Đang tải... (xem toàn văn)
Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số Dãy số
WWW.DAYHOCTOAN.VN Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát dãy số SỞ GIÁO DỤC & ðÀO TẠO ðỒNG NAI Trường THPT BC Lê Hồng Phong Giáo viên thực NGUYỄN TẤT THU Năm học: 2008 – 2009 WWW.DAYHOCTOAN.VN -1- WWW.DAYHOCTOAN.VN Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát dãy số MỤC LỤC MỤC LỤC LỜI MỞ ðẦU I SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT II SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC ðỂ XÁC ðỊNH CTTQ CỦA DÃY SỐ 24 III ỨNG DỤNG BÀI TỐN TÌM CTTQ CỦA DÃY SỐ VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ - TỔ HỢP 30 BÀI TẬP ÁP DỤNG 41 KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 WWW.DAYHOCTOAN.VN -2- WWW.DAYHOCTOAN.VN Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát dãy số LỜI MỞ ðẦU Trong chương trình tốn học THPT tốn liên quan đến dãy số phần quan trọng ñại số giải tích lớp 11 , học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải tốn liên qua đến dãy số đặc biệt tốn xác định công thức số hạng tổng quát dãy số Hơn số lớp tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số nội dung tốn gần giải Do xác định cơng thức tổng qt dãy số chiếm vị trí định tốn dãy số Chun đề “Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số ” nhằm chia sẻ với bạn ñồng nghiệp số kinh nghiệm giải tốn xác định CTTQ dãy số mà thân đúc rút q trình học tập giảng dạy Nội dung chuyên ñề ñược chia làm ba mục : I: Sử dụng CSC – CSN để xây dựng phương pháp tìm CTTQ số dạng dãy số có dạng cơng thức truy hồi ñặc biệt II: Sử dụng phương pháp lượng giác ñể xác ñịnh CTTQ dãy số III: Ứng dụng tốn xác định CTTQ dãy số vào giải số toán dãy số - tổ hợp Một số kết chuyên ñề có số sách tham khảo dãy số, nhiên chuyên ñề kết ñó ñược xây dựng cách tự nhiên ñược xếp từ ñơn giản ñến phức tạp giúp em học sinh nắm bắt kiến thức dễ dàng phát triển tư cho em học sinh Trong q trình viết chun đề, chúng tơi nhận ñược ñộng viên, giúp ñỡ nhiệt thành BGH q thầy tổ Tốn Trường THPT BC Lê Hồng Phong Chúng tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Vì lực thời gian có nhiều hạn chế nên chun đề có thiếu sót Rất mong q Thầy – Cơ bạn đồng nghiệp thơng cảm góp ý để chun ñề ñược tốt WWW.DAYHOCTOAN.VN -3- Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ðỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ I SỬ DỤNG CSC – CSN ðỂ XÂY DỰNG CÁCH TÌM CTTQ CỦA MỘT SỐ DẠNG DÃY SỐ CĨ CƠNG THỨC TRUY HỒI ðẶC BIỆT Trong mục chúng tơi xây dựng phương pháp xác định CTTQ số dạng dãy số có cơng thức truy hồi dạng ñặc biệt Phương pháp ñược xây dựng dựa kết ñã biết CSN – CSC , kết hợp với phương pháp chọn thích hợp Trước hết nhắc lại số kết ñã biết CSN – CSC Số hạng tổng quát cấp số cộng cấp số nhân 1.1: Số hạng tổng quát cấp số cộng ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un = un −1 + d ∀n ≥ , d số thực khơng đổi gọi cấp số cộng d : gọi công sai CSC; u1 : gọi số hạng ñầu, un gọi số hạng tổng quát cấp số ðịnh lí 1: Cho CSC (un ) Ta có : un = u1 + (n − 1)d (1) ðịnh lí 2: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSC (un ) có cơng sai d Ta có: n [2u + (n − 1)d ] (2) 1 2: Số hạng tổng quát cấp số nhân ðịnh nghĩa: Dãy số (un ) có tính chất un +1 = q.un ∀n ∈ ℕ * gọi cấp số nhân công bội q Sn = n −1 ðịnh lí 3: Cho CSN (un ) có cơng bội q Ta có: un = u1q (3) ðịnh lí 4: Gọi Sn tổng n số hạng đầu CSN (un ) có cơng bội q Ta có: - qn Sn = u1 -q (4) -4- Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát dãy số Áp dụng CSC – CSN ñể xác ñịnh CTTQ số dạng dãy số đặc biệt Ví dụ 1.1: Xác định số hạng tổng quát dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi: u1 = 1, un = un −1 − ∀n ≥ Giải: Ta thấy dãy (un ) CSC có cơng sai d = −2 Áp dụng kết (1) ta có: un = − 2(n − 1) = −2n + Ví dụ 1.2: Xác định số hạng tổng qt dãy số (un ) ñược xác ñịnh bởi: u1 = 3, un = 2un −1 ∀n ≥ Giải: Ta thấy dãy (un ) CSN có cơng bội q = Ta có: un = 3.2n −1 Ví dụ 1.3: Xác định số hạng tổng quát dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi: u1 = −2, un = 3un −1 − ∀n ≥ Giải: Trong toán gặp khó khăn dãy (un ) khơng phải CSC hay CSN! Ta thấy dãy (un ) CSN xuất số −1 VT Ta tìm cách làm −1 chuyển dãy số CSN Ta có: −1 = − + nên ta viết công thức truy hồi dãy sau: 2 un − = 3un −1 − = 3(un −1 − ) (1) 2 ðặt = un − ⇒ v1 = − = 3vn −1 ∀n ≥ Dãy (vn ) CSN công bội q = 2 5 ⇒ = v1.q n −1 = − 3n −1 Vậy un = + = − 3n + ∀n = 1,2, , 2 2 Nhận xét: Mẫu chốt cách làm ta phân tích −1 = − + để chuyển cơng thức 2 truy hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ ñể chuyển dãy (vn ) CSN Tuy nhiên việc làm khơng tự nhiên lắm! Làm ta biết phân tích −1 = − + ? Ta làm sau: 2 -5- Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát dãy số Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k = u = x Với cách làm ta xác ñịnh ñược CTTQ dãy (un ) : u au b n = + ∀ ≥ n n −1 Thật vậy: * Nếu a = dãy (un ) CSC có công sai d = b nên un = u1 + (n − 1)b ab b Khi cơng thức truy hồi dãy ñược viết − a −1 a −1 b b b b = a(un −1 + ) , từ ta có được: un + = (u1 + )a n −1 sau: un + a −1 a −1 a −1 a −1 a n −1 − Hay un = u1a n −1 + b a −1 Vậy ta có kết sau: * Nếu a ≠ , ta viết b = Dạng 1: Dãy số (un ) : u1 = x , un = aun −1 + b ∀n ≥ (a,b ≠ số) có CTTQ là: u1 + (n − 1)b a = un = a n −1 − n −1 +b a ≠ u1.a a −1 Ví dụ 1.4: Xác định CTTQ dãy (un ) ñược xác ñịnh : u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − Giải: ðể tìm CTTQ dãy số ta tìm cách làm 3n − ñể chuyển dãy số CSN Muốn làm ta viết : 3n − = −3n − + 3(n − 1) + 5 (2) Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: un + 3n + = un + 3(n − 1) + ðặt = un + 3n + , ta có: v1 = 10 = 2vn −1 ∀n ≥ ⇒ = v1.2n −1 = 10.2n −1 Vậy CTTQ dãy (un ) : un = − 3n − = 5.2n − 3n − ∀n = 1,2, 3, Chú ý : 1) ðể phân tích đẳng thức (2), ta làm sau: -6- Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số a − b = a = −3 3n − = an + b − a(n − 1) + b Cho n = 1; n = ta có: ⇔ − b = b = − u , f (n ) 2) Trong trường hợp tổng quát dãy un : u au f n n = + ( ) ∀ ≥ n −1 n ña thức bậc k theo n , ta xác định CTTQ sau: Phân tích f (n ) = g(n ) − ag(n − 1) (3) với g(n ) ña thức theo n Khi ta ( ) có: un − g(n ) = a un −1 − g(n − 1) = = a n −1 u1 − g(1) Vậy ta có: un = u1 − g (1) a n −1 + g (n ) Vấn đề lại ta xác ñịnh g(n ) ? Ta thấy : *Nếu a = g(n ) − ag(n − 1) đa thức có bậc nhỏ bậc g(n ) bậc không phụ thuộc vào hệ số tự g(n ) , mà f (n ) ña thức bậc k nên để có (3) ta chọn g(n ) đa thức bậc k + , có hệ số tự khơng để xác định g(n ) đẳng thức (3) ta cho k + giá trị n ta hệ k + phương trình, giải hệ ta tìm ñược hệ số g(n ) * Nếu a ≠ g(n ) − ag(n − 1) ña thức bậc với g(n ) nên ta chọn g(n ) ña thức bậc k ñẳng thức (3) ta cho k + giá trị n ta xác định g(n ) Vậy ta có kết sau: u = x Dạng 2: ðể xác ñịnh CTTQ dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi: , un = a.un −1 + f (n ) f (n ) ña thức bậc k theo n ; a số Ta làm sau: Ta phân tích: f (n ) = g(n ) − a.g(n − 1) với g(n ) ña thức theo n Khi đó, ta đặt = un − g(n ) ta có được: un = u1 − g(1) a n −1 + g(n ) Lưu ý a = , ta chọn g(n ) ña thức bậc k + có hệ số tự khơng, a ≠ ta chọn g(n ) ña thức bậc k u = Tìm CTTQ dãy (un ) Ví dụ 1.5: Cho dãy số (un ) : u u n = + + n n −1 Giải: Ta phân tích 2n + = g(n ) − g(n − 1) = a n − (n − 1)2 + b n − (n − 1) -7- Một số phương pháp xác ñịnh cơng thức tổng qt dãy số ( g(n ) = an + bn ) −a + b = Cho n = 0, n = ta có hệ: ⇔ a b + = a = ⇒ g(n ) = n + 2n b = ⇒ un = n + 2n − u1 = Ví dụ 1.6: Cho dãy số (un ) : Tìm CTTQ dãy (un ) n u u n = + ; = 2, 3, n n −1 Giải: Ta bắt chước cách làm ví dụ trên, ta phân tích: 2n = a.2n − 3a.2n −1 Cho n = , ta có: a = −2 ⇒ 2n = −2.2n + 3.2.2n −1 Nên ta có: un + 2.2n = 3(un −1 + 2.2n −1 ) = = 3n −1(u1 + 4) Vậy un = 5.3n −1 − 2n +1 Chú ý : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích ( α n = k α n − ak α n −1 với (a ≠ α ) ) ( Khi đó: un − kb.α n = a un −1 − kb.α n −1 = = a n −1 u1 − bk ) Suy un = a n −1(u1 − bk ) + bk α n Trường hợp α = a , ta phân tích α n = n.α n − α (n − 1).α n −1 ( ) ⇒ un − bn.α n = α un −1 − b(n − 1).α n −1 = = α n −1(u1 − bα ) ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 Vậy ta có kết sau u1 Dạng 3: ðể xác ñịnh CTTQ dãy (un ) : , ta làm n u a u b n = + α ∀ ≥ n n −1 sau: • Nếu a = α ⇒ un = b(n − 1)α n + u1α n −1 • Nếu a ≠ α , ta phân tích α n = k α n − ak α n −1 Khi đó: un = a n −1(u1 − bk ) + bk α n Ta tìm được: k = α α −a -8- Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số u1 = −2 Ví dụ 1.7: Tìm CTTQ dãy (un ) : n n 2.3 6.7 12 ; 2, 3, = + − + = u u n n n −1 k = − l = Hơn 12 = −3 + 5.3 nên công thức truy hồi dãy ñược viết lại sau: 3n = k 3n − 5k 3n −1 Giải: Ta có: n cho n = , ta được: n n −1 7 l l = − ( ) un + 3.3n + 21.7n + = un −1 + 3.3n −1 + 21.7n −1 + = = 5n −1 (u1 + + 147 + 3) Vậy un = 157.5n −1 − 3n +1 − 3.7n +1 − u1 = Ví dụ 1.8: Tìm CTTQ dãy (un ) : n u u n n = + − ; ∀ ≥ n n −1 3n = 3.3n − 2.3.3n −1 Giải: Ta phân tích: nên ta viết cơng thức truy hồi dãy n = − n − + ( n − 1) + sau: un − 3.3n − n − = un −1 − 3.3n −1 − (n − 1) − 2 = = 2n −1(u1 − 12) Vậy un = −11.2n −1 + 3n +1 + n + u1 = p Dạng 4: ðể xác ñịnh CTTQ dãy (un ) : , n u a u b f n n = + α + ( ); ∀ ≥ n n −1 f (n ) ña thức theo n bậc k , ta phân tích α n f (n ) cách phân tích dạng dạng Ví dụ 1.9: Xác ñịnh CTTQ dãy (un ) : u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − ∀n ≥ Giải: ðể xác ñịnh CTTQ dãy số trên, ta thay dãy (un ) dãy số khác CSN Ta viết lại công thức truy hồi dãy sau: -9- WWW.DAYHOCTOAN.VN Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số x + x = un − x1.un −1 = x (un −1 − x1un − ) , ta phải chọn x1, x : hay x1, x x x = nghiệm phương trình : x − 5x + = ⇔ x = 2; x = Ta chọn x1 = 2; x = Khi đó: un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − ) = = 3n −1(u1 − 2u ) = 5.3n −1 ⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 Sử dụng kết dạng 3, ta tìm ñược: un = 5.3n − 6.2n Chú ý : Tương tự với cách làm ta xác ñịnh CTTQ dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi: u ; u1 , a,b số thực cho trước a − 4b ≥ un − a.un −1 + b.un − =0 ∀n ≥ sau: Gọi x1, x hai nghiệm phương trình : x − ax + b = (4) ( phương trình gọi phương trình đặc trưng dãy) Khi đó: un − x1.un −1 = x (un −1 − x1.un − ) = = x 2n −1(u1 − x1.u0 ) Sử dụng kết dạng 3, ta có trường hợp sau: x u − u1 n u1 − x u0 n x1 + x Hay un = k x1n + l x 2n , • Nếu x1 ≠ x un = x − x1 y −x k + l = u0 k, l nghiệm hệ: x k + x l = u u a au • Nếu x1 = x = α un = α n −1 + (u1 − )n , hay un = (kn + l )α n −1 , l = α u0 k, l nghiệm hệ: k + l = u Vậy ta có kết sau: u ; u Dạng 5: ðể xác ñịnh CTTQ dãy (un ) : , u − a u + b u = ∀ n ≥ n n −1 n −2 a,b, c số thực khác không; a − 4b ≥ ta làm sau: Gọi x1, x nghiệm phương trình đặc trưng: x − ax + b = WWW.DAYHOCTOAN.VN - 10 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số Với h = 108 ta dễ dàng chứng minh ñược un + h ≡ un (mod1998) ∀n ≥ Vậy h = 108 giá trị cần tìm Ví dụ 3.4: Cho dãy (xn ) : x = 2; x n +1 = 2xn + xn + 1) Tính x 2000 ? 2) Tìm phần ngun A = 2000 ∑ xi (Olympic 30 – – 2000 khối 11 ) i =1 Giải: Ta có: x n +1 − = xn − xn + ⇒ xn +1 − =1+ ðặt an = ⇒ a = xn − xn − 3n +1 − ⇒ xn = + an + = 3an + ⇒ an = 3n + − 32001 + a) Ta có: x 2000 = 32001 − 2000 2000 ⇒ 2000 < A < 2000 + ∑ < 2001 b) Ta có: A = 2000 + ∑ i +1 i =1 3i −1 i =1 Vậy [A] = 2000 Ví dụ 3.5: Cho dãy (xn ) : x1 = 1; x n +1 = (2 + cos 2α )xn + cos2 α (2 − cos 2α )x n + − cos 2α n ∀n ≥ Tìm α để dãy số (yn ) có giới hạn hữu hạn tìm giới + i =1 i hạn ( HSG Quốc Gia Bảng A – 2004 ) Giải: ðặt yn = Ta có ∑ 2x 2x n + + ⇒ yn = Vì lim n = sin2 α 1 1 + ⇒ = + (1 − )sin2 α n n − 3(2x n + 1) 2x n + 3 ∑ 2x + = i =1 i 3n n ∑ i i =1 n i =1 3i −1 + sin2 α ∑ (1 − )= 1 (1 − ) + [n − (1 − )]sin2 α 2 3n 3n = nên dãy (yn ) có giới hạn hữu hạn ⇔ sin α = ⇔ α = kπ - 32 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số Khi lim yn = x = −3x n2 − 2xn yn + 8yn2 n +1 ∀n ≥ 2 yn +1 = 2x n + 3x n yn − 2yn Tìm tất số nguyên tố p cho x p + y p không chia hết cho p (TH&TT – 327 ) x = −1 Ví dụ 3.6: Cho hai dãy (xn ),(yn ) : y1 = Giải: n −1 Ta có: x n + 2yn = (xn −1 + 2yn −1 )2 = = (x1 + 2y1 )2 = (20) Giả sử có số tự nhiên k ñể yk = 2xk ⇒ yk +1 = Khi đó, ta có: x = −3x k2 +1 k +2 vơ lí Vậy yn +1 = (2x n − yn )(x n + 2yn ) ≠ ∀n x = k + x (3x n − 4yn )(x n + 2yn ) −3x n + 4yn = Suy : n +1 = − yn + (2x n − yn )(x n + 2yn ) 2x n − yn ðặt an +1 = xn +1 yn + ⇒ an + + = ⇒ an = ⇒ a1 = −1;an + = an + 2an − 1 − 4.(−5)n −1 n −1 + 2.(−5) ⇒ = an + xn yn −3an + 2an − 1 + 2(−5)n −1 =2− ⇒ = +2 an + an + (21) − 4.(−5)n −1 + 2.(−5)n −1 − 2(−5)n −1 Từ (20) (21) ⇒ xn = ⇒ x n + yn = ; yn = 3 * Nếu p = ⇒ x + y2 = ⋮ ⇒ p = khơng thỏa u cầu tốn * Nếu p = ⇒ x + y = −16 không chia hết cho ⇒ p = thỏa yêu cầu toán * Nếu p = ta thấy thỏa yêu cầu toán * Nếu p > ⇒ (−5)p −1 ≡ 1(mod p) ⇒ x p + y p ≡ 0(mod p) Vậy p = 3, p = hai giá trị cần tìm - 33 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát dãy số u1 = Ví dụ 3.7: Cho dãy (un ) : Tính tổng 2001 số un −1 un = ∀n ≥ 2(2n − 1)un −1 + hạng ñầu tiên dãy (un ) (HSG Quốc Gia – 2001 ) Giải: Ta có: 1 = + 4n − (22) un un −1 Ta phân tích 4n − = k n − (n − 1)2 + l n − (n − 1) Cho n = 0; n = , ta có hệ −k + l = −2 ⇔ k = 2; l = k + l = 1 1 Suy (22) ⇔ − 2n = − 2(n − 1)2 = = −2 = − un un −1 u1 4n − (2n − 1)(2n + 1) ⇒ = = 2 un ⇒ un = ⇒ 2001 ∑ i =1 1 = − (2n − 1)(2n + 1) 2n − 2n + ui = 2001 1 ∑ 2i − − 2i + = − 4003 i =1 = 4002 4003 x = x + + x n2 −1 x = n n −1 Ví dụ 3.8: Cho hai dãy số (xn ); (yn ) xác ñịnh : yn −1 y1 = yn = + + yn −1 ∀n ≥ Chứng minh < xn yn < ∀n ≥ (Belarus 1999) Giải: Ta có: x1 = = cot π ⇒ x = cot π + + cot π = cos π sin +1 π = cot π 2.6 - 34 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số Bằng quy nạp ta chứng minh ñược: x n = cot Theo kết ví dụ 2.8, ta có: yn = tan ðặt αn = π 2n π n −1 π 2n −1.3 ⇒ x n = cot αn ; yn = tan 2αn ⇒ xn yn = tan 2αn cot αn = t 1−t 1−t π π Vì n ≥ ⇒ < αn < ⇒ < t < tan = ⇒ ≤ − t2 < 6 3 ðặt t = tan αn ⇒ tan 2αn cot αn = ⇒2< 1−t 2t < ⇒ < x n yn ≤ ∀n ≥ ⇒ ñpcm | x1 |< Ví dụ 3.9: Cho dãy số (xn ) : −x n + − 3x n2 x n +1 = ∀n ≥ 1) Cần có thêm điều kiện x1 để dãy gồm tồn số dương ? 2) Dãy số có tuần hồn khơng ? Tại ? (HSG Quốc Gia 1990) Giải: π π Vì | x1 |< nên tồn α ∈ − ; : sin α = x1 Khi đó: 2 π x = − sin α + cos α = sin( − α ) 2 π π x = − sin( − α ) + | cos( − α ) | 3 • Nếu − • Nếu − π π ≤α < π 0 n − nên ta có n − = ⇔ n = ⇒ m = 36 Vậy có 36 huy chương phát phát ngày - 38 - Một số phương pháp xác ñịnh cơng thức tổng qt dãy số Ví dụ 3.16: Có xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit đứng cạnh nhau? Giải: Gọi cn số xâu nhị phân ñộ dài n thỏa mãn điều kiện đầu Ta có c1 = ; c2 = Xét xâu nhị phân ñộ dài n thỏa mãn ñiều kiện ñầu có dạng anan −1an − a2a1 Có hai trường hợp • an = Khi an −1 = an − a2a1 chọn xâu ñộ dài n − thỏa điều kiện Có cn − xâu vậy, suy trường hợp có cn − xâu • an = Khi an −1 a2a1 chọn xâu độ dài n − thỏa điều kiện Có cn −1 xâu vậy, suy trường hợp có cn −1 xâu Vậy tổng cộng xây dựng ñược cn −1 + cn − xâu, hay cn = cn −1 + cn − n −1 n −1 − 1 − − 1 + ⇒ cn = + 2 Ví dụ 3.17: Cho số nguyên dương n Tìm tất tập A tập X = 1,2, 3, ,2n cho không tồn hai phần tử x , y ∈ A thỏa mãn: x + y = 2n + { } (Thụy Sỹ 2006) Giải: ðể giải toán ta ñi ñếm số tập A X thỏa mãn tôn hai phần tử x , y ∈ A cho x + y = 2n + (ta gọi tập A có tính chất T ) { } Gọi an số tập A tập 1,2, ,2n có tính chất T { } Khi ñó tập A ⊂ 1,2, ,2n,2n + 1,2n + xảy hai trường hợp TH1: Trong tập A chứa hai phần tử 2n + , trường hợp số tập A có tính chất T chình số tập tập gồm 2n phần tử 2, 3, 4, ,2n,2n + số tập { } tập 22n TH2: Trong tập A khơng chứa đầy đủ hai phần tử 2n + Khi A phải chứa tập A ' tập tập 2, 3, 4, ,2n,2n + cho có hai phần tử x ', y ' ∈ A ' : { } x ' + y ' = 2n + Ta thấy số tập A ' số tập tập { } {1,2, ,2n } có tính chất T (Vì ta trừ phần tử 2, 3, 4, ,2n,2n + ñi ñơn vị ta ñược tập {1,2, ,2n} x ', y ' ∈ A ' : x ' + y ' = 2n + ) - 39 - WWW.DAYHOCTOAN.VN Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát dãy số Hơn với tập A ' ta có ba tập A (bằng cách ta chọn A A ' {1} ∪ A ' {2n + 2} ∪ A ' ) Do vậy: an +1 = 3an + 22n ⇒ an = 4n − 3n Vậy số tập thỏa mãn yêu cầu toán là: 4n − an = 3n WWW.DAYHOCTOAN.VN - 40 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm CTTQ dãy số sau 1) u1 = 1; u2 = 0, un + − 2un + un −1 = n + 1, n ≥ 2) u1 = 0; u2 = 0, un +1 − 2un + un −1 = 3.2n , n ≥ 3) u1 = 0; u2 = 0, un + − 2un − 3un −1 = n + 2n , n ≥ 4) u1 = 0, u2 = 1, u3 = 3, un = 7un −1 − 11.un − + 5.un − , n ≥ u1 = 5) un −1 + − u = ∀n ≥ n − ( − 2)u n −1 { } Bài 2: Cho dãy số bn b = 2.b + bn − n −1 xác ñịnh : n b1 = 1, b2 = n ∈N (n ≥ ) n 5 Chứng minh bn ≤ , ∀n ∈ N 2 { } Bài 3: Cho dãy số un u ∈ Z + , ∀ ∈ N n thoả mãn sau : u = 1, u1 = u = 10.u − un − ∀n ∈ N , n ≥ n −1 n Chứng minh : ∀k ∈ N , k ≥ 1) uk2 + uk2 −1 − 10uk uk −1 = −8 2) 5.uk − uk −1 ⋮ 3.uk2 − 1⋮ x = 1; x1 = Bài 4: Cho dãy số x n xác ñịnh sau: x − x + x = ∀ n ≥ n n −1 n −2 Xác ñịnh số tự nhiên n cho : x n + + x n = 22685 - 41 - Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát dãy số x = 1; x1 = Bài 5: Cho dãy (xn ) ñược xác ñịnh x = x − x ∀ n ≥ n + n n −1 Tìm lim x n { 2x } n (TH&TT T7/253) − (1 − a )2 n an + = ∀n ≥ 2 Chứng minh rằng: a1 + a2 + + a2005 < 1, 03 (TH&TT T10/335) Bài 6: Xét dãy (an ) : a1 = Bài 7: Cho dãy (an ) : a = 2;an +1 = 4an + 15an2 − 60 ∀n ≥ Hãy xác ñịnh CTTQ (a + 8) biểu diễn thành tổng bình phương 2n ba số nguyên liên tiếp với ∀n ≥ (TH&TT T6/262) Bài 8: Cho dãy số p(n ) ñược xác ñịnh sau: p(1) = 1; an chứng minh số { } p(n ) = p(1) + 2p(2) + + (n − 1)p(n − 1) ∀n ≥ Xác ñịnh p(n ) (TH&TT T7/244) u1 = Bài 9: Xét dãy (un ) : Chứng minh u u n n n n = + − + − ∀ ≥ n n −1 p −1 với số nguyên tố p 2000 ∑ ui chia hết cho p (TH&TT T6/286) i =1 x = a Bài 10: Dãy số thực (xn ) : x x n = − ∀ ≥ n +1 n Tìm tất giá trị a ñể x n < ∀n ≥ (TH&TT T10/313) Bài 11: Dãy số (xn ) : x = 1, x1 = x n +1.xn x n + = 2002x n + + 2001x n + 2000x n + 1xn ∀n ≥ Hãy tìm CTTQ x n (TH&TT T8/298) a1 = Bài 12: Cho dãy số (an ) ñược xác ñịnh sau: (an ) : an −1 an = ∀n ≥ 2nan −1 + Tính tổng a1 + a2 + + a1998 - 42 - Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát dãy số Bài 13: Cho dãy số (an ) ñược xác ñịnh : a1 = 1.2.3, a2 = 2.3.4, , an = n(n + 1)(n + 2) ðặt Sn = a1 + a2 + + an Chứng minh 4Sn + số phương (HSG Quốc Gia – 1991 Bảng B ) Bài 14: Cho hai dãy số (an ),(bn ) ñược xác ñịnh sau: a = 2;b0 = an + = 2anbn an + bn , bn + = an + 1bn ∀n ≥ Chứng minh dãy (an ) (bn ) có giới hạn chung n → +∞ Tìm giới hạn chung ( HSG Quốc Gia – 1993 Bảng A ngày thứ 2) Bai 15: Cho số nguyên a, b Xét dãy số nguyên (an ) ñược xác ñịnh sau a = a; a1 = b; a2 = 2b − a + 2; an + = 3an + − 3an +1 + an ∀n ≥ a ) Tìm CTTQ dãy (an ) b) Tìm số ngun a, b để an số phương với ∀n ≥ 1998 (HSG Quốc Gia – 1998 Bảng B) n a = Bài 16: Cho dãy số (an ) : Tính ∑ i =1 (3 − an )(6 + an −1 ) = 18 ∀n ≥ (Trung Quốc – 2004 ) a = Bài 17: Cho dãy số (an ) : Chứng minh 7an −1 + 45an2 −1 − 36 an = ∀n ≥ 1) an số nguyên dương với ∀n ≥ 2) an +1an − số phương ∀n ≥ ( Trung Quốc – 2005 ) u1 = 1; u2 = un2 − Bài 18: Cho dãy số (un ) : Chứng minh số u u u n = − ∀ ≥ 3 n n −1 n −2 phương ( Chọn ñội tuyển Nghệ an – 2007 ) 2007 b0 = 12;b1 = Bài 19: Cho dãy số (bn ) : Tính ∑ bi ( Moldova 2007) i =0 b + b = bn − ∀n ≥ n −1 n - 43 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng quát dãy số Bài 20: Có n thẻ đánh số từ đến n Có cách chọn số thẻ (ít tấm) cho tất số viết thẻ ñều lớn số thẻ ñược chọn u1 = 1; un > ∀n ≥ Chứng minh Bài 21: Cho dãy (un ) ñược xác ñịnh bởi: + un2 −1 − ∀n ≥ un = un −1 π u1 + u2 + + un ≥ + 1 − ( )n −1 (HSG Quảng Bình 2008 – 2009 ) 4 Bài 22: Cho dãy ña thức : P (x ) = x − 6x + Pn (x ) = P (P ( (P (x )))) n lần Tìm số nghiệm cảu P (x ) Pn (x ) ? (Dự tuyển Olympic) Bài 23: Xác ñịnh hệ số x khai triển quy ña thức Qk (x ) = ( (((x − 2)2 − 2)2 − 2)2 − )2 − 2)2 (có k dấu ngoặc) Bài 24: Cho dãy x n : x = 1, x1 = 1, x n + = 4x n − x n −1 ∀n ≥ dãy số (yn ) : y0 = 1, y1 = 2, yn +1 = 4yn − yn −1 ∀n ≥ Chứng minh rằng: yn2 = 3xn2 + ∀n ≥ (Canada – 1998 ) Bài 25: Có tam giác có độ dài cạnh số tự nhiên không vượt 2n (Macedonian – 1997 ) Bài 26: Cho dãy số (un ) ñược xác ñịnh sau: u0 = u1 = un +1 = 14un − un −1 với ∀n ≥ Chứng minh với ∀n ≥ 2an − số phương (Chọn ñội tuyển Romania 2002) - 44 - Một số phương pháp xác định cơng thức tổng qt dãy số KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung liên quan ñến chuyên ñề với góp ý đồng nghiệp vận dụng chun đề vào giảng dạy ñã thu ñược số kết sau 1) Học sinh trung bình trở lên vận dụng số kết chuyên ñề vào giải toán xác ñịnh CTTQ số dạng dãy số có dạng truy hồi đặc biệt 2) Học sinh giỏi vận dụng kết chuyên ñề ñể tham khảo phục vụ kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh cấp Quốc Gia 3) Tạo ñược hứng thú cho học sinh học toán dãy số 4) Là tài liệu tham khảo cho học sinh giáo viên 5) Qua đề tài giáo viên xây dựng toán dãy số Bên cạnh kết thu được, chun đề số hạn chế sau: 1) Trong chuyên ñề chưa xây dựng ñược phương pháp xác ñịnh CTTQ số dãy số mà hệ số công thức truy hồi biến thiên 2) Chưa ñưa vào số phương pháp xác ñịnh CTTQ dãy số dựa vào số kiến thức liên quan đến Tốn cao cấp phương pháp hàm sinh Hy vọng ñồng nghiệp phát triển, mở rộng khắc phục số hạn chế nói - 45 - WWW.DAYHOCTOAN.VN Một số phương pháp xác ñịnh công thức tổng quát dãy số TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] ðại Số Giải Tích lớp 11 Nâng Cao [2] Các thi Olympic Toán THPT Việt Nam, Tủ sách TH&TT – NXB GD 2007 [3] Một số toán chọn lọc dãy số , Nguyễn Văn Mậu, NXBGD – 2003 [4] Các phương pháp ñếm nâng cao, Trần Nam Dũng [5] Tạp chí Tốn Học Và Tuổi Trẻ [6] Các diễn đàn Tốn học như: maths.vn ; diendantoanhoc.net ; mathscop.org … [7] Tuyển tập chuyên ñề thi Olympic 30 – Khối 11 [8] Phép quy nạp hình học, Yaglom – L.I.Golovina – IM (Khổng Xuân Hiển dịch xuất năm 1987) WWW.DAYHOCTOAN.VN - 46 -