BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ SANG TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo HÀ NỘI - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ SANG TÍCH CHẬP SUY RỘNG FOURIER Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo HÀ NỘI - 2017 Mục lục LỜI CÁM ƠN LỜI CAM ĐOAN CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN MỞ ĐẦU Phép biến đổi tích phân 1.1 Biến đổi tích phân Fourier 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Phép biến đổi nghịch đảo 11 1.1.3 Tích chập 14 Biến đổi tích phân Fourier cosine 16 1.2.1 Định nghĩa 16 1.2.2 Tính chất 17 Biến đổi tích phân Fourier sine 18 1.3.1 Định nghĩa 18 1.3.2 Tính chất 19 1.2 1.3 Tích chập suy rộng Fourier 22 2.1 Tích chập phép biến đổi tích phân 22 2.2 Tích chập suy rộng 23 2.2.1 Định nghĩa phương pháp kiến thiết 23 2.2.2 Một số tích chập suy rộng loại 24 2.2.3 Một số tích chập suy rộng loại hai 35 Tích chập suy rộng Fourier 38 2.3.1 Định nghĩa 38 2.3.2 Các tính chất 38 2.3 MỤC LỤC Ứng dụng 45 3.1 Phương trình tích phân 45 3.1.1 Khái niệm phương trình tích phân 45 3.1.2 Phương trình tích phân kiểu tích chập 47 3.2 Hệ phương trình tích phân 52 3.3 Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập 52 3.3.1 Hệ hai phương trình tích phân thứ 53 3.3.2 Hệ phương trình tích phân thứ hai 55 3.3.3 Hệ phương trình tích phân thứ ba 57 KẾT LUẬN 60 Tài liệu tham khảo 61 Tài liệu tham khảo 61 MỤC LỤC LỜI CÁM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Trước tiên tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo người quan tâm, động viên tận tình hướng dẫn tơi q trình thực luận văn Đồng thời xin gửi lời cám ơn đến Seminar giải tích Đại học bách khoa Hà Nội giúp đỡ tơi q trình làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô tham gia giảng dạy khoa Tốn, phòng sau Đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội Các thầy tận tình giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi hồn thành khóa học trường Đồng thời tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất bạn bè, đồng nghiệp người thân động viên, giúp đỡ suốt trình học tập viết luận văn Hà Nội, tháng 10 năm 2017 Học viên Trần Thị Sang MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cám ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Trần Thị Sang CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN • R+ : tập số thực dương • F: phép biến đổi Fourier • Fs : phép biến đổi Fourier sine • Fc : phép biến đổi Fourier cosine • f ∗ g: tích chập hai hàm f g phép biến đổi Fourier γ • f ∗ g: tích chập hai hàm f g với hàm trọng γ phép biến đổi Fourier • f ∗ g: tích chập hai hàm f g phép biến đổi T T γ • f ∗ g: tích chập hai hàm f g phép biến đổi T với hàm trọng γ T • L1 ( R): tập hàm f xác định R cho +∞ | f ( x )|dx < +∞ −∞ • L1 ( R+ ): tập hàm f xác định R+ cho +∞ | f ( x )|dx < +∞ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép biến đổi tích phân phần chiếm vị trí quan trọng tốn học Giải tích tìm ứng dụng thú vị ngành khoa học như: Vật lý quang học, điện, học lượng tử, âm thanh, Những phép biến đổi tích phân có vai trò đặc biệt lý thuyết ứng dụng cần phải kể đến phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosin, Laplace, Mellin, Hankel, Kontorovich, Một vấn đề quan trọng phép biến đổi tích phân nghiên cứu tích chập, tích chập suy rộng ứng dụng liên quan Khoảng cuối kỉ 19, tích chập nghiên cứu tích chập phép biến đổi tích phân Fourier Những nghiên cứu tích chập giới thiệu tích chập phép biến đổi Laplace, Mellin, Hilbert, Hankel, Kontorovich-Lebedev phép biếnđổi Stieltjes Đối với tích chập mà đẳng thức nhân tử hóa có nhiều phép biến đổi gọi tích chập suy rộng Năm 1941, Churchill đưa tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine : f ∗ g (x) = √ 2π ∞ g( x ) [ f (| x − y|) − f ( x + y)] dy; x > 0 Tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine: Cho hàm f , g ∈ L1 ( R+ ) Khi ta có f ∗g ∈ L1 ( R + ) có đẳng thức nhân tử hóa : Fs f ∗ g ( x ) = ( Fs f ) ( x ) ( Fc g) ( x ) , x > Nghiên cứu tích chập có ý nghĩa lí thuyết phép biến đổi tích phân phương trình tích phân Một ứng dụng có ý nghĩa khoa học tích chập suy rộng Fourier giải hệ phương trình tích phân kiểu tích chập Fourier Với mong muốn tìm hiểu sâu hướng nghiên cứu này, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Xn Thảo, tơi chọn đề tài “Tích chập suy rộng Fourier “làm luận văn cao học Luận văn bao gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận danh mục tham khảo Mục đích nghiên cứu 1) Nghiên cứu tích chập suy rộng Fourier 2) Tìm hiểu ứng dụng phương trình tích phân kiểu tích chập Fourier Nhiệm vụ nghiên cứu Để giải phương trình tích phân, phương pháp xấp xỉ ta có định lý sau b b Định lý 3.1 Nếu K ( x, s) = với hàm f ( x ) ∈ L2 K2 ( x, s) dxds < a a cho trước , phương trình [ a,b] b ϕ (x) = K ( x, s) ϕ (s) ds + f ( x ) , a có nghiệm ϕ ( x ) ∈ L2 [ a,b] , xác định b ϕ (x) = H ( x, s) ϕ (s) ds + f ( x ) , a H ( x, s) tổng chuỗi hạch lặp H ( x, s) = K1 ( x, s) + K2 ( x, s) + + Kn ( x, s) , với hạch lặp Kn ( x, s) xác định b K1 ( x, s) = K ( x, s) ; Kn ( x, s) = K ( x, t) Kn−1 (t, s) dt a Như kết nghiệm thu xấp xỉ hạch thành phần xấp xỉ 3.1.2 Phương trình tích phân kiểu tích chập Ta xét phương trình sau +∞ k ( x − y) ϕ (y) dy = f ( x ) ϕ (x) + (3.1) −∞ Ở f ( x ) , k ( x ) hàm biết, ϕ ( x ) ẩn hàm Phương trình (3.1) viết lại dạng sau: ϕ (x) + √ 2π (k ∗ ϕ) ( x ) = f ( x ) F (3.2) Tác động biến đổi Fourier vào phương trình (3.1) sử dụng định lí tích chập ta có : ( Fϕ) (y) + √ 2π ( Fk ) (y) ( Fϕ) (y) = ( F f ) (y) Với giả thiết: 1+ √ 2π ( Fk) (y) = 0, ∀y ∈ R 47 Ta có ( Fϕ) (y) = = ( F f ) (y) − Đặt ( Fr ) (y) = √( Fk)(y) , 1+ 2π ( Fk )(y) ( F f ) (y) √ + 2π ( Fk) (y) √ 2π ( Fk) (y) √ + 2π ( Fk) (y) ta có: ( Fϕ) (y) = ( F f ) (y) − √ 2π ( F f ) (y) ( Fr ) (y) Sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo, ta nhận nghiệm phương trình (3.1) ϕ (x) = f (x) − ∞ −∞ ( F f ) (y) ( Fr ) (y) e−ixy dy = f ( x ) − ∞ −∞ r ( x − y) f (y)dy Dưới ta dẫn ví dụ minh họa Ví dụ 3.1 Giải phương trình sau: ∞ e− a| x−t| f (t) dt = g (t) f (x) + −∞ Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình (3.3), ta có: √ F (k ) + 2πF (k ) √ Hay: F (k ) = 2a 2π ( a2 + k2 ) = G (k) a2 + k G (k) a2 +k2 +8k Sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo, ta nhận nghiệm: f (x) = √ 2π ∞ G (k) −∞ a2 + k eikx dk 2 a + k + 8k Nói riêng, a = 1, g ( x ) = e−| x| , có: π + k2 G (k) = Khi phương trình có nghiệm là: f (x) = π ∞ −∞ eikx dk k + 32 Sử dụng công thức bảng biến đổi Fourier, ta có nghiệm: f (x) = exp (−3 | x |) 48 (3.3) Xét phương trình (3.1) với giả thiết hàm ϕ ( x ) , f ( x ) , k ( x ) giá trị âm đối số Khi phương trình : x k ( x − y) ϕ (y) dy = f ( x ) , x > ϕ (x) + (3.4) Lập luận ta có nghiệm phuwong trình là: x ϕ (x) = f (x) − f (y) r ( x − y) dy Ở r ( x ) = 0, x < : ( Fk) (y) √ ( Fk) (y) + 2π ( Fr ) (y) = Ta có nghiệm phương trình (3.3): x ϕ (x) = f (x) − f (y) r ( x − y) dy Ta xét phương trình sau: ∞ k ( x − y) ϕ (y) dy = f ( x ) (3.5) −∞ Ở f , k hàm biết, ϕ ẩn hàm Lập luận tương tự trên, ta có : ( F f ) (y) = =√ 2π =√ 2π =√ 2π ∞ √1 2π ∞ −∞ k ( x − u)eixy dx −∞ −∞ ∞ ∞ k (y)ei(u+y)y dy ϕ (u) du −∞ −∞ ∞ ∞ ϕ (u) du −∞ = −∞ eixy dx ∞ ϕ (u) du √ ∞ k (y)ei(u+y)y dy −∞ 2π ( Fϕ) (y) ( Fk) (y) Từ ta có nghiệm phương trình (3.5) là: ϕ (x) = 2π ∞ −∞ ( F f ) (y) −ixy e dx ( Fk) (y) Dưới ta dẫn ví dụ để minh họa Ví dụ 3.2 Giải phương trình sau: 49 k ( x − u) ϕ (u) du ∞ f ( x − t) f (t) dt = −∞ x + a2 (3.6) Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình (3.6), ta có: √ π e− a|k| , a 2π ( F ) (k ) ( F ) (k ) = hay: 1 ( F ) (k) = √ exp − a |k| 2a Sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo, ta nhận nghiệm: f (x) = √1 √1 2π 2a ∞ −∞ exp ikx − 21 a |k | dk ∞  = √  πa a exp k ( + ix) dk + ∞ −∞  a exp −k ( −ix) dk a π 4x2 + a2 4a = √ = πa 4x2 + a2 Ví dụ 3.3 Giải phương trình sau: ∞ −∞ f (t) dt ( x − t )2 + a2 = , b > a > x + b2 (3.7) Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình (3.7), định lý tích chập ta có: √ Từ ta có: 2πF (k ) F √ x + a2 2πF (k ) (k) = π e− a|k| = a π e−b|k| b π e−b|k| , b hay: F (k) = √ 2π a exp {− |k | (b − a)} b Sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo ta nhận nghiệm phương trình (3.7) là: f (x) = a 2πb ∞ −∞ a = [ 2πb exp {ikx − |k | (b − a)}dk ∞ ∞ exp {−k (b − a + ix)}dk + −∞ exp {−k (b − a − ix)}dk −∞ 50 = a 1 + 2πb b − a + ix b − a − ix = a b−a πb (b − a)2 + x2 Định lý 3.1: Cho hàm f ∈ L2 ( R), k ∈ L ( R), điều kiện cần đủ để phương trình (3.5) có nghiệm L2 ( R) là: ( F f ) (y) ∈ L2 ( R ) ( Fk) (y) ∞ k ( x − y) ϕ (y) dy = f ( x ) ϕ (x) + (3.8) −∞ Ở f , k hàm biết, ϕ ẩn hàm Tác động biến đổi Fourier vào hai vế phương trình này, ta có: ( Fϕ) (u) + √12π hay: ∞ −∞ eixu dx ∞ −∞ ( Fϕ) (u) + √ 2π k ( x + y) ϕ (y) dy = ( F f ) (u) ∞ ∞ k ( x + y)eixu dx = ( F f ) (u) ϕ (y) dy −∞ −∞ Đổi biến số η = x + y, ta có: ( Fϕ) (u) + √ 2π ∞ ∞ k (y)eiu(η −y) dη = ( F f ) (u) , ϕ (y) dy −∞ −∞ ∞ ∞ hay: ( Fϕ) (u) + √ 2π ϕ (y) dy −∞ k (y)eiu(η −y) dη = ( F f ) (u) −∞ Phương trình tương đương với phương trình sau: ( Fϕ) (u) + √ 2π ( Fϕ) (−u) ( Fk) (u) = ( F f ) (u) (3.9) Thay u −u (3.9), ta có ( Fϕ) (−u) + √ 2π ( Fϕ) (u) ( Fk ) (−u) = ( F f ) (−u) Thay (3.10) vào (3.9), ta có: 51 (3.10) √ ( F f ) (u) + 2π ( Fϕ) (−u) ( Fk) (u) ( Fϕ) (u) = + 2π ( Fϕ) (u) ( Fk ) (−u) Sử dụng biến đổi Fourier nghịch đảo, ta nghiệm phương trình (3.8) là: √ ∞ ( F f ) (u) + 2π ( Fϕ) (−u) ( Fk) (u) ϕ (x) = √ du + 2π ( Fϕ) (u) ( Fk) (−u) 2π −∞ 3.2 Hệ phương trình tích phân Trong tốn học hệ hai phương trình tích phân hệ gồm hai phương trình hai hàm số chưa biết xuất  dấu tích phân b    f x + K ( x, t) g (t) dt = ϕ ( x ) ( )  a Xét phương trình tích phân : b    K ( x, t) f (t) dt + g ( x ) = ψ ( x )  a • ϕ ( x ); ψ ( x ) hàm cho trước, có giá trị phức liên tục đoạn [ a, b] • K ( x, t) hàm cho trước, liên tục đoạn [ a, b] × [ a, b], có giá trị phức gọi nhân • f ( x ) g( x ) hàm cần tìm, ln giả thiết khả tích theo nghĩa Riemann Giải hệ phương trình tích phân kết nghiệm thu xấp xỉ 3.3 Hệ phương trình tích phân kiểu tích chập Bổ đề 3.1 Tích chập suy rộng Fourier sine-Fourier sine-Fourier cosine biểu diễn dạng f ∗ g (x) = √ 2π ∞ g (y) [ f ( x + y) + sign ( x − y) f (| x − y|)] dy, x > (3.11) Chứng minh: Sử dụng phép x + y = t ta có: I1 = √ 2π =√ 2π ∞ 0 x g (y) f ( x + y) dy = √ 2π g (|t − x |) f (t) dt + √ 2π 52 ∞ g (|t − x |) f (t) dt x ∞ g (|t − x |) f (t) dt (3.12) Tương tự với phép x − y = t ta I2 = √ 2π ∞ g (y)sign ( x − y) f (| x − y|) dy =√ 2π −∞ g ( x − t)signt f (|t|) (−dt) x =√ 2π x g ( x − t)signt f (|t|) dt −∞ =√ 2π −x g ( x + t)signt f (|t|) dt ∞ = −√ 2π =√ 2π −x =√ 2π ∞ g ( x + t)signt f (|t|) dt −x g ( x + t)signt f (|t|) dt − √ 2π −x = −√ 2π g (| x + t|) f (|t|) dt − √ 2π x g (| x − t|) f (t) dt − √ 2π ∞ g ( x + t) f (t) dt ∞ g ( x + t) f (t) dt ∞ g ( x + t) f (t) dt (3.13) Từ (3.12), (3.13) ta có (3.11).Bổ đề chứng minh 3.3.1 Hệ hai phương trình tích phân thứ Giả sử λ1 , λ2 số phức, ϕ hàm biết thuộc L R, √ + x2 ; k, ψ, h hàm thuộc L ( R+ ) Ký hiệu θ1 ( x, u, v) = + θ2 ( x, t) = √ [ + iu 2π 2π (1 + iu)2 + ( x + v − 1)2 + iu (1 + iu)2 + ( x − v + 1)2 √1 2π − − + iu (1 + iu)2 + ( x + v + 1)2 + iu (1 + iu)2 + ( x − v − 1)2 [ψ (| x − t|) sign ( x − t) + ψ ( x + t)] Xét hệ hai phương trình tích phân với ẩn hàm f , g ∈ L ( R+ ) 53 ], ∞ ∞ f ( x ) + λ1 −∞ θ1 ( x, u, v) ϕ (u) g (v) dudv = h ( x ) , ∞ (3.14) f (t)θ2 ( x, t) dt + g ( x ) = k ( x ) , x > λ2 Định lý 3.2 Với điều kiện γ ϕ ∗ ψ (y) = 0, ∀y > − λ1 λ2 Fc 13 Hệ (3.14) có nghiệm thuộc L( R+ ) xác định γ Fc ϕ∗k 13 13 g ( x ) = k ( x ) + k ∗ l ( x ) − λ2 ψ ∗ h ( x ) − λ2 γ ϕ ∗ k ( x ) − λ1 f ( x ) = h ( x ) + l ∗ h ( x ) − λ1 ∗ l (x) Fc ψ ∗ h ∗ l ( x ) , x > 1 Ở đây, ∈ L( R+ ) xác định γ ϕ ∗ ψ (y) λ1 λ2 Fc 13 ( Fc l ) (y) = − λ1 λ2 Fc γ ϕ ∗ ψ (y) 13 Chứng minh: Giả sử hệ cho có nghiệm f , g hệ (3.14) viết lại dạng f ( x ) + λ1 λ2 γ ϕ ∗ g (x) = h (x) 13 f ∗ ψ ( x ) + g ( x ) = k ( x ) , x > Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa bổ đề ta nhận ( Fc f ) (y) + λ1 e−y sin y( Fϕ) (y) ( Fs g) (y) = ( Fc h) (y) λ2 ( Fc f ) (y) ( Fs ψ) (y) + ( Fs g) (y) = ( Fs k ) (y) , y > ∆= λ1 e−y sin y( Fϕ)(y) λ2 ( Fs ψ)(y) −i = − λ1 λ2 e−y sin y( Fϕ)(y)( Fs ψ)(y) γ = − λ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) = 13 Do = 1+ ∆ λ1 λ2 Fc − λ1 λ2 Fc 54 γ ϕ ∗ ψ (y) 13 γ ϕ ∗ ψ (y) 13 Theo định lý Wiener-Lesvy, tồn l ∈ L( R+ ) cho γ ϕ ∗ ψ (y) λ1 λ2 Fc 13 ( Fc l )(y) = γ ϕ ∗ ψ (y) − λ1 λ2 Fc 13 Điều dẫn tới = + ( Fc l )(y) ∆ ( Fc h)(y) λ1 e−y sin y( Fϕ)(y) ( Fs k)(y) ( Fc f )(y) = (1 + ( Fc l )(y)) = (1 + ( Fc l )(y)) ( Fc h)(y) − λ1 e−y sin y( Fϕ)(y)( Fs k)(y) γ = (1 + ( Fc l )(y)) ( Fc h)(y) − λ1 Fc ϕ ∗ k (y) 13 γ ϕ∗k = ( Fc h)(y) + Fc l ∗ h (y) − λ1 Fc Fc 13 γ ∗ l − λ1 Fc ϕ ∗ k (y) Fc 13 Do f ( x ) = h ( x ) + Fc l ∗ h (y) − λ1 Fc γ ϕ ∗ k ( x ) − λ1 13 γ ϕ∗k 13 ∗ l , x > Fc Mặt khác ta có ( Fc h)(y) λ2 ( Fs ψ)(y) ( Fs k )(y) = (1 + Fc l )(y) (( Fs k)(y) − λ2 ( Fs ψ)(y)( Fc h)(y)) ( Fc g)(y) = (1 + ( Fc l )(y)) = (1 + Fc l )(y) ( Fs k)(y) − λ2 Fs ψ ∗ h (y) 3.3.2 Hệ phương trình tích phân thứ hai ∞ f ( x ) + λ1 g (t) θ1 ( x, t) dt = k ( x ) , x > 0, (3.15) ∞ λ1 θ2 (t) [ f (| x − t|) + f (| x + t|)] dt + g (| x |) signx = h (| x |) signx, x ∈ R Ở λ1 , λ2 số phức ϕ, ψ, k, h hàm thuộc L( R+ ), f g ẩn hàm [sign(t − x ) ϕ (|t − x |) + ϕ (|t + x |)] θ1 ( x, t) = √ 2π i θ2 ( t ) = √ ψ ( t ) 2π Định lý 3.3 Với điều kiện − i λ1 λ2 ( F c ϕ) (y) ( F s ψ) (y) = 0, ∀y > 55 Hệ (3.15) tồn nghiệm L( R+ ) xác định sau: f ( y ) = k ( y ) − λ1 h ∗ ϕ ( y ) − k ∗ l ( y ) + λ1 h∗ϕ ∗ l (y) Fc γ Fc γ g ( y ) = h ( y ) − λ2 k ∗ ϕ ( y ) − h ∗ l ( y ) + λ2 k ∗ ψ ∗ l (y) 1 Ở đây, l ∈ L( R+ ) xác định −i λ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) ( F c l ) (y) = − i λ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Chứng minh: Giả sử hệ cho có nghiệm f , g ∈ L( R+ ), hệ (3.15) viết lại dạng f ( x ) + λ1 ϕ ∗ g (y) = k (y) , y > 0, γ λ2 f ∗ ψ ( x ) + g (| x |) signx = h (| x |) signx, x ∈ R Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập (2.51) ta có ( F c f ) ( y ) + λ1 ( F s ϕ ) ( y ) ( F s g ) ( y ) = ( F c k ) ( y ) λ2 ( F c f ) (y) ( F s ψ) (y) − i ( F s g) (y) = −i ( F s h) (y) , y > Từ ta có λ1 ( Fs ψ)(y) = −i [1 − i λ1 λ2 ( Fs ϕ)(y)( Fs ψ)(y)] = −i λ2 ( Fs ψ)(y) ( Fc k)(y) λ1 ( Fs ϕ)(y) ∆1 = = −i ( Fc k)(y) + i λ1 ( Fs h)(y)( Fs ϕ)(y) = −i ( Fs h)(y) −i Do ∆= ( Fc f )(y) = ∆1 −i − ∆−1i −iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) , y > 1−iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Điều dẫn tới ( Fc f )(y) = ∆1 −i − ∆−1i ( Fc l )(y) ( Fc k)(y) − λ1 Fc h ∗ ϕ (y) − ( Fc k)(y) − λ1 Fc h ∗ ϕ (y) ( Fc l )(y) 2 ( Fc k)(y) − λ1 Fc h ∗ ϕ (y) − Fc k ∗ l (y) + λ1 Fc h∗ϕ ( f )(y) = (k)(y) − λ1 h ∗ ϕ (y) − k ∗ l (y) + λ1 h∗ϕ Fc Fc 2 ∗ l (y) , y > Fc ∗ l (y) ∈ L ( R+ ) Fc Tương tự ∆2 = ( Fc k)(y) λ2 ( Fs ψ)(y) −i ( Fs h)(y) = −i ( Fs h)(y) − λ2 ( Fc k)(y)( Fs ψ)(y) 56 γ = −i ( Fs h)(y) + i λ2 Fs k ∗ ψ (y) Từ ta nhận ( Fs g)(y) = ∆2 −i − ∆−2i ( Fc l )(y) γ γ = ( Fs h)(y) − λ2 Fs k ∗ ψ (y) − ( Fs h)(y) − λ2 Fs k ∗ ψ (y) ( Fc l )(y) γ = ( Fs h)(y) − λ2 Fs k ∗ ψ (y) − Fs h ∗ l (y) + λ2 Fc γ k ∗ ψ ∗ l (y) γ γ γ Do ( g)(y) = (h)(y) − λ2 k ∗ ψ (y) − h ∗ l (y) + λ2 k ∗ ψ ∗ l (y) ∈ L ( R+ ) 1 Dễ dàng kiểm tra f ,g nghiệm Định lý chứng minh 3.3.3 Hệ phương trình tích phân thứ ba +∞ f ( x ) + λ1 (3.16) g (t)θ1 (y, t) dt = k (y) , y > 0, +∞ λ1 f (t) θ2 ( x, t) dt + g (| x |) signx = h (| x |) signx, x ∈ R Ở λ1 , λ2 số phức ϕ, ψ, k, h hàm thuộc L( R+ ), f g ẩn hàm θ1 (y, t) = √ [ ϕ (|t − y|) + ϕ (|t + y|)] 2π i θ2 ( x, t) = √ [ψ (| x − t|) − ψ (| x + t|)] 2π Định lý 3.4 Với điều kiện − iλ1 λ2 ( Fc ϕ) (y) ( Fc ψ) (y) = 0, ∀y > Hệ (3.16) tồn nghiệm L( R+ ) xác định sau: γ γ f ( y ) = k ( y ) − λ1 h ∗ ϕ ( y ) + k ∗ l ( y ) − λ1 l ∗ ϕ ∗ h 1 γ γ g ( y ) = h ( y ) − λ2 ψ ∗ k ( y ) − h ∗ l ( y ) + λ2 l ∗ k ∗ ψ 1 Ở đây, l ∈ L( R+ ) xác định −iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Fc ( Fc l ) (y) = − iλ1 λ2 Fc 57 ϕ ∗ ψ (y) Fc (y) (y) Chứng minh: Giả sử hệ cho có nghiệm f , g ∈ L( R+ ), hệ (3.16) viết lại dạng f ( y ) + λ1 g ∗ ϕ (y) = k (y) , y > 0, γ λ2 ψ ∗ f ( x ) + g (| x |) signx = h (| x |) signx, x ∈ R Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa tích chập (2.51) ta có ( Fs f ) (y) + λ1 ( Fs g) (y) ( Fc ϕ) (y) = ( Fs k) (y) , y > λ2 ( Fc ψ) (y) ( Fs f ) (y) − i ( Fs g) (y) = −i ( Fs h) (y) , y > Từ ta có λ1 ( Fc ψ)(y) = −i − iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) = λ2 ( Fc ψ)(y) −i Fc ( Fs k)(y) λ1 ( Fc ϕ)(y) = −i ( Fs k)(y) + iλ1 Fs h ∗ ϕ (y) ∆1 = −i ( Fs h)(y) −i ∆= γ = −i ( Fs k)(y) + λ1 Fs ϕ ∗ h (y) Do ( Fs f )(y) = ∆1 −i [1 − −iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Fc 1−iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Fc Theo định lý Wiener-Lesvy, tồn l ∈ L( R+ ) cho ( Fc l ) (y) = −iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Fc 1−iλ1 λ2 Fc ϕ ∗ ψ (y) Fc Điều dẫn tới ( Fs f )(y) = ∆1 −i − ∆−1i ( Fc l )(y), y > γ = ( Fs k)(y) − λ1 Fs h ∗ ϕ (y) − ( Fs k)(y) + iλ1 Fs ϕ ∗ h (y) × ( Fc l )(y) γ γ γ γ = ( Fs k)(y) − λ1 Fs h ∗ ϕ (y) − Fs k ∗ l (y) − iλ1 F l ∗ ϕ ∗ h 1 = ( Fs k)(y) − λ1 Fs h ∗ ϕ (y) − Fs k ∗ l (y) − λ1 Fs l ∗ ϕ ∗ h Do γ γ f ( y ) = k ( y ) − λ1 h ∗ ϕ ( y ) − k ∗ l ( y ) − λ1 l ∗ ϕ ∗ h Tương tự ∆2 = 1 ( Fs k)(y) λ2 ( Fc ψ)(y) −i ( Fs h)(y) = −i ( Fs h)(y) − λ2 Fs k ∗ ψ (y) γ = −i ( Fs h)(y) − λ2 F ψ ∗ k (y) γ = −i ( Fs h)(y) + iλ2 Fs ψ ∗ k (y) 58 (y) (y) (y) Do ( Fs g)(y) = ∆2 −i − ∆−2i ( Fc l )(y) γ = ( Fs h)(y) − λ2 Fs ψ ∗ k (y) − ( Fs h)(y) − iλ2 Fs ψ ∗ k (y) × ( Fc l )(y) γ γ = ( Fs h)(y) − λ2 Fs ψ ∗ k (y) − Fs h ∗ l (y) + iλ2 F l ∗ k ∗ ψ 1 γ γ = ( Fs h)(y) − λ2 Fs ψ ∗ k (y) − Fs h ∗ l (y) + λ2 Fs l ∗ k ∗ ψ 1 Từ suy γ γ g ( y ) = h ( y ) − λ2 ψ ∗ k ( y ) − h ∗ l ( y ) + λ2 l ∗ k ∗ ψ 1 Kết luận chương Nội dung chương trình bày vấn đề sau: • Phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân • Giải phương trình tích phân kiểu tích chập • Giải hệ phương trình tích phân kiểu tích chập suy rộng 59 (y) (y) (y) KẾT LUẬN Luận văn trình bày kết sau: • Một số phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine tính chất tốn tử chúng • Phương pháp kiến thiết, tích chập, tích chập suy rộng trình bày tích chập suy rộng Fourier • Trình bày số ứng dụng hệ phương trình tích phân kiểu tích chập 60 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng , Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân Phạm Hồng Qn (2009), Biến đổi tích phân, NXB Giáo dục Việt Nam [2] Nguyễn Xuân Thảo (2015), Phép biến đổi tích phân, tích chập ứng dụng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kì dị, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [4] A Erdelyi and H Bateman, Table of Integral Transforms, Vol I, Mcgraw- Hill Book co., New York, 1954 [5] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2005) ,” On the generalized convolution with a weightfunction for Fourier, Fourier cosine and Fourier sine transforms “, Vietnam Journal of Mathematics, Vol.33(4), pp.421-436 [6] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2006) ,” On the generalized convolution with a weightfunction for the Fourier sineand cosine transforms”, Integral Transforms and Special Function Vol.17(9), pp.673-685 [7] Nguyen Xuan Thao,Vu Kim Tuan, Nguyen Minh Khoa (2004),” On the generalized convolution with a Weight- Function for the Fourier cosine and sine transforms” , Frac Cal.and Appl Anal,Vol.7(3), pp.323- 337 61 ... Biến đổi tích phân Fourier sine Chương Tích chập suy rộng Fourier 2.1 Tích chập biến đổi tích phân 2.2 Tích chập suy rộng 2.3 Tích chập suy rộng Fourier Chương Ứng dụng 3.1 Phương trình tích phân... Fourier cosine, Fourier sine 2) Tích chập, tích chập suy rộng, tích chập suy rộng Fourier 3) Phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân kiểu tích chập Fourier Phương... đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier cosine tính chất tốn tử chúng • Các tích chập, tích chập suy rộng phép biến đổi Fourier, Fourier sine, Fourier cosine 21 Chương Tích chập suy rộng Fourier