Đang tải... (xem toàn văn)
Bộ môn quy hoạch tuyến tính là một môn học có tác dụng rất lớn trong việc rèn luyện tư duy logic và khả năng sáng tạo cho người học.Trong thực tế ta thường hay gặp các tình huống là phải lựa chọn một trong số những quyết định quan trọng để đưa ra những phương án hoặc chiến lược tốt nhất trong sản xuất kinh doanh. Khi đó ta cần phải lập mô hình toán học quy hoạch tuyến tính để được phương án tối ưu cần thiết.
Đề tài:“ BÀI TỐN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG” MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Cùng với tiến kinh tế - xã hội loài người, thút đẩy toán học bước phát triển nhảy vọt Nhất người biết tạo sản phẩm cần thiết để phục vụ cho nhu cầu đời sống xã hội việc trao đổi hàng hóa cần có tính tốn Tốn học mơn học mang tính trừu tượng, khái qt, mơ hình ứng dụng rộng rãi lĩnh vực đời sống xã hội Bộ môn quy hoạch tuyến tính mơn học có tác dụng lớn việc rèn luyện tư logic khả sáng tạo cho người học Không thế, từ người biết suy nghĩ để tìm cách hành động cho có lợi cho theo mục đích xác định Những yêu cầu cấp bách phát triển kinh tế quốc phòng lại làm nảy sinh ý tưởng tương tự Do xuất tốn cần phải giải quyết, tốn tìm phương án tối ưu Trong thực tế ta thường hay gặp tình phải lựa chọn số định quan trọng để đưa phương án chiến lược tốt sản xuất kinh doanh Khi ta cần phải lập mơ hình tốn học quy hoạch tuyến tính để phương án tối ưu cần thiết Kiến thức sau học quy hoạch tuyến tính cần thiết, kiến thức quan trọng để xây dựng mơ hình tốn học cho toán phức tạp thực tế, cần xây dựng thuật toán mơ hình hóa ngơn ngữ nhờ việc lập trình máy tính ta giải quy hoạch tuyến tính cách dể dàng nhanh chóng xác Như việc học quy hoạch tuyến tính quan trọng, đem lại hiệu kinh tế lớn biết lập mơ hình tính tốn quy cách Trong “ Bài tốn đối ngẫu” đề cập nhiều mảng kiến thức với hình thức đa dạng phong phú.Với lý nêu em chọn đề tài: Một số dạng tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu ứng dụng” Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại cách chi tiết vấn đề lý thuyết toán đối ngẫu - Xây dựng hệ thống tập tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu - Từ rèn luyện trau dồi khả tư hứng thú việc giải tập toán đối ngẫu Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu: Một số dạng tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Phương pháp nghiên cứu + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu môn quy hoạch tuyến tính, luận văn tốt nghiệp tốn đối ngẫu khóa trước trường Đại học Hà Tĩnh + Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Tham khảo ý kiến giảng viên hướng dẫn, giảng viên dạy mơn quy hoạch tuyến tính trường + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm thân trình học tập học phần quy hoạch tuyến tính bạn sinh viên học toán đối ngẫu lớp sư phạm lớp quản trị kinh doanh Nội dung nghiên cứu Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo nội dung đề tài gồm có ba chương Chương 1: Cơ sở lý thuyết Trong chương này, hệ thống kiến thức tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu nhằm làm sở cho chương Chương 2: Bài tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu số ứng dụng Nội dung chương nội dung đề tài, chương tơi sử dụng sở lý thuyết để giải số dạng toán đối ngẫu 2.1 Viết tốn đối ngẫu tốn dạng tắc, chuẩn tắc, dạng tổng quát 2.2 Chứng tỏ tính tối ưu phương án 2.3 Tìm tập phương án tối ưu toán đối ngẫu 2.4 Ý nghĩa kinh tế tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.5 Bài toán hậu tối ưu 2.6 Giải tốn có dạng đặc biệt Chương I CƠ SỞ LÝ THUYẾT • Đối ngẫu phương pháp mà ứng dụng với toán QHTT cho (gọi tốn gốc), ta thiết lập toán QHTT khác (gọi toán đối ngẫu) cho từ lời giải toán ta thu thơng tin lời giải tốn • Khi phân tích đồng thời hai tốn gốc đối ngẫu ta rút kết luận sâu sắc mặt toán học lẫn ý nghĩa thực tiễn Định nghĩa cặp toán đối ngẫu 1.1 Cho toán gốc P Bài toán đối ngẫu Q n f ( x ) = ∑ c j x j → ( 1) j =1 n ∑a x j =1 ij j n ∑a x j =1 ij n ∑a x j =1 ij j j ≥ bi , i ∈ I1 ≤ bi , i ∈ I = bi , i ∈ I x j ≥ 0, j ∈ J1 x j ≤ 0, j ∈ J xj ∈¡ , j ∈ J 1.2 ' ( 2) ( 3) n g ( y ) = ∑ bi yi → max i =1 n ∑a i =1 ij n ∑a i =1 ij n yi ≤ c j , j ∈ J1 ( 5') yi ≥ c j , j ∈ J ( 6') yi = c j , j ∈ J ' ( 7') ( 4) ∑a ( 5) ( 6) ( 7) yi ≥ 0, i ∈ I1 i =1 ij ( 1') yi ≤ 0, i ∈ I yi ∈ ¡ , i ∈ I ' ( 2') ( 3') ( 4') Định nghĩa cặp điều kiện đối ngẫu Bài toán P Q gọi cặp toán đối ngẫu Các cặp điều kiện đối ngẫu (2) (2’) (3) (3’) (5) (5’) (6) (6’) Ví dụ: Chuyển tốn sau sang tốn đối ngẫu tìm cặp điều kiện toán đối ngẫu f ( x ) = − x1 − x2 + x3 − x4 → x1 + 12 x2 + x3 = → y1 ∈ ¡ x1 + 3x2 − x3 ≥ → y2 ≥ x1 − 18 x2 + x3 + x4 ≥ −7 → y3 ≥ ( 1) ( 2) ( 3) ( 4) x j ≥ 0, j = 1,4 x0 , y Giải Bài toán đối ngẫu: g ( y ) = y1 + y2 − y3 → max y1 + y2 + y3 ≤ −1 ↔ 12 y1 + y2 − 18 y3 ≤ −3 ↔ x2 ≥ ↔ x3 ≥ y2 + y3 ≤ y1 + y3 ≤ −2 ↔ x1 ≥ x4 ≥ y1 ∈ ¡ , y2 ≥ 0, y3 ≥ Ví dụ: Cho tốn quy hoạch tuyến tính f ( x) = 13x1 − 3x2 − 4x3 + 19x4 → 2x1 + x2 − x3 + 3x4 ≥ 44 − x1 + 2x2 + 3x3 + x4 ≤ 23 3x1 − x2 − x3 + 6x4 = 96 xj ≥ 0, j = 1,4 Viết toán đối ngẫu cho toán cặp điều kiện đối ngẫu Giải Do tốn gốc tìm Min nên tốn đối ngẫu tìm Max tốn gốc có ràng buộc( khơng kể ràng buộc dấu) nên tốn đối ngẫu có số ẩn Hệ số hàm mục tiêu toán đối ngẫu tương ứng vế phải hệ ràng buộc toán gốc Do đó: g( Y ) = 44y1 + 23y2 + 96y3 → max Các cặp điều kiện đối ngẫu: 2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 44 vaø y1 ≥ − x1 + 2x2 + 3x3 + x4 = 23 vaøy2 ≤ 3x − x − x + 6x = 96 vaø y ∈ ¡ vaø 2y1 − y2 + 3y3 ≤ 13 x1 ≥ x ≥ vaøy1 + y2 − 3y3 ≤ −3 x3 ≥ vaø − y1 + 3y2 − 3y3 ≤ −4 vaø 3y1 + y2 + 6y3 ≤ 19 x4 ≥ Ta có tốn đối ngẫu: y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ∈ ¡ 2y1 − y2 + 3y3 ≤ 13 y1 + y2 − 3y3 ≤ −3 − y + 3y − 3y ≤ −4 3y1 + y2 + 6y3 ≤ 19 SƠ ĐỒ ĐỐI NGẪU TỔNG QUÁT Sơ đồ đối ngẫu tổng quát Bài toán gốc Các biến gốc: x1, x2,…, xn Hàm mục tiêu f(x) = c1x1 + c2x2 +…+ cnxn → Bài toán đối ngẫu Các biến đối ngẫu: y1, y2,…,ym g(y) = b1y1+ b2y2 +…+ bmym → max ai1 x1 + x2 + …+ ain xn ≥ bi , i ∈ I1 yi ≥ 0, i ≥ I1 ai1 x1 + x2 + … + ain xn = bi , i ∈ I yi = 0, i ∈ I ai1 x1 + x2 + … + ain xn ≤ bi i ∈ I yi ≤ 0, i ≤ I a1 j y1 + a2 j y2 + …+ amj ym ≤ c j , j ∈ J1 a1 j y1 + a2 j y2 + …+ amj ym = c j , j ∈ J x j ≥ 0, j ∈ J1 x j = 0, j ∈ J a1 j y1 + a2 j y2 + … + amj ym ≥ c j , j ∈ J x j ≤ 0, j ∈ J 1.3 Các tính chất cặp tốn đối ngẫu 1.3.1 Nguyên lí đối ngẫu Bổ đề: Xét cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu f ( x ) → g ( y ) → max x0 , y0 với cặp phương án g ( y) ≤ f ( x) cặp tốn đối ngẫu ta ln có Chứng minh: f ( x ) = cx → f ( x) = g ( y) Ax = b ↔ y x≥0 g ( y ) = by → max Ay = c ↔ x g ( y ) = by = ( Ax ) y = ( Ay ) x ≤ ( x = f ( x ) ) 1.3.2 Định lí đối ngẫu thứ hệ Xét cặp tốn quy hoạch tuyến tính tổng qt tốn gốc có phương án tối ưu tốn đối ngẫu có phương án tối ưu ngược lại Đồng thời giá trị tối ưu hai toán x0 , y x0 , y Hệ phương án cặp toán đối ngẫu, 0 f ( x ) = g( y ) phương án tối ưu hai toán Hệ Trong cặp toán đối ngẫu hai tốn có phương án khơng có phương án tối ưu tốn khơng có phương án Hệ Xét cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu dạng tổng qt hai tốn có phương án tối ưu chúng có phương án tối ưu Ví dụ: Cho tốn quy hoạch tuyến tính f ( x ) = x1 + x2 + x3 → max x1 + x2 + x3 ≤ y1 ≥ 3x1 + x2 + x3 ≤ y2 ≥ 3x1 + x2 + x3 = 16 y3 ∈ ¡ x j ≥ 0, j = 1,2,3 (1) Chứng minh tốn có phương án tối ưu cách dựa vào toán đối ngẫu Giải g ( y ) = y1 + y2 + 16 y3 → y1 + y2 + y3 ≥ x1 ≥ y1 + y2 + y3 ≥ x2 ≥ y1 + y2 + y3 ≥ x3 ≥ y1 ≥ 0, y2 ≥ 0, y3 ∈ ¡ (2) Ta thấy : x=(0,0,4) phương án (1) y=(0,1,1) phương án (2) Từ hệ 3: Bài tốn có phương án tối ưu 1.3.3 Định lí đối ngẫu thứ Xét cặp tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu có dạng tổng qt x0 , y0 cặp điều kiện đối ngẫu, cặp phương án tương ứng cặp phương án tối ưu hai toán ứng với cặp phương án với cặp điều kiện đối ngẫu điều kiện thỏa mãn với dấu bất đẳng thức thực điều kiện đối ngẫu phải xảy dấu Ví dụ: Tìm tập phương án tối ưu toán đối ngẫu 1.4 Một số phương pháp suy nghiệm Cho toán gốc f ( x ) = Cx → Ax = b x ≥ Bài toán đối ngẫu g ( y ) = by → max Ay ≤ c =>Phương án tối ưu ( x* → J j ∈ J , Ay = c ) y* , j ∈ J y = ( ∆ + c5 ; ∆ + c6 ; ∆ + c7 ) 1.4.1 Chứng minh phương án tối ưu Nếu biết phương án tối ưu toán gốc, vận dụng lý thuyết đối ngẫu ta suy phương án tối ưu tối đối ngẫu tương ứng mà khơng cần giải Ví dụ: Bài tốn qui hoạch tuyến tính f ( x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 → 3x1 + x2 + x3 =1 x1 + x2 + x3 + x4 =3 x1 + x2 + x3 + x5 = x j ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4, Có phương án tối ưu x* = (0, 1, 0, 2, 3) với f = Hãy tìm phương án tối ưu toán đối ngẫu tương ứng Giải g ( y ) = y1 + y2 + y3 → max Do Cặp điều kiện đối ngẫu: 3x1 + x2 + x3 =1 vaø y1 ∈ ¡ 5x1 + x2 + x3 + x4 =3 vaø y2 ∈ ¡ + x5 = vaø y3 ∈ ¡ 2x1 + 5x2 + x3 x1 ≥ vaø 3y1 + 5y2 + 2y3 ≤ x2 ≥ vaø y1 + y2 + 5y3 ≤ x3 ≥ vaø y1 + y2 + y3 ≤ x4 ≥ vaø x5 ≥ vaø y2 ≤1 y3 ≤ Ta có tốn đối ngẫu 3y1 + 5y2 + 2y3 ≤ y1 + y2 + 5y3 ≤ y + y + y ≤1 y2 ≤1 y3 ≤ y yù y1, y2, y3 tuø Gọi y* phương án tối ưu toán đối ngẫu Do x*2, x*3, x*5 >0, nên theo định lý độ lệch bù, y* nghiệm hệ phương trình: y1 + y + y = y2 =1 y3 = y1 = −5 y2 = y =1 Giải hệ phương trình ta có: Vậy y* (-5, 1, 1) phương án tối ưu g(y) với gmax = -5 +(3*1) + (8*1) = = fmin i (i = 1, n) ui Cần mua loại nguyên liệu với lượng yêu cầu Hãy lập kế hoạch mua loại nguyên liệu cho thỏa mãn tổng số tiền mua nguyên liệu nhỏ số tiền chi phí cho đơn vị sản phẩm sản phẩm Gọi yi (i = 1, m) j ( j = 1, n) không vượt giá trị đơn giá nguyên liệu loại i m g = ∑ ui y i Tổng số tiền mua nguyên liệu: i =1 m j ( j = 1, n) ∑a i =1 ij yi Số tiền chi phí nguyên liệu cho sản phẩm : Như toán mua nguyên liệu phát biểu sau: m g = ∑ ui yi → ( 1') m ∑ aij yi ≤ c j i =1 y ≥ 0, i = 1, m i ( 2') i =1 ( 3') (II) Rõ ràng toán (2) toán đối ngẫu toán (1) Như toán mua nguyên liệu toán đối ngẫu toán lập kế hoạch sản xuất X * = xi* Y * = yi* Gọi phương án tối ưu tốn (1) (2) Theo định lí độ lệch bù ta có: m x*j > c j − ∑ aij yi* = i =1 m ∑a ij i =1 yi* = c j Nếu hay nghĩa sản phẩm thứ j sản xuất số tiền chi phí ngun liệu cho đơn vị sản phẩm giá trị sản phẩm n y >0 * i ∑a x j =1 ij * j n ∑a x − ui = Nếu mua phải sử dụng hết hay j =1 ij * j = ui nghĩa loại nguyên liệu Bài Xét toán sau: Một cửa hàng bán lẽ có 10,2 kg bánh kg kẹo dùng để gói thành gói quà để bán Chi tiết gói quà cho bảng Nguyên liệu Bánh (10 g) Kẹo (10g) Giá bán (trăm đồng) Gói quà A 34 B 38 C 36 a) Cửa hàng phải đóng gói loại để bán nhiều tiền nhất? b) Nếu người đến hỏi mua hết số bánh kẹo nêu phải trả giá kí bánh, kẹo để cửa hàng đồng ý bán số tiền bỏ nhất? Giải a) Ta biến mơ hình tốn cửa hàng thành tốn quy hoạch tuyến tính sau: Gọi x1 , x2 , x3 số gói quà loại A,B,C đóng gói x j ≥ 0, j = 1,3 Theo ý nghĩa thực tế ta có: ( bỏ qua điều kiện nguyên biến số ) Lấy đơn vị tiền trăm đồng doanh thu cửa hàng là: f ( x ) = 34 x1 + 38 x2 + 36 x3 Theo yêu cầu tốn doanh thu cao nhất, ta có : x1 + x2 + x3 ≤ 1020 Do số bánh bị hạn chê nên: x1 + 3x2 + x3 ≤ 300 Do số kẹo bị hạn chế nên: Vậy ta có tốn quy hoạch tuyến tính: f ( x ) = 34 x1 + 38 x2 + 36 x3 ↔ max f ( x ) → max x1 + x2 + x3 ≤ 1020 x1 + 3x2 + x3 ≤ 300 x j ≥ 0, j = 1,3 Thêm ẩn bù giải tốn phương pháp đơn hình ta được: X max = ( 0,36,96,0,0 ) f max = 4824 với Vậy cửa hàng dùng số bánh kẹo để đóng 36 gói loại B 96 gói loại C doanh thu cao 4.824.000 đồng y1 , y2 b) Gọi giá ( tính theo đơn vị trăm đồng ) 10g bánh, kẹo thì: y1 ≥ 0, y2 ≥ • g ( y ) = 1020 y1 + 300 y2 • Tổng số tiền người mua bỏ g ( y ) → Theo yêu cầu số tiền bỏ mua thấp ta có : Để cửa hàng đồng ý bán hết bánh kẹo số tiền thu ứng với số bánh, kẹo có gói q khơng thấp giá bán gói q Vậy: y1 + y2 ≥ 34 y1 + y2 ≥ 38 y1 + y2 ≥ 36 Từ ta có tốn quy hoạch tuyến tính người mua : g ( y ) = 1020 y1 + 300 y2 → y1 + y2 ≥ 34 y1 + y2 ≥ 38 y1 + y2 ≥ 36 y1 ≥ 0, y2 ≥ Đây tốn đối ngẫu toán giải câu a Vậy theo định lý độ lệch bù yếu, ta có: x2 = 36 ≠ ⇒ y1 + y2 = 38 x3 = 96 ≠ ⇒ y1 + y2 = 36 ( 1) ( 2) 13 Y* = , ÷ 25 25 Giải hệ phương trình (1), (2) ta có Đây phương án tối ưu toán đối ngẫu 13 = 0,32; = 0,52 25 25 Lưu ý đến đơn vị tính và: Thì ta có lời giải thực tế sau: Nếu người mua trả giá 3200 đ/kg bánh 5200 đ/kg kẹo cửa hàng đồng ý bán Số tiền bỏ mua 10,2 kg bánh 3kg kẹo thấp 482400 đồng Bài Xét toán quy hoạch tuyến tính: f ( x ) = x1 + x2 + 3x3 → max x1 + x2 + x3 ≤ 60 x1 + x2 + x3 ≤ 40 x1 + x2 + x3 ≤ 80 x j ≥ 0, j = 1,3 xj Cần tìm giá trị biến định để ràng buộc thỏa mãn hàm mục tiêu đạt giá trị lớn Bài tốn có ý nghĩa kinh tế sau: giả sử xí nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm I, II, III Để sản xuất đơn vị sản phẩm I cần có đơn vị nguyên liệu loại A, đơn vị nguyên liệu loại B đơn vị nguyên liệu loại C Các chi tiêu cho mơt đơn vị sản phẩm loại II 4,1 Còn cho đơn vị sản phẩm loại III 2, Lượng nguyên liệu dự trữ loại A B có 40, 60 80 đơn vị Hãy xác định phương án sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận/ đơn vị sản phẩm bán 2, (đơn vị tiền tệ) cho sản phẩm loại I, II, III Gỉa sử có khách hàng muốn mua lại đơn vị nguyên liệu loại A, B C Bài toán đặt cần định giá đơn vị nguyên liệu Rõ ràng giá nguyên liệu quy định giá trị sản phẩm mà chúng tạo nên Nếu sản phẩm mang lại lợi nhuận lớn thị trường giá ước định nguyên liệu phải cao, trái lại giá ước định chúng phải thấp Mặt khác, lợi luận sản phẩm khác thu thị trường lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: giá sản phẩm bán thị trường (đã thị trường chấp nhận), lượng dự trữ ngun liệu có, hệ số chi phí sản xuất, Như vậy, giá ước định chi phí nguyên liệu A,B,C phụ thuộc vào: c1 = 8, c2 = 4, c3 = 63 - Hệ số hàm mục tiêu toán gốc: - Ma trận ràng buộc hệ số chi phí sản xuất : 3 2 A = 2 2 1 - Hệ số dự trữ loại nguyên liệu: 60 b = 40 80 Tuy nhiên, mối phụ thuộc khơng dễ dàng xác định Để giải vấn đề hoàn toàn dựa vào việc phân tích tốn đối ngẫu Gọi ước định đơn vị nguyên liệu loại A, y3 y2 y1 giá giá ước định đơn vị nguyên liệu loại B, giá ước định đơn vị nguyên liệu loại C Chúng ta xét toán đối ngẫu: ( y1, y2 , y3 ) ≥ f ( x ) = 60 y1 + 40 y2 + 80 y3 y1 + y2 + y3 ≥ y1 + y2 + y3 ≥ y1 + y2 + y3 ≥ y j ≥ 0, j = 1,3 f ( x ) = 60 y1 + 40 y2 + 80 y3 Thật vậy, tổng chi phí phải bỏ người khách hàng muốn mua 60 đơn vị nguyên liệu loại A 40 đơn vị nguyên liệu loại B 80 đơn vị nguyên liệu loại C Tất nhiên người khách hàng muốn tổng chi phí f(x) bé tốt y1 + y2 + y3 Xét ràng buộc thứ nhất,vế trái là số tiền khách hàng phỉa bỏ để mua đơn vị nguyên liệu loại A, đơn vị nguyên liệu loại B đơn vị nguyên liệu loại C Đây số đơn vị nguyên liệu cần thiết để sản xuất đơn vị sản phẩm loại I Rõ ràng người khách hàng mua số nguyên liệu thấp lợi nhuận mà đơn vị sản phẩm loại A mang lại bán thị trường (2 đơn vị tiền tệ) điều dẫn đến ràng buộc thứ y1 + y2 + y3 ≥ , tương tự ta có ràng buộc thứ y1 + y2 + y3 ≥ ràng y1 + y2 + y3 ≥ buộc thứ 2.5Giải tốn có dạng đặc biệt f = x1 + x + x → min, − x + x ≥ −1, − x ≥ −1, x1 − x + x ≥ −1, x1 ≥ 0, x ≥ 0, x ≥ Bài Xét qui hoạch tuyến tính: Chứng tỏ toán trùng với toán đối ngẫu (bài tốn tự đối ngẫu) Giải Giả sử toán g’(y) sau trùng với toán gốc: g / = y1 + y + y → − y + y ≥ −1 y − y ≥ −1 ≥ −1 − y + y y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ Bài toán đối ngẫu toán gốc f(x) là: g = − y1 − y − y → max, y − y ≤ 1, + y ≤ 1, − y1 y −y ≤ 1, y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ Đưa tốn đối ngẫu dạng ta có toán tương đương: g / = y1 + y + y → min, − y + y ≥ −1, + y ≥ −1, y1 − y + y ≥ −1, y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ Bài toán tương đương toán đối ngẫu trùng với toán gốc ⇒ toán tự đối ngẫu ⇒ điều phải chứng minh Bài Xét qui hoạch tuyến tính: f ( x) = x1 + x + x3 + x → max, x1 − x + x3 = 16, x + x3 + x ≤ 8, x − x + x ≤ 20, x j ≥ 0, j = 1,2,3,4 a Phát biểu toán đối ngẫu toán b Hãy giải hai toán suy phương án tối ưu tốn lại Giải a Bài toán đối ngẫu toán gốc: g ( y ) = 16 y1 + y + 20 y → min, y ≥ 2, − y1 + y + 1y ≥ 1, y1 + y − y ≥ 1, y + y ≥ 3, y ≥ 0, y ≥ b Ta giải toán gốc Thêm vào hai ẩn phụ x5 ≥ 0, x6 ≥ vào ràng buộc thứ hai thứ ba Lập bảng đơn hình, ta có: C sở Hệ số A1 A5 A Phươn g án A 2 A A A θ A - 1 0 0 [ 1 - 2 1] A6 0 Bảng A1 - - 0 3 2 0 - - A2 A6 Bảng 0 2 ⇒ Phương án tối ưu toán gốc x0 = (32, 8, 0, 0) Gọi y0 = (y1, y2, y3) phương án tối ưu toán đối ngẫu Dựa vào bảng đơn hình, ta có: y1 = ∆ + c1 = + = y = ∆ + c5 = + = y = ∆ + c = + = 6 Vậy phương án tối ưu toán đối ngẫu y0 = (2, 5, 0) Với gmin = fmax = Bài Cho tốn qui hoạch tuyến tính: f = x1 − x + x3 → min, x + x + x = 6, x + x3 + x = 8, x j ≥ 0, j = 1, 2, 3, Có phương án tối ưu x* = (2, 4, 0, 0) giá trị tối ưu -6 Hãy tìm phương án tối ưu giá trị tối ưu toán đối ngẫu Giải Bài toán đối ngẫu toán gốc: g = y1 + y → max, y ≤ 1, y1 + y ≤ −2, y ≤ 2, 4 y1 + y ≤ y1 , y tùy ý Gọi y* = (y1, y2) phương án tối ưu toán đối ngẫu Do x1*, x2* > nên theo định lí độ lệch bù, y * nghiệm hệ phương trình =1 y1 y1 + y = −2 Giải hệ phương trình, ta y* = (1, - ) Với gmax = 6.1 + 8.(- ) = -6 = fmin Bài Xét tốn quy hoạch tuyến tính f = 15 x1 + 19 x → 3 x + x ≥ 3, , x1 + x ≥ 2, 3 x + x ≥ 7, x1 ≥ 0, x ≥ a Phát biểu toán đối ngẫu toán b Hãy giải hai suy phương án tối ưu tốn lại Giải a Bài tốn đối ngẫu toán gốc: g = y1 + y + y → max, 3 y + y + y ≤ 15, y + y + y ≤ 19, y1 ≥ 0, y ≥ 0, y ≥ b Ta giải toán đối ngẫu: Thêm vào hai ẩn phụ bảng đơn hình, ta có: C H ệ s Phư ơng án s y ≥ 0, y ≥ A vào ràng buộc thứ thứ hai Lập A A A A θ 0 ố A 15 3 A 19 1 [4 19/ ] Bảng -3 - -7 0 ¼ - 1/3 19 A ¾ [9 /4] A 3/4 19/ ¼ ¼ ¼ 133 - - 0 7/ Bảng /4 A 5/4 1/3 1/4 [ 1/9] A 14/ 3 Bảng /9 101 /3 4/ - 1/9 1/ 21 1/3 1/9 - - 5/ 4/ A -3 A -2 -1 34 0 1 Bảng ⇒ Phương án tối ưu toán đối ngẫu: y* = (0, 3, 4) Gọi x* = (x1, x2) phương án tối ưu toán gốc Do y2*, y3* >0, nên theo định lí độ lệch bù, x *là nghiệm hệ phương trình: x1 + x = 3x1 + x = Giải hệ phương trình, ta được: x* = (1, 1) Với fmin = gmax = 34 Bài Cho toán gốc f ( x) = x1 + 3x2 + 2x3 → 2x1 + x2 + x3 + x4 ≥ x1 − 2x2 − x3 + x4 ≥ − x1 − x2 + x3 + x4 ≥ xj ≥ 0, j = 1,4 a) Viết toán đối ngẫu b) Hãy cho biết giải đơn hình tốn biến c) Hãy tổng quát hóa nhận xét Giải a) Bài toán đối ngẫu : g( y) = 2y1 + 5y2 + y3 → max 2y1 + y2 − y3 ≤ y1 − 2y2 − y3 ≤ y1 − y2 + y3 ≤ y1 + 3y2 − y3 ≤ uur yj ≥ 0, j = 1,3 b) Bài tốn gốc: có biến, thêm biến phụ để chuyển dạng tắc, thêm biến giả để chuyển dạng chuẩn tắc Vậy phải dùng 10 biến Bài toán đối ngẫu: có biến thêm biến bù để chuyển dạng tắc tốn tắc toán chuẩn Vậy phải dùng biến Suy giải đơn hình bàu tốn đối ngẫu dùng biến c) Tổng quát hóa nhận xét trên: Xét cặp tốn đối ngẫu có dạng: g( y) = BY → max f ( x) = CX → AX ≥ B X≥0 Và ATY ≤ C Y ≥0 Trong A ma trận cấp m.n C≥0 Bài tốn gốc (min): có n biến, thêm n biến bù để chuyển dạng tắc, (n+ 2m) thêm m biến chuyển dạng chuyển dạng chuẩn tắc Vậy phải dùng biến Bài tốn đối ngẫu (max): có m biến, thêm n biến bù để chuyển dạng tắc Bài tốn tắc tốn chuẩn tắc Vậy phải dùng (m+n) biến Suy giải đơn hình tốn đối ngẫu dùng biến Bài Hãy chứng tỏ tìm phương án tối ưu tốn quy hoạch tuyến tùy ý cách giải hệ gồm phương trình tuyến tính bất phương trình tuyến tính Giải Vì tốn quy hoạch tuyến tính đưa dạng tắc nên ta xét tốn tắc Bài tốn tắc tốn đối ngẫu cặp tốn đối ngẫu không đối xứng Xét hệ gồm phương trình tuyến tính bất phương trình tuyến tính AX = B X ≥ T A Y ≤ C CX = BY Nghiệm X,Y hệ phương án tốn toán max f ( x) = g( y) thỏa điều kiện Vậy X,Y phương án tối ưu toán max KẾT LUẬN Quá trình nghiên cứu đề tài giải vấn đề đặt cụ thể là: Hệ thống lại kiến thức tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu Đã hệ thống số dạng tập ứng dụng toán đối ngẫu 2.1 Viết toán đối ngẫu tốn dạng tắc, chuẩn tắc, dạng tổng qt 2.2 Chứng tỏ tính tối ưu phương án 2.3 Tìm tập phương án tối ưu tốn đối ngẫu 2.4 Ý nghĩa kinh tế toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu 2.5 Bài tốn hậu tối ưu 2.6 Giải tốn có dạng đặc biệt Ở dạng tơi có tập minh họa cụ thể cách giải chi tiết để độc giả tiếp tục nghiên cứu Hi vọng đề tài tài liệu tham khảo tốt cho bạn sinh viên chuyên nghành Toán sinh viên chuyên nghành khác quan tâm đến chuyên đề Trong trình nghiên cứu đề tài, thân tơi có nhiều cố gắng, đề tài khó tránh khỏi thiếu sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy giáo bạn sinh viên để đề tài ngày hoàn thiện hữu ích Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến cô … hướng dẫn, đọc thảo cho ý kiến đóng góp quý báu Chân thành cảm ơn cơ! TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Phí Mạnh Ban Quy hoạch tuyến tính (tái lần thứ hai) NXB Đại học Sư phạm, 2001 [2] Phí Mạnh Ban, tập Quy hoạch tuyến tính, NXB Đại học Sư phạm, 2004 [3] Phan Quốc Khánh, Trần Huệ Nương.Quy hoạch tuyến tính NXB Giáo dục, 2000 [4] Lê Khánh Luận, Quy hoạch tuyến tính, NXB Lao động, 2006 [5] Bùi Phúc Trung, Quy hoạch tuyến tính, NXB Lao động - X hội 2003 [6] Lê Dũng Mưu, Nhập môn phương pháp tối ưu NXB Khoa học Kĩ thuật, 1998 [7]Nguyễn Đức Nghĩa, Tối ưu hóa NXB Giáo dục, 1996 ... fmin Chương II BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH ĐỐI NGẪU VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 Viết tốn đối ngẫu tốn dạng tắc, chuẩn tắc, dạng tổng quát Bài Tìm tốn đối ngẫu tìm cặp điều kiện đối ngẫu: f ( x )... tốn quy hoạch tuyến tính đối ngẫu nhằm làm sở cho chương Chương 2: Bài toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu số ứng dụng Nội dung chương nội dung đề tài, chương sử dụng sở lý thuyết để giải số dạng... 1.3 Các tính chất cặp tốn đối ngẫu 1.3.1 Ngun lí đối ngẫu Bổ đề: Xét cặp toán quy hoạch tuyến tính đối ngẫu f ( x ) → g ( y ) → max x0 , y0 với cặp phương án g ( y) ≤ f ( x) cặp toán đối ngẫu ta