Đang tải... (xem toàn văn)
6.5 Luật mạnh số lớn (điều kiện cần và đủ) Định lý 6.12 Để dãy các biến ngẫu nhiên tuân theo luật mạnh số lớn với dãy số , điều kiện cần và đủ là thỏa mãn điều kiện: Ước lượng tăng của tổng của biến ngẫu nhiên độc lập trong số hạng tổng moment của chúng
6.5 Luật mạnh số lớn (điều kiện cần đủ) Bổ đề 6.15 Giả sử A n Bn (n 1, N,N ��) hai dãy biến cố Chúng ta giả sử cho n �2 Biến cố Bn A n A n1 A biến cố độc lập ( A phần bù A giả sử B1 A độc lập Nếu P(Bn ) � cho tất N N n1 n1 n, kho đó: P(�A nBn ) �P(�A n ) Chứng minh: N P(�A nBn ) (A 1B1) �(A 1B1A 2B2 ) �(A 1B1A 2B2A 3B3) � n1 �(A1B1) �(A1A 2B2 ) �(A 1A 2A 3B3) � N N n1 n1 P(�A nBn ) �P(A 1)P(B1) P(A 1A )P(B2 ) P(A 1A 2A 3)P(B3) �P(� A n) Bổ đề 6.16 Giả sử Yn dãy biến ngẫu nhiên bn hai dãy số thực.Với , k �1 ta có bất đẳng thức sau: i) � � � � P� (Y n mY n ) � ��2P � (Y ns � � , sup sup � � � � �n�k � �n�k � ii) � � � � � � P� (Y n mY n ) � ��2P � ( Y ns � ��4� Y n bn � � sup sup sup � � � � � 2� �n�k � �n�k � �n�k � Chứng minh: Chúng ta xét dãy biến ngẫu nhiên Zn , với n , Zn Y n có chung phân phối, Zn Y1, ,Y n độc lập Chúng ta đặt A n Y n mY n � ,Bn Zn mZn � ,Cn Y ns � Với Chúng ta đặt mY n mZn suy A nBn �Cn Bổ đề 6.15 bất �� � �� � �� � �n k � �n k � �n k � đẳng thức P(Bn ) � suy P � �A n ��2P ��A nBn ��2P ��Cn � Từ thu kết i) Nếu thay Y n Y n - i), kết ii) Còn ý � � � � P� ( Y ns � � P � ( (Y n bn ) (Zn bn ) � � sup sup � � � � �n�k � �n�k � � � � � � � �P � Y b � P Z b � 2P Y b � � � � � sup n n � �sup n n � �sup n n � � � �n�k � �n�k � �n�k � Bổ đề 6.17 Giả sử Yn dãy biến ngẫu nhiên bn hai dãy số thực Nếu Y n bn � a.s., Y ns � a.s Y n mbn � Nếu Y ns � a.s., Y n bn � a.s Với dãy số bn thỏa điều kiện Y n mbn � Chứng minh: Bổ đề hệ Bổ đề 6.8 6.16 Giả sử an dãy số thực khác không Chúng ta cố định số c tùy ý Giả n sử i n số nguyên lớn cho �c , có nhiều hữu hạn số nguyên; với n số nguyên ta đặt i n Hơn nữa, đặt a0 S0 Định lý 6.12 Để dãy biến ngẫu nhiên X n tuân theo luật mạnh số lớn với dãy số a , điều kiện cần đủ thỏa mãn điều kiện: n i) an � � tất X n suy biến ii) �P( S Chứng minh: in Si n 1 m(Si Si n ) �cn ) �, n 1 Chứng minh điều kiện cần Nếu X n tuân theo luật mạnh số lớn với dãy số an , Ssn � a.s theo bổ đề 6.17 giả sử an � khơng cố định Khi đó, tồn dãy an s số ngun vơ hạn kn cho sup ak � Chúng ta có Sk � a.s Thật vậy, chuổi n n �U n s s , U n xk xk hội tụ hầu khắp nơi (Chúng ta đặt k0 ) Hơn nữa, tổng n chuổi không Với n �1 chuổi �U k�n k hội tụ hầu khắp nơi tổng - U n a.s Chuổi cuối - U n biến ngẫu nhiên độc lập, đẳng thức kéo theo suy biến biến ngẫu nhiên phân phối Tất biến ngẫu nhiên U n phân phối theo điều kiện i) nói đến bất đẳng thức ain �cn , thu Ssi Ssi Ssn � a.s n n n1 � a.s Ứng dụng bổ đề 6.17 bổ đề Borel-Cantelli, chúng cn c ta thu ii) Chứng minh điều kiện đủ Trường hợp tất X n suy biến phân phối tầm thường Giả sử điều kiện ii) an � �được thỏa mãn Sử dụng bổ đề 6.17 � Lévy’s bất đẳng thức , có �P(max S S n1 i n j�i n1 s j s in �cn ) �, 0(*) k s s Chúng ta đặt Tk c max Sj Si i k j�i k1 k Nếu theo (*) , bổ đề Borel-Cantelli bổ đề 6.8 Tn � a.s Thật vậy, c nSsi � a.s Nếu ik n �ik 1 , n s Ssn Ssi k Ssi k S n an �c � �Tk c k Ssi � a.s k an an k cho k � � Ssn � Áp dụng bổ đê 6.17 lần, kết luận dãy an X tuân theo luật mạnh số lớn dãy số a n n 6.6 Ước lượng tăng tổng biến ngẫu nhiên độc lập số hạng tổng moment chúng Định lý 6.13 Giả sử g ( x ) hàm chẵn, liên tục, dương tăng nghiêm ngặt khoảng 0; � giả sử g ( x ) � x � � Giả sử rong hai điều kiện sau thỏa mãn: i) x / g ( x ) không giảm khoảng 0; � ii) x / g ( x ) g ( x ) / x không tăng khoảng 0; � E g ( X n ) �(n 1, ) Và Mn � � n M n �E g ( X k ) k 1 Đặc biệt, điều kiện ii) giữ giả sử E ( X n ) 0( n 1, Khi Sn g 1 ( M n ( M n )) a.s Với hàm ( x ) � c Ở g 1 hàm ngược g Chứng minh từ sở định lý 6.4 theo mệnh đề sở n Bổ đề 6.18 Giả sử an dãy số khơng âm, An �ak � � Khi chuổi k 1 �a n / ( An ( An )) hội tụ với � c Chứng minh Giả sử n0 cho A0 ( An ) Chuổi �1 / (n (n)) hội tụ tích phân � I dx �x ( x ) An0 An Theo định lý giá trị trung bình, có dx �x ( x) ( A n An 1 )cn An 1 Cho n n0 , 1 �cn � An ( An ) An 1 ( An 1 ) Từ An An 1 an � An dx � �x ( x ) n n0 1 An 1 Chúng ta thu khẳng định bổ đề Chúng ta hoàn thành chứng minh định lý 6.13 Giả sử � c Theo giả thiết định lý, tồn hàm ngược, dương g1(x) khoảng 0; � Chúng ta đặt an g 1 ( M n (M n )) Khi an Z � Ta có M n � �và bổ đề 6.18, thu �Eg ( X n ) / ( M n ( M n )) � Chúng ta ý g n M n ( M n ) � Theo định lý 6.4 chuổi �X n / an hội tụ a.s Do Sn / g1(M n(M n )) � a.s.theo bổ đề 6.11 Định lý 6.14 Giả sử g ( x ) hàm chẵn, liên tục, dương tăng nghiêm ngặt khoảng 0; � , với g (0) , g ( x) � �khi x � � Tương ứng hàm tùy ý � d , tồn dãy X n biến ngẫu nhiên đối xứng, bị chặn, độc lập, thỏa mãn điều kiện E g ( X n ) �( n 1, ), Sn g 1 ( M n ( M n )) a.s Chứng minh: M n � �,nhưng không thỏa mãn điều kiện Chúng ta xét dãy X n biến ngẫu nhiên độc lập, X n cho n n1 nhận giá trị �g1(n(n)) , với xác suất 2(n(n))1 giá trị không với xác suất 1 2(n(n))1 , Ở � d n1 thỏa cho n �n1 , X n nhận giá trị �g1(1) với xác suất n1(n1) EX n EX n 1, n Theo giả thiết có M n n , thỏa mãn điều kiện định lý Hơn nữa, �P X n n1 n �1/ n(n)) g1(n(n)) n n1 Cuối chuổi phân kỳ, từ � d Trong kết bổ đề 6.12 đẳng thức M n n kết luận biểu thức Sn g 1 ( M n ( M n )) a.s không p Định lý 6.15 Giả sử E X n � n p Cho tất n p �2 Giả sử M n �E X k � � k1 1/ p Nếu p �1chúng ta có Sn M n ( M n )) a.s 1/ p Với ( x ) � c , 1 p �2 ước lượng Sn M n ( M n )) a.s có hiệu lực Định lý 6.16 Với hàm � d với số p dương tồn dãy biến ngẫu nhiên đối xứng, bị chặn, độc lập X n thỏa mãn điều kiện: p i) E Xn � ii) Cho tất n p �2 Giả sử M n �E X k � � n p k1 1/ p iii) Nếu p �1chúng ta có Sn M n ( M n )) a.s Định lý 6.17 Giả sử Bn � � Khi Sn ESn ((Bn(Bn ))1/2 ) a.s với hàm � c Định lý 6.18 Với hàm � d tồn dãy biến ngẫu nhiên độc lập X n với n trung bình khơng phương sai hữu hạn để Bn �VX k � �và k1 Sn ESn ((Bn(Bn ))1/2 ) a.s không thỏa Chứng minh: Định lý 6.17 kéo theo tổng Sn biến ngẫu nhiên độc lập biến hữu hạn biến ngẫu nhiên tăng không bị chặn, Bn V(Sn ) , với Sn ESn (Bn1/2 ) a.s Sn ESn (Bn1/2(logBn )1/2 ) a.s Sn ESn (Bn1/2(logBn )1/2 )(loglogBn )1/2 ) a.s Trong định lý 6.18 thay giá trị không Chúng ta sử dụng kết luật mạnh số lớn với số chuẩn cổ điển Sn ESn / n � 0a.s Theo định lý 4.16 điều kiện Markov’s Bn (n2 ) Mặc dù Bn V(Sn ) , điều kiện đủ áp dụng cho luật mạnh số lớn, để Sn ESn / n � theo xác suất với hỗ trọ định lý 6.17 đề nghị điều kiện Bn (n2) điều kiện đủ cho luật mạnh số lớn Định lý 6.19 Cho hàm � c , giữ điều kiện Sn ESn / n � Mặt khác, với � d để n/ (n) không giảm miền n n0,n0 thì tồn dãy biến ngẫu nhiên đối xứng, bị chặn, độc lập X n thỏa mãn điều kiện Bn (n2 / (n)) không thỏa Sn ESn / n � Chứng minh: Chúng ta chứng minh khẳng định Giả sử Bn (n2 / (n)) , với hàm � c , ý với hàm � c thỏa mãn điều kiện (n ) � � Chúng ta thừa nhận Bn � �, từ chuổi �VX n hội tụ �VX n / n2 �; định lý 6.7 trực tiếp cho khẳng định đòi hỏi Với f � c có Sn ESn ((Bnf(Bn))1/2) a.s theo định lý 6.17 Thật vậy, Bn (n2 / (n)) kéo theo Sn ESn (n(f(Bn ) / (n))1/2) a.s Sử dụng Bn (n2 / (n)) , sử dụng hàm tập hợp c không giảm, kết luận Sn ESn (n(f(n2) / (n))1/2) a.s Bây chọn f để f(n2) / (n) bị chặn với n đủ lớn Để kết thúc điều này, chung ta đặt f(n2) (n) , cho giá trị n số nguyên chung ta chọn f cách làm khơng giảm, chứng tỏ �1 / nf (n)) hội tụ, chứng minh f � c Chuổi �1 / nf (n)) viết lại � � Rõ ràng k � � k / nf (n )) k �n ( k 1)2 / nf (n )) �(2k 1) / k f ( k ) k �n ( k 1) Từ f(n2) (n) �1 / n (n)) �chúng ta kết luận �1 / nf (n)) hội tụ Với việc chọn hàm f , Sn ESn (n(f(n2) / (n))1/2) a.s kéo theo Sn ESn / n � a.s Bây giờ, chứng minh khẳng định thứ 2của định lý Giả sử � d n/ (n) không giảm Chúng ta xét dãy biến ngẫu nhiên độc lập X n để n n1 biến X n nhận giấ trị 0, n, n với xác suất (1 / n ( n )) , / 2n ( n) , / 2n ( n ) n1 thỏa điều kiện n1 ( n1 ) Cho n �n1 giả sử X n nhận giá trị 1, -1, xác suất ½ Khi � n / (n) � EX n 0, n VX n � Thật vậy, Bn (n2 / (n)) , từ ( n �n1 ) (n>n1 ) �1 / n (n)) �, chung ta có P( X n n i.o.) Theo bổ đề Borel-Cantelli, dãy số thỏa điều kiện Sn ESn / n � 0a.s., sã có Sn / n � a.s., X n / n � 0a.s mâu thuẩn với P( X n n i.o.) Định lý 6.20 Giả sử X n biến ngẫu nhiên độc lập với hàm phân phối chuẩn Giả sử hàm đặc trưng f(t) EeitX thỏa điều kiện Cramér: n limsup f(t) t �� Khi với hàm � c : lim n(n) Sn �a.s Định lý 6.21 Giả sử X n biến ngẫu nhiên phân phối đồng nhất, độc lập với hàm đặc trưng f(t) thỏa điều kiện Cramér Giả sử EX1 VX1 � Khi lim n(n) Sn �a.s., với hàm � d