BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐINH THỊ THANH HUYỀN THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TỐN NEUMANN CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ĐINH THỊ THANH HUYỀN THẾ VỊ LỚP ĐƠN VÀ BÀI TỐN NEUMANN CHO PHƯƠNG TRÌNH POISSON LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Hà Nội, 2017 Lời cảm ơn Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Hà Tiến Ngoạn , người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để em hồn thành luận văn Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cán phòng Sau đại học, giảng viên chuyên ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức giảng dạy để em hoàn thành khóa học đào tạo chun ngành thạc sỹ tốn học Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ tạo điều kiện thuận lợi cho em trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Đinh Thị Thanh Huyền Lời cam đoan Em xin cam đoan, hướng dẫn PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, luận văn thạc sĩ chuyên ngành toán giải tích với đề tài “Thế vị lớp đơn tốn Neumann cho phương trình Poisson” hồn thành nhận thức thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Đinh Thị Thanh Huyền Mục lục Mở đầu Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các công thức Green 1.2 Bài toán Neumann cho phương trình Poisson 1.2.1 Bài toán Neumann 1.2.2 Điều kiện cần cho tính giải tốn Neumann Tính nghiệm Bài toán Neumann Biểu diễn tích phân hàm số 10 1.3.1 Nghiệm phương trình Laplace 10 1.3.2 Cơng thức biểu diễn tích phân hàm số 11 Góc khối Mặt Liapunov 13 1.4.1 Góc khối 13 1.4.2 Mặt Liapunov 14 Phương trình tích phân Fredholm loại II 17 1.2.3 1.3 1.4 1.5 Thế vị lớp đơn toán Neumann 2.1 20 Thế vị khối 20 2.1.1 20 Thế vị khối tính chất 2.1.2 2.2 2.3 2.4 2.5 Đưa tốn Neumann cho phương trình Poisson tốn Neumann cho phương trình Laplace 21 Thế vị lớp kép 22 2.2.1 Thế vị lớp kép 23 2.2.2 Các tính chất vị lớp kép 23 2.2.3 Tích phân Gauss 24 Thế vị lớp đơn 25 2.3.1 Khái niệm vị lớp đơn 25 2.3.2 Đạo hàm theo pháp tuyến vị lớp đơn 26 Đưa tốn Neumann phương trình tích phân Fredholm loại hai biên 27 2.4.1 Bài toán Newmann Ni 29 2.4.2 Bài tốn Neumann ngồi 30 Điều kiện đủ tính tương thích 30 Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 Mở đầu Lý chọn đề tài Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, tốn Neumann cho hàm điều hòa người ta giải tường minh cho miền đơn giản như: hình cầu nửa mặt phẳng Đối với miền tốn khó đòi hỏi cần đưa công cụ giải đơn giản Mục đích nghiên cứu Trên sở tính chất vị đơn, luận văn phương pháp để giải tốn Neumann cho phương trình Poisson, đưa giải phương trình tích phân Fredholm loại hai biên miền Nhiệm vụ nghiên cứu Luận văn trình bày sở khái niệm liên quan như: vị lớp đơn tính chất chúng, phương trình tích phân Fredholm loại hai tính chất nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Người ta biết rằng, điều kiện cần để nghiệm tốn Neumann cho phương trình Poisson tồn tại, vế phải phương trình hàm số cho trước biên phải thỏa mãn điều kiện tương thích định Luận văn chủ yếu tập trung vào chứng minh điều kiện tương thích nói điều kiện đủ cho tồn nghiệm toán Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng kết lý thuyết Phương trình đạo hàm riêng elliptic, Giải tích hàm tuyến tính Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các công thức Green Giả sử Ω ⊂ Rn miền giới nội Rn , n giới hạn mặt S trơn mảnh, u(x), v(x) hàm số có đạo hàm riêng cấp đạo hàm riêng cấp hai liên tục Ω ∪ S Khi ta có cơng thức Green thứ u(x)∆v(x)dx = − (∇u(x), ∇v(x)dx + Ω Ω ∂Ω u(x) ∂v(x) ∂νx dSx n xi xj , ∆u = i,j νx = (ν1 , ν2 , , νn ) vectơ pháp tuyến đơn vị x, ∇u(x) = (ux1 , ux2 , ., uxn ), ∂u ∂u ∂u = ( ∂x , , ∂x ), ∂x2 n ∂v(x) ∂ν(x) n = j=1 ∂v ∂xj νj = (∇v, νx )là đạo hàm v theo hướng νx Chứng minh (1.1) n u(x)∆v(x)dx = Ta có Ω u(x) j=1 Ω n =− Ω j=1 ∂ ∂v ∂xj ( ∂xj )dx ∂v ∂u ∂xj ∂xj dx n + u(x)( ∂Ω j=1 = − (∇u(x), ∇v(x))dx + Ω ∂Ω ∂v(x) ∂xj νj )dSx ∂v (x)dSx u(x) ∂ν x Từ ta có cơng thức (1.1) Trong cơng thức Green thứ đổi vai trò u(x) v(x) sau lấy (1.1) trừ kết vừa nhận được, ta có cơng thức Green thứ hai { u(x)∆v(x) − v(x)∆u(x)} dx = Ω ∂Ω ∂u(x) { u(x) ∂v(x) ∂νx −v(x) ∂νx } dSx (1.2) 1.2 Bài tốn Neumann cho phương trình Poisson 1.2.1 Bài toán Neumann Giả sử Ω miền giới nội Rn , n Bài toán Neumann phương trình Poisson đặt sau: Tìm hàm điều hòa u(x) liên tục miền Ω với biên S cho đạo hàm theo hướng pháp tuyến biên S trùng với hàm ϕ liên tục cho trước biên S Nói khác ∆u = f (x), x ∈ Ω, (1.3) ∂v(x) = ϕ(x), x ∈ S ∂ν(x) (1.4) Nếu Ω miền bên ngồi Ω biên S ta có tốn Neumann ngồi Đối với tốn Neumann ngồi hàm u(x) ràng buộc thêm điều kiện vô tận Định lí 1.7.(Định lí 5.11.2, [1]) Điều kiện cần đủ để phương trình (1.23) giải vế phải f (x) thỏa mãn hệ thức f (x)ρk (x)dVx = 0, k = 1, 2, ., p, (1.25) Ω {ρk (x)} hệ đầy đủ nghiệm độc lập tuyến tính phương trình liên hợp (1.23∗ ) Từ suy Định lí 1.8.(Định lí 5.11.3, [1]) Điều kiện cần đủ để phương trình (1.23) giải với vế phải f(x) liên tục phương trình (1.23) có nghiệm tầm thường µ(x) = Khi phương trình (1.23) có nghiệm 19 Chương Thế vị lớp đơn toán Neumann 2.1 2.1.1 Thế vị khối Thế vị khối tính chất Xét vi khối sau E(x − y)ρ(y)dy, U (x) = (2.1) Ω Ω miền giới nội Đối với vị khối ta có tính chất sau Định lí 2.1.(Định lí 5.5.1, [1]) Nếu mật độ ρ(y) vị khối (2.1) hàm giới nội khả tích Ω vị hàm khả vi liên tục tồn khơng gian đạo hàm tính cách đạo hàm dấu tích phân Hơn ∆U (x) = −ρ(x), x ∈ Ω 20 Chứng minh Ta cần chứng minh tính liên tục vị khối tồn khơng gian Sau chứng minh đạo hàm riêng cấp vị khối nói hàm liên tục 2) Định lí 2.2.(Định lí 5.5.2, [1]) Nếu mật độ ρ(y) vị khối (2.1) hàm giới nội khả tích bên miền Ω, vị (2.1) hàm điều hòa ∆U (x) = 0; x ∈ /Ω (2.2) Phương trình (2.2) gọi phương trình Laplace 2.1.2 Đưa tốn Neumann cho phương trình Poisson tốn Neumann cho phương trình Laplace Áp dụng: Đưa tốn biên phương trình Poisson tốn biên phương trình Laplace Giả sử cho tốn Neumann cho phương trình Poisson (phương trình Laplace khơng nhất) ∆u = f (x); x ∈ Ω, (2.3) ∂u(x) |S = ϕ(x), x ∈ ∂Ω, ∂νx (2.4) n ∆u = j=1 ∂u ∂2u ∂xj , ∂νx 21 n = j=1 ∂u νj ∂x j Giả thiết f (x) hàm khả vi liên tục Ω Ta xây dựng nghiệm riêng U (x) phương trình (2.3) Theo Định lí 2.1, ta chọn U (x) hàm E(x − y)f (y)dy U (x) = Ω Khi ∆U (x) = −f (x) Nên ta có v(x) = −U (x) + u(x) Khi ∆v = Bài tốn Neumann cho phương trình Poisson chuyển tốn Neumann cho phương trình Laplace sau ∂v ∂νx ∂v ∂νx = ∂Ω ∂u ∂νx − ∂Ω = ∂u ∂νx ∂U ∂νx − ∂U ∂νx , = ϕ(x) − Uo (x) = ϕ (2.5) ∂Ω Như ta đưa tốn Neumann cho phương trình Neumann tốn Dirichlet cho phương trình Laplace 2.2 Thế vị lớp kép Để nghiên cứu tính chất vị lớp đơn trước hết ta xét khái niệm vị lớp kép 22 2.2.1 Thế vị lớp kép Định nghĩa 2.1 Tích phân phụ thuộc tham biến x ∂ E(x − y)ρ(y)dSy ∂νy W(x) = (2.6) S gọi vị lớp kép x, gây nên mật độ ρ(y) xác định S S mặt Liapunov kín 2.2.2 Các tính chất vị lớp kép Định lí 2.3.(Định lí 5.6.1, [1]) Giả sử hàm mật độ vị lớp kép (2.6) hàm giới nội khả tích S Khi W(x) = S ∂ ∂νy E(x − y)ρ(y)dSy hàm điều hòa với x ∈ / S Chứng minh Khi x ∈ / S ta có ∂ [∆E(x − y)]ρ(y)dSy = ∂vy ∆W = S Hơn đánh giá W(x),x → ∞ ∂ (E(x − y)) = cos (νx , νy ) E(x − y) ∂νy Ta có |W(x)| E(x − y) → 23 (2.6) Định lí 2.4.(Định lí 5.6.2, [1]) Giả sử S mặt Liapunov kín mật độ ρ(y) vị lớp kép (2.6) hàm giới nội khả tích S Khi vị lớp kép (2.6) có giá trị hồn tồn xác định x ∈ S giá trị hàm liên tục x S 2.2.3 Tích phân Gauss − Định nghĩa 2.2 Giả sử S mặt kín, → νy pháp tuyến ngồi y Tích phân Gauss tích phân dạng ∂E(x − y) dSy ∂νy W0 (x) = (2.7) S Nó dạng đặc biệt vị lớp kép trường hợp với hàm mật độ ρ(y) = Ta biết tích phân Gauss x ∈ / S Wo (x) = −wx (S) giá trị góc khối nhiều từ P = x ta nhìn xuống S , với quy ước pháp tuyến pháp tuyến dương Định lí 2.5.(Định lí 5.7.1, [1]) Đối với mặt Liapunov kín Rn tích phân Gauss có giá trị sau 24 W0 (x) = S     1, x ∈ Ω     ∂E(x−y) ∂νy dSy =  , x ∈ S      0, x ∈ / Ω Định lí 2.6(Định lí 5.7.1, [1]) Giả sử S mặt Liapunov kín Rn ν(y) hàm liên tục S Khi vị lớp kép W(x) = S ∂E(x−y) ∂νy ρ(y)Sy thỏa mãn hệ thức sau Wi (xo ) = W(xo ) + ρ(xo ), (2.8) We (xo ) = W(xo ) − ρ(xo ) (2.9) Trong xo ∈ S , Wo (x) giá trị trực tiếp W(x) x = xo , Wi (xo ) giá trị giới hạn W(x) x → xo từ bên S ra, We (xo ) giá trị giới hạn W(x) x → xo từ bên S vào 2.3 2.3.1 Thế vị lớp đơn Khái niệm vị lớp đơn Giả sử S mặt Liapunov kín Rn bao quanh miền bị chặn Ω Định nghĩa 2.3 Tích phân phụ thuộc tham biến x ∈ Rn E(x − y)µ(y)dSy V (x) = S 25 (2.10) gọi vị lớp đơn x, gây nên S với hàm mật độ µ(y) Định lí 2.7.(Định lí 5.9.1, [1]) Nếu hàm mật độ vị lớp đơn (2.10) hàm giới nội khả tích S V (x) hàm điều hòa x ∈ / S Chứng minh Ta có x ∈ / S ∆E(x − y)µ(y)dSy = ∆V = S Khi x → ∞ ta có |V (x)| c ; c = const, r = r n xi i=1 Như V (x) điều hòa vơ tận Định lí 2.8 (Định lí 5.9.2, [1]) Giả sử S mặt Liapunov kín Rn hàm mật độ µ(y) vị lớp đơn (2.10) hàm giới nội khả tích S Khi vị lớp đơn (2.10) hàm liên tục tồn khơng gian 2.3.2 Đạo hàm theo pháp tuyến vị lớp đơn − Giả sử S mặt Liapunov kín, xo điểm cố định S , → νo vectơ pháp tuyến mặt S xo Xét vị lớp đơn ta nghiên cứu − đạo hàm x V (x) theo hướng → νo 26 ∂V (x) ∂νo Nếu x ∈ / S ta tính ∂V (x) ∂νo cách lấy đạo hàm dấu tích phân ∂E(x − y) µ(y)dSy ∂νo ∂V (P ) = ∂νo (2.11) S Định lí 2.9.(Định lí 5.10.1, [1]) Giả sử S mặt Liapunov kín µ(x) hàm giới nội khả tích S ∂V (P ) ∂νo = S ∂E(x−y) ∂νo µ(y)dSy = ωn S →→ − cos(− xy, νo ) µ(y)dSy n−1 r hồn tồn xác định x = xo ∈ S Giá trị tích phân gọi giá trị trực tiếp thường kí hiệu ∂V (xo ) ∂νo , ∂V (xo ) ∂νo ∂V ∂νo x = xo ∈ S cụ thể = ωn S → − (− x→ o y, νo ) rn−1 µ(y)dSy Định lí 2.10.(Định lí 5.10.2, [1]) Nếu S mặt Liapunov kín, µ(y) hàm liên tục mặt S ta có 2.4 ∂V (x) ∂V (xo ) = − µ(xo ), ∂νoi ∂νo (2.12) ∂V (x) ∂V (xo ) = + µ(xo ) ∂νoi ∂νo (2.13) Đưa tốn Neumann phương trình tích phân Fredholm loại hai biên Xét mặt Liapunov kín S bao quanh miền Ω Rn (n 2) Gọi Ω = Rn \Ω miền ngoài, f (xo ) hàm liên tục biên S Ta xét hai 27 toán sau Bài tốn Neumann (Ni ) Tìm hàm u(x) liên tục Ω ∪ S cho ∆u(x) = 0, x ∈ Ω, ∂u(x) ∂νx = ϕ(x), x ∈ (2.18) (2.19) S Bài tốn Newmann ngồi (Ne ) Tìm hàm u(x) liên tục Ω ∪ S cho ∆u(x) = 0, x ∈ Ω , ∂u(x) ∂νx |u| Trong đạo hàm ∂u(x) ∂νx |S (2.20) = ϕ(x), x ∈ S, (2.21) A , x → ∞ r (2.22) S hiểu đạo hàm theo pháp tuyến, hàm f (x) hàm liên tục mặt S r khoảng cách từ x tới gốc tọa độ Ta kí hiệu tốn Newmann Ni , Ne Đối với tốn ta tìm nghiệm dạng vị lớp đơn Ta biết hàm điều hòa Ω, Ω đo thỏa mãn phương trình (2.18), (2.20) sau ta buộc vị phải thỏa mãn điều kiện biên Sau 28 ta đưa tốn tìm nghiệm u(x) tốn tìm hàm mật độ vị đó, đưa đến phương trình tích phân để xác định hàm mật độ, cụ thể sau 2.4.1 Bài tốn Newmann Ni Ta tìm nghiệm dạng vị lớp đơn E(x − y)µ(y)dSy u(x) = (2.23) S Điều kiện (2.18) ta viết ∂u(x) ∂νx = ϕ(x) Dùng công thức (2.12) cho (2.23) ta phương trình µ(x) + ∂u(x) ∂νi = ϕ(x) hay µ(x) + K(x, y)µ(y)dSy = 2ϕ(x), S K(x, y) = ∂E(x−y) ∂νy , − với → νx pháp tuyến mặt S điểm x ∈ S nên ta có K(x, y) = 2π ∂E(x−y) = 2π ∂E(y−x) ∂νy ∂νx Phương trình liên hợp (2.24) phương trình 29 (2.24) ρ(x) + K(y, x)ρ(y)dSy = 2ϕ(x) S 2.4.2 Bài tốn Neumann ngồi Ta tìm nghiệm dạng vị lớp đơn (2.23) (2.13) (2.21) viết µ(x) + K(x, y)µ(y)dSy = 2ϕ(x), (2.25) S với K(y, x) = ∂E(x−y) ∂νy , ϕ(x) = 2π f (x) Phương trình liên hợp (2.25) phương trình sau ρ(x) + K(y, x)ρ(x)dSy = 2ϕ(x) (2.26) S 2.5 Điều kiện đủ tính tương thích Định lí 2.11 Điều kiện cần đủ để tốn Neumann Ni có nghiệm vế phải (2.12), (2.13), (2.14), (2.15) phải thỏa mãn hệ thức f (x)dx = Ω ϕ(x)dSx (2.27) S Ở chương I ta chứng minh hệ thức (2.27) cần Bây ta chứng minh hệ thức (2.27) đủ để toán Ni giải 30 Bổ đề 2.1 Phương trình tích phân K(x, y)µ(y)dSy = 2ϕ(x), x ∈ S µ(x) + (2.28) S giải với K(y, x) = ∂E(x−y) ∂νy Chứng minh Phương trình liên hợp tương ứng (2.28) có dạng K(y, x)ρ(y)dSy = 2ϕ(x), y ∈ S ρ(x) + (2.29) S Không gian nghiệm phương trình (2.29) có số chiều sinh hàm ρ(x) ≡ Do để chứng minh (2.28) giải được, ta cần kiểm tra ϕ(x)dSx = S Thật (ϕ(x) − νo (x))dSx = ϕ(x)dSx = S S S ∂Ux ∂νx dSx ϕ(x)dSx − = S ϕ(x)dSx − S S 31 S ϕ(x)dSx − f (x)dx = ∆U (x)dx = Ω ϕ(x)dSx − νo (x)dSx = S Ω Kết luận Luận văn trình bày vấn đề sau +) Một số kiến thức sở công thức Green, cơng thức biểu diễn tích phân hàm số, mặt cong Liapunov phương trình tích phân Fredholm loại hai +) Các tốn Neumann ngồi Điều kiện cần để có nghiệm tốn Neumann cho phương trình Poisson tồn +) Khái niệm vị lớp đơn, tính chất vị lớp đơn ứng dụng vào việc giải toán Neumann ngồi phương trình Poisson 32 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] A V Bitsadze (1994), Partial Differential Equations, World Scientific, Singapore - New Jersey - Lodon - Hong Kong 33 ... tốn Neumann cho phương trình Poisson tốn Neumann cho phương trình Laplace 21 Thế vị lớp kép 22 2.2.1 Thế vị lớp kép 23 2.2.2 Các tính chất vị lớp. .. gọi phương trình Laplace 2.1.2 Đưa tốn Neumann cho phương trình Poisson tốn Neumann cho phương trình Laplace Áp dụng: Đưa tốn biên phương trình Poisson tốn biên phương trình Laplace Giả sử cho. .. Bài tốn Neumann cho phương trình Poisson 1.2.1 Bài toán Neumann Giả sử Ω miền giới nội Rn , n Bài toán Neumann phương trình Poisson đặt sau: Tìm hàm điều hòa u(x) liên tục miền Ω với biên S cho