Đang tải... (xem toàn văn)
Xoay Master
Thủ thuật máy tính cầm tay, số 7, 2017 c Nhóm Thủ thuật Casio Khối A PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng Lê Master* Tóm tắt nội dung Bài viết đề cập chiến lược giải Xoay Master giúp tắc hóa nhanh chóng tốn tìm cực trị module số phức với ràng buộc ellipse ellipse suy biến thành đoạn thẳng Từ khóa Giá trị lớn — giá trị nhỏ — ellipse — đoạn thẳng — xoay — tắc * ID: 100007176254689 , : channel/UCjtrGpIhih6N107ZdqG9B5A LATEX hóa nguyên tác hiệu đính Dương Trác Việt Mục lục Vấn đề tắc hóa ellipse Bài tốn Vấn đề tắc hóa ellipse Cơng thức Xoay Master Cực trị module số phức với ràng buộc ellipse tắc Ta biết, tập hợp số phức z thỏa mãn |z + x1 + iy1 | + |z + x2 + iy2 | = k ellipse ellipse suy biến thành đoạn thẳng Và ellipse, dạng tắc khơng (Hình 1) y 4.1 Các trường hợp đặc biệt (E2 ) M thuộc trục lớn • M thuộc trục bé 4.2 Chú ý Các bước giải (E1 ) (E3 ) x 5.1 Chuẩn bị 5.2 Kiểm tra 5.3 Tính Tính đoạn thẳng • Tính ellipse 5.4 Kết luận (E4 ) Kết luận đoạn thẳng • Kết luận ellipse Ví dụ 6.1 Ràng buộc đoạn thẳng 6.2 Ràng buộc ellipse Tài liệu 11 Bài toán Biết z ∈ C : |z + x1 + iy1 | + |z + x2 + iy2 | = k (k > 0) Tìm max P = |z + x3 + iy3 | Hình Một số ellipse khơng tắc Trên thực tế, giả thiết tắc vô quan trọng giải tập ellipse tính trực quan, sinh động nó: đánh mạnh vào tư trực giác, quan sát nhận diện hướng giải Do đó, vấn đề cấp thiết lúc phát triển thuật tốn nhanh chóng tắc hóa ellipse nhằm khai thác triệt để ưu điểm dạng thức ellipse PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 2/11 đặc biệt Công thức Xoay Master Chúng chọn cách dùng phép xoay - phép dời hình quen thuộc để giải tốn (xem Hình 2) Đặt F1 = (−x1 ; −y1 ), F1 = (−x2 ; −y2 ) M = (−x3 ; −y3 ) Gọi I trung điểm F1 F2 , ta có I tâm ellipse Từ đây, ta tiến hành thiết lập cơng thức xoay sau Rõ ràng, F1 , F2 cho trước nên I xác định, mà M cho trước, kéo theo IM MIF2 khơng đổi Ngồi ra, sau xoay ellipse (E) dạng tắc (E ), đoạn IM trở thành OM góc MIF2 trở thành góc M OF2 Do đó, ta có OM MIF2 khơng đổi Điều dẫn đến số phức w = OM ∠MIF2 hoàn toàn xác định Dễ thấy việc tìm w cho ta ánh sáng để giải vấn đề Thật vậy, gán dạng phức hóa điểm vào biến nhớ tương ứng máy theo thứ B+A → C, tự sau: M → X, F1 → A, F2 → B, I = B−A → D Khi đó, ta có OM = IM = |X −C| Hơn nữa, ta có2 − → −→ − → −→ MIF2 = IM, IF2 = arg(IM, IF2 ) −−→ −→ F1 F2 IF2 = arg − = arg → − → IM IM = arg F2 −F1 M−I = arg D = arg X −C B−A X −C Như vậy, w tính tốn thơng qua biểu thức D |X −C|∠ arg X −C (điều phải chứng minh) Cực trị module số phức với ràng buộc ellipse tắc Theo tác giả [6], tốn tìm cực trị module số phức với ràng buộc ellipse khó tìm nghiệm đúng, tìm chúng trường hợp điểm M thuộc trục ellipse, người đề chọn hệ số thích hợp để P2 giải giá trị cực trị tường minh thông qua khảo sát hàm Trên thực tế, với phương pháp Xoay Master, ta ln đưa ellipse dạng tắc, đó, ta cần quan tâm đến kết cực trị module tương ứng với ellipse đặc biệt 4.1 Các trường hợp đặc biệt Sau tắc hóa Xoay Master, ta có (E) → (E ), M → M Đặt Q = P = |z − M | = OM , ta xét trường hợp M thuộc trục (E ) [6] 4.1.1 M thuộc trục lớn Vì (E ) tắc nên “M thuộc trục lớn” nghĩa M ∈ Ox, suy M (± ; 0) Ta có x2 y2 + =1 a2 b2 x2 2 ⇒y = b − a (E ) : Hơn Q2 = (x ∓ )2 + y2 = x ∓2 x+ = 1− = +b x2 1− a b2 x ∓2 x+ a2 c2 x ∓2 x+ a2 Khảo sát f (x) = với x ∈ [−a; a], ta có Vì phép quay phép dời hình nên bảo tồn khoảng cách góc Chú ý kí hiệu hai vector chia mang tính hình thức mẹo nhớ dùng arg để xác định góc hợp hai vector f (x) = · 2 + b2 + b2 + b2 c2 x ∓2 x+ a2 c2 x∓2 a2 f (x) = ⇔ x = x0 = ± a2 c2 PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 3/11 (E) y F1 M I M (E ) F2 x O F1 F2 Hình Chính tắc hóa ellipse Dễ thấy c2 Với M (± ; 0), ta có Q = x ∓ x + a a2 b x0 = ± · c Hơn nữa, > c2 a a2 c2 a2 ⇔ · 2> · c a c a ⇔ · >a c a2 ⇔ − · < −a c c2 a2 Q (x0 ) = ± · ∓ a c a a2 = · −2 · + c c a a2 = − · + b2 / [−a; a] Vì giá trị lớn dẫn đến x0 = ± · ∈ c c a2 nhỏ f (x) đạt x = a = − + b2 (với f (a) = ( +a) ) x = −a (với f (−a) = c ( − a)2 ) 2 c −a 2 = · + b2 Rõ ràng ( + a) > ( − a) , kéo theo c2 b2 max f (x) = ( + a)2 , = b2 − · c f (x) = ( − a)2 2 = b 1− Và từ suy c c − max Q = max f (x) = + a, = b2 c2 Q = f (x) = | − a| Trường hợp lại, với ≤ c2 , lập luận tương a a2 ∈ [−a; a] Khi f (x) c2 hàm số bậc hai có hệ số bậc hai dương nên f (x) đạt x = x0 tự ta có x0 = ± · ± · a2 c2 + 2 + + b2 + b2 Vậy tóm lại, kết cực trị trường hợp max Q min Q = + a, c2 − = b· c2 PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 4/11 4.1.2 M thuộc trục bé (c) Khảo sát g(y) với y ∈ [−b; b]; Ta có M ∈ Oy suy M (0; ± ) Rút x từ x2 y2 (E ) : + = thay vào Q2 ta a b (d) Kết luận cực trị Q = Khảo sát hàm lượng giác u = h(t) (a) Từ Q2 = x2 + (y ∓ )2 = a2 − y2 b2 + y2 ∓ y + (E ) : a2 = − y2 ∓ y + + a2 b c2 = − y2 ∓ y + + a2 b Lập luận hoàn toàn tương tự phần trên, khảo c2 sát f (y) = − y2 ∓ y + + a2 với y ∈ [−b; b] b c2 c2 chia hai trường hợp > , ≤ ta có kết b b đối ngẫu sau c2 Nếu > b max Q = + b, Q = | − b| c2 b c2 + max Q = a · c2 Q = | − b| đặt x2 y2 + = 1, a2 b2 x = a cost, y = b sint; (b) Thay vào Q2 = |z − M |2 = h(t); (c) Khảo sát h(t) với t ∈ [0; 2π]; (d) Kết luận cực trị Q = h(t) Các bước giải Với phương pháp Xoay Master, ta giải Bài toán theo bước 5.1 Chuẩn bị Vào w2 Gán (a) −(x1 + iy1 ) → A; (b) −(x1 + iy1 ) → B; B+A → C; (c) B−A (d) → D; (e) −(x3 + iy3 ) → X Nếu ≤ , 4.2 Chú ý Ngoài trường hợp đặc biệt kể trên, ta phải sử dụng khảo sát hàm số để giải Khảo sát hàm đa thức y = f (x) x2 y2 + = suy y; a2 b2 (b) Thay vào Q2 = |z − M |2 = f (x); (a) Từ (E ) : (c) Khảo sát f (x) với x ∈ [−a; a]; (d) Kết luận cực trị Q = f (x) Khảo sát hàm đa thức x = g(y) x2 y2 + = suy x; a2 b2 (b) Thay vào Q2 = |z − M |2 = g(y); (a) Từ (E ) : g(y) 5.2 Kiểm tra k {z} đoạn thẳng, qua bước Tính - đoạn thẳng Nếu |D| = k Nếu |D| = {z} ellipse3 , qua bước Tính - ellipse 5.3 Tính 5.3.1 Tính đoạn thẳng c = |D|; |X −C|∠ arg D X −C → Y; Qua bước Kết luận - đoạn thẳng Ta xét tốn có lời giải, nên bỏ qua trường hợp k k k |D| > Tức nói |D| = , ta ngầm hiểu |D| < 2 PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 5/11 5.3.2 Tính ellipse y k a = ; (E ) c = |D|; b = x a2 − c2 ; |X −C|∠ arg F1 D X −C Hình Tâm trùng với gốc tọa độ 5.4 Kết luận c2 (xem Hình 6) a P = ||Y | − a| (a) với |Y | > 5.4.1 Kết luận đoạn thẳng Nếu | ReY | ≤ c (xem Hình 3) c2 (xem Hình 7) a c2 − |Y |2 P = b · c2 = | ImY |, = max{|Y − c|, |Y + c|} y (b) với |Y | ≤ Nếu Y số ảo P = ||Y | − b|, tìm max P khảo sát, cơng thức M c2 (xem Hình 8) b max P = |Y | + b (a) với |Y | > x F1 O F2 Hình Hình chiếu nằm đoạn thẳng c2 (b) với |Y | ≤ (xem Hình 9) b c2 + |Y |2 max P = a · c2 Nếu | ReY | > c (xem Hình 4) P max P = min{|Y − c|, |Y + c|}, = max{|Y − c|, |Y + c|} y Nếu Y số phức thực dùng khảo sát hàm số để giải (xem mục 4.2) M x F1 F2 → Y; Qua bước Kết luận - ellipse P max P O≡M O F2 Hình Hình chiếu nằm ngồi đoạn thẳng Ví dụ 6.1 Ràng buộc đoạn thẳng Ví dụ [6] Cho số phức z thỏa mãn |z + − i| + |z − + 7i| = 10 5.4.2 Kết luận ellipse Nếu máy Math ERROR Y = Khi (xem Hình 5) ta có Tìm max P = |z − − 4i| Lời giải P = b, max P = a Nếu Y số thực khác khơng max P = |Y |+a, tìm P khảo sát, cơng thức sau Trong w2, bấm • −(2 − i) → A; • −(−4 + 7i) → B; B+A → C; • B−A • → D; PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 6/11 (E ) x = − ca y x= F1 c2 a F2 O M Hình M ∈ Ox : OM > x = − ca (E ) x c2 a y x= c2 a x F1 O M Hình M ∈ Ox : OM ≤ F2 c2 a PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 7/11 y M y= c2 b (E ) x O F1 F2 y = − cb Hình M ∈ Oy : OM > c2 b y y= c2 b (E ) M F1 F2 O y = − cb Hình M ∈ Oy : OM ≤ c2 b x PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 8/11 • −(−1 − 4i) → X 10 Vế phải điều kiện = nên 2 {z} đoạn thẳng Vì |D| = = Ta có • c = |D| = 5; • Bấm |X −C|∠ arg − 28 21 − i 5 D X −C → Y máy 28 = 5, > = c, √ |Y − c| = 130 ≈ 11, 40; √ |Y + c| = ≈ 4, 24 Vì | ReY | = − nên √ • P = 2; √ • max P = 130 Ví dụ [7] Cho số phức z thỏa mãn √ |z − + 2i| + |z + − 3i| = 34 Tìm max P = |z + + i| Lời giải Trong w2, bấm • −(−2 + 2i) → A; • −(1 − 3i) → B; B+A • → C; B−A • → D; • −(1 + i) → X √ 34 Vế phải điều kiện Vì |D| = = nên {z} 2 đoạn thẳng Ta có √ 34 • c = |D| = ; D → Y máy X −C −0.5144957554−2.057983022i • Bấm |X −C|∠ arg √ 34 = c, nên Vì | ReY | ≈ 0, 51 ≤ 2, 92 ≈ ta cần tìm giá trị | ImY | • Nhập 2.057983022 → F; • Bấm (F )2 =, máy 17.93771627; • Bấm 17F =, máy 72.00000002; √ 72 72 34 • Vậy F = hay F = = 17 17 17 Do ta có √ 34 ; | ImY | = 17 |Y − c| = 4; √ |Y + c| = 10 ≈ 3, 16 nên √ 34 ; • P = 17 • max P = Ví dụ [1] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện √ |z − − i| + |z − − 2i| = Gọi m, M max P = |z| Tính Q = m + M √ √ + 13 A Q= √ 5√ B Q = √5 + 5√ 13 C Q = √2 + √13 D Q = + 13 Lời giải Chọn đáp án C Trong w2, bấm • + i → A; • + 2i → B; B+A • → C; B−A • → D; • → X √ Vế phải điều kiện Vì |D| = = nên {z} 2 đoạn thẳng Ta có PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 9/11 √ • c = |D| = ; • max P = a = Ví dụ [6] Cho số phức z thỏa mãn D • Bấm |X −C|∠ arg → Y máy X −C |z − i| + |z − + 3i| = −2.459674775+0.4472135955i √ Tìm max P = |z − + 7i| Lời giải Vì | ReY | ≈ 2.46 > 1, 12 ≈ = c, nên Trong w2, bấm Q = m + M = |Y + c| + |Y − c| • −(−i) → A; Nhập vào hình • −(−3 + 3i) → B; |Y + |D|| + |Y − |D|| √ √ bấm =, máy 13 + 6.2 Ràng buộc ellipse Ví dụ [2] Cho số phức z thỏa mãn |z + − 4i| + |z − + 2i| = Tìm max P = |z + − i| Lời giải Trong w2, bấm • −(3 − 4i) → A; • −(−1 + 2i) → B; B+A → C; • B−A • → D; • −(1 − i) → X √ Vế phải điều kiện 13 = = nên {z} ellipse Vì |D| = Ta có Vế phải điều kiện = 4; √ • c = |D| = 13; √ • b = a2 − c2 = 3; D • Bấm |X −C|∠ arg → Y máy X −C Math ERROR, chứng tỏ Y = • a= Do Y = 0, nên • P = b = √ 3; B+A → C; B−A • → D; • −(−6 + 7i) → X • Vế phải điều kiện =3= nên 2 {z} ellipse Vì |D| = Ta có Vế phải điều kiện = 3; • c = |D| = ; √ 11 • b = a2 − c2 = ; D • |X −C|∠ arg → Y; X −C • a= 15 số thực khác không Dễ thấy Y = Ngoài ra, |Y | = 15 25 c2 = 7, > 2, 08(3) = = 12 a Vì thế, 15 −3 = ; 2 21 15 • max P = |Y | + a = +3 = 2 • P = ||Y | − a| = Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn √ √ z − 10 + − (3 − 3)i √ √ + z − 10 + − (7 − 3)i = 10 PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 10/11 Gọi m, M max √ √ 40 − 23 − 16 P = z− − i 4 Tìm Q = m2 + M 3199 A Q= 64 109 B Q= 3361 C Q= 64 D Q = 34 Lời giải Chọn đáp án A Vậy, Q = m2 + M √ 55 = = √ √ • − −10 + − (3 − 3)i → A; √ √ • − −10 + − (7 − 3)i → B; B+A → C; • B−A → D; • √ √ 40 − 23 − 16 • + i → X 4 {z} ellipse Vế phải điều kiện nên Vế phải điều kiện = 5; • c = |D| = 4; • b= → Y; Dễ thấy Y = số thực khác khơng Ngồi ra, Vì thế, 13 2 |z + 2i| + |z − 2i| = 12 Tìm max P = |z − 6| Lời giải Trong w2, bấm • −2i → A; • − − 2i → B; B+A • → C; B−A • → D; • − − → X {z} ellipse • a= |Y | = + 3199 64 Vì |D| = = = Ta có a2 − c2 = 3; D • |X −C|∠ arg X −C Ví dụ Cho số phức z thỏa mãn Trong w2, bấm Vì |D| = = = c2 − |Y |2 c2 √ 2 55 − 1.5 ; = 3· = 13 • M = max P = |Y | + a = + = 2 • m = P = b · 16 c2 = 1, ≤ 3, = = a Vế phải điều kiện nên Ta có Vế phải điều kiện = 6; • c = |D| = 2; √ • b = a2 − c2 = 2; D • |X −C|∠ arg → Y; X −C • a= Dễ thấy Y = 6i số ảo khác khơng Ngồi ra, √ c2 = |Y | = > 0, 71 ≈ b Vì thế, PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải tốn cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 11/11 c2 + |Y |2 √ c 2 13 +2 = 4· = 3 √ √ 13 Vậy Q = m + M = −2 + + • P = ||Y | − b| √ √ = − = − 2; √ • max P = |Y | + b = + • M = max P = a · Ví dụ [6] Cho số phức z thỏa mãn |(z + 3)i + 2| + |z − − 2i| = Gọi m, M max P = |z| Tính Q = M + m Lời giải Ta có |(z + 3)i + 2| + |z − − 2i| = ⇔|iz + + 3i| + |z − − 2i| = + 3i ⇔ z+ + |z − − 2i| = i ⇔|z + − 2i| + |z − − 2i| = Tài liệu [1] Lê Bá Bảo (2017), Một số tập phát triển từ đề minh họa số ôn thi THPT quốc gia, truy cập ngày 28-5-2017 Drive: file/d/0B39qdAvqjY4HTC03Y2VQeUNfMEk [2] Bình Hồng, Hiura Kirina (2017), Tư siêu nhanh giải toán – max số phức, truy cập ngày 28-5-2017 Drive: file/d/0B0fokwkuig8EZnI4SndNeGVmQm8 [3] Thám tử Lãnh Huyết (2017), CASIO - Góc nhỏ kỹ thuật xoay Master - dùng tìm cực trị số phức khó (Phần 1), truy cập ngày 306-2017 : watch?v=yXiEt7uq5mY [4] Thám tử Lãnh Huyết (2017), CASIO - Góc nhỏ kỹ thuật xoay Master - dùng tìm cực trị số phức khó (Phần 2), truy cập ngày 306-2017 : watch?v=P0v9YPsaIVY [5] Lục Trí Tuyên (2017), Giải nhanh GTLN - GTNN mô đun số phức với elip, truy cập ngày 30-6-2017 Drive: file/d/0B1NeyB1HG2f4clU5ZXJXNGliWmM [6] Lục Trí Tuyên (2017), Cực nhanh GTLN GTNN mô đun số phức với elip, truy cập ngày 30-6-2017 estudy.edu.vn/course/lesson/d7tgurex54n3y [7] Bùi Hùng Vương, Trần Lê Quyền (2017), Cực trị số phức - quỹ tích Ellipse - hyperbol: phần 1, truy cập ngày 28-5-2017 Drive: file/d/0B4A5HqV9HrScTk1mZXBRNER1N3BqYnp0RTNvUm9CeGkxbWp3 Trong w2, bấm • −(3 − 2i) → A; • −(−3 − 2i) → B; B+A • → C; B−A → D; • • → X Vì |D| = = = {z} ellipse Vế phải điều kiện nên Ta có Vế phải điều kiện = 4; • c = |D| = 3; √ • b = a2 − c2 = 7; D • |X −C|∠ arg → Y; X −C • a= Dễ thấy Y = 2i số ảo khác không Ngoài ra, √ c2 = |Y | = ≤ 3, 40 ≈ b Vì thế, • m = P = ||Y | − b| √ √ = − = −2 + 7; ... √ z − 10 + − (3 − 3)i √ √ + z − 10 + − (7 − 3)i = 10 PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 10 /11 Gọi m, M max √ √ 40 − 23 − 16 P... c2 = |Y | = > 0, 71 ≈ b Vì thế, PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 11 /11 c2 + |Y |2 √ c 2 13 +2 = 4· = 3 √ √ 13 Vậy Q = m + M...PHƯƠNG PHÁP XOAY MASTER Phần 1: Giải toán cực trị module số phức với ràng buộc ellipse đoạn thẳng — 2 /11 đặc biệt Công thức Xoay Master Chúng chọn cách dùng phép xoay - phép dời hình