LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới Cô giáo ThS Phạm Hồng Minh, người tận tình hướng dẫn giúp đỡ tơi suốt thời gian thực khóa luận này, đồng thời bổ sung nhiều kiến thức chuyên môn kinh nghiệm quý báu cho hoạt động nghiên cứu khoa học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý Thầy Cô Trường Đại học Quảng Bình, đặc biệt q Thầy Cơ khoa Khoa học tự nhiên giảng dạy giúp đỡ trình học tập, nghiên cứu tạo điều kiện để giúp tơi hồn thành khóa luận Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, tập thể lớp Đại học Sư phạm Tốn Khóa 56 động viên giúp đỡ tơi q trình học tập hồn thành tốt khóa luận Trân trọng cảm ơn! Quảng Bình, tháng năm 2018 Tác giả Trương Thị Hải Yến i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu khóa luận hồn tồn trung thực Đây cơng trình nghiên cứu tơi thực hướng dẫn Cô giáo ThS Phạm Hồng Minh Chúng chịu hoàn toàn trách nhiệm nội dung khoa học cơng trình Quảng Bình, tháng năm 2018 Tác giả Trương Thị Hải Yến ii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT BBT: Bảng biến thiên GTNN: Giá trị nhỏ GTLN: Giá trị lớn SGK: Sách giáo khoa THPT: Trung học phổ thông iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .i LỜI CAM ĐOAN ii DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT iii MỤC LỤC iv PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận 1.1 Phát huy tính tích cực học tập học sinh 1.2 Tư 1.2.1 Khái niệm tư 1.2.2 Đặc điểm tư 1.2.3 Các thao tác tư 1.3 Tư sáng tạo 1.3.1 Định nghĩa tư sáng tạo 1.3.2 Cấu trúc tư sáng tạo 10 1.3.3 Một số biện pháp phát huy tính tích cực học sinh phổ thông 12 Cơ sở thực tiễn 12 2.1 Thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm trường phổ thông 12 2.2 Vai trò hệ thống tập dạy học để phát huy tính tích cực học sinh 13 iv CHƯƠNG II PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH THƠNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 15 Dạng Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 15 Dạng Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm số 18 Dạng Ứng dụng đạo hàm giải phương trình 21 Dạng Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình 24 Dạng Ứng dụng đạo hàm giải hệ phương trình 28 Dạng Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn 32 Dạng Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức 43 Dạng Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế 49 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO 56 v PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Chúng ta sống kỷ trí tuệ sáng tạo Đất nước thời kỳ đổi mới, cơng nghiệp hoá, đại hoá Phát triển Giáo dục Đào tạo động lực quan trọng thúc đẩy nghiệp cơng nghiệp hố, đại hố, điều kiện phát huy nguồn lực người – yếu tố để phát triển xã hội, tăng trưởng kinh tế nhanh bền vững Sự nghiệp giáo dục phải góp phần định vào việc bồi dưỡng cho hệ trẻ trẻ tiềm trí tuệ, tư sáng tạo, tính tích cực tự giác học tập, lực tìm tòi chiếm lĩnh tri thức, lực giải vấn đề thích ứng với thực tiễn sống Hội nghị lần thứ IV Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam (khoá VII) ra: “Giáo dục đào tạo phải hướng vào đào tạo người lao động tự chủ, sáng tạo có lực giải vấn đề thường gặp qua góp phần tích cực thực mục tiêu lớn đất nước dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ văn minh” Trong chương trình giải tích 12-THPT, nội dung đạo hàm ứng dụng giữ vai trò chủ đạo, chiếm khối lượng kiến thức thời gian chương trình mơn Tốn, kiến thức đạo hàm chiếm tỷ lệ cao kì thi tuyển sinh đại học, cao đẳng, trung cấp chuyên nghiệp Vì việc sử dụng đạo hàm để giải toán nội dung cần thiết hữu ích em học sinh Đạo hàm nội dung chương trình tốn phổ thơng, hai phép tính giải tích Đạo hàm cơng cụ để ta nghiên cứu tính chất hàm số tính đồng biến, nghịch biến, tính lồi lõm, cực trị,…Vận dụng tính chất đạo hàm giúp học sinh giải tốn đại số như: giải phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức,…Ngồi ra, đạo hàm ứng dụng nhiều lĩnh vực khác như: toán tính vận tốc, gia tốc chuyên động vật lý, toán cực trị kinh tế, chuyển động, … Thực tế dạy học toán trường phổ thơng cho thấy nhiều học sinh gặp khó khăn sử dụng kiến thức đạo hàm để giải tập, nguyên nhân em không hiểu sâu sắc khái niệm, chưa chủ động, tích cực học tập… Học sinh thường có thói quen vận dụng thuật tốn để giải cách máy móc mà khơng hiểu chất tốn học Với lí tơi định lựa chọn đề tài làm khố luận “Phát huy tính tích cực học sinh thơng qua hệ thống tập ứng dụng đạo hàm chương trình tốn trung học phổ thơng” Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập ứng dụng đạo hàm biện pháp phát huy tính tích cực cho học sinh phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu lý luận tư duy, tư sáng tao, tính tích cực học tập - Nghiên cứu thực trạng dạy học ứng dụng đạo hàm trường phổ thông - Đề xuất số biện pháp nhằm phát triển tư sáng tạo cho học sinh Phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu ứng dụng đạo hàm chương trình tốn phổ thơng Đối tượng nghiên cứu - Học sinh trung học phổ thông Vấn đề nghiên cứu Làm để phát huy tối đa tính tích cực học sinh thơng qua tập ứng dụng đạo hàm chương trình tốn THPT Phương pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp kiến thức từ nguồn khác Cấu trúc khoá luận Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo khóa luận gồm hai nội dung bản: Chương I Cơ sở lý luận thực tiễn Chương II Một số tập ứng dụng đạo hàm tốn phổ thơng PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Cơ sở lý luận 1.1 Phát huy tính tích cực học tập học sinh Phát huy tính tích cực học sinh hoạt động học tập học sinh yêu cầu tất yếu cấp bách giáo dục Luật giáo dục năm 2005 chương II mục điều 25 có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, khả làm việc theo nhóm, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động vào tình cảm đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh” Theo từ điển Tiếng Việt “Tích cực là: có ý nghĩa, có tác dụng khẳng định, tác dụng thúc đẩy phát triển; tỏ chủ động, có hoạt động nhằm tạo biến đổi theo hướng phát triển; hăng hái, tỏ nhiệt tình với nhiệm vụ, với cơng việc” Có thể hiểu rằng: tích cực tượng sư phạm, biểu cố gắng cao nhiều mặt hoạt động học tập Nói đến tính tích cực học tập thực chất nói đến tính tích cực nhận thức Theo I.F.Kharlamop: “Tính tích cực nhận thức trạng thái hoạt động học sinh, đặc trưng khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ nghị lực trình nắm vững kiến thức” [9] Theo Giáo sư Trần Bá Hồnh: “Tính tích cực học tập thực chất tính tích cực nhận thức Biểu cố gắng cao học tập, khát khao hiểu biết, cố gắng trí tuệ nghị lực cao q trình chiếm lĩnh tri thức”[2] Tính tích cực nhận thức biểu hiện: Học sinh có nhu cầu tiếp thu kiến thức,kĩ năng, vận dụng kĩ để giao tiếp, gây hứng thú học tập từ em tự giác học tập, chủ động huy động vốn kinh nghiệm tích luỹ để làm chủ tri thức Có ba cấp độ biểu tính tích cực học tập, là: Bắt chước-Tìm tòi-Sáng tạo Phát huy tính tích cực học tập học sinh đạt hiệu cao tiến đến tư sáng tạo 1.2 Tư 1.2.1 Khái niệm tư Hiện thực xung quanh có nhiều mà người chưa biết Nhiệm vụ sống hoạt động thực tiễn ln đòi hỏi người phải hiểu biết chưa biết ngày sâu sắc, đắn xác, phải vạch chất quy luật tác động chúng Quá trình nhận thức gọi tư Tư trình tâm lý phản ánh thuộc tính, chất, mối liên hệ quan hệ bên có tính quy luật vật tượng thực khách quan mà trước ta chưa biết (theo tâm lý học đại cương – Nguyễn Quang Uẩn) [6] Theo từ điển triết học: “Tư sản phẩm cao vật chất tổ chức cách đặc biệt não, q trình phản ánh tích cực giới khách quan khái niệm, phán đoán, lý luận Tư xuất trình hoạt động sản xuất xã hội người đảm bảo phản ánh thực cách gián tiếp, phát mối liên hệ hợp quy luật Tư tồn mối liên hệ tách rời khỏi hoạt động lao động lời nói, hoạt động tiêu biểu cho xã hội loài người tư người thực mối liên hệ chặt chẽ với lời nói kết tư ghi nhận ngôn ngữ Tiêu biểu cho tư trình trừu tượng hố, phân tích tổng hợp, việc nêu lên vấn đề định tìm cách giải chúng, việc đề xuất giả thiết, ý niệm Kết cuối tư ý nghĩ đó”[8] Tóm lại - Tư sản phẩm não người q trình phản ánh tích cực giới khách quan - Kết trình tư ý nghĩ thể qua ngôn ngữ - Bản chất tư phân biệt, tồn độc lập đối tượng đuợc phản ánh với hình ảnh nhận thức qua khả hoạt động người nhằm phản ánh đối tượng - Tư trình phát triển động sáng tạo - Khách thể tư phản ánh với nhiều góc độ khác từ thuộc tính đến thuộc tính khác, phụ thuộc vào chủ thể người 1.2.2 Đặc điểm tư Với tư cách mức độ hoạt động nhận thức, tư có đặc điểm sau: + Tính “có vấn đề” tư Tư xuất gặp hồn cảnh, tình có vấn đề Muốn giải vấn đề người phải tìm cách thức giải Tức người phải tư Ví dụ: Để giải toán trước hết học sinh phải nhận thức yêu cầu, nhiệm vụ tốn, sau nhớ lại quy tắc, cơng thức, định lý có liên quan đến mối quan hệ cho cần tìm, phải chứng minh để giải tốn Khi tư xuất Khơng phải hoàn cảnh tư xuất Vấn đề trở nên "tình có vấn đề" chủ thể nhận thức tình có vấn đề, nhận thức mâu thuẫn chứa đựng vấn đề, chủ thể phải có nhu cầu giải phải có tri thức liên quan đến vấn đề Chỉ sở tư xuất + Tính gián tiếp tư Tư người không nhận thức giới cách trực tiếp mà có khả nhận thức cách gián tiếp Tính gián tiếp tư thể trước hết việc người sử dụng ngôn ngữ để tư Nhờ có ngơn ngữ mà người sử dụng kết nhận thức (quy tắc, khái niệm, công thức, quy luật, …) kinh nghiệm thân vào q trình tư (phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát, …) để nhận thức bên trong, chất vật tượng 2(𝑎 + 𝑐)2 + − + < 𝑎 < (0 ) 𝑎2 + (𝑎2 + 1)(𝑐 + 1) 𝑐2 + 𝑐 𝑃= Xét hàm số : 𝑓(𝑥) = (𝑥+𝑐) + −1 ( 𝑥 +1 𝑥+1)(𝑐2+1) với (0 < 𝑎 < ) coi 𝑐 c tham số c > Ta có : 𝑓 ′ (𝑥) = −2𝑐(𝑥2+2𝑐𝑥−1) (1+𝑥2 ) (1+𝑐2 ) = ⇔ 𝑥0 = −𝑐 + √𝑐 + ∈ (0; ) 𝑐 BBT x 0𝑥0 𝑐 ′ 𝑓 (𝑥) + - 𝑓(𝑥0 ) 𝑓(𝑥)   −∞ Từ bảng biến thiên ta có: 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑥0 ) = 𝑆 = 2𝑓(𝑎) + Ta có : 𝑔′ (𝑐) = 𝑐 √1 + 𝑐 ≤ 2𝑐 √1 + 𝑐 2(1−8𝑐2 ) (1+𝑐2 ) (3𝑐+√1+𝑐2 ) 𝑐 √1+𝑐2 + = 𝑔(𝑐) 𝑐2 + = ⇔ 𝑐 = 𝑐0 = √8 ∈ (0; +∞) Bảng biến thiên : 𝑐 𝑐0 + ∞ 𝑔′ (𝑐) + - 𝑔(𝑐0 ) 𝑔(𝑐) Từ bảng biến thiên suy : 𝑔(𝑐) ≤ 𝑔(𝑐0 ) ⟹ 𝑆 ≤ 𝑔(𝑐) ≤ 𝑔(𝑐0 ) = Vậy với 𝑐 = ,𝑎 √8 10 = √2 , 𝑏 = √2 max 𝑆 = 10 Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số có nhiều phương pháp, khơng có phương pháp vạn để giải toán 42 mà có phương pháp giải nhóm tốn mà thơi Tuy nhiên nói ứng dụng đạo hàm phương pháp hữu hiệu muốn đạt kết tốt học phần khơng có cách khác học sinh phải thừờng xuyên làm tập để rèn luyện kỹ Sau số tập tự luyện Bài tập tương tự Bài Cho ba số không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Tìm GTLN biểu thức: 𝑆 = 𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑧 + 𝑧 𝑥 Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn điều kiện 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Tìm GTLN, GTNN biểu thức 𝑃 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3𝑥𝑦𝑧 Bài Cho 𝑥 > 0; 𝑦 > 0; 𝑧 > thỏa mãn điều kiện 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = Tìm GTLN biểu thức 𝑇 = 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑧𝑥 − 2𝑥𝑦𝑧 Bài Tìm GTNN biểu thức: 𝑄 = 𝑎4 𝑏 + 𝑎4 𝑏 𝑎2 𝑏 𝑎 𝑏 − ( + 𝑎2) + 𝑏 + 𝑎 𝑏 Bài Cho ba số thực 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ [ ; 3] Tìm giá trị lớn biểu thức:𝑃 = 𝑎 𝑏 𝑐 + + 𝑎+𝑏 𝑏+𝑐 𝑐+𝑎 Dạng Ứng dụng đạo hàm chứng minh bất đẳng thức Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức” trường hợp đặc biệt phương pháp “Ứng dụng giá trị lớn (GTLN), giá trị nhỏ (GTNN) hàm số để chứng minh bất đẳng thức Phương pháp giải Giả sử toán yêu cầu chứng minh rằng: 𝑓(𝑥) ≥ 𝑚, ∀𝑥 ∈ 𝐾 với 𝐾 đoạn nửa khoảng.(*) Ý tưởng cách giải: Chứng minh GTNN 𝑓(𝑥) 𝐾 lớn 𝑚 Như vậy, để chứng minh bất đẳng thức trên, ta cần tìm GTNN hàm số 𝑓(𝑥)trên 𝐾, kết luận * Quy bất đẳng thức dạng 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐾, với 𝐾 nửa khoảng hay đoạn * Kiểm tra tính liên tục hàm số 𝑓(𝑥) tập 𝐾 43 * Xét dấu 𝑓′(𝑥), suy hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến hay nghịch biến 𝐾 Từ chiều bất đẳng thức đầu mút đạt GTNN (GTLN) đầu mút hay mà dự đốn tính đơn điệu Từ dự đốn dấu 𝑓 ′ (𝑥) để có hướng biến đổi hợp lí * Áp dụng định nghĩa hàm số đồng biến, nghịch biến kết luận Chú ý: Trường hợp ta chưa/khó xét dấu 𝑓 ′ (𝑥) ta quay lại tiếp tục xét dấu 𝑓 ′′ (𝑥),… xét dấu thơi Tương tự cho tốn có chiều bất đẳng thức (*) 𝜋 Ví dụ Chứng minh rằng: 𝑥 > sin 𝑥, với 𝑥 ∈ (0, ) Phân tích * Nhận xét, bất đẳng thức cho chưa có dạng (*), nên ta quy dạng (*) Có việc cần làm: Dồn hết biến vế hai quy 𝜋 khoảng (0, ) đoạn nửa khoảng * Do biến 𝑥 xuất hai vế, nên ta “dồn” biến vế Chẳng hạn, chuyển 𝑠𝑖𝑛𝑥 vế phải sang vế trái ta thu bất đẳng 𝜋 thức tương đương: 𝑥 − sin 𝑥 > 0, với 𝑥 ∈ (0, ) * Lại để ý − sin(0) = 𝜋 * Lúc này, xét 𝑓(𝑥) = 𝑥 − sin 𝑥 , 𝑥 ∈ [0, ) * Giờ ta áp dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm 𝜋 số 𝑓(𝑥) nửa khoảng [0, ) 𝜋 – Ta có 𝑓′𝑥) = − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0, )và 𝑓(𝑥) liên tục ℝ 𝜋 𝜋 nên 𝑓(𝑥) liên tục [0, ) Vậy hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến [0, ) nên ta có:𝑓(0) < 𝑓(𝑥), < 𝑥 < 𝜋 (đpcm) Hướng dẫn giải 𝜋 - Bất đẳng thức cho tương đương với 𝑥 − sin 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0; ) 𝜋 - Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑥 − sin 𝑥 liên tục [0; ) 44 𝜋 Có 𝑓′𝑥 = − cos 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0; ) Suy hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến 𝜋 [0; ) 𝜋 - Hàm số 𝑓(𝑥) đồng biến [0; ) nên ta có: 𝜋 𝜋 > 𝑥 > ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓(0) ⇔ 𝑥 − sin 𝑥 > 0, ∀𝑥 ∈ (0; ) (đpcm) - Ở bước đầu tiên, không chuyển 𝑠𝑖𝑛𝑥 sang vế trái mà chuyển 𝑥 từ vế trái sang vế phải lời giải tương tự, khác chút, hàm số ta 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑥 hàm nghịch biến - Ở bước thứ hai, thực chất so sánh giá trị vế trái nhận hai giá trị đầu mút cần xét tính đơn điệu tập 𝜋 tập cần chứng minh Từ đó, suy 𝜋 [0, ) - Chú ý: Xét tính đơn điệu hàm số nửa khoảng hay đoạn cần kiểm tra tính liên tục hàm số tập Ví dụ Chứng minh rằng:1 − 𝑥 < 𝑐𝑜𝑠𝑥, ∀𝑥 ≠ Phân tích * Biến đổi bất đẳng thức bất đẳng thức tương đương: cos 𝑥 + 𝑥 − > 0, ∀𝑥 ≠ * Nhận thấy ∀𝑥 ≠ ⇔ ∀𝑥 ∈ (−∞; 0) ∪ (0; +∞) nên toán cho chia thành hai tốn nhỏ Chứng minh rằng: cos 𝑥 + 𝑥 − > 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; 0)(1) cos 𝑥 + 𝑥 − > 0, ∀𝑥 ∈ (0; +∞) (2) – Lại để ý cos(0) + 02 − = nên bất đẳng thức (1) (2) viết lại thành: cos 𝑥 + 𝑥 − ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; 0)(1𝑎) 45 cos 𝑥 + 𝑥 − ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (0; +∞) (2𝑎) 2 Đặt 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 − 1, ∀𝑥 ∈ ℝ 𝑓(0) = viết lại bất đẳng thức (1a), (2a) dạng: 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (−∞; 0)(1𝑏) 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀𝑥 ∈ (0; +∞) (2𝑏) * Lúc này, chiều bất đẳng thức (1b) (2b) ≥ nên để chứng minh ta cần GTNN hàm số 𝑓(𝑥) nửa khoảng [0; −∞) [0; −∞) lớn xong! * Chúng ta tìm GTNN 𝑓(𝑥) với 𝑓(𝑥) đơn điệu nửa khoảng 𝑓(𝑥) phải đạt GTNN đầu mút 𝑥 = nửa khoảng * Câu hỏi là: Nếu 𝑓(𝑥) đơn điệu 𝑓(𝑥) đơn điệu đồng biến hay đơn điệu nghịch biến tập kia? Từ suy cần chứng minh 𝑓 ′ (𝑥) > hay 𝑓 ′ (𝑥) ≤ tập tương ứng – Để trả lời câu hỏi này, ta viết (1b) (2b) dạng: ∀𝑥 ≤ ⇒ 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(0) (1𝑐) ∀𝑥 ≥ ⇒ 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(0) (2𝑐) – Từ (1c) suy 𝑓(𝑥) nghịch biến (−∞, 0] (3), từ (2c) suy 𝑓(𝑥) đồng biến [0, +∞) (4) – Lúc này, ta có: (3) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 − sin 𝑥 ≤ 0, ∀𝑥 ≤ (3𝑎) (4) ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 − sin 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ≥ (4𝑎) * Nhưng ngược lại, chứng minh (3a) (4a) suy 𝑓(𝑥) nghịch biến (−∞, 0] đồng biến [0, +∞), có 𝑓(𝑥) liên tục nửa khoảng (−∞, 0] [0, +∞) Từ đó, suy ngược lại điều cần chứng minh * Do đó, ta chứng minh (3a) (4a) 46 Theo kết Ví dụ 1, để chứng minh (4a), mục tiêu là, GTNN hàm số 𝑓 ′ (𝑥) [0, +∞) lớn , cách chứng minh 𝑓 ′ (𝑥) đồng biến [0, +∞) – Thật vậy, ta có𝑓 ′′ (𝑥) = − cos 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ≥ – Dễ thấy 𝑓 ′ (𝑥) liên tục [0; +∞) – Do hàm số 𝑓 ′ (𝑥) đồng biến [0; +∞) Từ suy 𝑓 ′ (𝑥) > 𝑓 ′ (0) = 0, ∀𝑥 > (4𝑎) (đpcm) * Hoàn toàn tương tự, chứng minh 𝑓 ′ (𝑥) đồng biến (−∞; 0], từ chứng minh (3a) * Như vậy, ta chứng minh (3a) (4a) từ suy (3) (4) Từ (3) (4) ta lại suy (1c) (2c) suy bất đẳng thức cần chứng minh Tóm lại, để làm tập cần * Xét hàm số 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 + 𝑥 − 1, liên tục * Ta chứng minh 𝑓 ′ (𝑥) đồng biến [0, +∞) (−∞, 0] * Từ suy 𝑓(𝑥) đồng biến [0, +∞) nghịch biến (−∞, 0] * Do 𝑓(𝑥) > 0, ∀𝑥 > 𝑓(𝑥) < 0, ∀𝑥 < (đpcm) Chú ý rằng, để chứng minh 𝑓 ′ (𝑥) đồng biến [0, +∞) (−∞, 0] ta lại phải chứng minh 𝑓 ′′ (𝑥) ≥ Hướng dẫn giải * Bất đẳng thức cho tương đương với cos 𝑥 + 𝑥 − > 0, ∀𝑥 ≠ * Xét hàm số 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑥 − Ta có 𝑓(𝑥) liên tục R 𝑓 ′ (𝑥) = 𝑥 − sin 𝑥 * Lại có 𝑓 ′′ (𝑥) = − cos 𝑥 ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝑅 nên suy 𝑓 ′ (𝑥) đồng biến ℝ * Do 𝑓 ′ (𝑥) đồng biến ℝ, nên –∀𝑥 > ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) > 𝑓 ′ (0) = Suy 𝑓(𝑥) đồng biến [0; +∞) ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓(0) = 0, ∀𝑥 > (1) –∀𝑥 < ⇒ 𝑓 ′ (𝑥) < 𝑓 ′ (0) = Suy 𝑓(𝑥) nghịch biến (−∞; 0] 47 ⇒ 𝑓(𝑥) > 𝑓(0) = 0, ∀𝑥 < (2) * Từ (1) (2), suy 𝑓(𝑥) > 0, ∀𝑥 ≠ ⇔ cos 𝑥 + 𝑥 − > 0, ∀𝑥 ≠ (đpcm) * Cách giải tốn có nét đặc biệt, lặp lặp lại ví dụ: “Ví dụ 1: Xét tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức” “Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức để xét tính đơn điệu hàm số” Cụ thể là: - Lần 1: “Để chứng minh bất đẳng thức 𝑓(𝑥) > 0, ta xét tính đơn điệu hàm số 𝑓(𝑥)′′ - Lần 2: “Để xét tính đơn điệu hàm số 𝑓(𝑥), ta cần chứng minh bất đẳng thức 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 𝑓 ′ (𝑥) ≤ - Lần 3: “Để chứng minh bất đẳng thức 𝑓 ′ (𝑥) ≥ 𝑓 ′ (𝑥) ≤ 0, ta xét tính đơn điệu hàm số 𝑓 ′ (𝑥)” - Lần 4: “Để xét tính đơn điệu hàm số 𝑓 ′ (𝑥), ta cần chứng minh bất đẳng thức 𝑓 ′′ (𝑥) > 0” Có thể nói ứng dụng đạo hàm giải bất đẳng thức chủ đề hay khó chương trình tốn phổ thơng Học sinh muốn đạt kết cao học chủ đề đòi hỏi phải cần cù rèn luyện để tạo thành kĩ năng, nhanh nhạy phát vấn đề từ đến lời giải Bài tập tương tự 𝜋 Bài Chứng minh bất đẳng thức: 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 > 2𝑥, ∀𝑥 ∈ (0, ) Bài Chứng minh : 𝑠𝑖𝑛𝑥 > 2𝑥 , ∀𝑥 𝜋 𝜋 ∈ (0, ) 𝜋 Bài Chứng minh rằng: 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥 > 1, ∀𝑥 ∈ (0, ) Bài Chứng minh rằng: 𝑥+1 √𝑥 −𝑥+1 ≤ 2, ∀𝑥 Bài Chứng minh: √𝑥 − 𝑥 + + √𝑦 − 𝑦 + + √𝑧 − 𝑧 + ≥ 3, ∀𝑥, 𝑦, 𝑧 thoả mãn 𝑥+𝑦+𝑧 =3 Dạng Ứng dụng đạo hàm giải toán thực tế 48 Toán học bắt nguồn từ thực tiễn, lí thuyết tốn học dù trừu tượng đến đâu tìm thấy ứng dụng chúng thực tiễn tập ứng dụng đạo hàm khơng nằm ngồi quy luật Thế nhưng, xu hướng đặt mục tiêu dạy học Toán vào việc cung cấp kiến thức phổ thơng, rèn luyện kĩ giải số dạng tốn tiêu biểu gắn liền với chúng khiến cho kiến thức tốn dạy nhà trường trở nên hình thức, khơ khan, khơng hấp dẫn bổ ích đại đa số học sinh Muốn làm đựơc tốn thực tiễn nói chung tốn thực tiễn ứng dụng đạo hàm nói riêng đòi hỏi học sinh phải có kĩ mơ hình hố tốn học Trong dự thảo “Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Toán” ngày 19/1/2018 Bộ Giáo dục đào tạo nêu yêu cầu cần đạt học sinh phổ thơng lực mơ hình hố tốn học Qua tìm hiểu, tổng hợp, phân tích từ báo khoa học “Mơ hình hố dạy học khái niệm đạo hàm” tác giả Lê Thị Hồi Châu (Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh) dự thảo “Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn” Bộ Giáo dục đào tạo, tơi nhận thấy có hai loại tốn thực tế tốn thực tế có sẵn mơ hình tốn học tốn có mơ hình thực tiễn Trong khố luận tơi giới thiệu số toán thực tế ứng dụng đạo hàm tập trung vào việc đưa cách định hướng hay nói cách khác quy trình giải phân tích tốn để đến lời giải Sau sơ đồ tóm lược bước q trình mơ hình hố: Tình thực tế Mơ hình thực tiễn Cách giải Kết thực tế 49 Mơ hình tốn Kết toán học Áp dụng cho toán thực tế ứng dụng đạo hàm ta tóm lược phương pháp giải sau: Phương pháp giải Bước 1:Xây dựng mơ hình thực tiễn vấn đề đưa Bước 2: Xây dựng mơ hình tốn học cho vấn đề xét * Thực chất đại số hóa, gọi đại lượng cần tìm cho toán * Từ điều kiện toán thiết lập hàm số phụ thuộc vào biến Bước Sử dụng cơng cụ tốn học mà đặc biệt công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Bước 4: Kết luận toán ban đầu Lưu ý: Nếu tốn cho có dạng mơ hình tốn học áp dụng từ bước để giải Ví dụ Một người thợ xây cần xây bể chứa 108𝑚3 nước, có dạng hình hộp chữ nhật với đáy hình vng khơng có nắp Hỏi chiều dài, chiều rộng chiều cao lòng bể để số viên gạch dùng xây bể nhất? Biết thành bể đáy bể xây gạch, độ dày thành bể đáy nhau, viên gạch có kích thước số viên gạch đơn vị diện tích 50 Phân tích Xuất phát từ nhu cầu thực tế xây bể có dạng hình hộp chữ nhật cho số gạch cần xây để tiết kiệm chi phí Từ người ta khái qt tốn thực tiễn thành tốn có mơ hình thực tiễn Ta có “độ dày thành bể đáy nhau, viên gạch có kích thước số viên gạch đơn vị diện tích nhau” nên số viên gạch cần dùng để xây tổng diện tích bề mặt thành đáy lòng bể nhỏ Bài tốn trở thành tìm kích thước hình hộp chữ nhật để tổng diện tích mặt đáy mặt xung quanh nhỏ Ta tiến hành từ bước thứ hai sau: Bước Gọi 𝑥, 𝑥, 𝑦 chiều dài, chiều rộng chiều cao lòng bể 𝑆 tổng diện tích bề mặt lòng bể ta có: 𝑆 = 𝑥 + 4𝑥𝑦 với 𝑥, 𝑦 > (1) * Tiếp theo cần làm gì? Đó tìm 𝑥, 𝑦 để 𝑆 nhỏ Bước Muốn vậy, phải đưa biểu thức 𝑆, từ biểu thức phụ thuộc biến, trở thành biểu thức phụ thuộc vào biến tốn quy toán quen thuộc Nhưng điều xảy hai biến 𝑥 𝑦 phải có quan hệ Vậy hai biến có quan hệ khơng? 51 * Ta có giả thiết mà chưa dùng tới Theo giả thiết thể tích bể 108𝑚3 nên ta có phương trình 𝑥 𝑦 = 108 (2) điều cần, phương trình quan hệ 𝑥 𝑦 * Từ (2) ta rút biến theo biến vào (1), phụ thuộc vào biến, mục tiêu Ta có 𝑦 = 108 , 𝑥2 thay vào (1) 𝑆 = 𝑥 + 432 𝑥 tốn tìm 𝑥 > để hàm số 𝑆 đạt giá trị nhỏ Bài tốn trở thành: Tìm 𝑥 cho hàm số sau đạt giá trị nhỏ 𝑆 = 𝑥2 + 432 với 𝑥 x>0 Bước Kết luận cho toán ban đầu Hướng dẫn giải * Ta có 𝑆 ′ = 2𝑥 − 432 𝑥 𝑆 ′ = ⟺ 𝑥 = * Bảng biến thiên * Do hàm số 𝑆 đạt giá trị nhỏ 𝑥 = Vậy với 𝑥 = suy 𝑦 = nên chiều dài, chiều rộng chiều cao cần tìm 6𝑚, 6𝑚, 3𝑚 Ví dụ 2.Sau phát dịch bệnh chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày phát bệnh nhân đến ngày thứ 𝑥 hàm số 𝑓(𝑥) = 45𝑥 − 𝑥 Nếu ta coi 𝑓(𝑥)như hàm số xác định [0, 25] đạo hàm 𝑓(𝑥) xem tốc độ truyền bệnh (người/ngày) thời điểm 𝑥 Xác định ngày mà tốc độ truyền dịch bệnh lớn 52 Phân tích Đây toán thực tế mà yếu tố toán học đưa rõ Bài toán cho biết hàm biến, yêu cầu xác định ngày mà tốc độ truyền dịch bệnh lớn Như vây phát biểu lại tốn sau: Tìm 𝑥 để hàm số 𝑓(𝑥) = 45𝑥 − 𝑥 đạt giá trị lớn [0, 25] Bài toán tương tự Bài Một xưởng khí nhận làm thùng phi với thể tích 220𝑙 Hỏi thùng phải có kích thước để vật liệu làm Bài Bạn muốn xây dựng bể chứa nước hình trụ tích 150𝑚3 Đáy bể làm bê-tơng giá 100 ngàn đồng 𝑚2 , thành làm tôn giá 90 ngàn đồng 𝑚2 , nắp nhôm không gỉ giá 120 ngàn đồng 𝑚2 Hỏi kích thước bể phải để chi phí xây dựng nhỏ nhất? Bài Cơng ty Vinamilk có hai dòng sản phẩm sữa tươi với bao bì hộp giấy, loại 110𝑚𝑙 loại 180𝑚𝑙 Để sản xuất bao bì hộp giấy cho hai loại đó, cơng ty Vinamilk đặt hàng hai cơng ty khác, Combibloc Đức Tetra Pak Thụy Điển Hai công ty thiết kế hộp có kiểu dáng kích thước khác hình ảnh 53 Câu hỏi a) Cơng ty sử dụng ngun vật liệu với loại hộp 110𝑚𝑙 180𝑚𝑙? b) Giá sản phẩm công ty rẻ hơn? Bài Người ta muốn mạ vàng cho hộp có đáy hình vng, khơng nắp, thể tích hộp lít Giả sử độ dày lớp mạ điểm hộp Gọi chiều cao cạnh đáy 𝑥 ℎ Giá trị 𝑥 ℎ để lượng vàng cần dùng nhỏ bao nhiêu? Bài Doanh nghiệp tư nhân Tân Hưng Yên chuyên kinh doanh xe gắn máy xe tay ga loại Hiện nay, doanh nghiệp tập trung chiến lược vào kinh doanh xe tay ga Lead với chi phí mua vào 27 (triệu đồng) bán với giá 40 (triệu đồng) Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua 2000 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, doanh nghiệp dự định giảm giá bán ước tính giảm (triệu đồng) số lượng xe bán tăng thêm 800 Vậy doanh nghiệp phải định giá bán để sau thực việc giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? 54 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau hồn thiện khố luận tơi có số kết luận sau: - Khoá luận giúp cho người đọc nhận thấy thực trạng việc dạy học tập ứng dụng đạo hàm nay.Từ đó, đưa số biện pháp nhằm nâng cao hiệu việc dạy học dạng toán - Đưa hệ thống tập ứng dụng đạo hàm phân tích để đến lời giải - Đặc biệt khố luận tơi có đưa tập ứng dụng đạo hàm thực tiễn phương pháp giải theo mơ hình hố tốn học nội dung thú vị Tuy nhiên, thời gian hạn chế, nên tơi chưa thực thực nghiệm định hướng nghiên cứu thời gian tới tác giả để mở rộng đề tài Sau trình nghiên cứu đưa số kiến nghị sau: - Đối với quan quản lý: Trong phân bố chương trình SGK mơn Tốn phần đạo hàm ứng dụng đạo hàm cần liền mạch để người dạy lẫn người học thuận lợi hoạt động giảng dạy học tập Đặc biệt, theo tơi nên đưa nội dung tập đạo hàm ứng dụng thực tế vào chương trình học để học sinh thấy vai trò toán học với sống - Đối với nguời dạy: Bên cạnh việc nắm vững nội dung chương trình, có kiến thức chun mơn vững vàng, giáo viên phải thường xuyên cập nhật phương pháp dạy học phù hợp với cách thức kiểm tra đánh giá Trong dạy học nội dung ứng dụng đạo hàm cần ý đến nhóm đối tượng học sinh cụ thể để có cách truyền đạt hợp lý - Đối với người học: Bên cạnh học lớp, học SGK, học sinh cần chủ động tìm kiến kiến thức nhiều nguồn khác Trong q trình trình bày khố luận, khơng tránh khỏi sai sót Vì tơi mong nhận đóng góp thầy để khố luận tơi hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn 55 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vũ Dũng, Từ điển Tâm lý học, trung tâm KHXH nhân văn quốc gia Viện tâm lý học NXB Khoa học xã hội, Hà Nội 2000 [2] Trần Bá Hoành, Lý luận dạy học tích cực, Dự án đào tạo GV THCS, Hà Nội 2003 [3] Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học mơn Tốn, NXB Đại học Sư phạm, 2007 [4] Tôn Thân, “Xây dựng hệ thống câu hỏi tập nhằm bồi dưỡng số yếu tố tư sáng tạo cho học sinh giỏi Toán trường THCS Việt Nam”, luận án phó Tiến sỹ khoa học sư phạm – Tâm lý, Viện khoa học giáo dục Hà Nội [5] Trần Thúc Trình, Rèn luyện tư dạy học toán, Viện khoa học giáo dục, 2003 [6] Nguyễn Quang Uẩn, Tâm lý học đại cương, NXB Đại học sư phạm, 2007 [7] G.Polya, Sáng tạo Toán học, NXB Giáo dục Việt Nam dịch, 1978 [8] M.M Rôđentan chủ biên, Từ điển Triết học, NXB Tiến bộ, Maxcowva, 1986 [9] I.F.Kharlamop, Phat huy tính tích cực học tập học sinh nào? NXB Giáo dục, 1978 56 ... thơng qua hệ thống tập ứng dụng đạo hàm chương trình tốn trung học phổ thơng” Mục đích nghiên cứu Xây dựng hệ thống tập ứng dụng đạo hàm biện pháp phát huy tính tích cực cho học sinh phổ thông. .. cực học sinh 13 iv CHƯƠNG II PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC CỦA HỌC SINH THÔNG QUA HỆ THỐNG BÀI TẬP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 15 Dạng Ứng dụng đạo hàm để xét tính đơn điệu hàm số 15 Dạng Ứng. .. dụng đạo hàm chương trình tốn phổ thơng Đối tượng nghiên cứu - Học sinh trung học phổ thông Vấn đề nghiên cứu Làm để phát huy tối đa tính tích cực học sinh thơng qua tập ứng dụng đạo hàm chương trình