Trờng thpt trần nhân tông đề thi thử đại học - NĂM 2009 - LầN II. Môn Toán (Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề). I: PHầN CHUNG CHO TấT Cả THí SINH . Câu I Cho hàm số 1 12 + = x x y có đồ thị (C). 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số . 2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B . Gọi I là giao hai tiệm cận , Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. Câu II 1. Giải phơng trình: 2 cos.2sin 2sin x -2x 3sin = xx 2. Giải hệ phơng trình : =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx . Câu III 1.Tính tích phân sau: dx. .cos.sin. 3 2 0 sin 2 xxe x 2. Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 .Chứng minh rằng: 46253 4 + zxy + 415 4 + xyz + 4815 4 + yzx 45 5 xyz. Câu IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a , mặt bên hợp với đáy góc . Tìm để thể tích của hình chóp đạt giá trị lớn nhất. II, PHầN RIÊNG. (Thí sinh chỉ làm một trong 2 phần ; phần 1 hoặc phần 2 ) Phần 1( Dành cho thí sinh theo chơng trình chuẩn ) Câu Va 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm I( 2 1 ; 0) . Đờng thẳng chứa cạnh AB có phơng trình x-2y+2= 0 , AB =2AD. Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C, D, biết A có hoành độ âm . 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng )( 1 d và )( 2 d có phơng trình . Lập phơng trình mặt phẳng chứa (d 1 ) và )( 2 d . .Câu VIa Tìm m để phơng trình sau có 2 nghiệm phân biệt : x10 1).12(48 22 ++=++ xxmx . Phần 2 ( Dành cho thí sinh theo chơng trình nâng cao ) . Câu Vb 1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình vuông ABCD biết M(2;1); N(4; -2); P(2;0); Q(1;2) lần lợt thuộc cạnh AB, BC, CD, AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông. 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 2 đờng thẳng ( ) và ( )' có phơng trình . ( ) ( ) += = += = += += 4t'2 t'2y t'2-2x : ; 4 2t-1y t3x : ' zz 3 3 9 1 6 4-x :)(d ; 1 2-z 3 1y 2 1 );( 21 = == + = zyx d đề chính thức Viết phơng trình đờng vuông góc chung của ( ) và ( )' Câu VIb Giải và biện luận phơng trình : 1 + mx ( .243)22 2322 +=++ xxxmxxm ******** Hết ******** Trờng THPT Trần Nhân Tông Kỳ thi thử đại học- cao đẳng năm 2009 (lần II) Hớng dẫn chấm môn toán Câu Nội dung Điểm I.1 Khảo sát hàm số y= 1 12 + x x 1,00 1. Tập xác định: R\{1} 2. Sự biến thiên: + Chiều biến thiên: 22 )1( 3 )1( )12()1(2 ' = + = xx xx y Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-; 1) và (1;+) . Cực trị : Hàm số đã cho không có cực trị 0,25 . Tiệm cận: = + = 1 12 limlim 1 1 x x y x x += + = + + 1 12 limlim 1 1 x x y x x Do đó đờng thẳng x=1 là tiệm cận đứng 2 1 12 limlim = + = x x y x x Vậy đờng thẳng y= 2 là tiệm cận ngang 0,25 * Bảng biến thiên: x - 1 + y' - - y 2 - + 2 3* Đồ thị : HS tự vẽ đồ thị hàm số. 0,5 I.2 Với M bất kì (C), tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B. Tìm M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. 1,00 Gọi M + 1 3 2; 0 0 x x (C) * Tiếp tuyến tại M có dạng: 1 3 2)( )1( 3 0 0 2 0 ++ = x xx x y Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B nên tọa độ A; B có dạng là: A 0,25 Câu Nội dung Điểm + 1 6 2;1 0 x B(2x 0 -1; 2) ; I(1; 2) * Ta có: S IAB = 2 1 . IA. IB= 63.212 1 6 2 1 0 0 == x x (đvdt) 0,25 * IAB vuông có diện tích không đổi => chu vi IAB đạt giá trị nhỏ nhất khi IA= IB (HS tự chứng minh). = += = 31 31 12 1 6 0 0 0 0 x x x x * Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện M 1 ( 32;31 ++ ) M 2 ( 32;31 ) Khi đó chu vi AIB = 6234 + 0,5 II.1 Giải phơng trình: 2 cos.2sin sin22sin3 = xx xx 1,00 * Phơng trình 2 cos.2sin sin22sin3 = xx xx Điều kiện: sin2x 0 => 0cos 0sin x x * Từ phơng trình => 3sin2x -2sinx = 2sin2x.cosx (2sin2x 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0 0,5 * 2(1- cosx)(sin2x- sinx) =0 == == 0)1cos2(sin0sin2sin 0sin1cos xxxx xx * 2cosx -1 =0 (do sinx 0) 2 33 cos 2 1 cos kxx +=== (kZ) 0,5 II.2 Giải hệ phơng trình: =++ =++ 0222 0964 22 224 yxyx yyxx * Hệ phơng trình tơng đơng với 1,00 (loại) Câu Nội dung Điểm =++ =+ 022)2( 4)3()2( 22 222 xyx yx 1 12 + = x x y Đặt 1 12 + = x x y * Thay vào hệ phơng trình ta có: 1 12 + = x x y 1 12 + = x x y 1 12 + = x x y hoặc 1 12 + = x x y thế vào cách đặt ta đợc các nghiệm của hệ là : 1 12 + = x x y ; 1 12 + = x x y ; 1 12 + = x x y ; 1 12 + = x x y 0,25 0,25 0,5 III.1 Tính tích phân 2/ 0 3sin cos.sin. 2 xdxxe x 1,00 Đặt sin 2 x= t => dt= 2sinx. cosxdx Đổi cận: x=0 => t=0; x= 1 2 = t Khi đó I= 1 0 )1( 2 1 dtte t 0,5 Đặt = = = = tt ev dtdu dvdte ut 2 1 2 1 1 Dùng tích phân từng phần ta có I= e 2 1 . 0,5 III.2 Cho 3 số dơng x, y, z thoả mãn : x +3y+5z 3 . Chứng minh rằng: xy3 4625 4 + z + zx5 415481 44 +++ xyzy xyz545 1,00 Câu Nội dung Điểm Bất đẳng thức 2 2 4 x x + + 2 2 9 4 9 y y + + 2 2 25 4 25 z z + 45 VT +++++ 22 ) 5 2 3 22 ()53( zyx zyx 3 2 2 3 )5.3.( 36 )5.3.(.9 zyx zyx + . 0,5 Đặt t = 3 2 )5.3.( zyx ta có 1 3 53 )5.3.( 3 3 = ++ zyx zyx do đó t 1 Điều kiện . 0 < t 1. Xét hàm số f(t)= t9 + t 36 1 12 + = x x y =45 Dấu bằng xảy ra khi: t=1 hay x=1; y= 3 1 ; z= 5 1 . 0,5 IV Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên bằng a,mặt bên hợp với đáy góc . Tính để thể tích V của hình chóp đạt giá trị lớn nhất. 1,00 * Tính V= 32 3 )tan2( tan . 3 4 + a . * Ta có = + 32 2 )tan2( tan 2 2 tan2 tan + . 2 tan2 1 + . 2 tan2 1 + 27 1 V max 27 34 3 a = khi đó tan 2 =1 = 45 o 0,5 0,5 Va.1 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I 0; 2 1 ; AB có phơng trình: x- 2y+2= 0; AB= 2AD. Tìm tọa độ A; B; C; D biết A có hoành độ âm 1,00 Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB ,khi đó IH= 2 5 Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (C) có tâm I và bán kính R= IA. đờng tròn (C) có phơng trình là: 4 25 2 1 2 2 =+ yx A(-2; 0); B(2; 2). Do C đối xứng với A qua I qua đó C(3; 0) Do D đối xứng với B qua I qua đó D(-1;-2) 0, 5 0, 5 Câu Nội dung Điểm Va.2 Trong không gian với hệ trục Oxyz cho đờng thẳng (d 1 ) và (d 2 )có phơng trình: d 1 : += += += tz ty tx 2 31 21 ; d 2 : 3 3 9 1 6 4 = = zyx Hãy lập phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d 1 ) và (d 2 ) 1,00 + Ta có: (d 1 ) // (d 2 ) ( HS phải chứng minh đợc) 0,25 Gọi mặt phẳng cần tìm là (P).Hai véc tơ không cùng phơng có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng (P) là: )1;3;2( 1 u và 21 MM (3;2;1).Vậy (P) có véc tơ pháp tuyến là: [ ] )5;1;1(, 211 == MMun Mặt phẳng (P) qua M 1 (1; -1; 2) Vậy phơng trình (P) là: x+ y- 5z +10 =0 0,25 0, 5 VIa Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt: m( 2x+1). 1 2 + x =10x 48 2 ++ x 1,00 Nhận xét : 10x 48 2 ++ x = 2(2x+1) 2 +2(x 2 +1) Phơng trình tơng đơng với : 2 ( 02) 1 12 () 1 12 2 2 2 =+ + + + + x x m x x . Đặt t x x = + + 1 12 2 Điều kiện : -2< t 5 . Rút m ta có: m= t t 22 2 + Lập bảng biến thiên của hàm số trên ( ] 5,2 , ta có kết quả của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt là: 5 12 4 < m hoặc -5 < 4 < m 0,25 0,75 Vb.1 Trong mặt phẳng với hệ Oxy cho hình vuông ABCD biết các điểm M(2;1) ; N(4; -2) ; P(2; 0); Q(1; 2) lần lợt thuộc cạnh AB; BC; CD và AD. Hãy lập phơng trình các cạnh của hình vuông trên. 1,00 + Giả sử đờng thẳng AB qua M và có véc tơ pháp tuyến là );( ban (a 2 + b 2 0) => véc tơ pháp tuyến của BC là: );( 1 abn .Phơng trình AB có dạng: a(x-2) +b(y-1)= 0 ax + by -2a-b =0 BC có dạng: -b(x- 4) +a(y+ 2) =0 - bx + ay +4b + 2a =0 Do ABCD là hình vuông nên d(P; AB) = d(Q; BC) 0,5 Hay = = + + = + ab ab ba ab ba b 2 43 2222 Tr ờng hợp 1 : b= -2a; Phơng trình các cạnh cần tìm là: AB: x- 2y = 0 ; CD : x- 2y-2 =0 BC: 2x +y 6= 0; AD: 2x + y -4 =0 Tr ờng hợp 2 : b= -a . Khi đó AB: -x + y+ 1 =0 BC: -x y + 2= 0 AD: -x y +3 =0 CD: -x + y+ 2 =0 0,25 0,25 Câu Nội dung Điểm Vb 2 Cho (): = += += 4 21 3 z ty tx ; () += = += uz uy ux 42 2 22 Viết phơng trình đờng vuông góc chung của () và () 1,0 0 + Gọi đờng vuông góc chung của () và () là d Khi đó [ ] )1;2;4(', 2 1 == uuu d + Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua N(3; -1; 4) và có véc tơ pháp tuyến: [ ] )10;1;2(, 1 == d uun Vậy phơng trình của () là: 2x- y + 10z - 47 =0 + Gọi () là mặt phẳng chứa () và (d) thì () qua M(-2; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến: [ ] )12;18;6(,' 2 == d uun Vậy phơng trình của () là: x + 3y- 2z + 6 =0 Do đó đờng vuông góc chung của và là giao tuyến của hai mặt phẳng: 2x y + 10z 47 = 0 và x + 3y 2z + 6 =0 +Lập phơng trình tham số của (d).(HS tự làm) 0,25 0,25 0,25 0,25 VI.b Giải và biện luận: 243)22(1 2322 +=+++ xxxmxxmmx 1,0 0 * Phơng trình tơng đơng với: )1()1(1)1( 33 +=+++ xxmxmx Xét hàm số: f(t)= tt + 3 , hàm số này đồng biến trên R. )1()1( =+ xfmxf 11 =+ xmx * Giải và biện luận phơng trình trên ta có kết quả cần tìm. + 11 << m phơng trình có nghiệm x= 1 2 m +m=-1 phơng trình nghiệm 1 x Các trờng hợp còn lại phơng trình vô nghiệm 0,5 0,5 Chý ý học sinh làm cách khác kết quẩ đúng vẫn đợc điểm tối đa . Tính V= 32 3 )tan2( tan . 3 4 + a . * Ta có = + 32 2 )tan2( tan 2 2 tan2 tan + . 2 tan2 1 + . 2 tan2 1 + 27 1 V max 27 34 3 a = khi đó tan 2 =1. 2sin2x.cosx (2sin2x 2sin2x.cosx)+ sin2x- 2sinx = 0 2sin2x(1- cosx)+ 2sinx(cosx -1)= 0 0,5 * 2( 1- cosx)(sin2x- sinx) =0 == == 0)1cos2(sin0sin2sin