✬ ✩ BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————————o0o—————————— ĐỖ SƠN TÙNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS Nguyễn Bá Minh ✫ HÀ NỘI, 2017 ✪ Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường đại học sưu phạm Hà Nội Tác giả chân thành cẩm ơn PGS.TS Nguyễn Bá Minh tận tình hướng dẫn tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn Thạc sĩ Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng sau đại học, thầy cô nhà trường quan tâm giúp đỡ Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Đỗ Sơn Tùng i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn PGS TS Nguyễn Bá Minh luận văn chuyên ngành Tốn giải tích với đề tài “Một số tính chất ánh xạ đa trị ứng dụng" hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong q trình nghiên cứu hồn thành luận văn tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả Đỗ Sơn Tùng ii Mục lục Lời mở đầu Bảng kí hiệu chữ viết tắt Chương 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Nón khái niệm liên quan Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị Tính lồi theo nón ánh xạ đa trị Tính Lipchitz theo nón ánh xạ đa trị Xấp xỉ theo nón ánh xạ đa trị Chương 2.1 2.2 2.3 Một số tính chất theo nón ánh đa trị Một số ứng dụng ánh xạ đa trị 13 21 35 50 Một số toán 50 Bài toán tối ưu véctơ 52 Bài toán tựa tối ưu véctơ 56 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 68 iii Lời mở đầu Khái niệm ánh xạ đa trị nhà Toán học đưa từ năm đầu kỉ 20 nhu cầu phát triển thân Tốn học nhiều lĩnh vực khoa học khác Những định nghĩa, tính chất, phân lớp ánh xạ đơn trị dần mở rộng cho ánh xạ đa trị Và từ người ta tìm cách chứng minh kết thu từ đơn trị cho đa trị Berge đưa tính chất khác ánh xạ đa trị Đó tính nửa liên tục nửa liên tục ánh xạ đa trị Tương tự vậy, khái niệm lồi trên, lồi dưới, Lipschitz trên, Lipschitz dưới, Lipschitz theo khoảng cách Hausdorff đươc đưa Tiếp theo, tính khả vi, khả vi phân hàm số mở rộng cho hàm véctơ đa trị (hay ánh xạ đa trị) nhiều không gian khác Đinh Thế Lục, Nguyễn Xuân Tấn, Zowe,Tanino Đối với ánh xạ đa trị nhiều tác giả đưa khái niệm khác đạo hàm Người ta sử dụng khái niệm để điều kiện cần, điều kiện đủ cho toán tối ưu véctơ khác từ xây dựng nên lý thuyết cho tối ưu véctơ đa trị Trong năm qua việc nghiên cứu tính chất ánh xạ đa trị ứng dụng toán học thực tiễn phát triển mạnh Vì vậy, sau học kiến thức Tốn giải tích, với mong muốn tìm hiểu sâu kiến thức học mối quan hệ chúng, tơi chọn đề tài “Một số tính chất ánh xạ đa trị ứng dụng” Luận văn gồm chương Chương “Một số tính chất ánh xạ đa trị” trình bày số khái niệm tính chất nón, điểm hữu khơng gian tơpơ tuyến tính, khái niệm ánh xạ đa trị Trình bày số tính chất tính lồi, tính liên tục, tính Lipschitz, xấp xỉ theo nón ánh xạ đa trị mối liên hệ chúng Chương “Một số ứng dung ánh xạ đa tri” trình bày số ứng dụng tính chất nêu chương vào việc điều kiện cần, điều kiện đủ để tồn nghiệm số toán lý thuyết tối ưu véctơ đa trị như: toán tối ưu véctơ, toán tựa tối ưu véctơ Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu tính chất ánh xạ đa trị ứng dụng Nhiệm vụ nghiên cứu Tập trung nghiên cứu tính chất ánh xạ đa trị khơng gian tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số tính chất ánh xạ đa trị theo nón ứng dụng để tìm nghiệm tốn tối ưu véctơ Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tổng hợp kiên thức vận dụng vào mục đích nghiên cứu Bảng kí hiệu chữ viết tắt R R+ Rn Rn+ x∈M x∈ /M M ⊂N M N 2X M ∪N M ∩N M \N M +N λM ∂D conv D cone D int D, ri D, cl D x x, y dom F Gr F ∂f Du F (Dl F ) Ru F (Rl F ) tập số thực tập số thực không âm không gian Euclid n-chiều tập véctơ không âm Rn phần tử x thuộc M phần tử x không thuộc M M tập N M tập N khác N họ tất tập X hợp tập M N giao tập M N hiệu tập M N tổng tập M N không gian véctơ ảnh vi tự tập M theo tỉ số λ không gian véctơ biên D bao lồi D bao nón D phần trong, phần tương đối, bao đóng D chuẩn x không gian định chuẩn X tích vơ hướng khơng gian tuyến tính X X ∗ miền hữu hiệu ánh xạ F đồ thị F vi phân hàm f x đạo hàm tiếp liên (dưới) F đạo hàm radian (dưới) F Chương Một số tính chất theo nón ánh đa trị 1.1 Nón khái niệm liên quan Định nghĩa 1.1 Cho X khơng gian tuyến tính C ⊂ X Ta nói C nón X tc ∈ C với c ∈ C t ≥ Nón C gọi nón lồi C tập lồi X, nón C nón đóng C đóng X Trong trường hợp X khơng gian tơpơ tuyến tính với tập C X, ta kí hiệu: cl C, int C, conv C bao đóng, phần trong, bao lồi C Tiếp theo, kí hiệu l(C) = C ∩ (−C), ta có khái niệm sau Cho C nón khơng gian tơpơ tuyến tính X Ta nói rằng: i) C nón nhọn l(C) = ii) C nón sắc bao đóng nón nhọn iii) C nón cl C + C\l(C) ⊂ C Thấy nón C đóng C nón Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm tập sinh sở nón Định nghĩa 1.2 Cho C nón khơng gian tuyến tính Y Tập B ⊆ Y gọi tập sinh nón C, kí hiệu C = cone(B), C = {tb|b ∈ B, t ≥ 0} Trong trường hợp B không chứa điểm gốc O với c ∈ C, c = tồn b ∈ B, t ≥ cho c = tb B gọi sở nón C Hơn nữa, B tập hữu hạn phần tử tập C = cone(conv(B)) gọi nón đa diện Trong trường hợp Y khơng gian tơpơ tuyến tính Hausdorff, nón có cở sở lồi, đóng, giới nội nón lồi, đóng, nhọn Mệnh đề sau cho ta tính chất quan trọng nón sở lồi, đóng, giới nội khơng gian tuyến tính Y Mệnh đề 1.3 (xem [5]) Nếu C nón có sở lồi, đóng, giới nội với lân cận W điểm gốc Y tồn lân cận V O cho (V + C) ∩ (V − C) ⊆ W Định nghĩa 1.4 Cho nón C khơng gian tơpơ tuyến tính Y Gọi Y ∗ khơng gian tơpơ tuyến tính đối ngẫu Y Nón cực C C định nghĩa sau C = {ξ ∈ Y ∗ | ξ, c ≥ ∀c ∈ C} Ta thấy C nón, lồi đóng Y ∗ với tơpơ yếu* σ(Y, Y ∗ ) C nón sinh (nghĩa Y = C − C) C nón nhọn Định nghĩa 1.5 Cho Y khơng gian tơpơ tuyến tính C nón lồi Y Một tập A chứa Y gọi i) C-đầy đủ (C- đầy đủ mạnh) A khơng có phủ dạng {(xα − cl C)C : α ∈ I} (tương ứng{(xα − C)C : α ∈ I}), với (xα ) lưới giảm A ii) C-compắc phủ A có dạng {Uα + C|α ∈ I, Uα mở } chứa phủ hữu hạn iii) C-nửa compắc phủ A có dạng {(aα − cl C)C |α ∈ I, aα ∈ A} chứa phủ hữu hạn Định nghĩa 1.6 Cho X không gian tơpơ tuyến tính với thứ tự sinh nón lồi C, A tập khác rỗng X i) Điểm x ∈ A gọi điểm hữu hiệu lí tưởng A nón C y − x ∈ C với y ∈ A Tập điểm hữu hiệu lí tưởng A nón C kí hiệu IMin(A|C) IMin A ii) Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu Pareto A nón C, khơng tồn y ∈ A để x − y ∈ C\l(C) Tập điểm hữu hiệu Pareto A nón C kí hiệu PMin(A|C) PMin A iii) Điểm x ∈ A điểm hữu hiệu yếu (khi int C = ∅ C = Y ) A nón C, x ∈ Min(A|{0} ∪ int C) Tức x điểm hữu hiệu với thứ tự sinh nón int C Tập điểm hữu hiệu yếu A nón C kí hiệu WMin(A|C) WMin A WMin A iv) Điểm x ∈ A gọi điểm hữu hiệu thực A nón C tồn nón lồi C˜ khác Y chứa C\l(C) phần ˜ Tập điểm hữu hiệu thực A để x ∈ PMin(A|C) nón C kí hiệu PrMin(A|C) PrMin A Từ định nghĩa, ta có khẳng định sau a) x ∈ PMin A A ∩ (x − C) ⊂ x + l(C) b) x ∈ WMin A A ∩ (x − int C) = ∅ c) IMin A ⊂ PrMin A ⊂ PMin A ⊂ WMin A Định nghĩa 1.7 Cho X, Y không gian tơpơ tuyến tính Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y mà ứng với phần tử x ∈ X cho tập Y kí hiệu F : X → 2Y hay F : X ⇒ Y Miền hữu hiệu đồ thị F định nghĩa sau dom F = {x ∈ X|F (x) = ∅} Gr F = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x), x ∈ dom F } Nếu Y không gian tôpô tuyến tính với nón C, đồ thị F định nghĩa epi F = {(x, y) ∈ X × Y |y ∈ F (x) + C, x ∈ dom F } Nếu F xác định tập D khác rỗng X F gọi compắc F (D) compắc ... Tính liên tục theo nón ánh xạ đa trị Tính lồi theo nón ánh xạ đa trị Tính Lipchitz theo nón ánh xạ đa trị Xấp xỉ theo nón ánh xạ đa trị Chương 2.1 2.2 2.3 Một số tính chất theo nón ánh. .. Một số tính chất ánh xạ đa trị ứng dụng Luận văn gồm chương Chương Một số tính chất ánh xạ đa trị trình bày số khái niệm tính chất nón, điểm hữu khơng gian tơpơ tuyến tính, khái niệm ánh xạ. .. xạ đa trị Trình bày số tính chất tính lồi, tính liên tục, tính Lipschitz, xấp xỉ theo nón ánh xạ đa trị mối liên hệ chúng Chương Một số ứng dung ánh xạ đa tri” trình bày số ứng dụng tính chất