC b Chọn C O Nhận xét là: y Tam giác OAB cân O nên O1 = O2 C Tam giác OAC cân O nên O3 = O4 Khi đó: BOC = O1 + O2 + O3 + O4 = 2O2 + 2O3 = 2(O2 +O3) = 2xOy = 1200 VËy ta cã: BOC = 1200 Bµi 17: Chøng minh tam giác trung tuyến ứng với cạnh lớn nhỏ trung tuyến ứng với cạnh nhỏ TON HC LP Giải: Xét tam giác ABC đ-ờng trung tuyến A AM, BN, CP trọng tâm G Giả sử AB < AC P N Ta cần chứng minh CP > BN G Thật Với hai tam giác ABM ACM B M C Ta có: MB = MC (vì M trung điểm cđa BC) AM chung: AB < AC ®ã: M1 < M2 Với hai tam giác GBM GCM ta có: MB = MC (M TĐ BC); GM chung Do ®ã: GB < GC  2 GB < GC  BN < CP 3 ... -3 x+1 =-3 x-9+10 =-3 (x+3)+10 ) (x+3)(y-3) =-1 0 Lập bảng: x+3 10 -1 -1 0 -5 -2 y+3 10 -1 0 -1 -2 -5 X -2 -4 -1 3 -1 -8 -5 Y -2 -1 3 -4 -1 -5 -8 Với biểu thức có dạng: Error! Reference source not found ta nhân... 3xy) Error! Reference source not found  3x+3y-xy=0 ( toán quay dạng ax+by+cxy+d=0)  x(3-y )-3 (3-y)+9=0  (x-3)(3-y) =-9 Lập bảng: x-3 -9 -3 3-y -9 -3 x -6 y 12 BÀI TẬP Bài 1: Tìm số nguyên a để số... 100! +7 c) 10100+1050+1 Bài 9: chứng tỏ a) A=3+32+33+….320 07  13 TOÁN HỌC LỚP b) B= 7+ 72 +73 + 74 n  400 Bài 10: Chứng tỏ rằng: a) 8 7- 218  14 b) 122n+1+11n+2  133 c) 8 1 7- 279 -9 13  405 d) 10 6-5 7