Đang tải... (xem toàn văn)
Nghiệm của đa thức đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của đa thức. Nhiều tính chất của đa thức được thể hiện qua nghiệm của chúng. Ngược lại, việc nghiên cứu tính chất các nghiệm của đa thức cũng cũng là một trong các vấn đề trung tâm của đại số. Hệ thống lý thuyết và các bài tập của chuyên đề được xây dựng trên cơ sở các dạng toán bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS.
CHUYÊN ĐỀ ĐA THỨC - NGHIỆM, TÍNH CHẤT NGHIỆM, TÍNH CHẤT SỐ HỌC, PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC I Cơ sở lý thuyết Đa thức - nghiệm, tính chất nghiệm, tính chất số học 1.1 Nghiệm đa thức, định lý Bezout Định nghĩa: Số thực a gọi nghiệm đa thức P(x) = anxn + an–1xn–1 + …+ a1x + a0 P(a) = 0, tức anan + an–1an–1 + …+ a1a + a0 = Ta có định lý đơn giản sau có nhiều ứng dụng nghiệm đa thức: Định lý 1: a nghiệm đa thức P(x) P(x) chia hết cho x – a Đặc biệt: – Nếu tổng hệ số đa thức P(x) x = nghiệm P(x) chia hết cho (x – 1) – Nếu P(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số luỹ thừa bậc lẻ x = –1 nghiệm P(x) chia hết cho x – (–1) tức chia hết cho x+1 Định lý 2: Số dư phép chia đa thức P(x) cho x – a P(a) Cả định lý định lý gọi định lý Bezout Để chứng minh định lý 2, ta cần chứng minh P(x) – P(a) chia hết cho x – a Nhưng điều hiển nhiên vì: P(x) – P(a) = an(xn–an) + an–1(xn–1–an–1) + … + a1(x–a) xk – ak = (x–a)(xk–1 + xk–2a + …+ ak–1) Chẳng hạn: f(x) = x3 – 6x + thì: – Số dư phép chia f(x) cho ( x – 2) f(2) = – 12 + = – Số dư phép chia f(x) cho (x – 1) f(1) = – + = nghĩa f(x) chia hết cho (x – 1) Từ định lý 2, ta có định nghĩa khác cho nghiệm đa thức sau: a nghiệm đa thức P(x) P(x) = (x–a)Q(x) với Q(x) đa thức Với định nghĩa này, ta phát triển thành định nghĩa nghiệm bội Định nghĩa: a gọi nghiệm bội r đa thức P(x) P(x) = (x–a)rQ(x) với Q(a) 1.2 Định lý Vi–et Định lý Xét đa thức P(x) R[x] Nếu x1, x2, …, xk nghiệm phân biệt P(x) với bội r1, r2, …, rk tương ứng P(x) chia hết cho (x–x1)r1(x–x2)r2…(x–xk)rk Chứng minh: Điều hiển nhiên theo định nghĩa đa thức (x– xi)ri đôi nguyên tố Hệ quả: a)Một đa thức bậc n với hệ số thực có khơng q n nghiệm thực b)Nếu hai đa thức P(x) Q(x) có bậc nhỏ hay n n+1 điểm hai đa thức Định lý Xét đa thức P(x) R[x] bậc n Giả sử x1, x2, …, xk nghiệm phân biệt P(x) với bội r1, r2, …, rk tương ứng Nếu r1 + r2 + … + rk = n P(x) = an(x–x1)r1(x–x2)r2…(x–xk)rk Chứng minh: Dùng định lý 3, ta suy P(x) chia hết cho (x–x 1)r1(x–x2)r2…(x–xk)rk, suy P(x) = (x–x1)r1(x–x2)r2…(x–xk)rkQ(x) So sánh bậc hệ số cao nhất, ta suy Q(x) = an Định lý (Định lý Vi–et) Giả sử đa thức P(x) = a nxn + an–1xn–1 + an–2xn–2 + … + a1x + a0 có n nghiệm (trong có nghiệm bội) x1, x2, …, xn P(x)=an(x–x1)(x– x2)…(x–xn) hệ quả, ta có: x1 + x2 + … + xn = –an–1/an ; x1x2 + x1x3 + …+ x1xn + x2x3 + …+ x2xn + …+xn–1xn = an–2/an; … x1x2…xn = (–1)na0/an Định lý (Định lý Vi–et đảo) a) Nếu x + y = S, x.y = P x, y nghiệm đa thức X2 – SX + P = b) Nếu x + y + z = S, xy + yz + zx = T, xyz = P x, y, z nghiệm đa thức: X3 – SX2 + TX – P = Từ định lý ta suy hai hệ đơn giản hiệu giải toán sau: Hệ Một đa thức bậc n có khơng q n nghiệm Một đa thức (Khác đa thức 0) có hay nhiều nghiệm khơng có nghiệm - Đa thức bậc khơng khơng có nghiệm - Đa thức (khơng có bậc) có vơ số nghiệm Hệ Nếu P(x) Q(x) đa thức bậc không n, trùng n+1 điểm phân biệt hai đa thức trùng Phương trình hàm đa thức Phương trình hàm đa thức dạng tốn khó, để giải đa thức hàm loại này, cần nắm rõ kỹ thuật giải đa thức hàm mà tính chất đặc trưng đa thức Trong chuyên đề này, đề cập đến dạng đa thức đa thức có sơ đồ Giải tương tự nhau: Đa thức dạng P(f)P(g) = P(h) Bài toán tổng quát: Giả sử f ( x ), g ( x) h( x ) đa thức thuộc R[x] cho thoả mãn điều kiện: deg( f ) deg( g ) deg(h) Tìm tất đa thức P( x) thuộc R[x] cho: P[ f ( x)].P[ g ( x)] P[h( x)] (1), xR[x] Nghiệm đa thức hàm (1) có nhiều tính chất đặc biệt giúp xây dựng tất nghiệm từ nghiệm bậc nhỏ: Tính chất: Nếu P, Q nghiệm (1) P.Q nghiệm (1) Chứng minh: (P.Q)(h(x)) = (P)(h(x)).Q(h(x)) = P(f(x)).P(g(x)).Q(f(x)).Q(g(x)) = (P.Q)(f(x)).(P.Q)(g(x)) Hệ 1: Nếu P(x) nghiệm (1) Pn(x) nghiệm (1) Trong nhiều trường hợp, hệ cho phép mô tả hết nghiệm (1) Để làm điều này, ta có định lý quan trọng sau đây: Định lý: Nếu f, g, h đa thức với hệ số thực thoả mãn điều kiện deg(f) + deg(g) = deg(h) thoả mãn hai điều kiện sau: 1) deg(f) ≠ deg(g) 2) deg(f) = deg(g) f* + g* ≠ 0, f*, g* hệ số cao đa thức f g tương ứng Khi với số nguyên dương n tồn nhiều đa thức P(x) có bậc n thoả mãn đa thức (1) Áp dụng định lý hệ 1, ta thấy P 0(x) đa thức bậc thoả mãn đa thức (1) với f, g, h đa thức thoả mãn điều kiện định lý tất nghiệm (1) có dạng: P(x) 0, P(x) 1, P(x) = (P0(x))n II Các dạng tập Dạng 1: Tìm nghiệm đa thức Bài 1: Tìm đa thức f(x) tìm nghiệm đa thức sau: x x (4 y 1) xy y f ( x) x x y xy y Hướng dẫn: a) f(x) = 6x 2x b) f(x) = 6x 2x = = 2x (3x 1) 0 x= x= Bài 2: Thu gọn tìm nghiệm đa thức : a) f ( x) x(1 x) (2 x x 4) b) f(x)= x(x–5)–x(x+2)+7x c) h( x) x( x 1) Hướng dẫn: a) f(x) = có bậc nên khơng có nghiệm b) f(x) = khơng có bậc nên vơ số nghiệm 4 c) h(x) = x x x x ( x )2 nên đa thức khơng có nghiệm Bài 3: Cho biết (x – 1).f(x) = ( x+4 ).f(x+8) Chứng minh f(x) có nghiệm? Hướng dẫn: Vì (x–1).f(x) = (x+4).f(x+8) với x nên suy ra: – Khi x– : 0.f(1) = 5.f(9) f(9) = x = nghiệm – Khi x = –4 thì: –5.f(–4) = 0.f(4) f(4) = x = –4 nghiệm Vậy f(x) có nghiệm –4 Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm tập hợp R a) f(x) = – 2x2 – b) g(y) = –y2 – 4y – Bài 2: Chứng minh đa thức h(x) = |x + 3| + |5 – x| + khơng có nghiệm tập hợp R Nhận xét: Để chứng minh đa thức khơng có nghiệm, ta chứng minh đa thức khác không với giá trị biến Bài 3: Cho đa thức f(x) = (3x – 1)2 – (x2 – 4) – (8x2 + 2x – 3) g(x) = ax2 + bx – a) Tìm a b đa thức g(x) biết g(x) = x = x = b) Chứng minh: g(x) = (1 – x)(x – 4) c) Viết đa thức h(x) = f(x) + g(x) thành tích d) Tìm nghiệm h(x) (Tìm đủ nghiệm) Nhận xét: + Một phương pháp tìm nghiệm đa thức đưa đa thức tích đa thức có bậc thấp + Nghiệm đa thức f(x) – g(x) giá trị biến làm cho f(x) = g(x) Dạng 2: Dùng hệ thức Vi-ét để giải toán nghiệm đa thức Bài 1: Cho đa thức: x2 – (4m – 1)x + 3m2 – 2m Tìm m để đa thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện : x12 x 22 Giải: + Ta có = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + > 0, m Vậy đa thức có nghiệm phân biệt m �x1 x2 4m �x1x2 3m 2m + Theo ĐL Vi –ét, ta có: � Khi đó: x12 x22 � (x1 x2 )2 2x1x2 (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 10m2 – 4m – = 5m2 – 2m – = Ta thấy tổng hệ số: a + b + c = m = hay m = Vậy m = hay m = 3 3 Bài 2: Cho đa thức f ( x) x x x 12 x có nghiệm xi ; i 1,4 xi2 2 i 1 ( x i 1) Hãy tính tổng sau: S Giải: Ta viết lại : f ( x) ( x x) 6( x x) 8 x x 0(1) ( x x 3) 8 x x 0(2) 2 Gọi nghiệm (1) x1 ; x ; nghiệm (2) x3 ; x Ta có : S1 x12 x 22 x12 x 22 = ( x12 1) ( x 22 1) ( x1 1) ( x1 1) ( x 1) ( x 1) 2 x12 ( x1 1) ( 8) x 22 ( x 1) (4 8) (2 x12 1)( x 1) (2 x 22 1)( x1 1) ( x1 1)( x2 1) 8) ( x12 1)( x 22 x 1) (2 x 22 1)( x12 x1 1) ( x1 x2 x1 x2 1) 8) x12 x 22 x1 x ( x1 x ) 3( x12 x 22 ) 2( x1 x ) ( x1 x2 x1 x2 1) 8) (4 (4 (4 Áp dụng định lý Vi–et ta có: x1 x ; x1 x Thay vào biểu thức ta có: S1 80 22 4 Thực việc tính tốn tương tự đa thức (2) ta có : S S1 S Bài 3: Cho đa thức x3 ax bx c3 có ba nghiệm b < ac, c > Chứng minh đa thức có nghiệm lớn c Giải: Trước hết ta thấy x1 c � x1 c Do u cầu tốn trở thành chứng minh ba số x1 c; x2 c; x3 c có số dương Điều dẫn đến ta xét tích: x1 c x2 c x3 c Gọi x1 ; x2 ; x3 ba nghiệm đa thức cho �x1 x2 x3 a � Theo định lí Vi ét, ta có: �x1 x2 x2 x3 x3 x1 b � �x1 x2 x3 c Ta xét: x1 c x2 c x3 c x1 x2 x3 c x1 x2 x3 c x1 x2 x2 x3 x3 x1 c c a cb c(ac b) Nếu ba nghiệm x1 ; x2 ; x3 c � x1 x2 x3 c vơ lí (do x1 x2 x3 c3 ), ba số x1 c; x2 c; x3 c , tồn số dương Do ba nghiệm đa thức có nghiệm lớn c Bài tập tương tự: Bài 1: Cho đa thức: x2 – 2(m – 1)x + m2 – ( m tham số) Tìm m để đa thức có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 x22 16 Bài 2: Cho đa thức: x2 – 2(m – 3)x – Tìm m để đa thức có hai nghiệm x1, x2 mà biểu thức A = x12 – x1x2 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ Bài 3: Giả sử đa thức x3 ax bx c (1) có ba nghiệm phân biệt khác Chứng minh đa thức : x3 bx acx c (2) có ba nghiệm phân biệt Dạng 3: Xác định hệ số đa thức biết nghiệm đa thức Bài 1: Xác định hệ số m để đa thức sau nhận làm nghiệm? a) mx + 2x +8 b) 7x – mx–1 c) x 3x m Hướng dẫn: a) m + + = m = –10 b) + m + (–1) = m = –6 c) 1+ (–3) + m = m = Bài 2: Cho đa thức f(x) = x + mx + a) Xác định m để f(x) nhận –2 làm nghiệm? b) Tìm tập hợp nghiệm f(x) ứng với giá trị tìm m? Hướng dẫn: a) f(–2) = (–2) + m.(–2)+2 = m=3 b) Ta có : f(x) = x – 3x + F(x) có tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ nên nhận –1 làm nghiệm Vậy đa thức bậc có nghiệm x= –2 (theo câu a) x = –1 Tập nghiệm: S = 2; 1 Bài 3: Hãy lập đa thức có: a) Một nghiệm b) Hai nghiệm –2 b) Ba nghiệm –1; –3 Bài 4: a) Cho đa thức f(x) = x3 + 2x2 + ax + Tìm a biết f(x) có nghiệm –2 b) Biết đa thức f(x) = x2 + bx + c có hai nghiệm Hãy tìm b c Dạng 4: Vận dụng định lý Bezout giải toán nghiệm đa thức Bài Cho a, b, c ba nghiệm đa thức x3 – 3x + = Lập đa thức bậc ba có nghiệm a2, b2, c2 Giải Theo định lý Vi–et, ta có a + b + c = 0, ab + bc + ca = –3, abc = –1 Từ ta tính a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 – 2(ab+bc+ca) = 02 –2(–3) = a2b2 +b2c2 + c2a2 = (ab+bc+ca) – 2abc(a+b+c) = (–3)2 – 2.(–1).0 = a2b2c2 = (abc)2 = Áp dụng định lý Vi–et đảo, suy a2, b2, c2 ba nghiệm đa thức x3 – 6x2 + 9x – = Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: P(x) = x3 + 3x – Giải: Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử ( x – a) nhân tử lại có dạng x2 + bx = c suy – ac = – suy a ước – Vậy đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên có phải ước hạng tử không đổi Ước (– 4) –1; 1; – 2; 2; – 4; Sau kiểm tra ta thấy nghiệm đa thức Suy đa thức chứa nhân tử ( x – 1) Do ta tách hạng tử đa thức làm xuất nhân tử chung ( x – 1) P(x) = x3 + 3x2 – = x3 – x2 + 4x2 – = x2(x – 1) + 4(x – 1)(x + 1) = ( x – 1)(x2 + 4x + 4) = (x – 1)(x + 2)2 Bài Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn đồng thức xP(x–1) = (x–26)P(x) Giải: Thay x = vào đồng thức, ta suy P(0) = Suy P(x) chia hết cho x, tức P(x) = xP1(x) Thay vào đồng thức, ta x(x–1)P1(x–1) = (x–26)xP1(x) suy (x–1)P1(x–1) = (x–26)P1(x) (*) Lại thay x = 1, ta P1(1) = 0, suy P1(x) chia hết cho x–1, tức P1(x) = (x–1)P2(x), thay vào (*), ta (x–1)(x–2)P2(x–1) = (x–26)(x–1)P2(x) Suy (x–2)P2(x–1) = (x–26)P2(x) … Cứ tiếp tục lý luận thế, ta đến P(x) = x(x–1)…(x–25)Q(x) Và Q(x–1) = Q(x) Đặt Q(0) = a ta có Q(x) = a với x = 1, 2, 3, … suy Q(x) = a với x Vậy P(x) = ax(x–1)…(x–25) tất nghiệm toán Bài Với giá trị A B đa thức P(x) = Ax n+1 + Bxn + có x = nghiệm bội bậc 2? Giải: Trước hết ta phải có P(1) = 0, tức A + B + = 0, suy B = – A – Khi P(x) = Axn(x–1) – xn + = (x–1)(Axn – xn–1 – xn–2 – … – 1) = (x– 1)Q(x) Để nghiệm bội bậc Q(x) chia hết cho x–1, tức Q(1) = 0, suy A = n Vậy a = n, b = –(n+1) Bài tập tự giải Bài Biết nghiệm đa thức x + ax + b = x2 + cx + d = thuộc (–1, 1) Chứng minh nghiệm đa thức 2x + (a+c)x + (b+d) = thuộc (–1, 1) Bài Chứng minh đa thức P(x) = + x + x 2/2! + … + xn/n! khơng có nghiệm bội Bài Cho a < b < c ba nghiệm đa thức x – 3x + = Chứng minh rằng: a2 – c = b2 – a = c2 – b = Dạng 5: Tính chia hết đa thức Bài 1: Cho f(x) = (x2 + x – 1)10 + ( x2 – x + 1)10 – Chứng minh f(x) chia hết cho x2 – x Giải: Đa thức chia có hai nghiệm: x = 0; x = Ta chứng tỏ x = 0; x= nghiệm đa thức bị chia Ta có f(0) = 1+1 – = nên f(x) chia hết cho x Ta lại có f(1) =1+1 –2= nên f(x) chia hết cho x–1 Các nhân tử x x– không chứa nhân tử chung Do f(x) chia hết cho x(x–1) Bài Chứng minh với số tự nhiên n: a) (x+1)2n – x2n –2x –1 chia hết cho x(x+1)(2x+1); b) x4n+2 + 2x2n+1+1 chia hết cho (x+1)2; Hướng dẫn: a) Chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia b) Đa thức bị chia (x2n+1 +1)2, chia hết cho (x+1)2 Nhận xét Để chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác ( Ta xét đa thức biến) ta chứng tỏ nghiệm đa thức chia nghiệm đa thức bị chia (*) (*) Chú ý đòi hỏi phải xét nghiệm bội đa thức Chẳng hạn nghiệm bội hai hai đa thức ( x–1)2, nghiệm bội ba đa thức ( x–1)3 Để chia hết, đa thức chia có nghiệm a với bội k đa thức bị chia phải có nghiệm a với bội lớn k Bài Tìm dư chia đa thức f(x) = x99+x55+x11+x+7 cho x+1 Giải: Ta có r = f(–1) = –1–1–1–1+7 = Dư Bài Tìm đa thức f(x), biết f(x) chia cho x–3 dư 7, f(x) chia cho x+4 dư 9, f(x) chia cho (x–2)(x–3) thương 3x dư Giải: Trước hét ta tìm dư chia f(x) cho (x–2)(x–3) Xét f(x) = (x–3) A(x) +7 (1) f(x) = (x–2) B(x) +5 (2) Xét f(x) = 3x.(x–2)(x–3) + ax+ b (3) Từ (1),(2),(3), cách cho x = 2; x = ta tìm a= 2, b= Dư phép chia f(x) cho (x–2)(x–3) 2x+1 Do f(x) = 3x.(x–2)(x–3) + 2x+ = 3x3 –15x2 + 20x +1 Dạng 6: Phương trình hàm đa thức Bài Tìm tất đa thức P(x) với hệ số thực thoả mãn đa thức: P(x2) = P2(x) (3) với x thuộc R Giải: Ta có hàm f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x thoả mãn điều kiện định lý 1.3, hàm P(x) = x hàm bậc thoả mãn (3) hàm P(x) 0, P(x) 1, P(x) = xn, n = 1, 2, 3, … tất nghiệm (3) Bài Hãy xác định tất đa thức P(x) với hệ số thực, thoả mãn hệ thức sau: P(x2) + x(3P(x) + P(–x)) = (P(x))2 + 2x2 (4) với số thực x Giải: Thay x = – x vào (4), ta P(x2) – x(3P(–x) + P(x)) = (P(–x))2 + 2x2 (5) Trừ (4) cho (5), ta 10 4x(P(x) + P(–x)) = P2(x) – P2(–x) (P(x) + P(–x))(P(x) – P(–x) – 4x) = (6) (6) với x thuộc R, ta phải có + Hoặc P(x) + P(–x) = với vô số giá trị x + Hoặc (P(x) – P(–x) – 4x = với vô số giá trị x Do P đa thức nên từ ta suy + Hoặc P(x) + P(–x) = với x + Hoặc (P(x) – P(–x) – 4x = với x Ta xét trường hợp: + P(x) + P(–x) = Khi ta có đa thức P(x2) + 2xP(x) = (P(x))2 + 2x2 P(x2) – x2 = (P(x) – x)2 Đặt Q(x) = P(x) – x Q(x2) = Q2(x) Theo ví dụ Q(x) 0, Q(x) 1, Q(x) = xn Từ P(x) = x, P(x) = x+1, P(x) = xn + x So sánh với điều kiện P(x) + P(–x) = 0, ta nhận nghiệm: P(x) = x P(x) = x2k+1 + x, k = 0, 1, … + P(x) – P(–x) – 4x = Khi ta có đa thức P(x2) + x(4P(x) – 4x) = P2(x) + 2x2 P(x2) – 2x2 = (P(x) – 2x)2 Đặt Q(x) = P(x) – 2x Q(x2) = Q2(x) Q(x) 0, Q(x) 1, Q(x) = xn Từ P(x) = 2x, P(x) = 2x+1, P(x) = xn + 2x So sánh với điều kiện P(x) – P(–x) – 4x = 0, ta nhận nghiệm: P(x) = 2x, P(x) = 2x+1 P(x) = x2k + 2x, k = 1, 2, … Tổng hợp hai trường hợp, ta có tất nghiệm (4) đa thức P(x) = x, P(x) = 2x, P(x) = 2x+1, P(x) = x 2k+1 + x, P(x) = x2k + 2x với k = 2, 3, … Bài tập tương tự: Bài 1: Tìm tất đa thức với hệ số thực P(x) thoả mãn đẳng thức sau với số thực x: P(x)P(2x2) = P(2x3+x) Bài 2: Tìm tất đa thức P(x) thoả mãn điều kiện: P(x – 2x) = (P(x– 2))2 11 với x thuộc R 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO STT TÊN TÁC GIẢ TÊN TÀI LIỆU NHÀ XUẤT BẢN Vũ Hữu Bình Nâng cao phát NXB giáo dục Hà Nội triển Toán Vũ Hữu Bình Nâng cao phát NXB giáo dục Hà Nội triển Tốn Vũ Hữu Bình Nâng cao phát NXB giáo dục Hà Nội triển Toán TS Vũ Thế Hựu Toán nâng cao NXB giáo dục 13 ... phân biệt hai đa thức trùng Phương trình hàm đa thức Phương trình hàm đa thức dạng tốn khó, để giải đa thức hàm loại này, cần nắm rõ kỹ thuật giải đa thức hàm mà tính chất đặc trưng đa thức Trong... khơng q n nghiệm Một đa thức (Khác đa thức 0) có hay nhiều nghiệm khơng có nghiệm - Đa thức bậc khơng khơng có nghiệm - Đa thức (khơng có bậc) có vơ số nghiệm Hệ Nếu P(x) Q(x) đa thức bậc không... Tìm tất đa thức P( x) thuộc R[x] cho: P[ f ( x)].P[ g ( x)] P[h( x)] (1), xR[x] Nghiệm đa thức hàm (1) có nhiều tính chất đặc biệt giúp xây dựng tất nghiệm từ nghiệm bậc nhỏ: Tính chất: Nếu