Đang tải... (xem toàn văn)
Cho hình chóp S ABC . có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S ABC . tăng lên bao nhiêu lần? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải: Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần. ⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần. Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 . B. 5Cho hình chóp S ABC . có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S ABC . tăng lên bao nhiêu lần? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải: Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần. ⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần. Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 . B. 5Cho hình chóp S ABC . có đáy là tam giác đều. Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên 2 lần và độ dài đường cao không đổi thì thể tích S ABC . tăng lên bao nhiêu lần? A. 4 . B. 2 . C. 3 . D. 1 2 . Hướng dẫn giải: Khi độ dài cạnh đáy tăng lên 2 lần thì diện tích đáy tăng lên 4 lần. ⇒ Thể tích khối chóp tăng lên 4 lần. Câu 2. Có bao nhiêu khối đa diện đều? A. 4 . B. 5
TÁN ĐỔ TOÁN PLUS CHỦ ĐỀ 24 KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN VIP HƯỚNG DẪN GIẢI NHẬN BIẾT – THƠNG HIỂU Câu Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác Nếu tăng độ dài cạnh đáy lên lần độ dài đường cao khơng đổi thể tích S ABC tăng lên lần? A B C D Hướng dẫn giải: Khi độ dài cạnh đáy tăng lên lần diện tích đáy tăng lên lần ⇒ Thể tích khối chóp tăng lên lần Câu Có khối đa diện đều? A B C D Hướng dẫn giải: Có khối đa diện là: tứ diện đều, hình lập phương, khối mặt đều, khối 12 mặt đều, khối 20 mặt Câu Cho khối đa diện { p; q} , số p A Số cạnh mặt C Số cạnh đa diện Câu Cho khối đa diện { p; q} , số q A Số đỉnh đa diện C Số cạnh đa diện Câu Tính thể tích khối tứ diện cạnh a A a3 ⋅ 12 B B Số mặt đa diện D Số đỉnh đa diện B Số mặt đa diện D Số mặt đỉnh a3 ⋅ C a D a3 ⋅ Hướng dẫn giải: Gọi tứ diện ABCD cạnh a Gọi H hình chiếu A lên ( BCD ) Ta có: BH = ⇒ AH = S ∆BCD = S a 3 AB − BH = a C A a2 a3 ⇒ VABCD = 12 O B Câu Cho S ABCD hình chóp Tính thể tích khối chóp S ABCD biết AB = a , SA = a A a B a3 2 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ a3 Hướng dẫn giải: C D a3 Gọi H hình chiếu S lên ( ABCD ) Ta có: AH = ⇒ SH = S a 2 SA2 − AH = a 2 A D H a3 S ABCD = a ⇒ VS ABCD = C B Câu Cho hình chóp S ABC có SA ⊥ ( ABC ) , đáy ABC tam giác Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , SA = a A a3 12 B a3 C a D a3 Hướng dẫn giải: S ∆ABC = S a2 a3 ⇒ VS ABC = 12 C A B Câu Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , đáy ABCD hình chữ nhật Tính thể tích S ABCD biết AB = a , AD = 2a , SA = 3a A a a3 D ⋅ 3 B 6a B 2a Hướng dẫn giải: S S ∆ABCD = 2= a.a 2a ⇒ VS ABC = 2a D A C B Câu Thể tích khối tam diện vng O ABC vng O có OA = a, OB = OC = 2a 2a A ⋅ a3 B ⋅ a3 C ⋅ Hướng dẫn giải: D 2a Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ A = OB.OC 2a SOBC = = = a h OA 2a ⇒ VO ABC = OA ⋅ SOBC = 3 C O B Câu 10 Cho hình chóp S ABC có SA vng góc mặt đáy, tam giác ABC vng A, SA = 2cm , = AB 4= cm, AC 3cm Tính thể tích khối chóp A 12 cm B 24 cm 24 cm Hướng dẫn giải: S = AB AC cm S ABC = = h SA = cm ⇒ VS ABC D 24cm3 C C A 12 = SA ⋅ S ABC = cm3 3 B Câu 11 Cho hình chóp S ABCD đáy hình chữ nhật, SA vng góc đáy,= AB a= , AD 2a Góc SB đáy 450 Thể tích khối chóp a3 A ⋅ 2a B ⋅ a3 C ⋅ Hướng dẫn giải: a3 D ⋅ S SA AB = = tan ( 450 ) a = a= 2a 2a S ABCD 2a ⇒ VS ABCD = = SA.S ABCD 3 450 D A B C Câu 12 Hình chóp S ABCD đáy hình vng, SA vng góc với đáy, SA = a 3, AC = a Khi thể tích khối chóp S ABCD A a3 ⋅ B a3 ⋅ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ S SA = a AC.cos ( 450 ) = a ⇒ S ABCD = a2 AB = ⇒ VS ABCD = D a3 SA.S ABCD = 3 A B Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B Biết ∆SAB tam giác thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , AC = a A a3 ⋅ 12 a3 ⋅ B ∆ABC vuông B ⇒ BC= = S ∆ABC a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ AC − AB 2= a a2 = BA.BC 2 S a Gọi H trung điểm AB ⇒ SH = Ta có: ∆SAB ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ) A C H a B SH S ∆= ABC 12 Câu 14 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi Mặt bên ( SAB ) tam giác vuông cân S ⇒ VS = ABC thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Tính thể tích khối chóp S ABCD biết BD = a , AC = a a3 B ⋅ A a S Gọi O giao điểm AC BD ABCD hình thoi ⇒ AC ⊥ BD , O trung điểm AC , BD ∆ABO vuông O ⇒ AB= AO + OB 2= a = S ABCD a2 = AC.BD 2 a3 D ⋅ a3 C ⋅ 12 Hướng dẫn giải: A D H B C a Gọi H trung điểm AB ∆SAB vuông cân S cạnh AB = a ⇒ SH = Ta có: ∆SAB cân ⇒ SH ⊥ AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) (vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ) a3 ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = 12 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng A Hình chiếu S lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC Tính thể tích khối chóp S ABC biết AB = a , AC = a , SB = a A a3 ⋅ B a3 ⋅ C a3 ⋅ D a3 ⋅ Hướng dẫn giải: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ∆ABC vuông A ⇒ BC= S AC + AB = 2a 2 a2 = AB AC 2 = S ∆ABC SH = B SB − BH = a A H a3 SH S ∆= ABC C Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu S lên mặt phẳng 3a ( ABCD ) trung điểm H AD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SB = ⇒ VS = ABC A a3 ⋅ B a ∆ABH vuông A ⇒ BH= SH = a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D 3a ⋅ S a AH + AB 2= SB − BH = a A S ABCD = a B H a3 ⇒ VS ABCD = SH S ABCD = 3 D Câu 17 Hình chóp S ABCD đáy hình vng cạnh a, SD = C a 13 Hình chiếu S lên ( ABCD ) trung điểm H AB Thể tích khối chóp A a3 ⋅ B a3 ⋅ C a 12 D a3 ⋅ Hướng dẫn giải: S ABCD = a S HD = AH + AD = ⇒ SH= ⇒ VS ABCD = 5a SD − HD 2= 13a 5a − = a 4 A a3 SH S ABCD = 3 D H B C 1200 Hình chiếu vng góc S Câu 18 Hình chóp S ABCD đáy hình thoi, AB = 2a , góc BAD a lên ( ABCD ) I giao điểm đường chéo, biết SI = Khi thể tích khối chóp S ABCD A a3 ⋅ B a3 ⋅ Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ S a SI = 3a S = = AD.sin BAD ABCD AB A a3 ⇒ VS ABCD = SI S ABCD = 3 D I C B Câu 19 Cho hình chóp S ABC , gọi M , N trung điểm SA, SB Tính tỉ số A B ⋅ C D VS ABC VS MNC ⋅ Hướng dẫn giải: S M VS ABC SA SB = = VS MNC SM SN N A C B Câu 20 Cho khối chop O ABC Trên ba cạnh OA, OB, OC lấy ba điểm A’, B′, C ′ cho 2OA′ OA , 4OB′ OB , 3OC ′ OC Tính tỉ số = = = A 12 B 24 VO A ' B 'C ' VO ABC 16 Hướng dẫn giải: C D 32 O Ta có: OA′ OB′ OC ′ = = = ; ; OA OB OC V OA′ OB′ OC ′ 1 1 ⇒ O A′B’C ’ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = VO ABC OA OB OC 24 B′ A′ C′ C A B Câu 21 Cho hình chóp S.ABC Gọi (α ) mặt phẳng qua A song song với BC (α ) cắt SB , SC M , N Tính tỉ số A SM biết (α ) chia khối chóp thành phần tích SB 1 B C D 2 Hướng dẫn giải: Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ S Ta có: MN //BC ⇒ SM SN = SB SC VS AMN SM SN SM Ta có:= = VS ABC SB SC SB V SM Ta có: S AMN =⇒ = VS ABC SB M N A C B Câu 22 Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất cạnh a là: a3 A ⋅ a3 B ⋅ a3 C ⋅ Hướng dẫn giải: a3 D ⋅ C' A' h = a a2 S = B' ⇒ V = h.S = a3 A C B Câu 23 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình chữ nhật, A= ' A A= ' B A ' D Tính thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' biết AB = a , AD = a , AA ' = 2a A 3a B a C a 3 Hướng dẫn giải: D 3a 3 Gọi O giao điểm AC BD ABCD hình chữ nhật ⇒ OA = OB = OD ′A A= ′B A′D nên A ' O ⊥ ( ABD ) (vì Mà A= A ' O trực tâm giác ABD ) ∆ABD vuông A ⇒ BD= AB + AD 2= 2a ⇒ OA = OB = OD = a ∆AA ' O vuông O ⇒ A 'O = AA '2 − AO = a = S ABCD AB = AD a VABCDA = A= ' O.S ABCD 3a ' B 'C ' D ' Câu 24 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có ABC tam giác vng A Hình chiếu A ' lên ( ABC ) trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' biết AB = a , AC = a , AA ' = 2a A a3 ⋅ B 3a ⋅ C a 3 D 3a 3 Hướng dẫn giải: Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ Gọi H trung điểm BC ⇒ A ' H ⊥ ( ABC ) ABC tam giác vuông A ⇒ BC= AB + AC 2= 2a BC = a ∆A ' AH vuông H ⇒ AH = ⇒ A' H = AA '2 − AH = a a2 S ∆ABC = AB AC = 2 3a Câu 25 Cho lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có ABCD hình thoi Hình chiếu A ' lên ( ABCD ) trọng = VABCA ' B 'C ' A= ' H S ABC = 1200 , tâm tam giác ABD Tính thể tích khối lăng trụ ABCA ' B ' C ' biết AB = a , ABC AA ' = a A a B a3 ⋅ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ A' Gọi H trọng tâm tam giác ABD ⇒ A ' H ⊥ ( ABCD ) B' C' D' =1800 − Ta có: BAD ABC =600 = 600 Tam giác ABD cân có BAD nên tam giác ABD A a ABD tam giác cạnh a ⇒ AH = ∆A ' AH vuông H ⇒ A ' H = AA '2 − AH = B H C D a a3 a2 a2 ; V = A = ' H S 2 S= = S = ABCDA ' B ' C ' D ' ABC ABCD ABD V Câu 26 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Tính tỉ số ABB 'C ' VABCA ' B 'C ' A ⋅ B ⋅ ⋅ Hướng dẫn giải: Ta có: BB ' C ' C hình bình hành 1 ⇒ S BB 'C ' = S BB 'C 'C ⇒ VA BB 'C ' = VA BB 'C 'C 2 Ta có: VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' C D C' A' B' A C B Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ⇒ VABB= 'C ' V 1 ' VABCA ' B 'C ' ⇒ ABB 'C= VABCA ' B 'C ' Câu 27 Cho khối lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có tất cạnh a Thể tích khối tứ diện A’BB’C’ A a3 ⋅ 12 B a3 ⋅ a3 ⋅ Hướng dẫn giải: C a3 ⋅ 12 C' A' = =′ a h BB a2 = S A′B′C ′ ⇒ VA′BB= ′C ′ D B' a3 BB′.S A′B= ′C ′ 12 A C B Câu 28 Lăng trụ tam giác ABC A′B′C ′ có đáy tam giác cạnh a , góc cạnh bên mặt đáy 300 Hình chiếu A′ lên ( ABC ) trung điểm I BC Thể tích khối lăng trụ A a3 ⋅ B a3 ⋅ a3 ⋅ 12 Hướng dẫn giải: C D a3 ⋅ a 3 a ⋅ = A′I = AI tan ( 30 ) = a S ABC = a3 A′I S ABC = ⇒ VABC A’ B’C ’ = Câu 29 Lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng = A, BC 2= a, AB a Mặt bên ( BB’C’C ) hình vng Khi thể tích lăng trụ A a3 B a C 2a 3 D a 3 Hướng dẫn giải: = =′ 2a h BB 2 AC = BC − AB = a a2 AB AC = 2 ⇒ VABC A’ B’C ’ = BB′.S ABC = a 3 ⇒ S ABC = C' A' B' A C B Câu 30 Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' Gọi M , N trung điểm CC ' BB ' Tính tỉ số VABCMN VABC A ' B 'C ' Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ A B Hướng dẫn giải: C Ta có: BB ' C ' C hình bình hành S BB 'C 'C ⇒ S BCMN = VA BB 'C 'C ⇒ VA.BCMN = Ta có: VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' ⇒ VA.BB 'C 'C = VABCA ' B 'C ' − VA A ' B 'C ' = VABCA ' B 'C ' V 1 ⇒ VA.BCMN= VABCA ' B 'C ' ⇒ A.BCMN = VABCA ' B 'C ' D A' B' C' M N A B C Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Tỉ số thể tích khối chóp A′ ABC khối lăng trụ 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: C' A' B' 1 = AA′.S ABC VABC A′B′C ′ 3 VA′ABC ⇒ = VABC A′B′C ′ = VA′ABC A C B Câu 32 Cho khối lập phương ABCD A′B′C ′D′ Tỉ số thể tích khối A′ ABD khối lập phương là: 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: A' D' VA’ ABD = AA′.S ABD C ' B' 1 AA′ AB AD AA′.S ABCD = = D A = VABCD A’ B’C ’ D’ C B VA’ ABD ⇒ = VABCD A’ B’C ’ D’ VẬN DỤNG THẤP Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có chiều cao h , góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABCD) α Tính thể tích khối chóp S ABCD theo h α A 10 3h3 tan α B 4h tan α 8h3 tan α Hướng dẫn giải: C D 3h3 tan α Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Gọi O tâm mặt đáy SO ⊥ mp ( ABCD ) Từ đó, SO đường cao hình chóp.Gọi M trung điểm đoạn CD Ta có: CD ⊥ SM ⊂ ( SCD) = α CD ⊥ OM ⊂ ( ABCD) ⇒ SMO = CD ( SCD) ∩ ( ABCD) SABCD.SO; B = SABCD = AB2; Tìm AB: AB = 2OM SO h h Tam giác SOM vng tại O, ta có: tan α = = ⇒ OM = OM OM tan α V = 4h 2h Suy ra: B = SABCD = SO = h ⇒ AB = tan α tan α 4h 4h h = tan α tan α Câu 34 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a , cạnh SB vng góc với đáy mặt phẳng ( SAD ) tạo với đáy góc 60° Tính thể tích khối chóp S ABCD Vậy VS.ABCD = 3a 3 Hướng dẫn giải: A V = B V = 3a 3 C V = AD ⊥ AB Ta có: ⇒ AD ⊥ (SAB) ⇒ AD AD ⊥ SB ⊥ SA = ⇒ SAB 600 8a 3 D V = 4a 3 S SABCD = 4a2 Xét tam giác SAB vuông B, ta có: A D α = SB AB = tan 600 2a 2a 8a 3 C B Vậy V = 4a 2a = 3 Câu 35 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông B , BC = a , mặt phẳng ( A ' BC ) tạo với đáy góc 30° tam giác A ' BC có diện tích a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a3 Hướng dẫn giải: A B 3a 3 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C 3a 3 D 3a 3 11 V= Bh = SABC.A’B’C’.AA’ BC ⊥ AB Do ⇒ BC ⊥ A′B BC ⊥ AA′ BC ⊥ AB ⊂ ( ABC ) Và BC ⊥ A ' B ⊂ ( A′BC ) = BC ( ABC ) ∩ ( A ' BC ) C’ B’ ) ) ( ( A’ ⇒ ( ABC ), ( A ' BC ) = AB, A ' B = ABA ' A C 30o Ta có: a S ∆A′BC = A′B.BC B 2.S ∆A′BC 2.a ⇒ A′= = = 2a B BC a = AB A′B.cos= ABA′ 2a 3.cos = 300 3= a; AA′ A′B.sin= ABA′ 2a 3.sin = 300 a h S ABC AA VABC A ' B= B= =′ 'C ' 3a 3 3a.a.a = AB BC AA′ = 2 Câu 36 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc A ' ( ABC ) trung điểm AB Mặt phẳng ( AA ' C ' C ) tạo với đáy góc 45° Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V = 3a 16 B V = 3a 3a Hướng dẫn giải: C V = 3a A’ Gọi H, M, I trung điểm đoạn thẳng AB, AC, AM VABC A ' B 'C ' = S ∆ABC A ' H a2 Ta có IH đường trung bình tam giác AMB , MB trung tuyến tam giác ABC IH // MB Do đó: ⇒ IH ⊥ AC MB ⊥ AC D V = B’ C’ S ∆ABC = H A I B a M C AC ⊥ A ' H ⇒ AC ⊥ ( A ' HI ) ⇒ AC ⊥ A ' I AC ⊥ IH AC ⊥ IH ⊂ ( ABC ) Mà: AC ⊥ A ' I ⊂ ( ACC ' A ') ⇒ A ' IH góc gữa hai mặt phẳng ( AA ' C ' C ) ( ABC ) ∩ ( ACC ' A ') = AC A ' IH = 45° ( ABCD ) ⇒ Trong tam giác A ' HI vuông H, ta có: tan= 45° 12 A' H ⇒ A= ' H IH tan 45o HI Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ a a a 3a Vậy V = = IH = MB = = 4 16 Câu 37 Cho hình chóp S ABC , góc mặt bên mặt phẳng đáy ( ABC ) 600 , khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a3 12 B a3 18 3a Thể tích khối chóp S ABC theo a a3 16 Hướng dẫn giải: C D a3 24 Gọi M trung điểm BC Trong mp(SAM), Kẻ MH ⊥ SA, ( H ∈ SA) BC ⊥ AM Ta có: ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ MH BC ⊥ SO Do MH đường vng góc chung SA BC 3a = 600 Suy MH = Ta có: SM ⊥ BC ⇒ ( ( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA Đặt OM = x ⇒ AM = x, OA = 2x = ⇒ SO OM tan = 600 x SA = ( x ) 2 Trong SAM ta có: SA.MH = SO AM 3a a ⇔ x = x 3.3 x ⇔ = x Khi đó: AM =3 x =3 = VS ABC S + ( x )= x H C A a a = ⇒ AB =a 2 1 a2 a a2 = S ∆ABC SO = 3 24 O N B Câu 38 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC = 3a , BD = 2a , hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a a3 C Hướng dẫn giải Ta có tam giác ABO vng O a3 A 16 a3 B 18 a3 D 12 S AO = a , BO = a Do AO tan 600 ⇒ ABO = 600 =3 = BO Suy ∆ABD I D 2a Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C A O B 13 Ta có: ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) ⇒ SO ⊥ ( ABCD ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) SO ( SAC ) ∩ ( SBD ) = Trong tam giác ABD , gọi H trung điểm AB, K trung điểm BH, suy DH ⊥ AB DH = a ; OK / / DH và= OK a = DH 2 Suy OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ ( SOK ) Gọi I hình chiếu O lên SK, ta có: OI ⊥ SK ; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ ( SAB ) ⇒ OI = d O; ( SAB ) Tam giác SOK vuông O, OI đường cao: 1 a = + ⇒ SO = 2 OI OK SO 1 1 a3 S ∆ABCD SO .4 = OA.OB.SO = = S ∆ABO SO 3 3 Câu 39 Cho hình chóp tứ giác S ABCD , O giao điểm AC BD Biết mặt bên hình chóp tam giác khoảng từ O đến mặt bên a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a = VS ABCD A 2a 3 B 4a 3 Gọi M trung điểm CD , ∆SOM kẻ đường cao OH ⇒ OH ⊥ ( SCD ) ⇒ OH = a C 6a 3 Hướng dẫn giải: S Đặt CM = x Khi OM = x , A SM = x , SO = SM − x= x Ta có: SM OH = SO.OM ⇒ CD = a 6, = SO a a A a ⇔ x = a x 2.x ⇒= x D 8a 3 D M O B H x C 1 = S ABCD SO = CD SO = 6a a 2a 3 3 Câu 40 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) ABCD hình thang vng A B biết = VS ABCD AB = 2a = AD 3= BC 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a biết góc ( SCD ) ( ABCD ) 600 A 6a 14 B 6a C 3a Hướng dẫn giải: D 3a Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ Dựng AM ⊥ CD M = 600 Ta có: SMA AD + BC AB 4a = S ABCD = ( AD − BC ) CD = = S ABC S ACD S + AB = 2a = AB.BC a 2 = S ABCD − S ABC = 3a S ACD = A D M C B S ACD AM CD ⇒ AM = a = 2 CD a= VS ABCD = Ta có: SA AM = = tan SMA SA.S ABCD 6a Câu 41 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA ⊥ ( ABCD ) , ABCD hình thang vng A B biết AB = 2a = AD 3= BC 3a Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a , biết khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a A 6a B 6a Dựng AM ⊥ CD M Dựng AH ⊥ SM H C 3a Hướng dẫn giải: S Ta có: AH = a AD + BC = S ABCD = AB 4a 2 CD = ( AD − BC ) H + AB = 2a A = S ABC = AB.BC a 2 S ACD = S ABCD − S ABC = 3a 1 = + ⇒ AS= 2 AH AM AS D M AH AM AM − AH C B S ACD S ACD = AM CD ⇒ AM = = a CD Ta có: D 3a = a = SA.S ABCD 6a 3 Câu 42 Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có BB ' = a , góc đường thẳng BB ' ( ABC ) 60° = VS ABCD = 60° Hình chiếu vng góc điểm B ' lên ( ABC ) , tam giác ABC vng C góc BAC trùng với trọng tâm ∆ABC Thể tích khối tứ diện A ' ABC theo a 13a A 108 7a3 B 106 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 15a C 108 Hướng dẫn giải: 9a D 208 15 Gọi M , N trung điểm AB, AC B' C' G trọng tâm ∆ABC B ' G ⊥ ( ABC ) ⇒ BB ', ( ABC ) == B ' BG 600 ) ( A' 1 = S ∆ABC B ' G AC.BC.B ' G Xét ∆B ' BG vng G , có B ' BG = 600 = VA ' ABC B a ⇒ B ' G = (nửa tam giác đều) 60° C G M N 60° A = 600 Đặt AB = x Trong ∆ABC vuông C có BAC AB ⇒ tam giác ABC tam giác ⇒ AC = = x, BC = x 3 3a Do G trọng tâm ∆ABC ⇒ BN = BG = Trong ∆BNC vuông C : BN = NC + BC 3a AC = 13 2 x 9a 9a 3a ⇔ = + 3x ⇔ x = ⇒x= ⇒ 16 52 13 BC = 3a 13 3a 3a a 9a = 13 13 208 Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' , biết đáy ABC tam giác cạnh a Khoảng cách từ tâm a O tam giác ABC đến mặt phẳng ( A ' BC ) Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Vậy, VA ' ABC = A 3a B 3a 28 3a Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm BC , ta có ( A ' AM ) ⊥ ( A ' BC ) theo giao tuyến C C' B' ⇒ OH ⊥ ( A ' BC ) a a2 S ∆ABC = Xét hai tam giác vuông A ' AM OHM có chung nên chúng đồng dạng góc M 16 3a 16 A' A'M Trong ( A ' AM ) kẻ OH ⊥ A ' M ( H ∈ A ' M ) Suy ra: d ( O, ( A ' BC= = ) ) OH D A C H O M B Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ a OH OM Suy ra: = ⇒ = A' A A'M A' A a ⇒ = A' A A ' A2 + AM a 3 A ' A2 + a a a 3a ⇒ A ' A = Thể tích: V = S = A ' A = ABC A ' B ' C ' ∆ABC 4 16 VẬN DỤNG CAO Câu 44 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = NC Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối chóp A.BMNC S AMN Tính tỉ số V1 V2 A V1 = V2 B V1 = V2 C V1 = V2 D V1 =3 V2 Hướng dẫn giải S VS AMN SM SN = ⋅ = ⋅ = ; VS ABC SB SC 3 VS AMN + VA.BMNC = VS ABC Suy ra, N M VA.BMNC = VS AMN C A B Câu 45 Cho hình chóp tam giác S ABC có M trung điểm SB , N điểm cạnh SC cho NS = NC , P điểm cạnh SA cho PA = PS Kí hiệu V1 , V2 thể tích khối tứ diện BMNP SABC Tính tỉ số A V1 = V2 B V1 = V2 V1 V2 C V1 = V2 D V1 = V2 Hướng dẫn giải Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 17 S ⋅ d ( N , ( SAB)) ⋅ S BMP VN BMP = ; VC SAB ⋅ d (C, ( SAB)) ⋅ S SAB d ( N , ( SAB)) NS = = , d (C, ( SAB)) CS P N M 1 S BPS= ⋅ S SAB 2 VN BMP 1 = ⋅ = Suy ra, VC SAB S BPM= C A B Câu 46 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , góc hai mặt phẳng ( SAB) ( ABCD) 45° , M , N P trung điểm cạnh SA, SB AB Tính thể tích V khối tứ diện DMNP A V = a3 B V = a3 C V = a3 12 D V = a3 Hướng dẫn giải Ta có: S SMN SM SN = ⋅ = S SAB SA SB S S BNP S AMP Tương tự, , = = S SAB S SAB Suy S MNP = (có thể khẳng định S SAB M N S MNP = nhờ hai tam giác MNP S SAB A BAS hai tam giác đồng dạng với tỉ số k = ) V Do D.MNP = (1) VD.SAB V= V= D SAB S DAB VS ABCD = D 45° P O B C VS ABCD (2) 1 4a (3) Từ (1), (2) (3): SO.S ABCD = OP.tan 45°.S ABCD = 3 1 4a a = Câu 47 Cho lăng trụ ABC A′B′C ′ có đáy ABC tam giác vng cân B , AC = 2a ; cạnh bên = VDMNP AA′ = 2a Hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A′B′C ′ A V = a a3 B V = C V = a 2a D V = Hướng dẫn giải 18 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ B' A' Vì ABC tam giác vuông cân B nên trung tuyến BH đường cao nó, HB AC = HA = HC = = a A′H= A′A2 − AH 2= VABC A′B′C ′ = A′H ⋅ S ABC C' a 2a − a 2= a = A′H ⋅ BH ⋅ AC = a B A a a H a C Câu 48 Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC AD đơi vng góc với Gọi G1 , G2 , G3 G4 trọng tâm mặt ABC , ABD, ACD BCD Biết AB = 6a, AC = 9a , AD = 12a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 A 4a B a Trong trường hợp tổng quát, ta chứng minh VG1G2G3G4 C 108a Hướng dẫn giải D 36a D = VABCD 27 Thật vậy, ta có (G2G3G4 ) (CBA) G2G3G4 ) CBA (tỉ số đồng dạng G3 G2 G4 A SG G G4 1 k= k = ) Từ đó: = SCBA C G1 M d (G1 , (G2G3G4 )) = d (G4 , ( ABC )) 1 B = d ( D, ( ABC )) (do G4 M DM ) 3 VG G G G d (G1 , (G2G3G4 )) SG2G3G4 1 Suy = ⋅ = ⋅ = VABCD d ( D, ( ABC )) SCBA 27 1 4a VABCD =⋅ AB AC AD = ⇒ VG1G2G3G4 = 27 27 Câu 49 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 11m , BC = AD = 20m , BD = AC = 21m Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 360m3 B 720m3 Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ C 770m3 Hướng dẫn giải D 340m3 19 Dựng tam giác MNP cho C, B, A D trung điểm cạnh MN, MP, NP Do BD đường trung bình tam z x giác MNP nên BD = MN hay 11 21 20 AC = MN y B Tam giác AMN vuông A (do M 20 21 có trung tuyến nửa cạnh 11 tương ứng), hay AM ⊥ AN C Tương tự, AP ⊥ AN N AM ⊥ AP 1 1 Ta có S MBC = S MNP , S NCD = S MNP , S BPD = S MNP Suy S BCD = S MNP 4 4 Từ đó, VABCD = VAMNP P D x2 + y = 4.202 AM AN AP Đặt Ta có y + z = 4.212 , = x = ,y = ,z m m m x2 + z = 4.112 x = 160 1 suy y =1440 ⇒ xyz =1440 ⇒ VABCD = VAMNP =360m3 z = 324 (AM, AN, AP đôi vuông góc nên VAMNP = AM AN AP ) (a + b − c )(a − b + c )(−a + b + c ) 12 Câu 50 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy vuông; mặt bên ( SAB) tam giác nằm = V mặt phẳng vng góc với đáy Biết khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD) 7a Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V = a B V = a C V = a D V = 3a Hướng dẫn giải Gọi H trung điểm AB, suy SH chiều cao khối chóp cho Kí hiệu x độ dài cạnh đáy 3 x x VS ABCD = Kẻ HK ⊥ CD ( K ∈ CD) ; Ta có SH = Kẻ HL ⊥ SK (L ∈ SK ) Suy HL ⊥ ( SCD) 20 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ d ( A, ( SCD)) = d ( H , ( SCD)) = HL = HS ⋅ HK = HS + HK 2 S 21 x L A D H K X B C 21 7a 3 3 = x ⇒= x a Suy VS= = x (a= 3)3 a ABCD 7 6 Câu 51 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = SM , SN = NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) khối Theo gt, đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt phẳng (α ) , đó, ( H1 ) chứa điểm S , ( H ) chứa điểm A ; V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số D Hướng dẫn giải Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm (α ) với đường thẳng BC , AC A B V1 V2 C Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối ( H1 ) mặt phẳng (QNC ) , ta hai khối chóp N SMQC N QPC V d ( N , ( SAC )) S SMQC Ta = có: N SMQC ; ⋅ VB ASC d (B, ( SAC )) S SAC S d ( N , ( SAC )) NS ; = = d (B, ( SAC )) BS S AMQ S ASC M S SMQC AM = ⇒ = = S ASC AS Suy VN SMQC VB ASC = N 10 ⋅ = 27 VN QP C d ( N , (QP C )) SQPC = ⋅ VS ABC d (S, (A BC )) S ABC C A Q P B NB CQ CP 1 2 =⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ = SB CA CB 3 27 V1 VN SMQC VN QP C 10 V1 V = + = + = ⇒ = ⇒ 5V1 =4V2 ⇒ = V VB ASC VS ABC 27 27 V1 + V2 V2 Câu 52 Cho hình chóp S ABC có chân đường cao nằm tam giác ABC ; mặt phẳng ( SAB) , ( SAC ) ( SBC ) tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc Biết AB = 25 , BC = 17 , Tài liệu KYS Nuôi dưỡng ước mơ 21 AC = 26 ; đường thẳng SB tạo với mặt đáy góc 45° Tính thể tích V khối chóp S ABC B V = 680 C V = 578 D V = 600 A V = 408 Hướng dẫn giải Gọi J chân đường cao hình chóp S S.ABC; H, K L hình chiếu J , cạnh AB, BC CA Suy ra, SHJ SKJ góc tạo mặt SLJ phẳng ( ABC ) với mặt phẳng (S AB) , ( SBC ) ( SAC ) Theo giả thiết, ta có , suy tam giác SHJ = SLJ = SKJ vuông SJH , SJL SJK Từ đó, JH = JL = JK Mà J nằm tam giác ABC nên J tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Áp dụng cơng thức Hê-rơng, ta tính diện tích S tam giác ABC S = 204 Kí hiệu p nửa chu vi tam giác ABC, r bán kính đường tròn nội tiếp ABC Ta có S 204 x BH = BL , = r = = Đặt= p 34 y CL = = CK , z=17 y=9 K C A J z=17 y=9 H L x=8 x=8 B z K y C A y J z L = = AK z AH 17 x + y = Ta có hệ phương trình x + z = 25 y + z = 26 H x x B Giải ( x; y; z ) = (8;9;17) JB = JH + BH = 62 + 82 = 10 = ( SB Ta có SBJ = JB = 10 , ( ABC ))= 45° , suy SJB tam giác vuông cân J SJ Thể tích V khối chóp S.ABC V = = SJ S ABC 680 Tài liệu thuộc Series TÁN ĐỔ TOÁN PLUS DÀNH RIÊNG CHO THÀNH VIÊN VIP VIP KYS Nhận toàn tài liệu tự động qua email Nhận toàn Series giải chi tiết 100% Được cung cấp khóa đề ĐỒNG HÀNH 2K Nhận tài liệu, sách độc quyền dành riêng cho VIP Đăng kí VIP tại: bit.ly/vipkys 22 Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦ ... V1 V2 thể tích ( H1 ) ( H ) Tính tỉ số D Hướng dẫn giải Kí hiệu V thể tích khối tứ diện SABC Gọi P , Q giao điểm (α ) với đường thẳng BC , AC A B V1 V2 C Ta có NP //MQ //SC Khi chia khối. .. Câu 51 Cho tứ diện S ABC , M N điểm thuộc cạnh SA SB cho MA = SM , SN = NB , (α ) mặt phẳng qua MN song song với SC Kí hiệu ( H1 ) ( H ) khối Theo gt, đa diện có chia khối tứ diện S ABC mặt... VABCA ' B 'C ' D A' B' C' M N A B C Câu 31 Cho khối lăng trụ ABC A′B′C ′ Tỉ số thể tích khối chóp A′ ABC khối lăng trụ 1 1 A B C D Hướng dẫn giải: C' A' B' 1 = AA′.S ABC VABC A′B′C ′ 3 VA′ABC