Trung Tâm Trí Đức Ths Lê Hải Trung 0984735736 TRƯỜNG THPT THĂNG LONG KỲ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT ĐỢT I MƠN THI: TỐN Ngày thi: 25 tháng 02 năm 2018 Thời giam làm : 120 phút( không kể thời gian giao đề) Bài I ( 2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A  2x  x  B  x 2 x3  x  x  với x  x  x 2 1) Tính giá trị A x   2) Tìm giá trị x để B  A  3) Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  B  A Bài II ( điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình Một tơ dự định từ A đến B khoảng thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến B chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h đến B sớm Tính quãng đường AB thời gian dự định lúc ban đầu Bài III ( điểm)  x3 2y  8  x y2  1) Giải hệ phương trình :  2 x   y  13  x y2  2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  d1  : y  mx  m   d  : y  x 1  m m với m tham số khác a) Chứng minh  d1   d  ln vng góc với với giá trị tham số m  b) Tìm điểm cố định mà đường thẳng  d1  qua Chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường cố định Bài IV ( 3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O , bán kính R Điểm A thuộc đường tròn, BC đường kính  A  B, A  C  Vẽ AH vng góc với BC H Gọi E , M trung điểm AB, AH P giao điểm OE với tiếp tuyến A đường tròn  O, R  1) Chứng minh rằng: AB  BH BC 2) Chứng minh: PB tiếp tuyến đường tròn  O  3) Chứng minh ba điểm P, M , C thẳng hàng 4) Gọi Q giao điểm đường thẳng PA với tiếp tuyến C đường tròn  O  Khi A thay đổi đường tròn  O  , tìm giá trị nhỏ tổng OP  OQ Bài V ( 0,5 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x  1, y  1, z  x  y  z  Tím giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  x  y  z Page Trung Tâm Trí Đức Ths Lê Hải Trung 0984735736 Đáp án Câu 1: (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A  x3  x  x  với x  x  x 2 2x  x  B  x 2 Tính giá trị A x   Tìm giá trị x để B  A  Tìm giá trị nhỏ biểu thức C  B  A Lời giải Với x  0; x  , ta có: A     2 x  2 x 1  x 2  x3  x  x   x 2 B     2x  x  x  2 x 2x  x    x 2 x 2   x   x  1  x 2     x 2  x 2  x 2 x 1  x3  x   x   x  x  1   x  1  x 2 x 2  x 1 Khi x       A  x 1      1 1    , thay vào A , ta   1   1 Vậy x   A   B  A   x   x    x  x 3       x  x  1   x  1    x  1 x  3   x x  x 3   x   (Vì  x  Vậy x  B  A   x  0, x  0, x  nên   x 1  )  C  B  A   x  1  x   x  x   x  x    Với x  0; x    x   0, nên     x 1  x    3 Page Trung Tâm Trí Đức Dấu xảy Ths Lê Hải Trung 0984735736   x 1   x 1   x   x  Vậy giá trị nhỏ biểu thức C  B  A 3 x  Câu 2: (2 điểm) Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình: Một tơ dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h đến B chậm Nếu xe chạy với vận tốc 50km/h đến B sớm Tính qng đường AB thời gian dự định lúc ban đầu Lời giải Gọi x (giờ) thời gian dự định lúc ban đầu ( x  ) Theo đề ta có phương trình sau: 35  x    50  x  1  35 x  70  50 x  50  15 x  120  x  (nhận) Vậy thời gian dự định lúc ban đầu (giờ) Quãng đường AB 35     350 (km) Câu 3:  x3 2y  8  y2  x 1,giải hệ phương trình:  2 x   y  13  x y2  Lời giải  x3  x3  a  a  0 2   a  2b  a  x   x  x Đặt      2a  3b  13 b  y   y  b b  0  y 3  y   y  2, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d1):  d1  : y   mx  m x1  với m tham số khác m m a, Chứng minh (d1) (d2) ln vng góc với giá trị tham số m   d2  : y  b, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d1) qua Chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường cố định Lời giải a, Hệ số góc đường thẳng (d1) –m hệ số góc đường thẳng (d2) m Xét tích hệ số góc hai đường thẳng (d1) (d2):  m  1 nên hai đường thẳng (d1) (d2) vng góc với với giá trị m m b,  d1  : y   mx  m  d2  : y  x   m m Page Trung Tâm Trí Đức Ths Lê Hải Trung 0984735736 Giả sử M  x0 ; y0  giao điểm (d1) (d2) y0   m 1  x0  y0    x0   m   y0  1 y0  1  1  x0  x0   y02    x02  x0   x0  3  y02  Giả sử I  3;0   mặt phẳng tọa độ  x0  3 Ta có IM   y02  khơng đổi Vậy M thuộc đường tròn tâm I bán kính Câu 4: ( 3,5 điểm) Cho đường tròn tâm O , bán kính R Điểm A thuộc đường tròn, BC đường kính  A  B, A  C  Vẽ AH vng góc với BC H Gọi E , M trung điểm AB , AH P giao điểm OE với tiếp tuyến A đường tròn  O, R  1) Chứng minh rằng: AB  BH BC 2) Chứng minh: PB tiếp tuyến đường tròn  O  3) Chứng minh ba điểm P, M , C thẳng hàng 4) Gọi Q giao điểm đường thẳng PA với tiếp tuyến C đường tròn  O  Khi A thay đổi đường tròn  O  , tìm giá trị nhỏ tổng OP  OQ Lời giải Q A P M E B H O C 1) Chứng minh rằng: AB  BH BC Xét ABC vuông A  AB  BH BC 2) Chứng minh: PB tiếp tuyến đường tròn  O  Có E trung điểm AB  AB  OE  OE đường trung trực AB Page Trung Tâm Trí Đức Ths Lê Hải Trung 0984735736   PBO   900  PB  AO  PA  PB  OPA  OPB  c  c  c   PAO  PB tiếp tuyến đường tròn  O  3) Chứng minh ba điểm P, M , C thẳng hàng Giả sử PC cắt AH N PE BH BH CN   Ta chứng minh mà PO BC BC CP PE CN     PNE  PCO  c  g  c  PO CP   PCO  mà hai góc vị trí so le  NE  OC  NE  BH  PNE Lại có E trung điểm AB  N trung điểm AH  N  M Vậy P, M , C thẳng hàng 4) Tìm giá trị nhỏ tổng OP  OQ Theo bất đẳng thức si ta có OP  OQ  OP.OQ Mà OP.OQ  OA.PQ  PQ.R  OP.OQ đạt giá trị nhỏ PQ nhỏ  PQ khoảng cách hai đường BP CQ  PQ  BC  A điểm đường tròn Câu 5: (0,5 điểm) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  1, y  1, z  x  y  z  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z Lời giải Tìm giá trị lớn Ta có  x, y, z  Do vai trò x, y , z nên giả sử x  y  z Khi  x  Ta có  x  y  z  yz   x  x 2 9 5  x  y  z   3x  x  yz   x  x    x  1 x  1  4 4 Vậy P    Vậy Max P   x, y, z   1; ;  hoán vị x, y, z   yz  Tìm giá trị nhỏ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương , ta có x  1  x2  x 4 Page Trung Tâm Trí Đức Ths Lê Hải Trung 0984735736 Tương tự y  1  y; z   z 4 Cộng theo vễ bất đẳng thức ta có x  y  z  Hay x  y  z  Đẳng thức xảy x  y  z  Vậy Min P = 3  x yz  x  y  z  2 Page ... 2  x 1 Khi x       A  x 1      1 1    , thay vào A , ta   1   1 Vậy x   A   B  A   x   x    x  x 3       x  x  1   x  1    x  1  x...  2 x 1  x 2  x3  x  x   x 2 B     2x  x  x  2 x 2x  x    x 2 x 2   x   x  1  x 2     x 2  x 2  x 2 x 1  x3  x   x   x  x  1   x  1  x 2... đường thẳng (d1):  d1  : y   mx  m x 1  với m tham số khác m m a, Chứng minh (d1) (d2) vng góc với giá trị tham số m   d2  : y  b, Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d1) ln qua Chứng