BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ XUÂN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ XUÂN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN METRIC TỪNG PHẦN Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Hà Đức Vượng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Hà Đức Vượng, thầy định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tác giả hồn thành luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể Thầy, Cơ giáo khoa Tốn đặc biệt chun ngành Tốn Giải tích, Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trình học tập hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Xuân Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Điểm bất động ánh xạ co yếu không gian metric phần tơi tự làm Trong q trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Xuân Mục lục Bảng kí hiệu Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.2 Không gian metric 12 Điểm bất động ánh xạ co yếu không gian metric phần 26 2.1 Không gian metric phần 26 2.2 Định lý điểm bất động 35 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 45 Bảng kí hiệu N Tập số tự nhiên R Tập số thực R+ Tập số thực không âm ∅ Tập rỗng T :X→X Ánh xạ T từ tập hợp X vào tập hợp X (X, d) Không gian metric d(x, y) Khoảng cách hai phần tử x y (X, p) Không gian metric phần ✷ Kết thúc chứng minh Mở đầu Lí chọn đề tài Xét ánh xạ f : M → M với M tập tùy ý, không rỗng Nếu có điểm xo ∈ M thỏa mãn f (xo ) = xo xo gọi điểm bất động ánh xạ f tập M Các kết nghiên cứu lĩnh vực hình thành nên "Lý thuyết điểm bất động" (fixed point theory) gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học lớn Banach, Brouwer, Schauder, Sadovski, Tikhonov, Ky Fan, Một hướng nghiên cứu Lý thuyết điểm bất động điểm bất động lớp ánh xạ co, mở đầu nguyên lý ánh xạ co Banach (1922): Mọi ánh xạ co không gian metric đầy đủ có điểm bất động [1] Tức cho (X, d) không gian metric đầy đủ, ánh xạ f : X → X thỏa mãn: d(f x, f y) mãn: kd(x, y), ∀x, y ∈ X Trong k số thỏa k < Khi f có điểm bất động X Sau nhiều nhà tốn học theo hướng nghiên cứu số k mở rộng thành hàm, với điều kiện cụ thể hình thành nên lớp ánh xạ co khác Ta gọi chung lớp ánh xạ co yếu Kết mạnh lớp ánh xạ co yếu định lý Meir – Keeler (1964) Năm 1994, Matthews đưa khái niệm metric phần (partial metric) không gian metric phần định nghĩa sau: X tập không rỗng, ánh xạ p : X × X → R+ thỏa mãn: p(x, x) p(x, y), ∀x, y ∈ X ; Nếu p(x, x) = p(x, y) = p(y, y) x = y, ∀x, y ∈ X ; p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ X ; p(x, y) p(x, z) + p(z, y) − p(z, z), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, p gọi metric phần cặp (X, d) gọi không gian metric phần [4] Năm 2013, H P Mashiha, F Sabetghadam hai nhà toán học người Iran với N Shahzad người Saudi Arabia công bố kết điểm bất động ánh xạ co yếu không gian metric phần báo: "Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an Application" [3] Với mong muốn tìm hiểu sâu điểm bất động lớp ánh xạ co, hướng dẫn TS Hà Đức Vượng, chọn đề tài nghiên cứu: "Điểm bất động ánh xạ co yếu không metric phần" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động không gian metric phần, kết mở rộng điểm bất động không gian metric phần Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu không gian metric phần Các định lý điểm bất động không gian metric phần Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu định lý điểm bất động không gian metric phần dựa hai báo: - "Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an Application" (2013) H P Masiha, F Sabetghadam, N Shahzad [3] - " Partial metric topology " (1994) S G Matthews [4] Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, vận dụng số phương pháp giải tích hàm để phục vụ cho mục đích nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn Qua đề tài xây dựng luận văn tổng quan điểm bất động cho lớp ánh xạ co yếu không gian metric phần Luận văn giúp người đọc hiểu sâu điểm bất động không gian metric phần cho lớp ánh xạ co yếu Luận văn gồm hai chương nội dung: Chương 1, Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức không gian tôpô, không gian metric, không gian metric đầy đủ với ví dụ phản ví dụ minh họa Cuối cùng, chúng tơi trình bày nguyên lý ánh xạ co Banach Chương 2, Điểm bất động ánh xạ co yếu không gian metric phần Trong chương chúng tơi trình bày khái niềm metric phần, không gian metric phần (partial metric space ), hội tụ không gian metric phần Cuối cùng, chúng tơi trình bày định lý điểm bất động ánh xạ co yếu không gian metric phần 31 Chứng minh Thật vậy, lấy {xn } dãy Cauchy tùy ý R+ Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có lim p(xn , xm ) tồn hữu hạn Ta giả n,m→∞ thiết giới hạn x ∈ R+ Theo định nghĩa metric phần ta có x = max{x, x} = p(x, x) Vậy lim p(xn , xm ) = p(x, x) nên (R+ , pmax ) không gian metric n,m→∞ phần đầy đủ Nhận xét 2.1.3 Trong không gian metric (X, d) ta ln có x = y Suy d(x, y) = Hay d(x, x) = 0, ∀x ∈ (X, d), tức khoảng cách từ điểm đến ln Nhưng khơng gian metric phần (X, p) điều không Tức p(x, y) = ta có x = y x = y khơng thể suy p(x, y) = Hay p(x, x) ≥ 0, ∀x ∈ (X, p) Nếu p(x, x) = 0, ∀x ∈ (X, p) p trở thành metric thơng thường.Ta minh họa ví dụ sau Ví dụ 2.1.3 Gọi S ω tập tất dãy vô hạn x = {x0 , x1 , } tập hợp S Với dãy x y S ω ta xác định dS (x, y) = 2−k k số lớn (có thể ∞) chiều dài dãy x dãy y cho xi = yi , ∀i < k Tức k chiều dài dãy dài nhất, hay k = sup{i : i ≤ length(x) ∨ i ≤ length(y) ∨ ∀j < i, xj = yj } 32 Ta dễ kiểm tra (S ω , dS ) không gian metric Như dS (x, x) = 2−k với x ∈ S ω dãy vô hạn hay k = ∞ nên ta có dS (x, x) = Xét chương trình máy tính để in kết dãy, ta phải in giá trị x0 , x1 , Ta thu dãy hữu hạn {x0 }, {x0 , x1 }, , {x0 , x1 , , xk } phận dãy vơ hạn trình bày Giả sử ta gọi tập hợp tất dãy hữu hạn tập hợp S S ∗ Hiển nhiên dS (x, x) = 2−k với x dãy hữu hạn, chiều dài dãy k < ∞ dS (x, x) = 0, ∀x ∈ S ∗ Nhận xét 2.1.4 Cho (X, p) khơng gian metric phần Khi ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y), ∀x, y ∈ X metric X Chứng minh Thật vậy, theo định nghĩa metric phần p, ta có p(x, x) ≤ p(x, y), p(y, y) ≤ p(y, x), ∀x, y ∈ X Suy 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X Hay ps (x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X 33 Nếu x = y 2p(x, x) − p(x, x) − p(x, x) = 0, hay ps (x, y) = Ta có ps (x, y) = 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y), ∀x, y ∈ X ps (y, x) = 2p(y, x) − p(y, y) − p(x, x), ∀x, y ∈ X Vì p(x, y) = p(y, x), ∀x, y ∈ X nên ta có ps (x, y) = ps (y, x), ∀x, y ∈ X Cuối ta kiểm tra bất đẳng thức tam giác Với x, y, z ∈ X, theo định nghĩa metric phần ta có p(x, y) ≤ p(x, z) + p(z, y) − p(z, z) Hay 2p(x, y) ≤ 2p(x.z) + 2p(z, y) − 2p(z, z), ∀x, y, z ∈ X Suy 2p(x, y) − p(x, x) − p(y, y) ≤ [2p(x, z) − p(x, x) − p(z, z)] + [2p(z, y) − p(z, z) − p(y, y)] với x, y, z ∈ X Hay ps (x, y) ≤ ps (x, z) + ps (z, y), ∀x, y, z ∈ X Vậy (X, ps ) không gian metric Nhận xét 2.1.5 Cho (X, p) không gian metric phần (X, ps ) không gian metric tương ứng {xn } dãy Cauchy (X, p) dãy Cauchy khơng gian metric (X, ps ) 34 Không gian metric phần (X, p) đầy đủ không gian metric (X, ps ) đầy đủ Hơn nữa, lim ps (xn , x) = n→∞ p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ lim p(xn , xm ) n,m→∞ Chứng minh Giả sử (X, p) khơng gian metric đầy đủ Ta có {xn } dãy Cauchy, {xn } ∈ (X, p) Vậy {xn } hội tụ x ∈ X Ta có lim p(xn , x) = p(x, x) n→∞ Mặt khác, {xn } dãy Cauchy ta có lim p(xn , xm ) tồn hữu hạn n,m→∞ Do định nghĩa metric phần ta có p(xn , xm ) ≤ p(xn , x) + p(x, xm ) − p(x, x) Chuyển qua giới hạn n, m → ∞ ta có lim p(xn , xm ) ≤ n,m→∞ lim [p(xn , x) + p(x, xm ) − p(x, x)] n,m→∞ = p(x, x) Suy lim p(xn , xm ) = p(x, x) n,m→∞ Ta lại có ps (xn , xm ) = 2p(xn , xm ) − p(xn , xn ) − p(xm , xm ) ≤ 2p(xn , xm ) − [p(xn , x) + p(x, xn ) − p(x, x)] − [p(xm , x) + p(x, xm ) − p(x, x)] 35 Chuyển qua giới hạn n, m → ∞ ta có lim ps (xn , xm ) = n,m→∞ Vậy {xn } dãy Cauchy (X, ps ) Do ps (xn , x) = 2p(xn , x) − p(xn , xn ) − p(x, x) ≤ 2p(xn , x) − [p(xn , x) + p(x, xn ) − p(x, x)] − p(x, x) Chuyển qua giới hạn n → ∞ ta có lim ps (xn , x) ≤ lim {2p(xn , x) − [p(xn , x) + p(x, xn ) − p(x, x)] − p(x, x)} n→∞ n→∞ = Dãy Cauchy {xn } ⊂ (X, ps ) hội tụ x ∈ X nên (X, ps ) không gian metric đầy đủ Ta suy lim ps (xn , x) = n→∞ ⇔ p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ 2.2 lim p(xn , xm ) n,m→∞ Định lý điểm bất động Định nghĩa 2.2.1 [3] Cho hàm số ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) thỏa mãn 36 ϕ (0) = 0, ϕ (t) > ∀t > ϕ hàm nửa liên tục dưới, tức với dãy {rn } khơng âm, khơng tăng có lim inf ϕ(rn ) ≥ ϕ(r) n→∞ lim rn = r n→∞ Với dãy {rn } mà lim rn = tồn số a ∈ (0, 1) n0 ∈ N n→∞ cho ϕ(rn ) ≥ arn với ∀n ≥ n0 Ký hiệu họ hàm ϕ φ : φ = {ϕ : xác định Định nghĩa 2.2.1} Định lý 2.2.1 [3] Cho không gian metric phần đầy đủ (X, p), X tập thứ tự phận T : X → X ánh xạ liên tục không giảm thỏa mãn p(T x, T y) ≤ p(x, y) − ϕ(p(x, y)), ∀x, y ∈ X Nếu ∃x0 ∈ X mà x0 ≤ T x0 ∃x ∈ X cho x = T x p(x, x) = Chứng minh Nếu T x0 = x0 định lý chứng minh Giả sử x0 = T x0 Đặt xn = T xn−1 , n = 1, 2, Nếu ∃n0 ∈ N mà có xn0 = xn0 +1 = T xn0 xn0 điểm bất động T Ta giả thiết xn = xn+1 , ∀n ∈ N 37 Từ x0 ≤ T x0 T khơng giảm nên ta có x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ xn+1 ≤ Vậy p(xn+1 , xn ) = p(T xn , T xn−1 ) ≤ p(xn , xn−1 ) − ϕ(p(xn , xn−1 )) < p(xn , xn−1 ) Ta suy {ρn } = {p(xn+1 , xn )} dãy không âm, không tăng nên tồn lim ρn = ρ n→∞ Nếu ρ > ∃n0 ∈ N cho ϕ(ρn ) ≥ ϕ(ρ) > 0, ∀n > n0 Ngồi ta có ρn ≤ ρn−1 − ϕ(ρn−1 ) ≤ ρn−1 − ϕ(ρ) Chuyển qua giới hạn, cho n → ∞ ta ρ ≤ ρ − ϕ(ρ) < ρ, điều mâu thuẫn Vậy ρ = Bây ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Vì lim p(xn , xn−1 ) = nên từ định nghĩa ϕ ta suy tồn < a < n→∞ n0 ∈ N cho ϕ(p(xn , xn−1 )) ≥ ap(xn , xn−1 ), ∀n > n0 Mặt khác từ giả thiết định lý ta có p(xn+1 , xn ) ≤ p(xn , xn−1 ) − ϕ(p(xn , xn−1 )) ≤ (1 − a)(p(xn , xn−1 )) (2.1) 38 Suy p(xn+1 , xn ) ≤ (1 − a)p(xn , xn−1 ) ≤ ≤ (1 − a)n (x1 , x0 ) (2.2) Đặt λ = (1 − a) ta có ps (xn+1 , xn ) = 2p(xn+1 , xn ) − p(xn+1 , xn+1 ) − p(xn , xn ) ≤ 2p(xn+1 , xn ) + p(xn+1 , xn+1 ) + p(xn , xn ) ≤ 4λn p(x1 , x0 ) Suy lim p(xn+1 , xn ) = n→∞ Khi ta có ps (xn+k , xn ) ≤ ps (xn+k , xn+k−1 ) + + ps (xn+1 , xn ) ≤ 4λn+k−1 p(x1 , x0 ) + + 4λn p(x1 , x0 ) λn (1 − λk ) p(x1 , x0 ) =4 1−λ λn ≤4 p(x1 , x0 ) 1−λ Vì lim λn = nên ta có n→∞ lim ps (xn+k , xn ) = n→∞ Vậy {xn } dãy Cauchy khơng gian metric (X, ps ) Vì giả thiết (X, p) không gian đầy đủ nên (X, ps ) không gian metric đầy đủ, dãy {xn } hội tụ tới x ∈ X Ta có lim ps (xn , x) = 0, x ∈ X n→∞ 39 Mặt khác, theo nhận xét 2.1.4 ta có p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ lim p(xn , xm ) n,m→∞ (2.3) Do {xn } dãy Cauchy không gian metric (X, ps ) nên ta có lim ps (xn , xm ) = n,m→∞ Từ (2.2) ta suy lim p(xn , xn ) = n→∞ Do đó, từ định nghĩa ps ta suy lim p(xn , xm ) = n,m→∞ Vậy ta có p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ lim p(xn , xm ) = n,m→∞ Bây ta chứng minh T x = x phản chứng Giả sử p(x, T x) > Do T liên tục nên với ∀ > 0, ∃δ > cho T (Bρ (x, δ)) ≤ Bρ (T x, ) Từ p(x, x) = lim p(xn , x) = nên ∃k ∈ N cho n→∞ p(xn , x) < p(x, x) + δ, ∀n ≥ k Ngồi ta có xn ∈ Bρ (x, ), ∀n ≥ k Vì T xn ∈ T (Bρ (x, )) ⊆ Bρ (T x, ) nên p(T xn , T x) < p(T x, T x) + , ∀n ≥ k 40 Suy lim p(xn+1 , T x) = p(T x, T x) n→∞ Từ bất đẳng thức p(x, T x) ≤ p(x, xn+1 ) + p(xn+1 , T x) − p(xn+1 , xn+1 ) ≤ p(x, xn+1 ) + p(xn+1 , T x), chuyển qua giới hạn n → ∞ ta có p(x, T x) ≤ p(T x, T x) ≤ p(x, x) − ϕ(p(x, x)) = Suy p(x, T x) ≤ 0, trái với giả thiết Vậy p(x, T x) = 0, tức x = T x điểm bất động ánh xạ T (X, p) Định lý 2.2.2 [3] Cho không gian metric phần đầy đủ (X, p), X tập thứ tự phận Giả sử T : X → X ánh xạ không giảm cho p(T x, T y) ≤ p(x, y) − ϕ(p(x, y)), ∀x, y ∈ X, ϕ ∈ φ Dãy {xn } dãy không tăng với lim xn = x ∈ X xn ≤ x với n n→∞ Nếu ∃x0 ∈ X với x0 ≤ T x0 tồn x ∈ X cho x = T x, p(x, x) = Chứng minh Tương tự chứng minh định lý 2.2.1 ta xây dựng dãy {xn } X xác định xn = T xn−1 cho x0 ≤ x1 ≤ x2 ≤ ≤ xn ≤ xn+1 ≤ 41 Do {xn } dãy Cauchy không gian metric(X, ps ) nên tồn x ∈ X cho p(x, x) = lim p(xn , x) = n→∞ lim p(xn , xm ) = n,m→∞ Bây ta chứng minh T x = x phản chứng Giả sử p(x, T x) > Khi ta có p(x, T x) ≤ p(x, xn+1 ) + p(xn+1 , T x) − p(xn+1 , xn+1 ) ≤ p(x, xn+1 ) + p(T xn , T x) ≤ p(x, xn+1 ) + p(xn , x) − ϕ(p(xn , x)) Chuyển qua giới hạn, cho n → ∞ ta có p(x, T x) ≤ 0, trái với giả thiết Vậy p(x, T x) = hay x = T x điểm bất động ánh xạ T X Ví dụ 2.2.1 Cho X = [0, ∞) X tập thứ tự với thứ tự tự nhiên tập số thực Định nghĩa p : X × X → R xác định p(x, y) = max{x, y} Khi ta có (X, p) không gian metric phần đầy đủ Ánh xạ T xác định Tx = x+1 ≤ x < x ≥ 42 Ta lấy x, y [0, ∞) giả thiết x ≤ y Nếu x, y ∈ [0, 1) T x = T y = Nếu x, y ∈ [1, ∞) ta có x+1 = x+ ; 3 y+1 1 Ty = = y+ 3 Tx = Vậy T x ≤ T y Do T ánh xạ không giảm Ánh xạ ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) xác định ϕ(t) = t với t ∈ [0, +∞) Rõ ràng ϕ thỏa mãn tất điều kiện định nghĩa 2.2.1 Ta kiểm tra ϕ thỏa mãn điều kiện định lý 2.2.2 Thật vậy, Với x, y ∈ [0, 1) x ≤ y ta có p(x, y) = 0; ϕ(p(x, y)) = Suy p(T x, T y) ≤ p(x, y) − ϕ(p(x, y)) = 0, hay p(T x, T y) = 0, ∀x, y ∈ [0, 1) Với x, y ≥ x ≤ y ta có x+1 y+1 , ) 3 y+1 x+1 y+1 , }= = max{ 3 ≤ max{x, y} = max{x, y} − max{x, y} = p(x, y) − ϕ(p(x, y)) p(T x, T y) = p( 43 Với x ∈ [0, 1), y ≥ x < y y+1 ) y+1 y+1 = max{0, }= 3 ≤ y = max{x, y} − max{x, y} 3 = p(x, y) − ϕ(p(x, y)) p(T x, T y) = p(0, Như vậy, với trường hợp ánh xạ T thỏa mãn đầy đủ điều kiện định lý 2.2.2 Hiển nhiên x = ta có T = điểm bất động ánh xạ T 44 Kết luận Luận văn trình bày khái niệm khơng gian metric phần, không gian metric phần đầy đủ, định lý điểm bất động ánh xạ co yếu không gian metric phần 45 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân, Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Hồng Tụy (2003), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] H P Masiha, F Sabetghadam, N Shahzad (2013), "Fixed Point Theorems in Partial Metric Spaces with an Application", Filomat 27:4 (2013), 617- 624 DOI 10 2298/FIL1304617M [4] S G Matthews (1994), "Partial metric topology", Proc 8th Summer Conference on General Topology and Application Ann New York Acad Sci 728, 183 - 197 ... điểm bất động điểm bất động lớp ánh xạ co, mở đầu nguyên lý ánh xạ co Banach (1922): Mọi ánh xạ co không gian metric đầy đủ có điểm bất động [1] Tức cho (X, d) không gian metric đầy đủ, ánh xạ. .. tài nghiên cứu: "Điểm bất động ánh xạ co yếu không metric phần" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu điểm bất động không gian metric phần, kết mở rộng điểm bất động không gian metric phần 6 Nhiệm vụ... Chương 2, Điểm bất động ánh xạ co yếu không gian metric phần Trong chương chúng tơi trình bày khái niềm metric phần, không gian metric phần (partial metric space ), hội tụ không gian metric phần Cuối