Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chứng minh bất đẳng thức (BĐT) mà dấu của bất đẳng thức không được bảo toàn thì phép chứng minh trở nên vô nghĩa. Kĩ thuật chọn “điểm rơi” trong chứng minh BĐT là một trong các kĩ thuật cơ bản nhất để chứng minh một bất đẳng thức và luôn bảo toàn được dấu của BĐT. Bản chất chọn “điểm rơi” nghĩa là dự đoán dấu đẳng thức xảy ra. Kĩ thuật chọn “điểm rơi” chỉ áp dụng khi tìm được điểm rơi và dựa vào kĩ thuật tách ghép khéo léo của người làm toán. Sau đây là một số những trình bày về kĩ thuật chọn điểm rơi để chứng minh BĐT trong bồi dưỡng HSG.
CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI “KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ” I NỘI DUNG: Kiến thức bất đẳng thức: 1.1 Tính chất bất đẳng thức: Định nghĩa: a ≥ b ⇔ a − b ≥ a ≥ b ⇒a≥c * b ≥ c * a ≥b ⇔ a+c ≥b+c a ≥ b ⇒a+c ≥b+d * c ≥ d * a ≥ b > 0⇒ 1 ≤ a b 1.2 Một số bất đẳng thức thường dùng: 1.2.1 Bất đẳng thức Cauchy: a1 + a2 + L + an n ≥ a1a2 an n Dấu “=” xảy a1 = a2 = L = an Với n số thực không âm a1,a2, ,an (n ≥ 2) có: 1.2.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (BCS): Cho 2n số dương ( n ∈ Z ,n ≥ 2): a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn ta có: (a1b1 + a2b2 + L + anbn )2 ≤ (a12 + a22 + L + an2)(b12 + b22 + L + bn2) Dấu “=’ xảy ⇔ a1 a2 a = = L = n (quy ướ c nế u bi = ⇒ = 0) b1 b2 bn 1.2.3 Một số hệ quả: 1 1 i ∀ai > 0, i = 1,n * (a1 + a2 + L + an ) + + L + ÷ ≥ n vớ an a1 a2 * 1 n2 + +L + ≥ vớ i ∀ai > 0, i = 1,n a1 a2 an a1 + a2 + L + an * Cho 2n số dương ( n ∈ Z ,n ≥ 2): a1,a2, ,an ,b1,b2, ,bn ta có: n (a1 + b1)(a2 + b2) (an + bn ) ≥ n a1a2 an + n b1b2 bn i bi > ∀i = 1,n ln có: * Cho hai dãy số a1,a2, ,an vàb1,b2, ,bn vớ an2 (a1 + a2 + L + an )2 a12 a22 + +L + ≥ (BĐT Svác-xơ) b1 b2 bn b1 + b2 + L + bn Dấu “=’ xảy ⇔ a a1 a2 = =L = n b1 b2 bn 1.3 Một số kết thường dùng biến đổi chứng minh: - Kết 1: ∀a,b,c có: 1) ( a − b) ≥ ⇔ a + b ≥ 2ab ⇔ a + b 2 2 ( a+ b) ≥ 2 , dÊu "=" ⇔ a = b 2 a+ b 2) ( a + b) ≥ 4ab ⇔ ÷ ≥ ab , dÊu "=" ⇔ a = b 3) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca , dÊu "=" ⇔ a = b = c 4) a + b + c 2 ( a+ b+ c) ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b = c 5) ( a + b + c) ≥ 3( ab + bc + ca) , dÊu "=" ⇔ a = b = c 6) a2b2 + b2c2 + c2a2 ≥ abc( a+ b + c) , dÊu "=" ⇔ a = b = c 7) ( ab + bc + ca) ≥ 3abc( a+ b + c) , dÊu "=" ⇔ a = b = c - Kết 2: Với a,b,c > có: (a+ b)2 , dÊu "=" ⇔ a = b = c (a+ b + c)3 2) abc ≤ , dÊu "=" ⇔ a = b = c 27 1 3) + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b a b a+ b 1 4) + + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b = c a b c a+ b+ c 5) ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b ab (a + b)2 27 6) ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b = c abc (a + b + c)3 1) ab ≤ - Kết 3: Với a,b,c ≥ có: 1) 1 + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b a+ b + 1+ ab 2) 1 + + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b = c a + b + c + 1+ abc - Kết 4: Với a,b,c > có: ( ) 1) ( a + 1) ( b + 1) ≥ 1+ ab ,dÊu "=" ⇔ a = b ( ) 2) ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ≥ 1+ abc ,dÊu "=" ⇔ a = b = c 1.4 Một số điểm cần lưu ý: - Khi thực phép biến đổi chứng minh bất đẳng thức, không trừ hai bất đẳng thức chiều nhân chúng chưa biết rõ dấu hai vế Chỉ phép nhân hai vế bất đẳng thức với biểu thức ta biết rõ dấu biểu thức - Cho số hữu hạn số thực ta chọn số lớn số nhỏ Tính chất dùng để thứ tự ẩn việc chứng minh bất đẳng thức Một số ví dụ kĩ thuật chọn điểm rơi: 10 a VD 1: Cho a hai số thực dương a ≥ Chứng minh rằng: a+ ≥ - Dự đoán điểm rơi điểm “biên” a=3 Ta cần đưa thêm tham số m, n cho: a = a = n ⇔ n = ⇔ m= m.a = a a = a a 1 9 Suy áp dụng BĐT cauchy cho cặp số ; ÷ a; ÷ a a - Giải tóm tắt: a 8a a 8a 8.3 10 = Cỏch 1: a+ = + ữ+ ì + ≥ 2× + a a 9 a 9 10 Dấu “=” xảy a=3 a Suy a+ ≥ 9 8 10 Cách 2: a+ = a+ ữ aì 2.3− = a a a a a 3 10 Dấu “=” xảy a=3 a Suy a+ ≥ VD 2: Cho x,y > 0, x + y ≥ Chứng minh rằng: P = x ( x − 1) + y( y − 1) ≥ 12 2 - Biến đổi P = x ( x − 1) + y( y − 1) = x + y − ( x + y)) x = y ⇔ x = y = Khi x2 = y2 = x + y = Dự đoán điểm rơi: 2 Suy áp dụng BĐT cauchy cho cặp số ( x ;9) ( y ;9) 2 2 - Giải tóm tắt: P = x ( x − 1) + y( y − 1) = x + y − ( x + y)) = ( x + 9) + ( y + 9) − ( x + y) − 18 Áp dụng BĐT cauchy được: P ≥ x2.9 + y2.9 − ( x + y) − 18 = 5( x + y) − 18 ≥ 5.6 − 18 = 12 Vậy P ≥ 12 , P = 12 ⇔ x = y = VD 3: Cho a, b, c dương, a+ 2b + 3c ≥ 20 Chứng minh P = a+ b+ c + + + ≥ 13 a 2b c - Dự đoán điểm rơi: a=2, b=3, c=4 Cần thêm tham số m, n, p cho: 3 m.a = a m = ⇔ n = n.b = 2b p.c = c p = 3 3 1 4 Suy áp dụng BĐT cauchy cho cặp số: ×a; ÷, ×b; ÷, ×c; ÷ a 2b c - Giải tóm tắt: 3a 3 b c a b 3c P = a+ b+ c + + + = + + + ÷+ + ÷+ + + ÷ a 2b c a ÷ 2b c 4 3a 3 b c P = + ÷+ + ÷+ + ÷+ ( a+ 2b+ 3c) a 2b c Áp dụng BĐT cauchy kết hợp giả thiết ta được: P≥2 3a b c × + × + × + ×20 = 3+ 3+ 2+ = 13 a 2b c Vậy P ≥ 13, có P=13 a=2, b=3, c=4 VD 5: Cho x, y >1 CMR: P = x2 y2 + ≥ y−1 x −1 Cách 1: Dùng BĐT cauchy: x = y ⇔ x= y= - Tìm điểm rơi: x2 y2 + y−1 x−1 = x2 = = 4.( y − 1) y−1 Với x=y=2 thì: y x − = = 4.( x − 1) x2 ;4( y − 1) ÷ Do áp dụng BĐT cauchy cho cặp số y−1 y2 ;4( x − 1) ÷ x −1 - Giải tóm tắt: x2 ;4( y − 1) ta có: Áp dụng BĐT cauchy cho hai số dương y−1 x2 x2 + 4( y − 1) ≥ ×4( y − 1) = 4x y−1 y−1 Áp dụng BĐT cauchy cho hai số dương ( 1) y2 ;4( x − 1) ta có: x −1 y2 y2 + 4( x − 1) ≥ ×4( x − 1) = 4y x −1 x−1 ( 2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: P + 4( x − 1) + 4( y − 1) ≥ 4x + 4y ⇔ P ≥ Dấu “=” xảy x=y=2 Cách 2: Dùng hệ BĐT Cauchy-Schwarz kết hợp biến đổi tương đương: - Điểm rơi: x=y=2, x2 y2 = y−1 x −1 ( x + y) x2 y2 + ≥ - Giải tóm tắt: P = y − x − ( x + y) − 2 ( x + y) ≥ Cần chứng minh: ( ) ( x + y) − 2 ( 1) ⇔ ( x + y) − 8( x + y) + 16 ≥ ⇔ ( x + y) − 4 ≥ Vậy P ≥ Dấu “=” xảy x=y=2 VD 6: Cho x, y, z >0 x+y+z=2 Chứng minh rằng: P = x2 y2 z2 + + ≥1 y+ z x+ z x+ y Cách 1: Dùng BĐT cauchy: x = y = z ⇔ x= y= z= x + y + z = - Tìm điểm rơi: Với x = y = z = x2 y + z y2 x + z z2 x+ y = ; = ; = y+ z x+ z x+ y - Giải tóm tắt: Áp dụng BĐT cauchy cho cặp số dương: x2 y + z ; ÷, y+ z y2 x + z ; ÷, x+ z z2 x + y ; ÷ ta được: x+ y x2 y+ z x2 y + z + ≥2 × =x y+ z y+ z ( 1) y2 x+ z y2 x + z + ≥2 × =y x+ z x+ z ( 2) z2 x+ y z2 x + y + ≥2 × =z x+ y x+ y ( 3) Từ (1), (2), (3) suy ra: P+ x+ y+ z x+ y+ z ≥ x+ y+ z ⇔ P ≥ = =1 2 Dấu “=” xảy ra: P = 1⇔ x = y = z = Cách 2: Dùng hệ BĐT Cauchy-Schwarz: - Điểm rơi: Đẳng thức xảy x = y = z = x2 y2 z2 = = đó: y+ z x+ z x+ y ( x + y + z) = x + y + z = = x2 y2 z2 P = + + ≥ - Giải tóm tắt: y + z x + z x + y 2( x + y + z) 2 x + y + x = 2 y z ⇔ x= y= z= Dấu “=” xảy ra: P = 1⇔ x y+ z = x+ z = x+ y VD 7: Cho a, b, c ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ + + b + c − a c + a− b a+ b − c a b c - Tìm điểm rơi: Đẳng thức xảy a=b=c hay tam giác tam giác Khi ta có: 1 = = b + c − a c + a− b a+ b− c Mặt khác: ( b + c − a) + ( c + a− b) = 2c ( c + a− b) + ( a + b − c) = 2a ( a+ b − c) + ( b + c − a) = 2b Suy ra: Áp dụng kết quen thuộc: Với a, b >0 1 + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b ta có lời giải a b a+ b - Giải tóm tắt: Với a, b >0 1 + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b a b a+ b Áp dụng BĐT ta có: 1 + ≥ = b + c − a c + a − b ( b + c − a) + ( c + a − b) c 1 + ≥ = c + a− b a + b − c ( c + a− b) + ( a + b − c) a 1 + ≥ = a+ b − c b + c − a ( a+ b − c) + ( b + c − a) b Cộng ba BĐT lại theo vế chia hai vế cho 2, ta thu kết cần chứng minh Đẳng thức xảy a=b=c hay tam giác tam giác VD 8: Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a+ b + c + + ≥ b( c + a) c( a + b) a( b + c) - Tìm điểm rơi: Đẳng thức xảy a=b=c Mặt khác ta cần khử mẫu vế trái để làm xuất vế phải từ bậc xuống bậc nhất, nên ta cần tìm m, n cho: a = b = c b c + a ⇔ m = 2,n = a b( c + a) = m = n Do đó: a=b=c Tương tự có: a=b=c a3 b c+ a = = b( c + a) b3 c a+ b = = c( a+ b) c3 a b+ c = = a( b + c) - Giải tóm tắt: Áp dụng BDDT cauchy cho số dương ta có: a3 b c+ a a3 b c + a 3a + + ≥ 33 × × = b( c + a) b( c + a) b3 c a+ b b3 c a + b 3b + + ≥ 33 × × = c( a+ b) c( a + b) c3 a b+ c c3 a b + c 3c + + ≥ 33 × × = a( b + c) a( b + c) Cộng BĐT lại theo vế ta được: 2( a + b + c) 3( a + b + c) a3 b3 c3 + + + ( a+ b + c) + ≥ b( c + a) c( a + b) a( b + c) ⇔ a3 b3 c3 a+ b + c + + ≥ (Điều phải chứng minh) b( c + a) c( a + b) a( b + c) Dấu đẳng thức xảy a=b=c VD 10: Cho a, b, c số dương a+b+c=3 Chứng minh rằng: 1 + + ≥ a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 2 - Tìm điểm rơi: Đẳng thức xảy a=b=c=1 Mặt khác ta cần khử mẫu vế trái để làm xuất vế phải từ bậc xuống bậc nhất, 1 mà a2 b + c = a.a b + c nên ta cần tìm m, n cho: ( ) ( ) a = b = c = a a b + c ⇔ m = 2,n = = a ( b + c) m = m = n a a b+ c b b c+ a c c a+ b Do đó: a=b=c=1 a2 b + c = = = ( ) Tương tự có: a=b=c=1 b2 c + a = = = ( ) c2 a+ b = = = ( ) - Giải tóm tắt: Áp dụng BĐT cauchy cho số dương ta có: a a b+ c a a b+ c + + + ≥ 44 × × × =2 a ( b + c) 2 a ( b + c) 2 b b c+ a b b c+ a + + + ≥ 44 × × × =2 b ( c + a) 2 b ( c + a) 2 c c a+ b c c a+ b + + + ≥ 44 × × × =2 c ( a + b) 2 c ( a + b) 2 Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: 3( a+ b + c) 1 + + + ≥6 a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 2 Mà a+b+c=3 thay vào BĐT cuối ta được: 1 + + + ≥6 a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 2 ⇔ 1 + + ≥ (điều phải chứng minh) a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 2 Dấu đẳng thức xảy a=b=c=1 VD 11: Cho a, b, c số dương a+b+c=3 Chứng minh rằng: P= a+ 7b + b + 7c + c + 7a ≥ - Tìm điểm rơi: Đẳng thức xảy a=b=c=1 Mặt khác áp dụng kết quen thuộc: 1 + + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b = c a b c a+ b + c Với a, b, c >0 Ta có: P = a+ 7b + b + 7c + c + 7a ≥ a + 7b + b + 7c + c + 7a Do để tìm minP ta cần làm trội mẫu việc khử bậc ba hay tìm maxQ với Q = a+ 7b + b + 7c + c + 7a Lại có: Tại điểm rơi a=b=1 a+7b=8, nên ta khử bậc ba mẫu làm trội mẫu để tìm maxQ cách áp dụng BĐT cauchy cho số: ( ) ( ) ( ) a + 7b; 8; , a + 7b; 8; , a + 7b; 8; - Giải tóm tắt: Với a, b, c >0 1 + + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b = c a b c a+ b + c Áp dụng kết ta có: P= a+ 7b + b + 7c + c + 7a ≥ a + 7b + b + 7c + c + 7a Mặt khác: áp dụng BĐT cauchy cho số: ( ) ( ) ( ) a + 7b; 8; , b + 7c; 8; , c + 7a; 8; ta có: 3 a+ 7b 8 = ( a+ 7b) 8.8 ≤ b + 7c 8 = ( b+ 7c) 8.8 ≤ c + 7a 8 = ( c + 7a) 8.8 ≤ ( a+ 7b) + 8+ ( b + 7c) + 8+ ( c + 7a) + 8+ Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: 4Q ≤ ( a+ b+ c) + 16 Lại có a+b+c=3 nên Q ≤ 6, Q=6 a=b=c=1 Từ suy ra: P ≥ 9 = = Q Dấu “=” xảy ra: P = ⇔ a= b= c = VD 12: Cho x, y, z ba số dương x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x2 + x + y2 + y + z2 + z2 ≥ 82 - Tìm điểm rơi: Dấu đẳng thức xảy x = y = z = ; biểu thức gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức BCS: ( ) 1 2 1 x + ÷ m + n ≥ m.x + n ì ữ vi m, n l nhng s tha mãn: x x x x m = = ⇔ x2 = m n nx n Nhận thấy tai điểm rơi x = m x = = , nên chọn m = 1,n = n - Giải tóm tắt: ( ) 1 1 1 9 Ta có x2 + ÷ 12 + 92 ≥ 1.x + ÷ ⇔ x + ≥ x + ÷ (1) x x x x 82 tương tự ta có: y2 + y2 ≥ 9 y+ ÷ y 82 9 z + ÷ z z2 82 1 1 Suy ra: P ≥ ( x + y + z ) + 9 + + ÷ 82 x y z z2 + ≥ ( Nhận thấy điểm rơi x = y = z = (2) (3) 1 1 x + y + z = 1và + + = x y z 1 1 1 80 1 nên ta tách: ( x + y + z ) + 9 + + ÷ = ( x + y + z ) + + + ÷+ + + ÷ ) 9 x y z x y z x y z Mặt khác áp dụng BĐT cauchy cho số dương sử dụng kết quen thuộc: Với a, b, c >0 1 + + ≥ , dÊu "=" ⇔ a = b = c ta có: a b c a+ b + c 1 1 1 + + ≥ hay ( x + y + z ) + + ÷ ≥ x y z x+y+z x y z ( x + y + z ) + 19 1x + 1y + 1z ÷ ≥ ( x + y + z ) ì19 1x + 1y + 1z ữ = 23 ( x + y + z ) 1x + 1y + 1z ÷ 1 80 1 ( x + y + z ) + + + ÷ + + + ÷ 9 x y z x y z 82 1 80 2 P≥ ( x + y + z) + + ữ+ ì ì82 = 82 82 82 x y z x + y + z Khi đó: P ≥ Vậy P ≥ 82 , dấu “=” xảy x = y = z = Bài tập tương tự: Bài 1: Cho x ≥ Chứng minh rằng: ≥ x b) x + ≥ x a) x + Bài 2: Cho a, b dương a + b ≤ Chứng minh rằng: 10 17 + ab ≥ ab Bài 3: Cho số dương x, y, z x + y + z ≤ Chứng minh rằng: x2 + y + y2 + z + z2 + x ≥ 17 x + y2 ≥ Bài 4: Cho x ≥ 2y > Chứng minh rằng: xy Bài 5: Cho a, b, c số dương a+b+c=1 Chứng minh rằng: a +b + b+c + c+a ≤ Bài 6: Cho x, y >1 Chứng minh rằng: x y − + y x − ≤ xy Bài 7: Cho x ≥ 3, xy ≥ 6, z ≥ Chứng minh rằng: x + y + z ≥ Bài 8: Cho số dương a, b, c a+b+c=3 Chứng minh rằng: a + b3 + c3 ≥ Bài 9: Cho số dương x, y, z x+y+z+xyz=4 Chứng minh rằng: x + y3 + z3 ≥ Bài 10: Cho a, b, c số dương a+b+c=3 a3 b3 c3 + + ≥1 Chứng minh rằng: b( 2c + a) c( 2a + b) a( 2b + c) Bài 11: Cho số dương x, y, z Chứng minh rằng: 1 + + ≤ x y z x 2+ y + z + x + y 2+ z + x+y+z ≤ 2+ Bài 12: Cho số dương x, y, z xyz=1 Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x II KẾT LUẬN: Trong chuyên đề trên, lựa chọn trình bày số tốn chứng minh BĐT vận dụng kĩ thuật chọn “điểm rơi” vận dụng số kết quen thuộc biến đổi bất đẳng thức Kính mong đóng góp ý kiến thầy cô để chuyên đề hoàn thiện 11 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tên tác giả Năm xuất Tên tài liệu tham khảo Nhà xuất bản, nơi xuât Nguyễn Đức Tấn 2003 Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số Giáo dục Nguyễn Văn Dũng Võ Quốc Bá Cẩn Trần Quốc Anh 2011 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Phú Khánh 2013 Phan Huy Khải Bất đẳng thức toán min-max Chuyên đề bồi dưỡng học sinh 2013 giỏi giá trị lớn giá trị nhỏ 12 Đại học sư phạm Đại học quốc gia Hà Nội ... biến đổi chứng minh bất đẳng thức, không trừ hai bất đẳng thức chiều nhân chúng chưa biết rõ dấu hai vế Chỉ phép nhân hai vế bất đẳng thức với biểu thức ta biết rõ dấu biểu thức - Cho số hữu hạn... minh rằng: x2 + x + y2 + y + z2 + z2 ≥ 82 - Tìm điểm rơi: Dấu đẳng thức xảy x = y = z = ; biểu thức gợi cho ta sử dụng bất đẳng thức BCS: ( ) 1 2 1 x + ÷ m + n ≥ m.x + n ì ữ vi m, n... đẳng thức ứng dụng đại số Giáo dục Nguyễn Văn Dũng Võ Quốc Bá Cẩn Trần Quốc Anh 2011 Phương pháp giải toán bất đẳng thức cực trị Đại học quốc gia Hà Nội Nguyễn Phú Khánh 2013 Phan Huy Khải Bất đẳng