CHỦ ĐỀ: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Điều kiện để thức có nghĩa Biểu thức A có nghĩa ⇔ A ≥ Các cơng thức biến đổi thức Ta có cơng thức biến đổi thức thường dùng sau đây: A A ≥ • A = A = ; −A A < A B với A ≥ 0, B ≥ 0; • AB = A A • với A ≥ 0, B > 0; = B B • A B= A B • A B = AB B với B ≥ 0; với AB ≥ 0, B ≠ 0; A B A ≥ 0, B ≥  ; • A B =  A B A < 0, B ≥   − • C = C( A  B) với A ≥ 0, A ≠ B A−B A±B Một số dạng toán thường gặp Trong chủ đề rút gọn biểu thức toán liên quan, ta thường gặp dạng toán sau đây: Dạng Rút gọn biểu thức tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Dạng Rút gọn biểu thức tính giá trị biến biết biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Dạng Rút gọn biểu thức so sánh biểu thức với số biểu thức cho trước Dạng Rút gọn biểu thức tìm điều kiện biến để biểu thức có giá trị nguyên Dạng Rút gọn biểu thức tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 1A Cho biểu thức:  x−1 2−2 x   x+2  A= + : −  x− x x + x x −   x − x −1    − x+ với x ≥ 0, x ≠ a)Rút gọn A b)Tính giá trị A khi: i) x = − ; 1 ii) x = + 80 − −  4  80 ;   iii) x = 10 + + 10 − ; 1 iv) x = + + + ; 1+ 3+ 79 + 81 2x − 3x − = x − 1; v) x nghiệm phương trình vi) x nghiệm phương trình 2x − = 3x + 1; vii)x giá trị làm cho biểu thức M = l n x(1 − x) đạt giá trị c) Tìm x để: i) A = ii) A = A; iii) A + A ≤ ;6 d)So sánh: i) A với 1; = ii) A với biểu thức N e)Tìm x nguyên dương để biểu thức x−3 x nhận giá trị nguyên A g) Tìm x thực để A nhận giá trị nguyên h) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x− 2); i) P = A(x − ii) Q = với ≤ x < 4; A −x + x − x iii)R = A với x > i) Tìm giá trị lớn biểu thức: ii) C = A với x > i) B = − A; x+ k*) Tìm x thỏa mãn A( x + 1) − (2 − 1) x = 2x − x − + 1B Cho biểu thức  2x + B= − x x x x 2+− 1 +x −  1 x x −  x+ x+1 1+ với x > x ≠ a)Rút gọn B b)Tính giá trị biểu thức B khi: 48 ; i) x = − ii) x = iii)x = 11 + 11 − ; + 2+7 − 2−7;  x x iv)x = + + + ; + 97 + 4 + 100 x −x+2 = v)x nghiệm x; phương trình: x − = 2x − ; vi) x nghiệm phương trình vii) x giá trị P = x đạt x − + giá trị làm cho biểu thức nhỏ c) Tìm x để: i) B = 0; d)So sá nh: i) B với −2; ii) B + x−4 ≤ x ii) B với C x − 3x = x e)Tìm x để B nhận giá trị nguyên g) Xét dấu biểu x − 1) thức T = B( h) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ii) D i) = B   iii)E : với x− x+2  − = B x ; i) Tìm giá trị lớn biểu thức: ii) Q = i) G −B x = − − B ; k*) B x Tì + (2 m 3+ x 3) th ỏa mã n x x+1 = + 10 3x − III BÀI TẬP VỀ NHÀ t x  h ứ x c x + C + = Cho biểu  −   x x + + x + x   x  >x ≠ −2 , x  x x ≠ a)Rút gọn C b)Tính giá trị C khi: i) x = − ; ii) x = 11+3 11-3 ; + 3 iii) x = 14 + 20 − 14 − 20 − 1; iv)x = 1 + + + + ; 77 + 81 5 + v)x nghiệm phương trình: x −x =x− 1; x − = 3; vi) x nghiệm phương trình vii) x giá trị M = làm cho biểu −x + thức trị lớn x đạt + giá c) Tìm x để: i) C ≤ 0; ii) C = −C; d)So sánh C x x > với biểu thức kh D= i e) Tìm x để biểu 2C thức E = x x= 2− tính B=3+ , nB = h2 2 − c) i) Giải PT tìm x = (KTMĐK) x = vii) (TMĐK) Tì x −2 m ii) Biến ≤ Tìm đổi x ≤ đ BPT x trở ợ thành c Kết hợp điều kiện thu < x ≤ , x ≠ P 2− đ −9 + ii) Rú B = t ợ gọ c n B = −3 + vi) A = x = 2 6, Áp B tín d⇔ h B ụA= đư n ±B ợc g m = i iii) R n c út gọ − ô = n x9 n = 2, g tín h + k t đư h h ợc i ứ x c iv) R út = Tì Từ gọ m n x3 đư tính =3 , ợc đượ , t x= c tín í 2; h n x = giá h đư trị ợc (T tươnđ v) Giải x MĐ g K) ứng ợ PT = c tìm 2, B tí d)i) Xét hiệu B − (−2) = − x x+2 x > suy B > −2 ii) Xét hiệu B x+1 −C = > (x > 0, x ≠ 1) suy B > C x2 x k e) Vì ∈ ế −B {1 t nguyê ; + n tìm x 4} hx > 0, x ≠ ợthu x = p Đ K g) x − 1) x −2 x x với x > 0, x ≠ x+1 − 2) Từ x ≥ ; T < suy < x < 4, x ≠ T ≥0 h) i) Tìm ⇔ x=2 Bmin = 2 −3 ⇔ x= ii) Tìm Dmin = − –  iii) Biến  đổi E =2    x  1 Từ tìm Emin x i ) i) Tìm Gmax = −2 2⇔ x = = T x v x x đ x > ≠ ó i 0, tì m− x đ ≠ ợ c x = ii) Tìm a) Rút Qmax = ⇔ x = gọn 4C = k ( 3)2 + ( *− ) B i ế n đ ổ i v ề b) i) T x = − ⇒ x , tính C = = 14 − 10 2 − ii) Rút gọn x = Tìm C = −6 − Rút gọn x = 3+ Tìm C iii) =− Rút gọn x = , khơng tồn C  x − ≥ v) PT ⇔  Từ tìm x = x − x = (x −  1) Thay x = vào C tính C = − vi) Giải PT tìm (KTMĐK) x = (TMĐK) x = iv) Từ tính C = −6 − 29 M max = ⇔ x = vii) tính C = − Ta có Từ c) i) BPT C ≤ ⇔ C = Từ tìm x = (KTM) Vậy không tồn x để C ≤ C = −C ⇔ hay x ≤ ii) Ta có C≤0 x −3 Giải BPT kết hợp ĐK thu được: < x ≠ x với x > Kết luận C > D x −3 e) Biến đổi E = 2+ x − Từ điều kiện E nguyên tìm x ∈ {1; 16; 25; 36; 81} g) i) Biến đổi C =( x − 3) + + với x > x −3 Từ suy C ≥ 12 Vậy Cmin = 12 ⇔ x = 36 ii) Biến đổi I = x(3 − x) Áp dụng BĐT Côsi thu Vậy I = 9 ⇔ x= với < x < 9, x ≠ x(3 − x )9 ≤ nên I ≥ h) Biến đổi N = 2− + x x với x > 0, x ≠ x ≠  V ì − +  + 2 2 nên N≤ ; ≥ =  VN y = ⇔ x = x x  x  3 x m a i*) Từ giả thiết biến đổi 2x + C( Sau ) đưa + dạng ( ( x− x− x− 3) = + 3x −2 x−1− 1) = Từ ta tìm x > ⇒ x ≥ PHẦN ĐỀ TỰ LUYỆN GỢI Ý - ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ Bài I 1) Tìm x = Thay vào B tính tốn ta = − B với x ≥ 0, x ≠ 2)Rút gọn ta A = x x−3 3)Ta có P = x =3− x+1 Từ P ∈  ⇔ x ∈ {0; x+1 4} Bài II Gọi diện tích rừng phải trồng tuần theo kế hoạch công nhân x (hécta) (0 < x < 75) = Lập luận dẫn tới 75 − PT: 80 x x+5 Giải PT tìm x = (TM) Kết luận 15 Bài III 1) Cách Lấy vế với vế hai phương trình trừ cho ta tìm x Từ thay x vừa tìm trở lại hai phương trình hệ ta tìm y 2a + b = Cách Đặt ẩn phụ a= ,b= x−3 y −3 Từ thay trở lại để tìm x y a = ⇒ a + b = ⇔  b = Đáp số: HPT cho có nghiệm (5; 2) (5; −2) 2) a) Tính Δ ' = m ≥0 với m x1 + x2 = 2m + Gọi x1 , nghiệm phương trình Ta có:   x1 x2 = 2m + x2 ⇒ Hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x = x1 x + b) Yêu cầu tốn ⇔ phương trình có hai nghiệm dương x1 , x2 thỏa mãn 2 x1 + x2 = Giải ta m = m =− (TM) (KTM) Bài IV 1) Học sinh tự làm C 2) Gợi ý: Chứng minh: ∆ADO ∽∆ABC (g.g) D 3) Vì tứ giác DCEO nội tiếp H   A nên CDE = COE   Vì AO // ⇒ CDE = CAO DE  = Vì ∆AOC cân O nên CAO ACO   =  ⇒ AC // Từ COE ACO OE AH ⇒ Tứ giác OEDA hình bình hành B O = AD.AC 4) * Phần thuận: Nếu HD ⊥ AC, ta có: Mà AD.AC = AO.AB ⇒ AH =R * Phần đảo: Nếu AH = R Mà AD.AC = AO.AB AH E (1) = 2R = AO.AB ⇒ AH ∆ADH = AD.AC ⇒ ∆AHC  (c.g.c)  =  ⇒  = 90 ⇒AHC AHD AHD ⇒ HD ⊥ AC Từ (1) (2) (2) HD ⊥ AC ⇔ AH = R Từ suy vị trí điểm C Cách dựng: – Dựng H thuộc tia AB cho AH = R – Kẻ tia Ht ⊥ AB Lấy giao Ht với (O) C ⇒ C điểm cần tìm 175 Bài V Gợi ý: Vì vai trò x, y xuất tốn bình đẳng x=y= Từ đó, để giải nên dự đoán P đạt GTNN     11 1 +  y+ + sau sử tốn, ta biến đổi= P x+ +    2x   dụng bất đẳng thức Cô– si Đáp số: Pmin = ⇔ x = y = 2y   x y  ĐỀ SỐ Bài I 1) Ta tìm Q= 2)Ta có Q < ⇔ x + với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ x−3