TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG Giảng viên hướng dẫn: TS Nguyễn Thành Chung Sinh viên: Nguyễn Thị Hồi Thương Lớp: Đại học sư phạm Tốn K56 Quảng Bình - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan khóa luận thân tơi thực hiện, hướng dẫn khoa học TS Nguyễn Thành Chung Các kết khóa luận hoàn toàn trung thực Sinh viên Nguyễn Thị Hoài Thương i LỜI CẢM ƠN Trong suốt thời gian thực khóa luận tốt nghiệp, ngồi nỗ lực thân, tơi nhận giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, giáo Khoa Khoa học Tự nhiên, Trường Đại học Quảng Bình Đặc biệt tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung Thầy dành nhiều thời gian q báu tận tình hướng dẫn tơi suốt q trình thực khóa luận tốt nghiệp, đồng thời giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn rèn luyện cho tác phong nghiên cứu khoa học Qua đây, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy giáo, cô giáo Khoa Khoa học Tự nhiên, tới gia đình, bạn bè người sát cánh bên tôi, nhiệt tình giúp đỡ, chia sẻ, động viên tơi q trình học tập thực hồn chỉnh khóa luận Mặc dù đề tài chuẩn bị nghiên cứu cách kĩ lưỡng thời gian nội dung khơng khỏi có thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý thầy giáo, giáo để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Quảng Bình, tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Hoài Thương ii Bảng ký hiệu, chữ viết tắt CĐ: Cực đại CT: Cực tiểu GTLN: Giá trị lớn GTNN: Giá trị nhỏ TXĐ: Tập xác định Mục lục Bảng ký hiệu, chữ viết tắt MỞ ĐẦU CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 1.1 Một số kiến thức 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 1.2 Bài toán cực trị hàm biến số ứng dụng 1.2.1 Bài tốn tìm cực trị hàm biến số 1.2.2 Bài toán cực trị hàm biến số phụ thuộc tham số 1.2.3 Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm biến số 1.2.4 Bài toán cực trị hàm biến số hình học 1.3 Bài tập CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Một số kiến thức 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Quy tắc tìm cực trị 2.1.3 Cực trị có điều kiện 2.2 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số ứng dụng 2.2.1 Bài tốn cực trị khơng có điều kiện 2.2.2 Bài tốn cực trị có điều kiện 2.2.3 Giá trị lớn nhỏ hàm số nhiều biến số miền đóng bị chặn 2.2.4 Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số 2.2.5 Bài tốn cực trị hàm nhiều biến số hình học 6 9 13 17 20 24 27 27 27 28 30 31 31 34 37 41 44 2.3 Bài tập 47 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cực trị hàm số khái niệm quen thuộc toán học Nhắc đến cực trị nói đến phương pháp giải tốn liên quan ứng dụng Cực trị hàm số dạng tốn khó lại hay thường gặp kì thi Giáo viên học sinh Mặc dù vậy, chưa có tài liệu cung cấp cho ta đầy đủ phương pháp, dạng toán thường gặp chưa có phương pháp giải toán cực trị tối ưu cho dạng tốn Với lí vậy, tơi tìm hiểu, nghiên cứu đề tài :" Một số phương pháp giải toán cực trị hàm số ứng dụng" Rất mong đóng góp chân thành để đề tài pháp huy hiệu Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu, giáo trình liên quan đến cực trị hàm số để rút phương pháp giải cho số dạng toán cực trị hàm số ứng dụng Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc giáo trình, tài liệu liên quan tới phương pháp giải toán cực trị ứng dụng để phân loại hệ thống hóa kiến thức - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ việc nghiên cứu tài liệu, giáo trình rút kinh nghiệm để giải toán cực trị - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến giảng viên trực tiếp hướng dẫn giảng viên khác để hoàn thiện mặt nội dung hình thức khóa luận Ý nghĩa khoa học thực tiễn Khóa luận tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán có mong muốn tìm hiểu phương pháp giải toán cực trị hàm số ứng dụng Với thân tôi, nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị hàm số ứng dụng giúp hiểu rõ khái niệm cực trị, phương pháp giải toán cực trị ứng dụng Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm chương Chương 1: Cực trị hàm số biến ứng dụng Trong chương này, nhắc lại kiến thức cực trị , quy tắc tìm cực trị hàm số biến nhằm củng cố kiến thức, tạo tảng để tìm cực trị hàm số biến Đồng thời chương đưa hệ thống, phân loại dạng tập gồm: Bài tốn tìm cực trị hàm biến số, toán cực trị có tham số, tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất; tốn cực trị hình học Việc phân loại dạng tập giúp cho việc giải tập cách thuận lợi sở để giúp cho việc nghiên cứu hàm nhiều biến chương sau Chương 2: Cực trị hàm nhiều biến số ứng dụng Ở chương này, hệ thống lại số kiến thức cực trị hàm nhiều biến số mà cụ thể hàm hai biến số Đồng thời giải dạng toán sau: - Bài toán cực trị không điều kiện - Giá trị lớn nhỏ hàm nhiều biến số miền đóng bị chặn - Bài tốn cực trị có điều kiện - Bài toán cực trị hàm nhiều biến số phụ thuộc tham số - Bài toán cực trị hàm nhiều biến số hình học Các dạng tập bám sát kiến thức, quy tắc trình bày, giúp người đọc dễ hiểu sâu sắc kiến thức học Chương CỰC TRỊ CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ VÀ ỨNG DỤNG 1.1 1.1.1 Một số kiến thức Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Giả sử hàm số f (x) xác định tập hợp D(D ⊂ R) x0 ∈ D Khi đó: i) x0 gọi điểm cực đại hàm số f (x) tồn khoảng (a, b) chứa điểm x0 cho (a, b) ⊂ D f (x) < f (x0 ) với x ∈ (a, b)\{x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực đại hàm số f (x) ii) x0 gọi điểm cực tiểu hàm số f (x) tồn khoảng (a, b) chứa điểm x0 cho (a, b) ⊂ D f (x) > f (x0 ) với x ∈ (a, b)\{x0 } Khi f (x0 ) gọi giá trị cực tiểu hàm số f (x) iii) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị Nếu x0 điểm cực trị hàm số f (x) người ta nói hàm số f (x) đạt cực trị điểm x0 Nhận xét 1.1 Giá trị cực đại (cực tiểu) f (x0 ) hàm số f nói chung khơng phải giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f tập hợp D; f (x0 ) giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số f khoảng (a; b) chứa điểm x0 1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị Định lí 1.1 Giả sử hàm số f (x) đạt cực trị điểm x0 Khi đó, f (x) có đạo hàm điểm x0 f (x0 ) = Chứng minh Giả sử hàm số f có cực đại x0 ∈ (a; b) Khi đó, tồn δ > đủ nhỏ cho (x0 − δ; x0 + δ) ⊂ (a; b) f (x) ≤ f (x0 ) với x ∈ (x0 − δ; x0 + δ) Với x0 − δ < x < x0 , ta có f (x) − f (x0 ) ≥ x − x0 Do f (x0 ) = lim− x→x0 f (x) − f (x0 ) ≥ x − x0 Với x0 < x < x0 + δ , ta có f (x) − f (x0 ) ≤ x − x0 Do f (x0 ) = lim+ x→x0 f (x) − f (x0 ) ≤ x − x0 Vậy f (x0 ) = Trường hợp f có cực tiểu x0 chứng minh tương tự Nhận xét 1.2 1) Đạo hàm f điểm x0 hàm số f không đạt cực trị điểm x0 Chẳng hạn, xét hàm số f (x) = x3 , ta có f (x) = 3x2 f (0) = Tuy nhiên, hàm số f không đạt cực trị điểm x = Thật vậy, f (x) > với x = nên hàm số đồng biến R ... hiểu phương pháp giải toán cực trị hàm số ứng dụng Với thân tôi, nghiên cứu phương pháp giải toán cực trị hàm số ứng dụng giúp hiểu rõ khái niệm cực trị, phương pháp giải toán cực trị ứng dụng. .. để hàm số đạt cực trị 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 1.2 Bài toán cực trị hàm biến số ứng dụng 1.2.1 Bài tốn tìm cực trị hàm biến số 1.2.2 Bài toán cực trị. .. toán cực trị hàm biến số thường gặp, cụ thể: - Bài toán tìm cực trị hàm biến số - Bài toán cực trị hàm biến số phụ thuộc tham số tham số - Bài tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm biến số