SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO THANH HÓA KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM HỌC 2017- 2018 Mơn: TỐN Ngày khảo sát: 14/4/2018 Thời gian làm bài: 90 phút, khơng kể thời gian phát đề ðề có trang, gồm 50 câu trắc nghiệm Mã ñề: 101 Họ, tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1: Hình bát diện (tham khảo hình vẽ bên) có mặt? A B C D Câu 2: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai véc tơ a = (1; −2;0 ) b = ( −2;3;1) Khẳng ñịnh sau ñây sai? A a.b = −8 B 2a = ( 2; −4;0 ) C a + b = ( −1;1; −1) D b = 14 x x  5 π  Câu 3: Cho hàm số y = log 2018 x , y =   , y = log x , y =   Trong hàm số có bao e   nhiêu hàm số nghịch biến tập xác ñịnh hàm số ñó? A B C D x Câu 4: Hàm số y = − + ñồng biến khoảng sau ñây? A ( −∞;0 ) B ( −3; ) C (1; +∞ ) D ( −∞;1) Câu 5: Cho số thực a < b < Mệnh ñề sau ñây sai? a A ln   = ln a − ln b B ln ab = ( ln a + ln b ) b ( ) a C ln   = ln(a ) − ln(b ) b D ln(ab) = ln(a ) + ln(b ) Câu 6: Số ñường tiệm cận (ñứng ngang) ñồ thị hàm số y = A B 4n + 2018 Câu 7: Tính giới hạn lim 2n + 1 A B C C bao nhiêu? x2 D D 2018 Trang 1/6 - Mã ñề thi 101 y Câu 8: ðồ thị hình bên ñồ thị hàm số ñây? − 2x − 2x B y = A y = x −1 1− x − 2x − 2x C y = D y = x +1 x +1 x -3 -2 -1 O -2 -4 -6 Câu 9: Cho A B hai biến cố xung khắc Mệnh ñề sau ñây ñúng? A P ( A) + P ( B ) = B Hai biến cố A B khơng đồng thời xảy C Hai biến cố A B ñồng thời xảy D P ( A) + P ( B ) < Câu 10: Mệnh ñề sau ñây sai? A Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C B ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k số k ≠ ) C Nếu F ( x ) G ( x ) ñều nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D ∫  f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 2 Câu 11: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : z − x + = Một véc tơ pháp tuyến ( P ) A u = ( 0;1; −2 ) B v = (1; −2;3) C n = ( 2;0; −1) D w = (1; −2;0 ) Câu 12: Tính mơđun số phức z = + 4i A B C D Câu 13: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b] Diện tích hình phẳng S giới hạn ñường cong y = f ( x ) , trục hồnh đường thẳng x = a, x = b ( a < b ) ñược xác ñịnh cơng thức sau đây? a A S = ∫ f ( x ) dx b b B S = ∫ f ( x ) dx b C S = ∫ f ( x ) dx a b D S = ∫ f ( x ) dx a a Câu 14: Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện A hình chữ nhật B tam giác cân C ñường elip D ñường tròn Câu 15: Ta xác ñịnh ñược số a, b, c ñể ñồ thị hàm số y = x + ax + bx + c qua điểm (1;0 ) có ñiểm cực trị ( −2;0 ) Tính giá trị biểu thức T = a + b + c A 25 B −1 C Câu 16: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − sin x D 14 x2 x2 x2 1 + cos x + C B + cos x + C C x + cos x + C D − cos x + C 2 2 2 Câu 17: Cho mệnh ñề sau sin x (I) Hàm số f ( x) = hàm số chẵn x +1 (II) Hàm số f ( x ) = sin x + cos x có giá trị lớn (III) Hàm số f ( x) = tan x tuần hồn với chu kì 2π (IV) Hàm số f ( x ) = cos x ñồng biến khoảng (0; π ) Trong mệnh ñề có mệnh ñề ñúng? A B C D mx + 16 Câu 18: Tìm tất giá trị tham số m ñể hàm số y = ñồng biến khoảng (0;10) x+m A m ∈ ( −∞;−10] ∪ ( 4;+∞ ) B m ∈ ( −∞;−4) ∪ ( 4;+∞ ) C m ∈ (−∞;−10] ∪ [4;+∞) D m ∈ (−∞;−4] ∪ [ 4;+∞) A Trang 2/6 - Mã ñề thi 101 Câu 19: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm I (1;0; −2 ) mặt phẳng ( P ) có phương trình: x + y − z + = Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) A ( x − 1) + y + ( z + ) = B ( x − 1) + y + ( z + ) = C ( x + 1) + y + ( z − ) = D ( x + 1) + y + ( z − ) = 2 2 2 2 Câu 20: Tìm tất giá trị tham số m ñể hàm số y = x − 2mx + m x + ñạt cực tiểu x = A m = 1, m = B m = C m = D Khơng tồn m Câu 21: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm S giao tuyến hai mặt phẳng (SAD ) (SBC ) A Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S tâm O ñáy B Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng BC C Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng AB A D Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng BD B D C − 2x > x Câu 22: Tập nghiệm bất phương trình log 1 1   1 1 1  A S =  ; +∞  B S =  0;  C S =  ;  D S =  −∞;  3 3   3 3 2  Câu 23: Gọi T tổng tất nghiệm phương trình log x − 5log3 x + = Tính T A T = B T = −3 C T = 36 Câu 24: Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng CC ′ BD a a A B C a D a D T = 243 D' A' B' C' A B D O C Câu 25: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho hai ñiểm A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA = 3MB  13  7  A M  ; ;1 B M ( 0;5; −4 ) C M  ; ;3  D M ( 4; −3;8) 3  3  Câu 26: Giải bóng đá V-LEAGUE 2018 có tất 14 đội bóng tham gia, đội bóng thi đấu vòng tròn lượt (tức hai đội A B thi ñấu với hai trận, trận sân đội A, trận lại sân đội B) Hỏi giải đấu có tất trận ñấu? A 182 B 91 C 196 D 140 Câu 27: Số ñường chéo ña giác ñều có 20 cạnh bao nhiêu? A 170 B 190 C 360 D 380 Câu 28: Gọi A, B , C ñiểm biểu diễn số phức z1 = 2, z = 4i, z = + 4i mặt phẳng tọa độ Oxy Tính diện tích tam giác ABC A B C D 4 Câu 29: Cho hàm số y = x + 2mx + m (với m tham số thực) Tập tất giá trị tham số m ñể ñồ thị hàm số ñã cho cắt ñường thẳng y = −3 bốn ñiểm phân biệt, có điểm có hồnh độ lớn ba điểm có hồnh độ nhỏ 1, khoảng ( a; b ) (với a, b ∈ ℚ , a, b phân số tối giản) Khi đó, 15ab nhận giá trị sau đây? A −63 B 63 C 95 D −95 Trang 3/6 - Mã ñề thi 101 Câu 30: Sự phân rã chất phóng xạ biểu diễn theo công thức hàm số mũ ln , m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t = ), m(t ) m(t ) = m0 e − λt , λ = T khối lượng chất phóng xạ thời ñiểm t , T chu kỳ bán rã (tức khoảng thời gian ñể nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Khi phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, nhà khoa học thấy khối lượng cacbon phóng xạ 146C mẫu gỗ 45% so với lượng 146C ban đầu Hỏi cơng trình kiến trúc có niên đại khoảng năm? Cho biết chu kỳ bán rã 146C khoảng 5730 năm A 5157 (năm) B 3561 (năm) C 6601 (năm) D 4942 (năm) Câu 31: Một đề can hình chữ nhật cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành khối trụ có đường kính 50 cm Người ta trải 250 vòng để cắt chữ in tranh cổ động, phần lại khối trụ có đường kính 45 cm Hỏi phần trải dài mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? A 373 (m) B 187 (m) C 384 (m) D 192 (m) Câu 32: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính r = có tâm ñiểm A(0;3; −1), B ( −2;1; −1), C (4; −1; −1) Gọi ( S ) mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu Mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ A R = 2 − B R = 10 C R = 2 D R = 10 − Câu 33: Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm A ( 2; −1; −2 ) đường thẳng ( d ) có x −1 y −1 z −1 Gọi ( P ) mặt phẳng ñi qua ñiểm A , song song với ñường thẳng ( d ) = = −1 khoảng cách từ ñường thẳng ( d ) tới mặt phẳng ( P ) lớn Khi đó, mặt phẳng ( P ) vng góc với mặt phẳng sau ñây? A x − y − z − = B x + y + z + 10 = C x − y − z − = D 3x + z + = Câu 34: Xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ “THANH HOA” thành hàng ngang Tính xác suất để có hai chữ H đứng cạnh 5 79 A B C D 14 84 84 14 Câu 35: Có tất giá trị nguyên tham số m ñể phương trình cos3 x − cos 2 x = m sin x có  π nghiệm thuộc khoảng  0;  ?  6 A B C D phương trình: π Câu 36: Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn phân I = ∫ ( ) ∫ cot x f sin x dx = π 16 ∫ f ( x ) dx = Tính tích x f (4x) dx x B I = C I = D I = 2 v t = t Câu 37: Một ô tô bắt ñầu chuyển ñộng nhanh dần ñều với vận tốc ( ) (m/s) ði ñược 12 giây, người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tơ tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −12 (m/s2) Tính qng đường s (m) ñi ñược ô tô từ lúc bắt ñầu chuyển bánh cho ñến dừng hẳn A s = 168 (m) B s = 166 (m) C s = 144 (m) D s = 152 (m) Câu 38: Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm bất phương trình A I = ( ) log 22 x + 3log x − < m log x − chứa khoảng ( 256; +∞ ) ? A B 10 C D Trang 4/6 - Mã ñề thi 101 Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) ðồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ y ðặt bên M = max f ( x ) , m = f ( x ) , T = M + m Mệnh ñề [ −2;6] [ −2;6] ñây ñúng? A T = f ( ) + f ( −2 ) x O -3 B T = f ( 5) + f ( −2 ) -2 -1 -2 C T = f ( 5) + f ( ) D T = f ( ) + f ( ) Câu 40: Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích 9a M ñiểm nằm cạnh CC ' cho MC = 2MC ' Tính thể tích khối tứ diện AB ' CM theo a A 2a B 4a C 3a D a C' A' B' M C A B Câu 41: Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phân biệt phương trình z + z + = tập số phức Tính giá trị biểu thức P = z1 + z + z + z A B C D Câu 42: Cho ñồ thị hàm số y = f ( x) = x + bx + cx + d cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ 2 x1 ; x2 ; x3 Tính giá trị biểu thức P = A P = 1 + 2b c 2 1 + + f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x3 ) B P = C P = b + c + d D P = + 2b + c Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ( x − x − 1) Tính đạo hàm cấp hàm số ñiểm x = A f ( 6) (0) = −60480 B f ( 6) (0) = −34560 C f ( 6) (0) = 60480 D f ( 6) (0) = 34560 π Câu 44: Biết ∫ sin x.ln ( tan x + 1) dx = aπ + b ln + c với a, b, c số hữu tỉ Tính T = A T = B T = C T = Câu 45: Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a , CD = x , ( ACD ) ⊥ ( BCD ) Tìm giá trị x để ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ? A x = a C x = a a a D x = 1 + − c a b D T = −4 B B x = A D C Trang 5/6 - Mã ñề thi 101 Câu 46: Một ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ao có mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc cầu từ bờ AB ao đến vườn Tính gần ñúng ñộ dài tối thiểu l cầu biết: - Hai bờ AE BC nằm hai đường thẳng vng góc với nhau, hai đường thẳng cắt ñiểm O; - Bờ AB phần parabol có đỉnh điểm A có trục đối xứng đường thẳng OA ; - ðộ dài ñoạn OA OB 40m 20m; - Tâm I mảnh vườn cách ñường thẳng AE BC 40m 30m A 40m I 30m B l ≈ 25,7 m D 40m A l ≈ 17,7 m E 20m O C B C l ≈ 27,7 m D l ≈ 15,7 m Câu 47: Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn ñiều kiện z − − 3i = , ñồng thời z1 − z = Tập hợp ñiểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ Oxy đường tròn có phương trình đây? 2 5  3  A  x −  +  y −  = 2  2  B ( x − 10) + ( y − 6) = 36 2 5  3  C ( x − 10) + ( y − 6) = 16 D  x −  +  y −  = 2  2  Câu 48: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng S cạnh 2, SA = SA vuông góc với mặt đáy ( ABCD ) 2 Gọi M N hai ñiểm thay ñổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Tính 1 thể tích khối chóp S AMCN ñạt giá + AN AM trị lớn N A tổng T = D M B C 2+ 13 C T = D T = 4 Câu 49: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho bốn ñiểm A ( 7; 2;3) , B (1; 4;3) , C (1; 2;6 ) , D (1; 2;3) A T = B T = ñiểm M tùy ý Tính độ dài đoạn OM biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD ñạt giá trị nhỏ 21 B OM = 26 C OM = 14 Câu 50: Cho tứ diện ABCD có AB = 3a , AC = a 15 , A OM = D OM = 17 A BD = a 10 , CD = 4a Biết góc đường thẳng AD mặt phẳng ( BCD ) 450 , khoảng cách hai đường 5a hình chiếu A lên mặt phẳng ( BCD ) nằm tam giác BCD Tính độ đài đoạn thẳng AD thẳng AD BC D B C A 5a B 2a 3a - HẾT C D 2a Trang 6/6 - Mã ñề thi 101 SỞ GD&ĐT THANH HÓA - ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA NĂM 2018 Mơn: TỐN Thời gian làm 90 phút, không kể thời gian giao đề ——————— Mã đề thi 101 Họ, tên thí sinh: Số báo danh Câu Đáp án C 10 A A C B B C C B C Câu 11 Đáp án 12 13 B 14 15 16 17 18 19 20 C D B A B A A A Đăng tải https://exam24h.com B Câu 21 Đáp án 22 23 C 24 25 26 27 28 29 30 C B C D A A D C D Câu 31 Đáp án Câu Đáp án A 41 D 32 33 D 42 B D 43 A 34 35 36 37 38 39 40 D 44 B D 45 D D 46 A A 47 B C 48 B B 49 C A 50 D SỞ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO THANH HĨA HƯỚNG DẪN GIẢI ðỀ KHẢO SÁT MƠN TOÁN KHỐI 12 NĂM HỌC 2017-2018 Câu Cho A B hai biến cố xung khắc Mệnh ñề sau ñây ñúng? A Hai biến cố A B khơng đồng thời xảy B Hai biến cố A B ñồng thời xảy C P ( A) + P ( B ) = D P ( A) + P ( B ) < Lời giải Mệnh ñề ñúng “Hai biến cố A B khơng đồng thời xảy ra” 4n + 2018 Câu Tính giới hạn lim 2n + 1 A B C 2018 D 2018 4+ 4n + 2018 n = + = Lời giải lim = lim 2n + 2+0 2+ n x Câu Hàm số y = − + ñồng biến khoảng sau ñây? A ( −∞;0 ) B (1; +∞ ) C ( −3; ) D ( −∞;1) Lời giải Ta có y′ = −2 x3 Dễ thấy y ′ > , ∀x ∈ ( −∞; ) Nên hàm số ñồng biến khoảng ( −∞;0 ) Số ñường tiệm cận (ñứng ngang) ñồ thị hàm số y = Câu A B Lời giải Ta có lim+ x →0 bao nhiêu? x2 D C 1 = lim− = +∞ nên ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng x = làm tiệm cận ñứng x →0 x x = nên ñồ thị hàm số nhận ñường thẳng y = làm tiệm cận ngang x2 Vậy đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận Lại có lim x →±∞ y ðồ thị hình bên đồ thị hàm số ñây? − 2x − 2x A y = B y = x +1 x −1 Câu x -3 − 2x − 2x D y = 1− x x +1 Lời giải ðồ thị cho có tiệm cận đứng x = −1 cắt Oy 1− 2x ñiểm (0;1) nên ñồ thị hàm số y = x +1 -2 -1 -2 C y = -4 -6 x x  5 π  Câu Cho hàm số y = log 2018 x , y =   , y = log x , y =   Trong hàm số có e   hàm số nghịch biến tập xác định hàm số đó? A B C D  5 Lời giải Có hai hàm nghịch biến y = log x y =     x Câu Cho số thực a < b < Mệnh ñề sau ñây sai? a B ln   = ln(a ) − ln(b ) b D ln ab = ( ln a + ln b ) A ln(ab) = ln(a ) + ln(b ) ( a C ln   = ln a − ln b b Lời giải Mệnh ñề ln Câu ( ) ab = ) ( ln a + ln b ) sai a < b < Cho hàm số y = f ( x ) liên tục [ a; b] Diện tích hình phẳng S giới hạn đường cong y = f ( x ) , trục hoành ñường thẳng x = a, x = b ( a < b ) xác định cơng thức sau ñây? b A S = ∫ f ( x ) dx a b B S = a C S = ∫ f ( x ) dx ∫ f ( x ) dx b D S = ∫ f ( x ) dx b a a b Lời giải Cơng thức S = ∫ f ( x ) dx a Câu Mệnh ñề sau ñây sai? A Nếu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C B ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx ( k số k ≠ ) C Nếu F ( x ) G ( x ) ñều nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) D ∫  f ( x ) + f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 2 Lời giải Mệnh ñề “Nếu F ( x ) G ( x ) ñều nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) = G ( x ) ” sai F ( x ) = G ( x ) + C Câu 10 Tính mơđun số phức z = + 4i A B C D Lời giải z = 32 + = Câu 11 Hình bát diện (tham khảo hình vẽ bên) có mặt? A B C D Lời giải Hình bát diện có mặt Câu 12 Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện A tam giác cân B đường tròn C hình chữ nhật D đường elip Lời giải Mặt phẳng chứa trục hình nón cắt hình nón theo thiết diện tam giác cân Câu 13 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : z − x + = Một véc tơ pháp tuyến ( P ) A n = ( 2; 0; −1) B u = ( 0;1; −2 ) C v = (1; −2;3) Lời giải Viết lại ( P ) : x − z − = suy n = ( 2; 0; −1) D w = (1; −2;0 ) Câu 14 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai véc tơ a = (1; −2; ) b = ( −2;3;1) Khẳng ñịnh sau ñây sai? A a.b = −8 B 2a = ( 2; −4;0 ) D a + b = ( −1;1; −1) C b = 14 Lời giải ðúng phải a + b = ( −1;1;1) Câu 15 Cho mệnh ñề sau sin x (I) Hàm số f ( x ) = hàm số chẵn x +1 (II) Hàm số f ( x ) = sin x + cos x có giá trị lớn (III) Hàm số f ( x ) = tan x tuần hồn với chu kì 2π (IV) Hàm số f ( x ) = cos x ñồng biến khoảng (0; π ) Trong mệnh đề có mệnh ñề ñúng? A B C Lời giải sin x - Hàm số f ( x) = hàm số lẻ Suy mệnh ñề (I): Sai x +1 D - Hàm số f ( x ) = sin x + cos x có giá trị lớn 32 + = Suy mệnh ñề (II): ðúng - Hàm số f ( x) = tan x tuần hoàn với chu kì π Suy mệnh đề (III): Sai - Hàm số f ( x ) = cos x nghịch biến khoảng (0; π ) Suy mệnh đề (IV): Sai Vậy có mệnh đề mệnh đề cho Câu 16 Giải bóng ñá V-LEAGUE 2018 có tất 14 ñội bóng tham gia, đội bóng thi đấu vòng tròn lượt (tức hai ñội A B thi ñấu với hai trận, trận sân ñội A, trận lại sân ñội B) Hỏi giải đấu có tất trận đấu? A 91 B 140 C 182 D 196 Lời giải Mỗi trận đấu cách chọn có thứ tự hai đội bóng, số trận đấu A142 = 182 Câu 17 Số ñường chéo ña giác ñều có 20 cạnh bao nhiêu? A 170 B 190 C 360 D 380 Lời giải Hai đỉnh đa giác tạo thành đoạn thẳng suy có C 20 = 190 ñoạn thẳng Trong số ñoạn thẳng có 20 đoạn thẳng cạnh, số ñường chéo 190 − 20 = 170 Câu 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( SAD ) ( SBC ) A Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S tâm O ñáy B Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng BC C Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng AB D Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng BD S A B D C Lời giải Do AD // BC S ∈ ( SAD) ∩ ( SBC ) nên giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC ) ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với BC Câu 19 Cho hình lập phương ABCD A′B′C ′D′ có cạnh a Tính khoảng cách hai đường thẳng CC ′ BD a C a A D' A' B' a D a C' B A B D O C OC ⊥ BD Lời giải Ta có:  ⇒ OC đoạn vng góc chung CC ′ BD OC ⊥ CC ′ AC 2a Vậy d ( CC ′; BD ) = OC = = =a 2 mx + 16 Câu 20 Tìm tất giá trị tham số m ñể hàm số y = ñồng biến khoảng (0;10) x+m A m ∈ ( −∞;−4) ∪ ( 4;+∞ ) B m ∈ ( −∞;−10] ∪ ( 4;+∞ ) C m ∈ ( −∞;−4] ∪ [4;+∞) D m ∈ ( −∞;−10] ∪ [4;+∞) Lời giải ðiều kiện x ≠ −m , y ' = m − 16 ( x + m) m − 16 > m > 4, m < −4 m > ⇔ ⇔ Hàm số ñồng biến khoảng (0;10)  m ≥ 0, m ≤ −10 m ≤ −10 − m ∉ (0;10) Câu 21 Tìm tất giá trị tham số m ñể hàm số y = x − 2mx + m x + ñạt cực tiểu x = A m = B m = C m = 1, m = D Không tồn m Lời giải y ' = x − 4mx + m , y" = x − 4m ðể hàm số ñạt cực trị x = y ' (1) = ⇔ m − 4m + = ⇔ m = 1, m = Với m = y" (1) = −6 < nên x = ñiểm cực ñại Với m = y" (1) = > nên x = ñiểm cực tiểu Vậy m = Câu 22 Ta xác ñịnh ñược số a, b, c ñể ñồ thị hàm số y = x3 + ax + bx + c ñi qua ñiểm (1; ) có điểm cực trị ( −2;0 ) Tính giá trị biểu thức T = a + b + c A −1 B Lời giải Ta có y′ = 3x + 2ax + b C 14 D 25  y (1) = a + b + c = −1 a =    Theo ta ta có  y′ ( −2 ) = ⇔ 4a − b = 12 ⇒ b = Suy T = a + b + c = 25  4a − 2b + c = c = −4    y ( −2 ) = − 2x Câu 23 Tập nghiệm bất phương trình log > x 1  A S =  ; +∞  3   1 1 1 B S =  0;  C S =  ;   3 3 2 1 − x  x > 1− 2x 1 Lời giải BPT log >0⇔ ⇔ PT tương ñương với [ − log x ] − 5log x + = D T = −3 t =  x = ðặt t = log x , PT trở thành t − 5t + = ⇔  ⇒ ⇒ T = 36 t =  x = 27 Câu 25 Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x − sin x A x2 − cos x + C 2 B x2 + cos x + C C x + cos x + C D x2 + cos x + C 2 x2 + cos x + C 2 Câu 26 Gọi A, B, C ñiểm biểu diễn số phức z1 = 2, z = 4i, z3 = + 4i mặt phẳng tọa độ Oxy Tính diện tích tam giác ABC A B C D Lời giải A(2;0), B(0;4), C (2;4) suy AB = , AC = 4, BC = suy tam giác ABC vuông C nên S ABC = AC BC = Lời giải ∫ ( x − sin x)dx = Câu 27 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai ñiểm A (1;3; −1) , B ( 3; −1;5 ) Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn hệ thức MA = 3MB  13  7  A M  ; ;1 B M  ; ;3  3  3  Lời giải MA = 3MB ⇔ M ( 4; −3;8 ) C M ( 4; −3;8 ) D M ( 0;5; −4 ) Câu 28 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ñiểm I (1;0; −2 ) mặt phẳng ( P ) có phương trình: x + y − z + = Phương trình mặt cầu ( S ) tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) A ( x + 1) + y + ( z − ) = B ( x − 1) + y + ( z + ) = C ( x − 1) + y + ( z + ) = D ( x + 1) + y + ( z − ) = 2 2 2 2 Lời giải Do mặt cầu ( S ) tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) nên có bán kính R = d ( I ; ( P ) ) = Do phương trình mặt cầu ( S ) là: ( x − 1) + y + ( z + ) = 2 Câu 29 Có tất giá trị nguyên tham số m để phương trình cos3 x − cos 2 x = m sin x có  π nghiệm thuộc khoảng  0;  ?  6 A B C D cos2 x = (1) − cos2 x 2  Lời giải PT ⇔ cos x − cos x − m = ⇔ ( cos2 x − 1) ( 2cos x + m ) = ⇔ cos 2 x = − m ( )   π Giải (1) ⇔ x = kπ ( k ∈ ℤ) , nghiệm không thuộc  0;   6  π  π Giải ( ) : x ∈  0;  ⇒ x ∈  0;  ⇒ < cos2 x < ⇔ < cos 2 x <  6  3 m  π Vây ( ) có nghiệm x ∈  0;  ⇔ < − < ⇔ −2 < m < − Vậy có giá trị nguyên m − 2  6 Câu 30 Xếp ngẫu nhiên chữ cụm từ “THANH HOA” thành hàng ngang Tính xác suất để có hai chữ H ñứng cạnh 5 79 A B C D 14 84 14 84 Lời giải Cách 1: • Xét trường hợp chữ xếp bất kì, ta xếp chữ sau - Có C83 cách chọn vị trí xếp có chữ H - Có C52 cách chọn vị trí xếp có chữ A - Có 3! cách xếp chữ T, O, N - Do số phần tử khơng gian mẫu n(Ω ) = C83 C52 3! = 3360 • Gọi A biến cố cho - Nếu có chữ H đứng cạnh ta có cách xếp chữ H - Nếu có chữ H ñứng cạnh nhau: Khi chữ H vị trí đầu (hoặc cuối) có cách xếp chữ H lại, chữ H đứng vị trí có cách xếp chữ H lại Do có 2.5 + 5.4 = 30 cách xếp chữ H cho có chữ H đứng cạnh Như có 30 + = 36 cách xếp chữ H, ứng với cách xếp ta có C52 cách chọn vị trí xếp chữ A 3! cách xếp chữ T, O, N n( A) 2160 Suy n( A) = 36.C52 3! = 2160 Vậy xác suất cần tìm P( A) = = = n(Ω ) 3360 14 Cách 2: 8! Số phần tử không gian mẫu n(Ω ) = = 3360 2!3! Gọi A biến cố cho, ta tìm số phần tử A 5! ðầu tiên ta xếp chữ A chữ T, O, N, có = 60 cách xếp 2! Tiếp theo ta có vị trí (xen hai đầu) để xếp chữ H, có C63 cách xếp Do ñó n( A) = 60.C63 = 1200 , suy n( A) = n(Ω ) − n( A) = 3360 − 1200 = 2160 n( A) 2160 Vậy xác suất cần tìm P( A) = = = n(Ω ) 3360 14 Câu 31 Cho hàm số f ( x ) = ( x − x − 1) Tính đạo hàm cấp hàm số ñiểm x = A f ( 6) (0) = −60480 B f ( 6) (0) = 60480 C f ( 6) (0) = 34560 Lời giải Khai triển f ( x ) giả sử ta ñược f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x + + a18 x18 D f ( 6) (0) = −34560 Khi f ( 6) ( x) = 6! a6 + b7 x + b8 x + b18 x12 , suy f ( 6) (0) = 6! a6 9 k k =0 k =0 i =0 Ta có (3 x − x − 1) = −(1 + x − 3x ) = −∑ C9k (2 x − 3x ) k = −∑ C9k ∑ Cki (2 x) k −i (−3 x ) i k = −∑∑ C9k Cki k −i (−3) i x k +i k =0 i =0 0 ≤ i ≤ k ≤ k = k = k = k = Số hạng chứa x ứng với k, i thỏa mãn  ⇔ , , , k + i = i = i = i = i = [ ] Do a6 = − C96C60 (−3) + C95C51 (−3) + C94C 42 2 (−3) + C93C33 (−3) = −84 Suy f ( 6) (0) = −84.6! = −60480 Lại có, sử dụng khai triển Niu tơn ta tìm a6 = −84 → f (6) = −84.6! = −60480 Câu 32 Cho tứ diện ABCD có AC = AD = BC = BD = a , CD = x , ( ACD ) ⊥ ( BCD ) Tìm giá trị x ñể ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ? A x = a C x = a B B x = a D x = a A D C Lời giải - Gọi E , F trung ñiểm CD AB  AE ⊥ CD ⇒ ⇒ AEB góc hai mặt phẳng ( ACD ) ( BCD ) ⇒ AEB = 900 BE ⊥ CD  CF ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (CFD ) nên góc hai đường thẳng FC FD góc hai mặt phẳng - Mặt khác:   DF ⊥ AB CD (1) ( ABC ) ( ABD ) Do ( ABC ) ⊥ ( ABD ) ⇔ CFD = 900 ⇔ FE = - Mặt khác: △ EAB vuông cân E nên EF = - Từ (1) (2) suy AE = AC − CE a2 − x2 (2) = 2 a2 − x2 a − x2 a =x⇔ = x ⇔ 3x = a ⇔ x = 2 Câu 33 Cho ñồ thị hàm số y = f ( x) = x3 + bx + cx + d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1; x2 ; x3 Tính giá trị biểu thức P = A P = + 2b + c 1 + + f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x3 ) B P = b + c + d C P = D P = 1 + 2b c Lời giải Theo giả thiết ta có f ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) Suy f ′ ( x ) = ( x − x2 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x2 ) Khi P = = 1 1 1 + + = + + f ′ ( x1 ) f ′ ( x2 ) f ′ ( x2 ) ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 ) ( x2 − x3 ) − ( x1 − x3 ) + ( x1 − x2 ) = ( x1 − x2 )( x2 − x3 )( x1 − x3 ) Câu 34 Cho hàm số y = x + 2mx + m (với m tham số thực) Tập tất giá trị tham số m ñể ñồ thị hàm số ñã cho cắt ñường thẳng y = −3 bốn ñiểm phân biệt, có điểm có hồnh độ lớn ba điểm có hồnh ñộ nhỏ 1, khoảng ( a; b ) (với a, b ∈ ℚ , a , b phân số tối giản) Khi đó, 15ab nhận giá trị sau ñây? A −95 B 95 C −63 D 63 2 Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm −3 = x + 2mx + m ðặt x = t , t ≥ Khi phương trình trở thành t + 2mt + m + = (1) ñặt f ( t ) = t + 2mt + m + ðể ñồ thị hàm số cắt ñường thẳng y = −3 điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm thỏa mãn < t1 < t2 hồnh độ bốn giao điểm − t2 < − t1 < t1 < t2  t2 > hay < t1 < < < t2 Do đó, từ điều kiện tốn suy   t1 <  f ( 0) > m + >  19  ðiều xãy  f (1) < ⇔ 3m + < ⇔ −3 < m < −  9m + 19 < f < ( )   19 Vậy a = −3 , b = − nên 15ab = 95 ln , T m0 khối lượng ban đầu chất phóng xạ (tại thời điểm t = ), m(t ) khối lượng chất phóng xạ thời điểm t , T chu kỳ bán rã (tức khoảng thời gian để nửa khối lượng chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Khi phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc cổ, nhà khoa học thấy khối lượng cacbon phóng xạ 146C mẫu gỗ 45% so với lượng 146C ban đầu Hỏi cơng trình kiến trúc ñó có Câu 35 Sự phân rã chất phóng xạ biểu diễn theo cơng thức hàm số mũ m(t ) = m0 e − λt , λ = niên ñại khoảng năm? Cho biết chu kỳ bán rã 146C khoảng 5730 năm A 4942 (năm) B 5157 (năm) C 3561 (năm) Lời giải ln m ( t ) = 0, 55m0 ta suy Từ công thức m(t ) = m0 e − λt , λ = T 0, 55 = e − ln t 5730 D 6601 (năm) t   5730 ⇔ 0, 55 =   ⇒ t = 5730.log 0,55 ≈ 4942 (năm) 2 Câu 36 Có giá trị nguyên tham số m ∈ [ 0;10] ñể tập nghiệm bất phương trình ( ) log 22 x + 3log x − < m log x − chứa khoảng ( 256; +∞ ) ? A B 10 C Lời giải Xét ( 256; +∞ ) , bất phương trình tương đương: D log 22 x − log x − < m ( log x − ) ðặt t = log x với x > 256 ⇒ t = log x > BPT trở thành t − 6t − < m ( t − ) ⇔ (t + 1)(t − 7) < m(t − 7) t +1 < m (*) (do t − > > ) t −7 BPT cho có tập nghiệm chứa ( 256; +∞ ) BPT (*) có nghiệm với ∀t > ⇔ t +1 < m t − ⇔ t +1 t +1 t +1 = 1+ ⇒1< < 1+ = ⇒1< < t −7 t −7 t −7 8−7 t −7 Từ tìm ñiều kiện tham số m m ≥ Vậy có giá trị ngun cần tìm 3,4,5,6,7,8,9,10 Ta có ∀t > π 1 + − c a b D T = −4 Câu 37 Biết ∫ sin x.ln ( tan x + 1) dx = aπ + b ln + c với a, b, c số hữu tỉ Tính T = A T = B T = C T = dx  du = u = ln ( tan x + 1)  cos x ( sin x + cos x ) Lời giải ðặt  ⇒ dv = sin xdx v = − cos x  π π π 1 cos x − sin x Suy ∫ sin x.ln ( tan x + 1)dx = − cos x.ln ( tan x + 1) + ∫ dx 20 cos x 0 π 1 = ( x + ln cos x ) = π − ln Do ñó T = − + = Câu 38 Cho hàm số y = f ( x ) ðồ thị hàm số y = f '( x) hình vẽ bên y ðặt M = max f ( x ) , m = f ( x ) , T = M + m Mệnh ñề [ −2;6] [ −2;6] ñây ñúng? A T = f ( ) + f ( −2 ) x -3 B T = f ( ) + f ( ) -2 -1 -2 C T = f ( ) + f ( −2 ) D T = f ( ) + f ( ) Lời giải • ∫ −2 f ' ( x ) dx > ∫ − f ' ( x ) dx ⇒ f ( ) − f ( −2 ) > f ( ) − f ( ) ⇒ f ( −2 ) < f ( ) • ∫ − f ' ( x ) dx ∫ − f ' ( x ) dx ⇒ f ( 5) − f ( 2) > f ( 5) − f ( 6) ⇒ f ( ) < f ( ) Ta có BBT hàm số y = f ( x ) ñoạn [ −2; 6] : Suy M = f ( ) , m = f ( −2 ) ⇒ T = f ( ) + f ( −2 ) Câu 39 Một ô tô bắt ñầu chuyển ñộng nhanh dần ñều với vận tốc v1 ( t ) = 2t (m/s) ði ñược 12 giây, người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, tơ tiếp tục chuyển động chậm dần ñều với gia tốc a = −12 (m/s2) Tính qng đường s (m) tơ từ lúc bắt ñầu chuyển bánh cho ñến dừng hẳn A s = 168 (m) B s = 144 (m) C s = 166 (m) D s = 152 (m) 12 12 0 Lời giải Qng đường tơ từ lúc xe lăn bánh đến ñược phanh s1 = ∫ v1 (t )dt = ∫ 2tdt = 144 (m) Vận tốc v2 (t ) (m/s) từ tơ lúc phanh đến dừng hẳn thoả mãn: v2 (t ) = ∫ (−12)dt = −12t + C , v2 (12) = v1 (12) = 24 ⇒ C = 168 ⇒ v2 (t ) = −12t + 168 (m / s ) Thời ñiểm xe dừng hẳn tương ứng với t thoả mãn: v2 (t ) = ⇔ t = 14 ( s) Quãng ñường ô tô ñi ñược từ lúc xe ñược phanh ñến dừng hẳn: 14 14 12 12 s2 = ∫ v2 (t )dt = ∫ (−12t + 168)dt =24 (m) Qng đường cần tính s = s1 + s2 = 144 + 24 = 168(m) π Câu 40 Cho hàm số f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn I =∫ ( ) ∫ cot x f sin x dx = π 16 ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân x f (4x) dx x A I = Lời giải C I = B I = D I = π • ( ) Xét A = ∫ cot x f sin x dx = ðặt t = sin x π π  x =  →t =  dt  Suy dt = 2sin x cos xdx = 2sin x cot xdx = 2t.cot xdx ⇒ cot xdx = ðổi cận:  2t  x = π  →t =1  1 f ( x) f (t ) f ( x) Khi = A = ∫ dt = ∫ dx ⇒ ∫ dx = 21 t 21 x x 16 • Xét B = ∫ f ( x ) dx = ðặt u = x x Suy du = dx dx 2du ⇒ = x u x 4  x =  →u =1 f (u ) f ( x) f ( x) ðổi cận:  du = ∫ dx ⇒ ∫ dx = Khi = B = ∫ u x x →u =  x = 16  1 1 f (4x) • Xét tích phân cần tính I = ∫ dx x v ðặt v = x, suy dx = dv, x = ðổi cận: 4 1  →v =  x =    x =  →v =  10 Khi I = ∫ 4 f (v) f ( x) f ( x) f ( x) dv = ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx = + = v x x x 2 1 2 Câu 41 Gọi z1 , z2 , z3 , z4 bốn nghiệm phân biệt phương trình z + z + = tập số phức Tính giá trị biểu thức P = z1 + z + z + z A B 2 2 C D z − z +1 = Lời giải z + z + = ⇔ ( z + 1) − z = ⇔ ( z − z + 1)( z + z + 1) = ⇔   z + z + =  i z = ± 2  Do P = ⇔  i z = − ±  2 Câu 42 Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' tích 9a M ñiểm nằm cạnh CC ' cho MC = 2MC ' Tính thể tích khối tứ diện AB ' CM theo a A a C 3a C' A' B' M B a D a C A B Lời giải Ta có: VA A ' B 'C ' = VA B ' BC = VA.B 'C 'C = VABC A ' B 'C ' = 3a Mặt khác: VAB ' MC = VAB 'C 'C = 2a 3 Vậy: VAB ' MC = 2a Câu 43 Một đề can hình chữ nhật cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành khối trụ có đường kính 50 cm Người ta trải 250 vòng để cắt chữ in tranh cổ động, phần lại khối trụ có đường kính 45 cm Hỏi phần ñã trải dài mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? A 373 (m) B 192 (m) C 187 (m) D 384 (m) Lời giải 50 − 45 Cách 1: Bề dày ñề can là: a = = 0, 01 ( cm ) × 250 Gọi d chiều dài ñã trải h chiều rộng ñề can Khi ñó ta có: 2 π 502 − 452  50   45  dha = π   h − π   h ⇒ d = ≈ 37306 ( cm ) ≈ 373 ( m ) 4a     Cách 2: Chiều dài phần trải tổng chu vi 250 đường tròn có bán kính cấp số cộng có số hạng đầu 25 , công sai −a = −0, 01 250 Do chiều dài l = 2π (2.25 − 249.0, 01) ≈ 37314 cm ≈ 373 m ( ) Câu 44 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho ñiểm A ( 2; −1; −2 ) đường thẳng ( d ) có phương trình: x −1 y −1 z −1 Gọi ( P ) mặt phẳng ñi qua ñiểm A , song song với ñường thẳng ( d ) khoảng = = −1 11 cách từ ñường thẳng ( d ) tới mặt phẳng ( P ) lớn Khi đó, mặt phẳng ( P ) vng góc với mặt phẳng sau ñây? A x + y + z + 10 = B 3x + z + = C x − y − z − = D x − y − z − = Lời giải Gọi K hình chiếu vng góc A ( d ) (d) K K (1;1;1) Ta có: d ( ( d ) , ( P ) ) = d ( K , ( P ) ) = KH ≤ KA = 14 Max d ( ( d ) , ( P ) ) = 14 ⇔ ( P ) ñi qua A có VTPT KA = ( −1; 2;3) Do phương trình mặt phẳng ( P ) : x − y − 3z − 10 = H A Câu 45 Trong không gian với hệ trục tọa ñộ Oxyz , cho mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) , ( S3 ) có bán kính r = có tâm ñiểm A(0;3; −1), B ( −2;1; −1), C (4; −1; −1) Gọi ( S ) mặt cầu tiếp xúc với ba mặt cầu Mặt cầu ( S ) có bán kính nhỏ A R = 2 B R = 10 − C R = 10 Lời giải Ta có: AB = 8, AC = 32, BC = 40 nên tam giác ABC vng A Gọi I trung điểm BC , đó: IM = IN = IP = 10 − Do mặt cầu ( S ) thoả mãn mặt cầu có tâm I bán D R = 2 − A M kính R = 10 − B N I P C Câu 46 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho bốn ñiểm A ( 7; 2;3) , B (1; 4;3) , C (1; 2;6 ) , D (1; 2;3) ñiểm M tùy ý Tính độ dài đoạn OM biểu thức P = MA + MB + MC + 3MD ñạt giá trị nhỏ 17 21 D OM = 4 Lời giải Ta có DA = (6; 0; 0), DB = (0; 2;0), DC = (0;0;3) nên tứ diện ABCD tứ diện vng đỉnh D Giải sử M ( x + 1; y + 2; z + 3) A OM = 14 Ta có MA = ( x − 6) B OM = 26 C OM = + y + z ≥ x − ≥ − x , MB = x + ( y − ) + z ≥ y − ≥ − y , MC = x + y + ( z − 3) ≥ z − ≥ − z , ( ) 3MD = x + y + z ≥ (x + y + z) ≥ x+ y+z Do P ≥ (6 − x) + (2 − y ) + (3 − z ) + ( x + y + z ) = 11 x = y = z = Các ñẳng thức xảy  ⇔ x= y= z=0 6 − x ≥ 0, − y ≥ 0,3 − z ≥ 0, x + y + z ≥ Khi M (1; 2;3) ⇒ OM = 12 + 22 + 32 = 14 12 ABCD có AB = 3a , AC = a 15 , BD = a 10 , CD = 4a Biết góc đường thẳng AD mặt phẳng ( BCD ) 450 , khoảng cách hai ñường thẳng AD Câu 47 Cho tứ diện A N 5a hình chiếu A lên mặt phẳng ( BCD ) nằm tam giác BCD Tính độ đài đoạn thẳng AD B 5a A B 2a H M 3a C C 2a D Lời giải - Ta chứng minh AD ⊥ BC Thật vậy: xét tích vơ hướng AD + AC − CD AD + AB − BD AD.BC = AD AC − AB = AD AC − AD AB = − 2 2 2 2 2 AC + BD − CD − AB 15a + 10a − 16a − 9a = = = ⇒ AD ⊥ BC 2 - Dựng AH ⊥ ( BCD ) H nằm tam giác BCD Gọi M giao ñiểm DH BC BC ( 45 o D ) ⇒ M nằm B C  BC ⊥ AH - Do:  ⇒ BC ⊥ ( AHD ) ⇒ BC ⊥ DM  BC ⊥ AD  MN ⊥ BC ⇒ MN đoạn vng góc chung AD - Trong mặt phẳng ( ADM ) dựng MN ⊥ AD N ⇒   MN ⊥ AD 5a BC ⇒ MN = - Lại thấy: ADH = 450 góc AD mặt phẳng ( BCD ) , ñồng thời H nằm D M nên AMD < 900 ⇒ N nằm A D 5a a 110 - Ta có: DM = MN = ⇒ BM = BD − DM = 4  110a 25a  3a 5a , DN = MN = ⇒ AN = AB − BN = AB − ( BM + MN ) = 9a −  + = 16  4  16 Do AD = AN + DN = 2a D A 40m O I 30m 13 E 40m Câu 48 Một ao có hình ABCDE (như hình vẽ), ao có mảnh vườn hình tròn bán kính 10m, người ta muốn bắc cầu từ bờ AB ao ñến vườn Tính gần độ dài tối thiểu l cầu biết: - Hai bờ AE BC nằm hai đường thẳng vng góc với nhau, hai đường thẳng cắt ñiểm O; - Bờ AB phần parabol có đỉnh điểm A có trục đối xứng đường thẳng OA ; - ðộ dài ñoạn OA OB 40m 20m; - Tâm I mảnh vườn cách ñường thẳng AE BC 40m 30m 20m B C A l ≈ 27,7 m B l ≈ 17,7 m C l ≈ 15,7 m D l ≈ 25,7 m Lời giải Ta coi ñơn vị 10m gắn hệ trục tọa ñộ Oxy cho A, B thuộc tia Oy ,Ox Khi bờ mảnh vườn hình tròn (C ) : ( x − 4) + ( y − 3) = , bờ AB ao phần parabol ( P ) : y = − x ứng với x ∈ [0;2] Bài tốn trở thành tìm M ∈ (C ) N ∈ ( P) cho MN ngắn Ta thấy để MN ngắn M , N , I phải thẳng hàng với I (4;3) tâm (C ) Khi MN = IN − IM = IN − , ta cần tìm N ∈ (P) cho IN ngắn Do N ∈ (P) nên N ( x;4 − x ) với x ∈ [0;2] IN = ( x − 4) + (1 − x ) = x − x − x + 17 Xét f ( x) = x − x − x + 17 với x ∈ [0;2] , f ' ( x) = x − x − Giải phương trình f ' ( x) = ⇔ x3 − x − = ta ñược nghiệm x0 ≈ 1,392768772 , x0 ∈ (0;2) f (0) = 17 , f (2) = 13, f ( x0 ) ≈ 7,68 suy f ( x) ≈ 7,68 [ 0; ] Vậy IN ≈ 2,77 tức l ≈ 17,7 m Câu 49 Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn ñiều kiện z − − 3i = , ñồng thời z1 − z2 = Tập hợp ñiểm biểu diễn số phức w = z1 + z2 mặt phẳng tọa ñộ Oxy đường tròn có phương trình đây? 2 2 5  3 5  3   A  x −  +  y −  = B  x −  +  y −  = 2  2 2  2   2 C ( x − 10) + ( y − 6) = 36 D ( x − 10) + ( y − 6) = 16 Lời giải Gọi A, B, M ñiểm biểu diễn z1 ; z2 ; w Khi A, B thuộc đường tròn (C ) : ( x − 5) + ( y − 3)2 = 25 AB = z1 − z = (C ) có tâm I (5;3) bán kính R = , gọi T trung ñiểm AB ñó T trung ñiểm OM IT = IA − TA = Gọi J ñiểm ñối xứng O qua I suy J (10;6) IT ñường trung bình tam giác OJM , JM = IT = Vậy M thuộc đường tròn tâm J bán kính có phương trình ( x − 10) + ( y − 6) = 36 Câu 50 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2, SA = SA vng góc với mặt đáy ( ABCD ) S Gọi M N hai ñiểm thay ñổi hai cạnh AB , AD cho mặt phẳng ( SMC ) vng góc với mặt phẳng ( SNC ) Tính 1 N A thể tích khối chóp S AMCN đạt giá + AN AM H F trị lớn O A T = B T = M E B C 2+ 13 C T = D T = Lời giải Cách 1: Chọn hệ trục tọa ñộ Oxyz cho A(0; 0; 0), B (2; 0; 0), D (0; 2;0), S (0;0; 2) ⇒ C (2; 2; 0) ðặt AM = x, AN = y , x; y ∈ [0; 2] , suy M ( x;0;0), N (0; y;0) tổng T = 14 D SM = ( x; 0; −2), SC = (2; 2; −2), SN = (0; y; −2) ⇒ n1 = [ SM , SC ] = (4; x − 4; x) , n2 = [ SN , SC ] = (4 − y; −4; −2 y ) Do ( SMC ) ⊥ ( SNC ) nên n1.n2 = ⇔ 4(4 − y ) − 4(2 x − 4) − xy = ⇔ xy + 2( x + y ) = 8 − 2x − 2x , y ≤ nên ⇔ y= ≤ ⇔ x ≥ x+2 x+2 S AMCN = S ABCD − S BMC − S DNC = − (2 − x) − (2 − y ) = x + y 2 − x  x2 + Do VS AMCD = SA.S AMCN = ( x + y ) =  x + = 3 3 x+2  x+2 x2 + x2 + 4x − Xét f ( x) = với x ∈ [1; 2] , f '( x) = x+2 ( x + 2)2 f '( x ) = ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 + 3; x = −2 − (loại) Lập bảng biến thiên ta ñược suy max f ( x) = f (1) = f (2) = [0;2]  x =  1 1 y = Vậy max VS AMCN = ⇔  ⇒T = + = 2+ = 2  x = AM AN x y    y = Cách 2: ðặt AM = x, AN = y Gọi: O = AC ∩ BD; E = BD ∩ CM ; F = BD ∩ CN H hình chiếu vng góc O lên SC , đó: HO = Ta có: SC ⊥ OH  SC ⊥ HE ⇒ SC ⊥ ( HBD ) ⇒  SC ⊥ BD  SC ⊥ HF Do ñó: ( ( SMC ) , ( SNC ) ) = ( HE, HF ) = 900 ⇒ HE ⊥ HF Mặt khác: VS AMCN = SA.S AMCN = ( x + y ) 3 Tính OE , OF : • Ta có x > 0, y > x ≠ 2, y ≠ gọi K trung điểm AM , đó: OE KM x OE EB OB x = = ⇒ = = ⇒ OE = EB MB − x x − 2x − x 4− x y Mà: OE.OF = OH ⇔ ( x + )( y + ) = 12 Tương tự: OF = 4− y • Nếu x = y = ta có OE.OF = OH ⇔ ( x + )( y + ) = 12 Tóm lại: ( x + )( y + ) = 12 2 2 12  Suy ra: VS AMCN = SA.S AMCN = ( x + y ) = ( x + ) + ( y + ) −  = ( x + ) + − 4 3 3 x+2   x =  1 1 y = Do đó: MaxVS AMCN = ⇔  ⇒T = + = + = KL: ðáp án A 2  x = AM AN x y    y = 15 ... hình chi u A lên mặt phẳng ( BCD ) nằm tam giác BCD Tính ñộ ñài ñoạn thẳng AD thẳng AD BC D B C A 5a B 2a 3a - HẾT C D 2a Trang 6/6 - Mã ñề thi 101 SỞ GD&ĐT THANH HÓA - ĐỀ THI. .. ñáy B Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng BC C Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng AB A D Là ñường thẳng ñi qua ñỉnh S song song với ñường thẳng BD B D C −... đồ thị hàm số ñây? − 2x − 2x B y = A y = x −1 1− x − 2x − 2x C y = D y = x +1 x +1 x -3 -2 -1 O -2 -4 -6 Câu 9: Cho A B hai biến cố xung khắc Mệnh ñề sau ñây ñúng? A P ( A) + P ( B ) = B Hai