Đang tải... (xem toàn văn)
1. Hàm số y x = sin • Tập xác định: D R = • Tập giác trị: 1;1 − , tức là −≤ ≤ ∀∈ 1 sin 1 x xR • Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( 2; 2) 2 2 π π −+ + k k π π , nghịch biến trên mỗi khoảng 3 ( 2; 2) 2 2 π π + + k k π π . • Hàm số y x = sin là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. • Hàm số y x = sin là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 2π . • Đồ thị hàm số y x
TỔNG ƠN TỐN 11 VIP CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Phương trình bậc hai với hàm số lượng giác Dạng Đặt Điều kiện asin2 x + b sin x + c = t = sinx −1 ≤ t ≤ a cos2 x + b cos x + c = t = cosx −1 ≤ t ≤ a tan2 x + b tan x + c = t = tanx x≠ a cot x + b cot x + c = t = cotx x ≠ kπ (k ∈ Z ) π + kπ (k ∈ Z ) Nếu đặt: t sin= = x hoaëc t sin x điều kiện : ≤ t ≤ B– BÀI TẬP Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình phương trình bậc theo hàm số lượng giác A 2sin x + sin x − =0 B 2sin 2 x − sin x = C cos x + cos2 x − = D tan x + cot x − = Câu 2: Nghiệm phương trình sin x – sin x = thỏa điều kiện: < x < π π π 2 π thỏa điều kiện ≤ x < là: Câu 3: Nghiệm phương trình lượng giác: 2sin x − 3sin x + = π 5π π π A x = B x = C x = D x = 6 A x = B x = π C x = D x = − có nghiệm là: Câu 4: Phương trình sin x + 3sin x − = π A x = + k 2π , k ∈ π + k 2π , k ∈ B x = = x kπ , k ∈ C D x =+ kπ , k ∈ π Câu 5: Nghiệm phương trình sin x + sin x = thỏa điều kiện: − A x = B x = π Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học C x = π π C < m < D m ≤ Câu 79: Để phương trình: sin x + ( m + 1) sin x − 3m ( m − ) = có nghiệm, giá trị thích hợp tham số m là: − ≤m< A 2 1 ≤ m ≤ − ≤m≤ B 3 1 ≤ m ≤ − ≤ m ≤ −1 C 0 ≤ m ≤ −1 ≤ m ≤ D 3 ≤ m ≤ a | sin x | có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số a là: Câu 80: Để phương trình sin x + cos6 x = A ≤ a < B Câu 82: Cho phương trình: sin x + cos x = 2m.tan x , m tham số Để phương trình có cos x − sin x nghiệm, giá trị thích hợp m 10 A m ≤ − 1 hay m ≥ 8 B m ≤ − 1 hay m ≥ 4 C m < − 1 hay m > 8 D m < − 1 hay m > 4 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chuyên đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác 25 + 4m ≥ −5 25 + 4m ≥ 25 1 + 25 + 4m ≥ −4 Giải ( b ) , ( b ) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ m ≤ −4 25 + 4m ≤ 1 + 25 + 4m ≤ 25 + 4m ≤ Kết hợp lại, (1) có nghiệm − Do (1) vô nghiệm m < − 25 ≤ m ≤ 25 m > CÁCH KHÁC: m (*) khơng có nghiệm t ∈ [ −1;1] Bài tóan cho trở thành tìm m cho phương trình 4t − 2t − = ( P ) : y = 4t − 2t − Đặt ( d ) : y = m Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( P ) ( d ) Phương trình (*) khơng có nghiệm t ∈ [ −1;1] khi ( P ) ( d ) không giao [ −1;1] Dựa vào đồ thị ta có m < − Câu 82: Cho phương trình: 25 m > sin x + cos x = 2m.tan x , m tham cos x − sin x số Để phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp m 1 hay m ≥ 8 B m ≤ − 1 hay m ≥ 4 1 hay m > 8 Hướng dẫn giải: Chọn C D m < − 1 hay m > 4 A m ≤ − C m < − Điều kiện: cos x ≠ − sin 2 x = 2m sin x ⇔ 3sin 2 x + 8m sin 2= pt ⇔ 2x − cos x cos x (1) = t sin x, ( −1 < t < 1) Phương trình trở thành: Đặt −4 m + t1 = 3t + 8mt − = ⇔ −4m − t = 16m + 12 16m + 12 Vì a.c < ⇒ Phương trình ( ) ln có hai nghiệm trái dấu t2 < < t1 −4m + Do (1) có nghiệm ⇔ −4m − 46 16m + 12 ⇔ ⇔ 16m + 12 < − 4m m < − 16m + 12 > −1 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chuyên đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP VỚI SIN VÀ COSIN có nghiệm là: Câu 1: Phương trình 6sin x + sin x − 8cos x = x= A x= π x= C = x π π x= B x= + kπ + kπ , k ∈ 12 + kπ π + kπ + kπ , k ∈ 3π + kπ x = D , k ∈ 2π = + kπ x + kπ π π , k ∈ Hướng dẫn giải: Chọn A ⇔ sin x = thỏa phương trình ⇒ phương trình có nghiệm x= TH1: cos x = π + kπ TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế cho cos x ta ⇔ tan x + 14 tan x − 8= (1 + tan x ) cos x π ⇔ 14 tan x = 14 ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ 6 tan x + 14 tan x − 8= π π Vậy, phương trình có nghiệm x =+ kπ , x =+ kπ Câu 2: Phương trình ( ) + sin x − sin x cos x + ( ) − cos x = có nghiệm là: π x = − + kπ với tanα =−2 + , k ∈ A x= α + kπ π x = + kπ B x= α + kπ ( với tan α= − , k ∈ π − + kπ x= với tan α =−1 + , k ∈ C x= α + kπ π x= + kπ D x= α + kπ ( với tan α = 1− , k ∈ ( ( ) ) ) ) Hướng dẫn giải: Chọn B ⇔ sin x = khơng thỏa phương trình TH1: cos x = TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: ( π x= + kπ tan x = + tan x − tan x + − = ⇔ ⇔ tan x= − = x arctan − + kπ ) Câu 3: = A x ( ) Giải phương trình 3sin 2 x − 2sin x cos x − cos 2 x = kπ kπ arctan + = ,x arctan(−2) + , k ∈ 2 2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 47 Tổng ơn Tốn 11 B x arctan = Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác + 73 kπ − 73 kπ , x arctan , k ∈ += + 12 12 1 + 73 kπ 1 − 73 kπ arctan ,x arctan , k ∈ = + + 2 C x = kπ kπ x arctan + = , x arctan(−1) + , k ∈ D.= 2 Hướng dẫn giải: Chọn A ⇔ sin 2 x = khơng thỏa phương trình TH1: cos x = TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos 2x ta được: tan 2 x − tan x − 4= ⇔ tan 2 x − tan x − 4= (1 + tan 2 x ) cos x = x tan x = ⇔ tan x − tan x − = ⇔ ⇔ tan x = −2 = x kπ arctan + 2 kπ arctan(−2) + 2 có nghiệm là: Câu 4: Phương trình 2sin x + sin x cos x − cos x = A π + kπ , k ∈ C − B π 1 + kπ , arctan + kπ , k ∈ 2 π 1 + kπ , arctan + kπ , k ∈ 2 D − π 1 + k 2π , arctan + k 2π , k ∈ 2 Hướng dẫn giải: Chọn C ⇔ sin x = khơng thỏa phương trình TH1: cos x = TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos x ta được: π − + kπ tan x = −1 x = tan x + tan x − = ⇔ ⇔ tan x = x arctan + kπ 2= Câu 5: A π Một họ nghiệm phương trình 2sin x − 5sin x cos x − cos x = −2 + kπ , k ∈ B − π + kπ , k ∈ C π + kπ , k ∈ D − π + kπ , k ∈ Hướng dẫn giải: Chọn C x= 48 π + kπ khơng nghiệm phương trình Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chia vế phương trình cho cos x ta Chuyên đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác tan x − tan x − = −2 (1 + tan x ) ⇔ tan x − tan x + = π tan x = x= + kπ ⇔ ⇔ tan x = x arctan + kπ 4= + Câu 6: Một họ nghiệm phương trình cos x + 6sin x cos x = 3π + k 2π , v k ∈ k ∈ A B π + kπ , k ∈ C − π + kπ , k ∈ D − π + k 2π , Hướng dẫn giải: Chọn B cos x + 6sin x cos x =+ 3 ⇔ (1 + cos x ) + 3sin x =+ 3 3 ⇔ cos x + 3sin x = ⇔ cos x + sin x = 2 π π π x − = + k 2π + kπ x= π ⇔ cos x − = ⇔ ⇔ π 3 2 x − π = x =π + kπ − + k 2π 12 Câu 7: Một họ nghiệm phương trình −3sin x cos x + sin x = A arctan ( −2 ) + kπ , k ∈ π C − arctan ( −2 ) + k , k ∈ 2 Hướng dẫn giải: Chọn A x= π B π arctan ( −2 ) + k , k ∈ 2 D arctan ( ) + kπ , k ∈ + kπ khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta −3 tan x + tan x = (1 + tan x ) π x= − + kπ tan x = −1 ⇔ ⇔ tan x + tan x + = 0⇔ tan x = −2 = x arctan ( −2 ) + kπ Câu 8: Một họ nghiệm phương trình 2sin x + sin x cos x − 3cos x = 3 A arctan − + kπ , k ∈ 2 3 B − arctan − + kπ , k ∈ 2 3 C arctan + kπ , k ∈ 2 3 D − arctan + kπ , k ∈ 2 Hướng dẫn giải: Chọn A Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 49 Tổng ơn Tốn 11 x= Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác π + kπ khơng nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta π x = + kπ tan x = 2 tan x + tan x − = ⇔ ⇔ tan x = − x arctan − + kπ = 2 Câu 9: Một họ nghiệm phương trình 3sin x − 4sin x cos x + 5cos x = A − π + k 2π , k ∈ B π + kπ , k ∈ C − π + kπ , k ∈ D 3π + k 2π , k ∈ Hướng dẫn giải: Chọn B x= π + kπ không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta π + kπ x= tan x = ⇔ tan x − tan x + = (1 + tan x ) ⇔ tan x − tan x + = ⇔ tan x = 3= x arctan + kπ 2 Câu 10: Phương trình : sin x − ( + 1) sin x cos x + cos x = có họ nghiệm A − C ± π + kπ , k ∈ B 3π + kπ , k ∈ π + kπ , k ∈ D π π + kπ , + kπ , k ∈ 4 Hướng dẫn giải: Chọn D x= π + kπ không nghiệm phương trình Chia vế phương trình cho cos x ta tan x − ( x= = x tan ⇔ + tan x + =0 ⇔ x= tan x = ) π π + kπ + kπ − sin x cos x có nghiệm là: Câu 11: Phương trình 3cos x + 5sin x = π + kπ , k ∈ π π − + k , k ∈ C x = 18 − A x = π π π π − + k , k ∈ B x = 12 − + k , k ∈ D x = 24 Hướng dẫn giải: Chọn D ⇔ sin x = không thỏa phương trình TH1: cos x = 50 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác TH2: cos x ≠ 0, chia hai vế cho cos 4x ta + tan x =2 − tan x ⇔ + tan x = (1 + tan x ) − tan x cos x ⇔ tan x + tan x + =0 ⇔ tan x =− π π kπ ⇔ x =− + kπ ⇔ x =− + 24 π có: Câu 12: Trong khoảng ; , phương trình sin x + 3.sin x.cos x − 4.cos2 x = 2 A Ba nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Bốn nghiệm Hướng dẫn giải: Chọn B Nhận thấy cos x = không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho cos 4x , ta phương t: x = x = tan ⇔ tan x + tan x − = ⇔ tan x = −4 = x π + kπ 16 , k ∈ kπ arctan ( −4 ) + 4 π π π 5π π Do x ∈ ; ⇒ x ∈ ; ; arctan ( −4 ) + ; arctan ( −4 ) + 4 2 16 16 2 −4 có họ nghiệm Câu 13: Phương trình cos x − 3 sin x − 4sin x = x= A x= C x= π + kπ , k ∈ B x= π + k 2π , k ∈ π + kπ , k ∈ D x= π + kπ , k ∈ 2 π + kπ Hướng dẫn giải: Chọn A cos x = ⇔ x = π + kπ : nghiệm phương trình cos x ≠ : Chia vế phương trình cho cos x ta π −4 (1 + tan x ) ⇔ tan x = ⇔ x = + kπ − tan x − tan x = 2 (với k ∈ ) có nghiệm là: Câu 14: Phương trình 2sin x + sin x cos x − cos x = π + k 2π ,arctan( ) + k 2π π C + kπ ,arctan( ) + kπ A − π + kπ π D − + kπ ,arctan( ) + kπ B Hướng dẫn giải: Chọn D Khi cos x = ⇒ x = π π + kπ : VT =2 ≠ VP =0 ⇒ x = + kπ ( l ) 2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 51 Tổng ơn Tốn 11 Khi cos x ≠ ⇒ x ≠ Chuyên đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác π + kπ : 2sin x + sin x cos x − cos2 x = 0 ⇔ tan x + tan x − = π − + kπ x= tan x = −1 ⇔ (k ∈ ) ⇔ = tan x = x acr tan + kπ 2 Câu 15: Giải phương trình cos3 x + sin x= ( cos5 x + sin x ) A x = ± π + k 2π B x = ± Hướng dẫn giải: Chọn D π +k π C x = ± π +k π D x = ± π + kπ cos x = khơng nghiệm phương trình nên ta có + tan x + tan x(1 + tan x) = (1 + tan x ) ⇔ tan x − tan x − tan x + = ⇔ (tan x − 1)(tan x − 1) = ⇔ tan x =±1 ⇔ x =± π + kπ cos3 x + sin x = ( cos5 x + sin x ) ⇔ cos5 x − cos3 x = 2sin x − sin x cos x − 1) sin x ( 2sin x − 1) ⇔ cos x ( cos3 x + sin x ) Cách khác: ⇔ cos3 x ( 2= π π π π +k x= +k x= ;(k ∈ ) ⇔ ⇔ π − + kπ x= tan x = −1 = x cos x ( 4sin x − cos x ) Câu 16: Giải phương trình sin x + tan A x = π ( ) + k 2π , x = arctan −1 ± + k 2π π ( ) 2 + k π , x = arctan −1 ± + k π 3 Hướng dẫn giải: C x = B ⇔ x = D ⇔ x = π ( ) 1 + k π , x = arctan −1 ± + k π 2 π ( ) + kπ , x = arctan −1 ± + kπ Chọn D Phương trình ⇔ tan x + tan x(1 + tan x) = tan x − ⇔ tan x + tan x − tan x + = ⇔ (tan x − 1)(tan x + tan x − 1) = ⇔ x= π ( ) + kπ , x = arctan −1 ± + kπ = x + 1) 3sin x ( cos x − sin x ) + Câu 17: Giải phương trình sin x ( tan π − + k 2π x = A π x = ± + k 2π 52 π − +k π x = B π x = ± +k π π − +k π x = C π x = ± +k π 3 π − + kπ x = D π x = ± + kπ Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình cho tương đương với Chuyên đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác tan x(tan x= + 1) tan x(1 − tan x) + 3(1 + tan x) π x = − + kπ ⇔ tan x + tan x − tan x − = ⇔ π x = ± + kπ Câu 18: Giải phương trình 4sin x + 3cos3 x − 3sin x − sin x cos x = π π A x = + k 2π , x = ± + k 2π π π B x = + k π , x = ± +k π π π π π C x = + k π , x = D x = + kπ , x = ± +k π ± + kπ 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta thấy cos x = không nghiệm phương trình Nên phương trình ⇔ tan x + − tan x(1 + tan x) − tan x = tan x = π π ⇔ tan x − tan x − tan x + = ⇔ ⇔ x = + kπ , x = ± + kπ tan x = ± Câu 19: Giải phương trình cos3 x = sin x = x arctan(−2) + k 2π A x= π + k 2π = x arctan(−2) + k π B x= π + k π 2 = x arctan(−2) + k π C x= π + k π = x arctan(−2) + kπ D x= π + kπ Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ cos3 x =3sin x − 4sin x = ⇔ tan x (1 + tan x ) − tan x ⇔ tan x − tan = x+2 = x arctan(−2) + kπ tan x = −2 ⇔ ⇔ x= π + kπ = tan x + sin x Câu 20: Giải phương trình cos x − sin x = x = k 2π A x= π + k 2π x = k π B x= π + k π Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học x = k π C x= π + k π 3 x = kπ D x= π + kπ 53 Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác Hướng dẫn giải: Chọn D x = kπ sin x = 0⇔ Phương trình ⇔ 2sin x − sin x cos x = ⇔ π x = + k π tan x = Câu 21: Giải phương trình cos x + 6sin x cos x + 6sin x = A x = − C x = − π 1 arctan − + k 2π + k 2π ; x = 5 π 1 1 arctan − + k π + k π;x = 4 5 B x = − D x = − π 2 1 + k π;x = arctan − + k π 3 5 π 1 + kπ ; x = arctan − + kπ 5 Hướng dẫn giải: Chọn D Phương trình ⇔ 5sin x + 6sin x cos x + cos x = Giải ta x = − 54 π 1 + kπ ; x = arctan − + kπ 5 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ DẠNG ĐỐI XỨNG VỚI SIN VÀ COSIN A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP Dạng 1: Là phương trình có dạng: (3) a(sin x + cos x) + b sin x cos x + c = Để giải phương trình ta sử dụng phép đặt ẩn phụ Đặt: t = cos x + sin x = π 2.cos x + ; t ≤ 4 ⇒ t =1 + sin x.cos x ⇒ sin x.cos x = (t − 1) Thay (3) ta phương trình bậc hai theo t Ngồi gặp phương trình phản đối xứng có dạng a(sin x − cos x) + b sin x cos x + c = (3’) Để giải phương trình ta đặt t= sin x − cos x= t ∈ − 2; π sin x − ⇒ sin x cos x = − t Thay vào (3’) ta có phương trình bậc hai theo t Lưu ý: = x • cos x + sin π cos x −= 4 π sin x + 4 π π − sin x − • cos x − sin x =2 cos x + = 4 4 Dạng 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = • Đặt:= t cos x ± sin= x π cos x ; Ñk : ≤ t ≤ 4 ⇒ sin x.cos x = ± (t − 1) • Tương tự dạng Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối B– BÀI TẬP 1 − sin x có nghiệm là: Câu 1: Phương trình sin x + cos x = π π x= + k A , k ∈ x = k π π x= + kπ B , k ∈ x = k π π x= + kπ C , k ∈ x = kπ π + k 2π x= D , k ∈ x = k 2π Hướng dẫn giải: Chọn D Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 55 Tổng ơn Tốn 11 ( Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác ) Đặt sin x + cos x = t , t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x = t − Ta có phương trình t =1 − t = 1(TM ) t − 1) ⇔ t + 2t − = ⇔ ( t = −3 ( KTM ) π π π t= ⇒ sin x + cos x =⇔ sin x + = ⇔ sin x + = sin 4 4 π π x = k 2π x + = + k 2π ⇔ ⇔ x= π + k 2π x + π = 3π + k 2π 4 1 − sin x có nghiệm là: Câu 2: Phương trình sin x + cos3 x = π + kπ x= A , k ∈ x = kπ π x= + k 2π B , k ∈ x = k 2π 3π + kπ x = C , k ∈ π x = k 3π x = + kπ D , k ∈ = x ( 2k + 1) π Hướng dẫn giải: Chọn B sin x + cos3 x = − sin x ⇔ ( sin x + cos x ) − 3sin x cos x ( sin x + cos x ) = − sin x cos x Đặt t = sin x + cos x = t −1 π sin x + , t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x cos x = 4 ( ) t = 1(TM ) t −1 Ta có phương trình t − 3t =1 − ( t − 1) ⇔ t − t − 3t + = ⇔ 2 t = ( KTM ) π π π t= ⇒ sin x + cos x =⇔ sin x + = ⇔ sin x + = sin 4 4 π π x = k 2π x + = + k 2π ⇔ ⇔ x= π + k 2π π π x + = + k 2π 4 Câu 3: Giải phương trình 2sin x − ( sin x + cos x ) + = A x= kπ , x= π π + kπ x =± arccos − + kπ 2 π 1 π B x= k π , x= +k π + k π x =± arccos − 3 2 π π C x= k π , x= +k π + k π x =± arccos − 3 2 56 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 D x= k 2π , x= Chuyên đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác π + k 2π x =± arccos − + k 2π 2 π Hướng dẫn giải: Chọn D π t ≤ cos x − ⇒ sin x= t − Đặt t = sin x + cos x = Ta có : 2(t − 1) − t + = ⇔ 2t − t − = ⇔ t = 1, t = − π π ⇔ x =k 2π , x = + k 2π • t =1 ⇔ cos x − = 4 2 1 π π •t= − ⇔ cos x − = − ⇔ x = ± arccos − + k 2π 4 2 2 Câu 4: Giải phương trình sin x − 12 ( sin x − cos x ) + 12 = π B x = + k 2π , x =−π + k π π A x = + kπ , x =−π + k 2π π C x = + k π , x =−π + k π 3 Hướng dẫn giải: Chọn D π D x = + k 2π , x =−π + k 2π π t ≤ cos x + ⇒ sin x = − t Đặt t = cos x − sin x = π Ta có: − t + 12t + 12 =0 ⇔ t =−1 ⇔ cos x + =− 4 π ⇔ x = + k 2π , x =−π + k 2π π Câu 5: Giải phương trình sin x + sin x − = 4 π π A x =+ kπ , x =+ kπ , x = π + k 2π π π 2 C x = + k π,x = + k π,x = π + k 2π 3 Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt t = π π 1 B x = + k π,x = + k π,x = π +k π 2 2 π π D x =+ kπ , x =+ k 2π , x = π + k 2π π t ≤ sin x − = sin x − cos x ⇒ 4 sin x = − t Ta có: − t + t = ⇔ t = 0, t = π π Từ ta tìm được: x =+ kπ , x =+ k 2π , x = π + k 2π Câu 6: Giải phương trình + tan x = 2 sin x Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 57 Tổng ôn Tốn 11 Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác 11π 5π π A x = + kπ , x =+ kπ , x = − + kπ 12 12 π 11π 5π B x = + k π,x = + k π,x = − +k π 12 12 11π 5π π C x =+ k 2π , x = + k π , x = − + k 2π 12 12 11π 5π π D x =+ k 2π , x = + k 2π x = ,x = − + k 2π 12 12 Hướng dẫn giải: Chọn D Điều kiên: cos x ≠ Phương trình ⇔ sin x + cos x = sin x Đặt t = sin x + cos x = π t ≤ cos x − ⇒ sin x= t − Ta có: t = ( t − 1) ⇔ 2t − t − =0 ⇔ t = 2, t =− 11π 5π π Từ tìm được: x =+ k 2π , x = + k 2π x = ,x = − + k 2π 12 12 Câu 7: Giải phương trình cos x − sin x + 2sin x = k 3π Hướng dẫn giải: Chọn D A x = Đặt t = sin x − cos x = B x = k 5π C x = k 7π D x = kπ 2 π sin x = − t cos x − ⇒ 4 0 ≤ t ≤ Ta có: t + 2(1 − t ) = ⇔ 2t − t − = ⇔ t = ⇔ sin x = ⇔ x = kπ Câu 8: Giải phương trình cos3 x + sin x = cos x A x = − π + k 2π , x = − π + kπ , x = kπ π k 2π + k π,x = − + k π,x = 3 Hướng dẫn giải: C x = − π B x = − D x = − π π + k π,x = − + kπ , x = kπ π + kπ , x = − π + k 2π , x = k 2π Chọn D Phương trình ⇔ (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) = (sin x + cos x)(cos x − sin x) ⇔ ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x − cos x + sin x ) = Từ ta tìm được: x = − π + kπ , x = − π + k 2π , x = k 2π Câu 9: Giải phương trình cos3 x + sin x= 2sin x + sin x + cos x 58 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Tổng ơn Tốn 11 k 3π Hướng dẫn giải: B x = A x = Chuyên đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác k 5π C x = kπ D x = kπ Phương trình ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x= ) 2sin x + sin x + cos x Đặt t = sin x + cos x = π t ≤ cos x − ⇒ sin x= t − t −1 kπ 2 Ta có: t 1 − = 2(t − 1) + t ⇔ t = ⇔ sin x = ⇔ x = Câu 10: Giải phương trình cosx + 1 10 + sinx + = cos x sin x + 19 π A x = ± arccos + k 2π π + 19 B x = ± arccos + k 2π 2 + 19 π C x = ± arccos + kπ π − 19 D x = ± arccos + k 2π Hướng dẫn giải: Phương trình ⇔ sin x + cos x + Đặt t = sin x + cos x = Ta có: t + sin x + cos x 10 = sin x cos x π t ≤ cos x − ⇒ sin x= t − 2t 10 t 10(t − 1) (t ≠ ±1) = ⇔ 3t (t − 1) + 6= t −1 ⇔ 3t − 10t + 3t + 10 = ⇔ (t − 2)(3t − 4t − 5) = ⇔ t = − 19 π − 19 π − 19 ⇔ cos x − = ⇔ x = ± arccos + k 2π 4 3 , m tham số thực Để phương Câu 11: Cho phương trình sin x cos x − sin x − cos x + m = trình có nghiệm, giá trị thích hợp m A −2 ≤ m ≤ − − B − − ≤ m ≤ C ≤ m ≤ + 2 D + ≤ m≤ 2 Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt t = sin x + cos x = π t −1 sin x + , t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x cos x = 4 ( ) t −1 Ta có phương trình − t + m =0 ⇔ m =− t + t + (1) 2 Phương trình có nghiệm phương trình (1) có nghiệm t ∈ − 2; 1 Xét hàm số y =− t + t + − 2; 2 Tài liệu KYS Chuẩn mực tài liệu tự học 59 Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác − x y − 2− 2− Từ BBT suy − − ≤ m ≤ Câu 12: Phương trình 2sin x − sin x + cos x + = có nghiệm π x= + kπ A , k ∈ 5π = x + kπ π x= + kπ B , k ∈ x 5π + kπ = π x= + kπ C , k ∈ 5π = + kπ x x = D = x π + kπ 12 , k ∈ 5π + kπ 12 Hướng dẫn giải: Chọn D Đặt t = sin x + cos x = π sin x + , ≤ t ≤ ⇒ + sin x = t ⇒ sin x = t − 4 ( ) t = ( KTM ) Ta có ( t − 1) − 6t + = ⇔ 2t − 6t + = 0⇔ (TM ) t = 2 π π sin sin x + = π t= ⇒ sin x + = ⇔ 4 π π sin x + = sin − 4 3 π x + x + π ⇔ x + π π x + π π = x + k 2π 12 2π 5π π x = = + k 2π + k 2π + kπ x= 12 12 ⇔ ⇔ π π π x = = − + k 2π − + k 2π + kπ x= 12 12 13π 4π = + k 2π = + k 2π x 12 = + k 2π Contact us: Hotline: 099.75.76.756 Admin: fb.com/khactridg Email: tailieukys@gmail.com Fanpage Tài liệu KYS: fb.com/tailieukys Group Gia đình Kyser: fb.com/groups/giadinhkyser 60 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... tự học π + kπ 12 , k ∈ 5π + kπ 12 17 Tổng ơn Tốn 11 Chun đề Phương trình bậc với hàm số lượng giác HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ BẬC HAI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 1: Trong... trình bậc với hàm số lượng giác : Câu 23 : Họ nghiệm phương trình sin 2 x − 2s in2x + = A − π + kπ B π + kπ C π + k 2 D − π + k 2 Câu 24 : Một họ nghiệm phương trình cos 2 x + sin 2x − =0... , x = − + kπ 12 12 π 11π 5π B x = + k π,x = + k π,x = − +k π 12 12 π 11π 5π C x =+ k 2 , x = + k π , x = − + k 2 12 12 11π 5π π D x =+ k 2 , x = + k 2 x = ,x = − + k 2 12 12 16 Tài liệu