BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHAN THỊ PHƯƠNG VỀ GÓC VÀ TỌA ĐỘ CỰC TRONG KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II PHAN THỊ PHƯƠNG VỀ GÓC VÀ TỌA ĐỘ CỰC TRONG KHƠNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HỮU THỌ HÀ NỘI, 2017 Lời cảm ơn Qua luận văn này, xin gửi lời cảm ơn đến Thầy, Cơ khoa Tốn - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội nói chung Thầy, Cơ Bộ mơn Giải tích nói riêng dạy bảo, dìu dắt tơi suốt thời gian qua Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hữu Thọ, thầy tận tình bảo, hướng dẫn giúp đỡ suốt trình làm luận văn Cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp tất người quan tâm, động viên để tơi hồn thành tốt nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng, xong thời gian trình độ hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót định Tơi mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Học viên Phan Thị Phương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, hướng dẫn TS Nguyễn Hữu Thọ, luận văn Thạc sỹ chuyên ngành Tốn Giải tích với đề tài " Về góc tọa độ cực không gian định chuẩn thực" tự thực Các kết tài liệu trích dẫn rõ nguồn gốc Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tơi kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả Phan Thị Phương Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Phần mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian Euclid 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Khái niệm số tính chất góc 1.4 Khơng gian góc 15 Góc tọa độ cực không gian định chuẩn 18 2.1 Góc Thy 18 2.2 Sự tồn tọa độ cực không gian định chuẩn 24 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 Phần mở đầu Lý chọn đề tài Khái niệm góc bán kính người xưa sử dụng từ kỷ thứ trước Công nguyên Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120 TCN) lập bảng hàm dây cung cho biết chiều dài dây cung cho góc Có tài liệu cho ông sử dụng tọa độ cực để thiết lập vị trí thiên hà Trong tác phẩm On Spirals, Archimedes mô tả đường xoắn ốc Acsimet, hàm mà bán kính phụ thuộc vào góc Tuy nhiên, cơng trình nhà khoa học Hy Lạp không đủ để xây dựng hệ tọa độ đầy đủ Từ kỷ thứ trở sau, nhà thiên văn phát triển phương pháp cho việc xấp xỉ tính tốn phương hướng khoảng cách từ vị trí Trái Đất đến Thánh địa Mecca (Qibla) Sau kỷ thứ 9, họ sử dụng hình cầu lượng giác phép chiếu đồ để tính tốn số cách xác Việc tính tốn chuyển tọa độ cực xích đạo Mecca thành tọa độ cực Thánh địa so với hệ thống có kinh tuyến tham chiếu vòng tròn lớn qua vị trí định cực Trái Đất, có trục cực đường thẳng qua vị trí điểm đối cực Thực tế thuật ngữ tọa độ cực công nhận Gregorio Fontana đưa sử dụng nhà văn Italia kỷ 18 Thuật ngữ xuất tiếng Anh dịch Differential and Integral Calculus Lacroix George Peacock dịch năm 1816 Alexis Clairaut người đề xuất tọa độ cực không gian ba chiều, Leonhard Euler người thực phát triển ý tưởng Trong hình học phẳng, góc miền phẳng nằm hai đường thẳng cắt Hai đường thẳng gọi cạnh góc Giao điểm chúng gọi đỉnh góc Khi hai đường thẳng song song với nhau, khơng cắt điểm (hoặc hiểu cắt vơ cực), góc chúng khơng khơng có đỉnh xác định (hoặc đỉnh vơ cực) Trong khơng gian ba chiều, góc hai mặt phẳng (còn gọi góc khối) phần khơng gian giới hạn hai mặt phẳng đó, đo góc hai đường thẳng hai mặt phẳng trực giao với giao tuyến hai mặt phẳng Với mong muốn có nhìn sâu rộng tổng quan góc tọa độ cực, hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, chọn đề tài cho luận văn " Về góc tọa độ cực khơng gian định chuẩn thực" Định hướng nghiên cứu Trong luận văn tập trung vào hai nhiệm vụ sau: Khảo sát góc tọa độ cực khơng gian định chuẩn tồn tọa độ cực không gian định chuẩn Phương pháp nghiên cứu Đọc dịch tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp nghiên cứu lý thuyết Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương Chương Trình bày số kiến thức khơng gian định chuẩn,khái niệm số tính chất góc,khơng gian góc Chương Trình bày góc Thy, tồn tọa độ cực không gian định chuẩn Chương Kiến thức chuẩn bị (Kiến thức chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1], [2], [8] [9]) 1.1 Không gian Euclid Định nghĩa 1.1.1 Cho V khơng gian véc tơ trường R Một tích vô hướng V ánh xạ xác định: , : V × V → R, (x, y) → x, y thỏa mãn điều kiện sau: i x, x ≥ 0, với x ∈ V ; x, x = x = ii kx, y = k x, y với x, y ∈ V, ∀k ∈ R iii x + x, , y = x, y + x, , y , ∀x, x,, y ∈ V iv x, y = y, x , ∀x, y ∈ V Định nghĩa 1.1.2 Không gian véc tơ V trường số thực R có trang bị tích vơ hướng , gọi không gian véc tơ Euclid Kí hiệu: E = (V, , ) với tích vơ hướng , Ví dụ 1.1.3 Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1, x2, , xn) |xi ∈ R}) Với x = (x1, x2, , xn) , y = (y1, y2 , , yn) ∈ Rn ta định nghĩa x, y = n i=1 xiyi Đây tích vơ hướng Rn E = (Rn , , ) khơng gian véc tơ Euclid Định lí 1.1.4 Cho E khơng gian Euclid Khi với ∀x, y ∈ E ta ln có | x, y | ≤ x y Dấu "=" xảy x, y phụ thuộc tuyến tính Định lí 1.1.5 Giả sử E không gian véc tơ Euclid Khi đó: ∀x, y ∈ E : x − y ≤ x − y ≤ x + y 1.2 Không gian định chuẩn (Trong luận văn xét không gian định chuẩn thực) Định nghĩa 1.2.1 Cho X không gian véc tơ trường số R ánh xạ : X → R Ta nói chuẩn X thỏa mãn tính chất sau: x ≥ 0, với x ∈ X x = ⇔ x = kx = |k| x , với x ∈ X, k ∈ R x + y ≤ x + y , với x, y ∈ X Nếu chuẩn X, ta nói (X, ) khơng gian véc tơ định chuẩn (còn đọc tắt khơng gian định chuẩn) Ví dụ 1.2.2 Khơng gian R2 với metric: d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2| d2 (x, y) = (x1 − y1) + (x2 − y2 ) 2 d∞ (x, y) = max {|x1 − y1| , |x2 − y2 |} x = (x1, x2) y = (y1 , y2), x, y ∈ R2 sinh chuẩn tương ứng sau: x−y x−y x−y = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | 2 ∞ = (x1 − y1 ) + (x2 − y2 ) = max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} Mệnh đề 1.2.3 Cho không gian định chuẩn (X, ) trường số R dãy {xn } , {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ R cho lim xn = x, lim yn = n→∞ y, lim λn = λ Khi đó: n→∞ n→∞ lim xn = x n→∞ lim (xn + yn ) = x + y, n→∞ lim (λn xn ) = λx n→∞ Hệ 1.2.4 Các ánh xạ f, g : X → X xác định f (x) = x0 + x, g(x) = λ0x, (λ0 ∈ R\ {0}) đồng phôi Mệnh đề 1.2.5 Trên không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn ln tương đương Trên khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều, tập compact đóng bị chặn Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều không gian đầy đủ Do đó, khơng gian véc tơ hữu hạn chiều không gian định chuẩn tập đóng khơng gian B lồi chặt, suy từ bổ đề h+ , h− đơn điệu tăng chặt, tương ứng giảm chặt Bây ta muốn chứng minh rằng, dù hình cầu đơn vị khơng lồi chặt Θ đơn điệu tăng chặt Vì h+ , h− đơn điệu nên Θ đơn điệu giảm Ta chứng minh rằng: tính đơn điệu ngặt Giả sử t2 < +∞ Θ(t1) = Θ(t2 ) −∞ < t1 Nếu t1 = t2 , việc chứng minh đơn giản.Ta xảy trường hợp Giả sử −∞ < t1 < t2 < +∞ ta phải điều mâu thuẫn Vì Θ(t1 ) = Θ(t2), h+ đơn điệu tăng h− đơn điệu giảm, ta h+ (t1) = h+ (t2 ) h− (t1 ) = h− (t2), với t ∈ [t1 , t2] Θ, h+ h+ Phần lại chứng minh ta tính tốn tọa độ cực sở → − → − x y → → , = {sign (− x ) , sign (− y )} → − → − x y Do : → sign (− x)= − → w := w1 w2 Ta lại có − → v = v1 v2 → ; sign (− y)= − ;→ v := v1 v2 → → := sign (− y + +t1 − x) − → := sign (→ y + +t2 − x ) → → − → − → − − → − t1 − x y x y y + t1 → x = + , = − → − − → → − → − → → − → y + t1 → x y + t1 − x x y + t1 − x y − → y v2 = − > Biến đổi tương tự ta có → → y + t1 − x − → y > w2 = − → → y + t2 − x 28 − → Bổ đề 2.2.9 Ta ln có → v =− w → → Chứng minh Giả sử ngược lại: − v =− w Do v2 = w2 nên ta có → − → − y y = − = w2 , v2 = − → → − → → y +t x y +t − x nên → → − − → x x = → y + t2− y + t1 − → − Vì v1 = w1, suy t1 − x = t2 → x , t1 = t2 Mặt khác h+ (t1) = h+ (t2 ) h− (t1 ) = h− (t2), nên ta có h+ (t1) = v1 + v2 = h+ (t2) = w1 + w2 h− (t1 ) = v1 − v2 = h− (t2) = w1 − w2 Để kiểm tra ta chia thành trường hợp • Trường hợp (A) : v1 < w1, với trường hợp – Trường hợp (A1) :v1 < w1 < −1 < v1 < w1, – Trường hợp (A2): v1 < w1 {v1,w1 } ∩ [−1, 1] = ∅ • Trường hợp (B) : v1 > w1 ta có hai trường hợp tương ứng (B1) , (B2) • Trường hợp (C) : v1 = w1 có trường hợp sau – Trường hợp (C1) : v1 = w1 ∈ {−1, +1}, – Trường hợp (C2) : v1 = w1 ∈ (−1, +1), – Trường hợp (C3) : v1 = w1 < −1 v1 = w1 > +1 29 Ta bắt đầu với trường hợp dễ: Trường hợp (C1) Giả sử v1 = w1 = → → Vì h (t ) = h (t ) nên v = w , điều mâu thuẫn với − v =− w Cụ − − 2 thể hơn, v2 = w2 nghĩa − → → − → y + t1 − x = → y + t2− x , → → t1 − x t2 − x = v = = w = , 1 → − → − → → y + t1 − x y + t2 − x điều xảy t1 = t2 dẫn tới mâu thuẫn ∼ ∼ Đối với trường hợp khác, ta thay t1 , t2 t1 , t2 với ∼ ∼ t1 < t1 < t2 < t2 , − → v := − → w := v1 v2 w1 w2 ∼ − → → y + t1 − x , := ∼ → − → − y +t x ∼ − → → y + t2 − x := ∼ → − → y +t − x để đảm bảo bảy véc tơ đơn vị sign v1 − v2 ; sign ; v1 + v2 v1 v2 ; ; sign w1 w2 ; w1 − w2 ; sign w1 + w2 phân biệt Tiếp theo ta giải trường hợp dễ khác, trường hợp (C2): → → −1 < v = w < Vì − v = − w Ta có v = w , chẳng hạn 1 2 < v2 < w2 Giả sử v1 = w1 < Do hình cầu đơn vị B lồi → (X, ) − w, ∈ S nằm B, nên đường thẳng nối hai điểm → nằm B Nhưng − v thuộc phần B Điều → khơng thể − v = 30 Sâu xét hai mệnh đề "hình chiếu", kết hai mệnh đề góp phần việc hồn thiện chứng minh Định lí 2.2.1 Mệnh đề 2.2.10 Cho R2 = {(x|y) | x, y ∈ R} mặt phẳng Euclid hai chiều với đường nằm ngang trục hoành Ox đường thẳng đứng trục tung Oy Xét hai đường thẳng song song GS : y = x − GT : y = x + Giả sử đường thẳng thứ ba L không song song với GS , GT không qua gốc tọa độ O(0 |0) Giao điểm L GS gọi S = (xS |xS − 1) giao điểm L GT gọi T = (xT |xT + 1) Khi tồn điểm Phor = (xhor |yhor ) L cho ba điểm (0 |0|) , (xhor + |yhor ) S thẳng hàng, ba điểm (0 |0|) (xhor − |yhor ) T thẳng hàng Chứng minh Trong trường hợp xS = xT , ta có phương trình L : y = mL x + bL , mL , bL ∈ R, bL = 0, mL = 1, mL − bL2 mL − bL Phor = (xhor |yhor ) = bL(mL − 1) bL (mL − 1) xT (bL + 1) + xT (bL + 1) + + bL = mL bL bL xT (bL − 1) + xS (bL − 1) + mL + bL , = bL bL + xT − xS bL = xS (1 − mL ) − = xT (1 − mL ) − 1, mL = xT − xS phép toán cho thấy tất công thức Phor cho ta giá trị xhor yhor , va Phor thỏa mãn yêu cầu Trong trường hợp xS = xT ta có phương trình L : x = aL := xS = xT , Phor = (xhor |yhor ) = 31 aL |aL − aL Chẳng hạn chọn mL = −1, bL = ta có S = (3|2) ; T = (2|3) , từ Phor = 13 12 | 5 Mệnh đề 2.2.11 Ta lại xét R2 với đường nằm ngang trục hoành Ox đường thẳng đứng trục tung Oy Xét đường thẳng G có phương trình y = mx + 1, m ∈ R\ {−1, 1} Chọn điểm tùy ý xˆ | yˆ G yˆ = Lấy hai điểm S := (ˆ x − |ˆ y ) T := (ˆ x + |ˆ y ).Ta gọi S hình chiếu S lên đường thẳng G T hình chiếu T lên đường thẳng G (nghĩa ba điểm (0 |0) ; S; S ba điểm (0 |0) ; T ; T tương ứng thẳng hàng với S, T ∈ G) Bốn điểm S, T , −S, −T tạo thành hình bình hành Ta gọi ν giao điểm đường thẳng nối T , −S với trục hồnh có giá trị 1; giao điểm đường thẳng nối −T , S với trục hồnh có giá trị −1 Hơn nữa, hai điểm S, T nằm phía trục hoành −1 < m < Nếu chọn G : y = 2x + 1, m = 2, (ˆ x |ˆ y ) := S := − 9 , T := − − 3 − 1 Ta có 3 Do ta nhận ν = Chứng minh Bằng tính tốn bản, ta có S= 1 (ˆ x − |ˆ y ) T = (ˆ x + |ˆ y) 1+m 1−m mˆ x+1 [ˆ x − 1] đường thẳng qua T , −S xˆ + m cuối ta nhận ν = Biến đổi ta nhận y = 32 Và S, T nằm phía trục hồnh thành phần thứ hai chúng dấu, dó (1 − m) (1 + m) > −1 < m < Tiếp theo xét tính chất hình cầu đơn vị R2 Bổ đề 2.2.12 Giả sử R2 trang bị nửa chuẩn với hình cầu đơn vị B Ta định nghĩa hai tập đóng sau Set1 := (x |y ) ∈ R2 |x + ≥ y ≥ x − Set2 := (x |y ) ∈ R2 |−x + ≥ y ≥ −x − Giả thiết ta có bốn véc tơ đơn vị (1 |0) , (−1 |0) , (0 |1) , (0 |−1), thức (1 |0) = (−1 |0) = (0 |1) = (0 |−1) = Khi ta có B ⊂ Set1 ∪ Set2 Tiếp theo ta quay trở lại chứng minh Định lí 2.2.1, cần số bước chuẩn bị Nhớ lại ta có hai véc tơ đơn vị − → v = v1 v2 − → → y + t1 − x → =− w = = − → → − y +t x w1 w2 − → → y + t2 − x = − → → y +t − x với t1 < t2 v2, w2 > Vì chúng phân biệt xác định đường L qua chúng Nếu ta định nghĩa hai đường L+ L− cho → → L qua − v − (1 |0) = (v − |v ) − w − (1 |0) = (w − |w ), − 2 − − cho L+ qua → v + (1 |0) = (v1 + |v2 ) → w + (1 |0) = (w1 + |w2 ) Hiển nhiên ba đường thẳng L, L+, L− song song Bổ đề 2.2.13 Giả sử (Y, ) không gian véc tơ với trọng → − → − → → Cho − a , b ∈ Y độc lập tuyến tính − a = b > Xét → − → không gian hai chiều Y sinh hai véc tơ − a , b chúng đẳng → − → cấu không gian véc tơ R2 Khi đường thẳng qua − a b → − → song song với đường thẳng qua sign (− a ) , sign b 33 Tiếp theo ta định nghĩa hai đường thẳng L+,sign L−,sign cho L−,sign qua sign (v1 − |v2 ) , sign (w1 − |w2 ) L+,sign qua sign (v1 + |v2 ), sign (w1 + |w2 ) Bổ đề 2.2.14 Năm đường thẳng L, L−, L+ , L+,sign, L−,sign song song Chứng minh Trong phần trước ta có v1 + h+ (t1) = w1 + = h+ (t2) = v2 w2 v1 − h− (t1 ) = w1 − = h− (t2) = v2 , w2 tất chuẩn lớn Do với bổ đề trước cho ta điều phải chứng minh Bổ đề 2.2.15 Xét sáu véc tơ đơn vị v1 v2 w1 ; w2 sign ; sign w1 − w2 v1 − v2 ; sign ; sign v1 + v2 ; w1 + w2 phân biệt khác (0 |1) Khi ta có sáu điểm thẳng hàng Trong trường hợp sáu véc tơ khác phía so với trục tung Oy bảy véc tơ sau cộng tuyến: ; v1 v2 ; sign w1 w2 ; sign w1 − w2 v1 − v2 ; sign 34 ; sign w1 + w2 v1 + v2 ; Chứng minh Cả bảy véc tơ có thành phần thứ hai dương, chúng nằm phía trục hồnh Ox Theo bổ đề trước ta có ba đường thẳng L, L+,sign, L−,sign song song Xét L L−,sign, L gặp véc → → tơ − v − w L−,sign gặp sign (v1 − |v2 ) sign (w1 − |w2 ) Do hình cầu đơn vị B lồi nên trường hợp L = L−,sign khơng thể Do sáu điểm tạo ba đường thẳng nằm đường thẳng L = L+,sign = L−,sign Nếu sáu véc tơ phía khác trục tung Oy, véc tơ đơn vị (0 |1) nằm đường thằng L Mục đích ta chứng minh Định lí 2.2.1, ta chứng minh xong trường hợp (C1) trường hợp (C2), ta cần có khẳng định lại C3, A1, A2, B1, B2 Nhớ lại rằng, tính tốn dựa sở: → − → − x y → → , → = {sign (− x ) , sign (− y )} , → − − x y ta có − → v = v1 v2 − → → y + t1 − x → =− w = = − → → − y +t x w1 w2 − → → y + t2 − x = − → → − y +t x với t1 < t2 v2 ,w2 > → → Bởi − v =− w nên tồn đường thẳng L qua hai điểm đó, đường thẳng có phương trình L : y = mL x + bL , mL , bL ∈ R, L : x = aL (nếu v1 = w1 =: aL ) Trường hợp C3 : v1 = w1 < −1 +1 < v1 = w1 Giả sử +1 < v1 = w1, L đường thẳng đứng nên L : x = aL := v1 = w1 35 Theo Mệnh đề 2.2.10, tồn điểm Phor: Phor = (xhor |yhor ) = cho ba điểm (0 |0) , aL − aL − hàng, ba điểm (0 |0) , aL aL − aL aL + aL − aL aL , T := (aL |aL + 1) thẳng , S := (aL |aL − 1) thẳng hàng Vì aL > Phor , nằm S T Theo kết Bổ đề 2.2.15 , sáu véc tơ đơn vị − → − → → v, → w , sign (− v + (1|0)) , sign (− w + (1|0)) , → → sign (− v − (1|0)) , sign (− w − (1|0)) , nằm đường thẳng L, chúng tạo nên tập Set1 nằm phía trục Ox → Bây tiếp tục sử dụng Mệnh đề 2.2.10 Giả sử − v := Phor → Nếu ta có véc tơ − w xuất phát từ điểm P L hướng lên hor → điểm sign (− w − (1|0)) nằm phía T , khơng nằm → tập Set1 Nếu ta có véc tơ − w xuất phát từ điểm P L hor → hướng xuống phía điểm sign (− w + − (1|0)) nằm phía S, khơng nằm tập Set1 Như vậy, có → → → → điểm P = − v =− w (và sign (− v + (1|0)) = sign (− w + (1|0)) = S, hor → → sign (− v − (1|0)) , sign (− w − (1|0)) = T ) , từ dẫn tới mâu thuẫn, trường hợp C3 chứng minh Tiếp theo ta chứng minh trường hợp A1 cách tương tự Ta có v1 < w1 < −1 +1 < v1 < w1 Giả sử +1 < v1 < w1 Hai → → điểm phân biệt − v ,− w nằm tập Set1 chúng xác định đường thẳng L : y = mL x + bL, mL , bL ∈ R Nếu mL = 0, ta có bL ≥ (còn < bL < 1, mâu thuẫn với tính lồi hình cầu đơn vị B 36 Nếu mL = ta có điểm aL := −bL/mL L Do thiết ta phải có |aL | ≥ |bL| ≥ Còn trường hợp khác −1 < aL < −1 < bL < dẫn tới mâu thuẫn với tính lồi B (Lưu ý → − sáu véc tơ đơn vị (1 |0), (−1 |0), (0 |1), (0 |−1), − v ,→ w ) Do đó, mL = ≤ |bL| mL = ≤ |aL | Bổ đề 2.2.16 Ta ln có mL = − − Chứng minh Giả sử mL ≥ Nếu → v ,→ w thuộc phần Set1, → → điều mâu thuẫn với tính lồi tập B (lưu ý (1 |0) , (0 |1) , − v, − w ) − − − − Hoặc → v ,→ w thuộc L : y = x + → v ,→ w thuộc L : y = x − với − → − v + (1 |0) = → w + (1 |0) , − → − v − (1 |0) = → w − (1 |0) − → dẫn tới → v =− w Ta gọi S := (xS |xS − 1) giao điểm L y = x − T := (xT |xT + 1) giao điểm L y = x + 1, S, T ∈ Set1 Theo Mệnh đề 2.2.9 ta có điểm Phor = (xhor |yhor ) L cho ba điểm (0 |0) , (xhor + |yhor ) S cộng tuyến, ba điểm (0 |0) , (xhor − |yhor ) , T , cộng tuyến; điểm Phor biểu diễn Phor = (xhor |yhor ) = mL − bL mL − bL bL (mL − 1) bL (mL − 1) Theo Bổ đề 2.2.12 Bổ đề 2.2.15, tất sáu véc tơ đơn vị − → − → → v, → w , sign (− v + (1 |0)) , sign (− w + (1 |0)) , → → sign (− v − (1 |0)) , sign (− w − (1 |0)) , → nằm đường thẳng L, chúng tao nên tập Set1 Điểm − v → − trở thành Phor Khi S = sign (− v + (1 |0)) T = sign (→ v − (1 |0)) − → Nếu ta hình dung → w đặt − v theo hướng L, 37 → → sign (− v + (1 |0)) khơng thuộc tập Set1 sign (− w − (1 |0)) → → khơng thuộc tập Set1 Do xảy − v =− w = P , điều hor mâu thuẫn với giả thiết, tức trường hợp (A1) chứng minh Cuối trường hợp (A2), trường hợp chứng minh trường hợp (B1) (B2) chứng minh tương tự Xét v1 < w1 {v1,w1}∩[−1, +1] = ∅ , chẳng hạn ta xét −1 ≤ w1 ≤ → − Hai điểm phân biệt − v ,→ w xác định đường thẳng L : y = mL x + bL, mL , bL ∈ R Theo Bổ đề 2.2.15 bảy điểm − − → (0 |1) , → v, → w , sign (− v + (1 |0)) , → → → sign (− v − (1 |0)) , sign (− w + (1 |0)) , sign (− w − (1 |0)) nằm đường thẳng L, bL = Bổ đề 2.2.17 Ta ln có −1 < mL < Chứng minh Nếu mL < −1 mL > +1 điều nầy mâu thuẫn với → tính lồi hình cầu đơn vị B, (lưu ý bốn véc tơ đơn vị (−1 |0) , − v − → w , (1 |0)) Bây ta giả sử mL ∈ {−1, +1} chẳng hạn mL = Khi → → − v ,− w nằm đường thẳng L : y = x + 1, nên ba véc tơ (0 |0) , − → − v + (1 |0) , → w + (1 |0) nằm đường thẳng y = x Do − → − v + (1 |0) = h+ (t1) = h+ (t2 ) = → w + (1 |0) − → − → nên suy → v + (1 |0) = − w + (1 |0), → v =− w dẫn tới điều mâu thuẫn Bây sử dụng Mệnh đề 2.2.11 Đặt → → T w := sign (− w + (1 |0)) , S w := sign (− w − (1 |0)) , 38 → → T v := sign (− v + (1 |0)) , S v := sign (− v − (1 |0)) Xét tám véc tơ đơn vị gồm T w, Sw, T v, Sv véc tơ đối −T w , −S w , −T v , −S v Bốn điểm tạo thành hình bình hành tương ứng là: T w , S w , −T w , −S w T v , S v , −T v , −S v tương ứng Theo Mệnh đề 2.2.11, đường thẳng nối T v , −S v đường thẳng nối T w , −S w cắt điểm (1 |0) trục hoành Do −1 < mL < 1, nên theo Mệnh đề 2.2.11, hai điểm T v , S v T w , S w tương ứng nằm phía trục hồnh Do giao điểm T v , −S v T w , −S w điểm (1 |0) Xét đường thẳng J nối véc tơ đơn vị T w −S v Do tính lồi tập B nên J phải tập B Do giả thiết v1 < w1, đường − − v ,→ w S , thẳng L nằm bên trái sáu véc tơ đơn vị T , S , T , S , → v v w w v nằm bên phải sáu véc tơ đơn vị T w Tương ứng, nằm bên trái sáu → → véc tơ đơn vị −T v , −S v , −T w , −S w , −− v , −− w −T w nằm bên phải sáu véc tơ −S v Ta lấy đường thẳng L −L tương ứng điểm bên phải, T w −S v Đường thẳng J nối hai điểm T w −S v cắt trục hồnh λ > Vì tập J ⊂ B nên chuẩn (λ |0) thỏa mãn (λ |0) ≤ Do λ > 1, nên (1 |0) trở thành điểm B Điều mâu thuẫn với (1 |0) = Như (A2) chứng minh Như vậy, tất trường hợp (A1), (A2), (B1), (B2), (C1), (C2) → → (C3) chứng minh, với giả thiết t < t nghĩa − v = − w, − → ln tìm điều mâu thuẫn Do xảy → v =− w t1 = t2 , tức ánh xạ Θ đơn ánh, ánh xạ song ánh Định lí 2.2.1 chứng minh 39 Kết luận Không gian định chuẩn nghiên cứu tiếp cận nhiều góc độ khác Có nhiều kết phong phú đặc sắc công bố giới thập kỷ qua Riêng khn khổ luận văn này, tơi trình bày cách có hệ thống góc tọa độ cực khơng gian định chuẩn: góc Thy số vấn đề liên quan, xét tồn tọa độ cực khơng gian định chuẩn Tuy nhiều hạn chế xong hi vọng kết đạt luận văn tài liệu tham khảo tốt cho nghiên cứu mở rộng góc khơng gian định chuẩn nói riêng góc khơng gian khác nói chung Rất cảm ơn độc giả theo dõi luận văn mong quý độc giả đóng góp ý kiến để luận văn thêm hoàn thiện 40 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, NXB Giáo dục [2] Hồng Tụy(2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] Bliss, G.A (1905), A generalization of the notion of angle, Trans Amer Math Soc 7(2), pp 184-196 [4] Busemann, H (1949), Angular measure and integral curvature, Canad J Math 1, pp 279-296 [5] Charles Dimminie, Edward Andalafte, Raymond Freese (1986), Angles in normed linear spaces and a charactecrization of real inner product spaces, Mathematische Nachrichten 129, pp197 − 204 [6] Charles Dimminie, Edward Andalafte, Raymond Freese (1988), Generalized Angles and a Charactecrization of Inner Product Spaces, Houston Journal of Mathematics 14, N o.4, pp457 − 480 [7] Dekster, B.V (2004), An angle in Minskowski Spaces, J Geom 80(2), pp 31-47 41 [8] Diminnie, C.R, Andalafte, E.Z., Freese, R.W (1986), Angles in normed linear spaces and a characterization of real inner product spaces, Math Nachr 129, 197-204 [9] Volker Thurey (2009), Angles and Polar Coordinates In Real Normed Spaces , Arxiv:09022731v2 42 ... " Về góc tọa độ cực khơng gian định chuẩn thực" Định hướng nghiên cứu Trong luận văn tập trung vào hai nhiệm vụ sau: Khảo sát góc tọa độ cực khơng gian định chuẩn tồn tọa độ cực không gian định. .. Trình bày số kiến thức không gian định chuẩn, khái niệm số tính chất góc, khơng gian góc Chương Trình bày góc Thy, tồn tọa độ cực không gian định chuẩn Chương Kiến thức chuẩn bị (Kiến thức chương... trình bày tồn tọa độ cực khơng gian định chuẩn thực Định lí 2.2.1 Giả sử (X, ) không gian véc tơ định chuẩn thực Khi góc Thy "∠T hy ” thỏa mãn điều kiện (An11) Nói cách khác, với → → tập độc lập tuyến