Đang tải... (xem toàn văn)
Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c
ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC CHÖÔNG 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 3.1 THIEÁT LAÄP PHÖÔNG TRÌNH CHUYEÅN ÑOÄNG 3.1.1 Löïa choïn baäc töï do YÙ nghóa: thöïc teá keát caáu thöôøng laø heä phaân boá, coù voâ haïn baäc töï do Ñöa veà sô ñoà moät baäc töï do chæ thích hôïp trong moät soá tröôøng hôïp ñaëc bieät, khi heä haàu nhö chæ dao ñoäng vôùi moät daïng nhaát ñònh Ñeå thu ñöôïc keát quaû chính xaùc hôn, ta phaûi ñöa heä keát caáu veà heä rôøi raïc nhieàu baäc töï do Soá baäc töï do ñöôïc choïn döïa vaøo baøi toaùn cuï theå Caùc caùch choïn baäc töï do: coù hai caùch - Choïn bieân ñoä dao ñoäng taïi moät soá ñieåm rôøi raïc: bao goàm phöông phaùp doàn khoái löôïng vaø phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (FEM) ñeå rôøi raïc hoùa - Choïn toïa ñoä suy roäng, laø bieân ñoä cuûa moät soá kieåu (pattern) bieán daïng cuûa heä 3.1.2 Phöông trình caân baèng ñoäng Ñeå ñôn giaûn ta xeùt heä lieân tuïc nhö hình veõ, vôùi caùc baäc töï do laø chuyeån vò taïi caùc ñieåm 1, 2, 3, , N p(x,t) m(x) i EI(x) chuyeån vò chieàu döông vi(t) vN (t) chuyeån vò v1(t) v2(t) fIi mi pi(t) chieàu döông fDi vi(t) cuûa löïc fSi Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 46 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC Taïi moãi ñieåm (nuùt) coù caùc löïc taùc duïng: taûi troïng pi(t), löïc quaùn tính fIi, löïc caûn fDi, vaø löïc ñaøn hoài fSi Phöông trình caân baèng nuùt i: fIi + fDi + fSi = pi(t) , i = 1, 2, 3, , N Daïng ma traän: [fI] + [fD] + [fS] = [p(t)] (3.1) trong ñoù: [fI] = , [fD]= , [fS]= , [p(t)] = - Löïc ñaøn hoài Duøng nguyeân lí coäng taùc duïng, ta coù: fSi = ki1v1 + ki2v2 + + kiNvN vôùi i = vôùi kij laø löïc taïi nuùt i do chuyeån vò vj = 1 gaây ra Chuù yù: Löïc ñaøn hoài caân baèng vôùi löïc nuùt nhaèm duy trì ñöôøng ñaøn hoài (ngöôïc chieàu vôùi löïc nuùt) Daïng ma traän: = (3.2) hay: [fS] = [K][v] trong ñoù: (3.3) Matrix) [K] goïi laø ma traän cöùng cuûa keát caáu (Stiffness - Löïc caûn- keát quaû töông töï nhö löïc ñaøn hoài Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 47 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC = (3.4) vôùi cij laø löïc taïi nuùt i do = 1 gaây ra, goïi laø heä soá aûnh höôûng caûn hay: [fD ]= [C][ ] (3.5) trong ñoù: [C] laø ma traän caûn (Damping Matrix) - Löïc quaùn tính = (3.6) vôùi mij : löïc taïi nuùt i do = 1 gaây ra, laø heä soá aûnh höôûng khoái löôïng, hay: [fI ]= [M][ ] (3.7) trong ñoù: [M] laø ma traän khoái löôïng (Mass Matrix) Thay (3.3), (3.5), (3.7) vaøo (3.1) ta thu ñöôïc heä N phöông trình vi phaân chuyeån ñoäng vieát döôùi daïng ma traän: [M][ ] + [C][ ] + [K][ ] = [p(t)] (3.8) Phöông trình treân laø phöông trình mang tính chaát toång quaùt cuûa baøi toaùn ñoäng löïc hoïc Trong ñoù: [p(t)] laø vectô taûi troïng ngoaøi, tuøy thuoäc vaøo [p(t)] maø ta coù caùc tröôøng hôïp phaân tích ñoäng löïc hoïc cuûa heää: phaân tích dao ñoäng töï do, phaân tích phaûn öùng cuûa heä vôùi taûi troïng ñoäng nhö taûi gioù, ñoäng ñaát, soùng bieån 3.1.3 AÛnh höôûng cuûa löïc doïc (neùn) Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 48 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC Löïc doïc laøm taêng theâm chuyeån vò nuùt, neân seõ coù vai troø nhö löïc nuùt taùc duïng theo chieàu cuûa chuyeån vò nuùt, kyù hieäu bôûi ma traän [fG] Khi naøy phöông trình caân baèng nuùt (3.1) trôû thaønh: [fI] + [fD] + [fS] - [fG] = [p(t)] (3.9) Löïc nuùt [fG] töông ñöông vôùi vai troø cuûa löïc doïc, ñöôïc bieåu dieãn bôûi caùc heä soá cöùng hình hoïc (Geometric - Stiffness Coefficients) nhö sau: = (3.10) vôùi kGij laø löïc taïi nuùt i do vj = 1 gaây ra, coù aûnh höôûng cuûa löïc doïc hay: [fG] = [KG][v] (3.11) trong ñoù: [KG] laø ma traän cöùng hình hoïc (Geometric - Stiffness Matrix) Phöông trình (3.9) trôû thaønh: [M][ ] + [C][ ] + [K][ ] – [KG][v] = [p(t)] (3.12) hay: [M][ ] + [C][ ] + [ ][ ] = [p(t)] (3.13) vôùi: [ ] = [K] – [KG] laø ma traän ñoä cöùng toång hôïp (Combined Stiffness Matrix) (3.14) Nhö vaäy, löïc doïc laøm giaûm ñoä cöùng cuûa keát caáu (laøm cho keát caáu meàm ñi) 3.2 XAÙC ÑÒNH CAÙC MA TRAÄN TÍNH CHAÁT CUÛA HEÄ KEÁT CAÁU 3.2.1 Tính chaát ñaøn hoài 3.2.1.1 Ñoä meàm cuûa keát caáu f1j f2j fij fjj fNj Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 49 j p j ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC Goïi: fij laø chuyeån vò taïi i do pj = 1 gaây ra Taäp hôïp caùc fij (i = 1,N) taïo neân ñöôøng ñaøn hoài do pj = 1 gaây ra (hình veõ) Chieàu döông cuûa chuyeån vò vaø löïc theo chieàu döông cuûa truïc toïa ñoä Chuyeån vò taïi ñieåm i do caùc löïc pj (j = 1,N) theo nguyeân lyù coäng taùc duïng: vi = fi1p1 + fi2p2 + + fiN pN i = 1, N Daïng ma traän: = (3.15) hay: [v] = [f][p] (3.16) trong ñoù: [f] : Ma traän ñoä meàm cuûa keát caáu (Flexibility Matrix) [p]: Ma traän taûi troïng nuùt, coù cuøng chieàu döông vôùi chuyeån vò nuùt Löïc ñaøn hoài caân baèng vôùi löïc nuùt [p] = [fS], khi ñoù (3.16) trôû thaønh: [v] = [f][fS] p=k (3.17) j jj p=k p=k p=k 1 1j i ij N Nj fS1 fS2 fS3 vj=1 i j v v v p p p i j vj=1 1 2 3 3.2.1.2 Ñoä cöùng cuûa keát caáu k kkk 1j ij jj Nj Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 50 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC Heä soá cöùng kij (ñöôïc minh hoïa treân hình veõ) laø caùc löïc nuùt do chuyeån vò vj = 1 gaây ra (caùc chuyeån vò khaùc vi = 0, vôùi i j) kij chính laø phaûn löïc taïi nuùt neáu ñaët theâm caùc lieân keát Thöôøng ma traän ñoä cöùng [K] ñöôïc suy ra töø ma traän ñoä meàm [f] hoaëc duøng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (FEM) 3.2.1.3 Caùc khaùi nieäm cô sôû - Theá naêng bieán daïng: (baèng coâng ngoaïi löïc) Theo (3.16) vaøo (3.18) ta ñöôïc: (3.18) (3.19) Hoaëc theá (3.3) vaøo (3.18), vôùi chuù yù raèng [p] = [fS]: (3.20) (3.21) Vì U > 0 neân suy ra: [pT][f][p] > 0 [vT][K][v] > 0 vaø [K] vaø [f] thoûa (3.21) vôùi moïi [v], [p] 0 neân laø caùc ma traän xaùc ñònh döông (Positive Definite), khoâng suy bieán vaø nghòch ñaûo ñöôïc Thieát laäp quan heä giöõa [K] vaø [f], töø (3.3): [fs] = [K].[v] hay [K-1][fs] = [v] Maët khaùc (3.17): [v] = [f].[fs] suy ra: [f] = [K-1] hoaëc [K] = [f-1] (3.22) Thöôøng xaùc ñònh ma traän cöùng thoâng qua ma traän meàm theo (3.22) - Ñònh lyù Betti: “Coâng khaû dó cuûa löïc ôû traïng thaùi (a) treân chuyeån vò ôû traïng thaùi (b) baèng coâng khaû dó cuûa löïc ôû traïng thaùi (b) treân chuyeån vò ôû traïng thaùi (a)” [paT] [vb] = [pbT] [va] (3.23) hay [paT][f][pb] = {[pbT][f][pa]}T = [paT] [fT] [pb] suy ra: [f] = [fT] Ma traän ñoái xöùng (3.24) Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 51 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC Moät caùch töông töï ta cuõng coù ma traän cöùng ñoái xöùng: K = KT (3.25) va va va Traïng thaùi (a) p p p a1 a2 a3 vb vb v Traïng thaùi (b) b pb1 pb2 pb3 3.2.1.4 Thieát laäp ma traän ñoä cöùng baèng phöông phaùp phaàn töû höõu haïn (FEM) Heä ñöôïc quan nieäm goàm nhieàu phaàn töû noái vôùi nhau taïi moät soá höõu haïn nuùt Tính chaát cuûa heä ñöôïc tìm baèng caùch choàng chaát caùc phaàn töû moät caùch thích hôïp Xeùt phaàn töû daàm thaúng coù 2 nuùt nhö hình veõ: Coù hai baäc töï do moãi nuùt: bao goàm chuyeån vò thaúng vaø goùc xoay Haøm daïng i(x) chæ chuyeån vò vi = 1 gaây ra, coøn caùc chuyeån vò nuùt khaùc ñeàu baèng 0 Haøm i(x) phaûi thoûa maõn ñieàu kieän bieân, nhöng thöôøng choïn haøm chuyeån vò trong daàm coù ñoä cöùng EI = const do chuyeån vò nuùt vi = 1 gaây ra Ñoù laø caùc haøm ña thöùc Hermit baäc ba nhö savu(x: ) v v vb x v a 1(x) = 1 - 3 + 2 (a) EI(x) 3(x) = x(1- )2 (b) va=v =1 L (x) 2(x) = 3 - 2 (c) a=v =1 1 (x) 4(x) = (d) (3.26) Duøng boán haøm noäi suy naøy, chuyeån vò cuûa daàm xaùc ñònh theo caùc chuyeån vò nuùt: Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 52 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU (3.27) TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC v(x) = 1(x) v1 + 2(x) v2 + 4(x) v3 + 4(x) v4 trong ñoù: = (3.27’) Heä soá cöùng cuûa phaàn töû laø caùc phaûn löïc nuùt do chuyeån vò nuùt gaây ra Ñeå ñôn giaûn ta xeùt phaàn töû daàm nhö hình veõ Heä soá k13, töùc laø phaûn löïc pa treân hình veõ ñöôïc xaùc v(x)=1(x)v1 ñònh nhö sau: (chuyeån vò khaû dó) va =v1 1 (x) a=v3 =1k13 = pa =p Duøng nguyeân lí coâng khaû dó: WE = pava = k13v1 Momen noäi löïc do a = 1 gaây ra laø: Coâng khaû dó cuûa noäi löïc: M(x) = EI(x) (x) WI = v1 Cho WI = WE suy ra: k13 = (3.28) Toång quaùt hoùa: kij = : Ñoä cöùng suy roäng (3.29) (3.30) vì kij = kji neân ma traän ñoä cöùng ñoái xöùng Vôùi daàm coù ñoä cöùng ñeàu EI = const, ta coù: = Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 53 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC Neáu daàm coù ñoä cöùng EI(x) thay ñoåi thì (3.30) laø gaàn ñuùng Ñoä chính xaùc seõ cao hôn, neáu chia daàm ra caùc phaàn töû nhoû hôn Heä soá ñoä cöùng kij cuûa keát caáu baèng toång caùc heä soá cöùng töông öùng cuûa caùc phaàn töû noái vaøo nuùt Chaúng haïn, neáu caùc phaàn töû m, n, p cuøng noái vaøo nuùt i thì heä soá cöùng cuûa keát caáu taïi nuùt i laø: kii = + + (3.31) trong ñoù , , laø heä soá cöùng cuûa phaàn töû ñaõ bieán ñoåi sang heä toïa ñoä chung(töø toïa ñòa phöông) Thí duï: Xeùt heä nhö hình veõ, goàm 3 phaàn töû noái taïi 2 nuùt Boû qua bieán daïng doïc truïc, heä coù 3 baäc töï do: v1, v2 vaø v3 v2 heä soá ñoä cöùv3ng vc1uûa heä ñöôïc xaùc ñònh baèng caùch Caùc laàn löôït cho caùc chuyeån vò cöôõng böùc ñôn vò vi = 1 vaø coäng löïc nuùt öùng vôùi4cEaIùc phaàn töû Ma traän ñoä cöùng keát caáu: L EI EI 2L k21 k31 v1= k11 k22 k32 k12 4EI Chöông 3 HEÄ N4HEIEI ÀU 1 TÖÏ DO v2= BAÄC 1 EI EI 54 EI EI ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC Chuù yù: Baøi toaùn ñoäng löïc hoïc cuûa heä phaân boá thöôøng ñoøi hoûi nhieàu baäc töï do hôn so vôùi baøi toaùn tónh, do aûnh höôûng cuûa löïc quaùn tính Tuy nhieân, khi ñaõ choïn caùc baäc töï do cho baøi toaùn ñoäng roài thì vieäc xaây döïng ma traän cöùng gioáng nhö tröôøng hôïp baøi toaùn tónh 3.2.2 Tính chaát khoái löôïng 3.2.2.1 Ma traän khoái löôïng thu goïn m m m Ta xem khoái löôïng phaân boá cuûa caùc phaàn töû ñöôïc thu goïn veà caùc nuùt theo nguyeân taéc tónh hoïc, ta coù heä goàm caùc khoái löôïng taäp trung Ma traän khoái löôïng thu goïn laø ma traän ñöôøng cheùo: Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 55 ÑOÄNG LÖÏC HOÏC KEÁT CAÁU TS ÑOÃ KIEÁN QUOÁC vôùi B3 – 5,5B2 + 7,5B – 2 = 0 Nghieäm laø: B1 = 0,351 B2 = 1,61 B3 = 3,54 Do ñoù: [] = (rad/s) 3.3.2 Phaân tích hình daïng mode cuûa dao ñoäng Töø phöông trình (3.51), öùng vôùi moãi taàn soá n ta coù moät vectô rieâng Nhöng vì ñònh thöùc (3.52) trieät tieâu, neân haïng cuûa ma traän chæ coøn N-1, do ñoù chæ coù N-1 thaønh phaàn cuûa ñoäc laäp Thöôøng choïn thaønh phaàn ñaàu tieân , khi ñoù vectô chuyeån vò trôû thaønh: Ñaët: (3.53) Phöông trình (3.51) ñöôïc vieát laïi: (3.54) Vieát laïi phöông trình (3.54) daïng kí hieäu duøng ma traän con: = Chöông 3 HEÄ NHIEÀU BAÄC TÖÏ DO 65 ... [K][v] đó: (3. 3) Matrix) [K] gọi ma trận cứng kết cấu (Stiffness - Lực cản- kết tương tự lực đàn hồi Chương HỆ NHIỀU BẬC TỰ DO 47 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS ĐỖ KIẾN... v1 =1K11= 600 K12= -6 00 K 13= 600k K 21= - 600 v2 =1 K 22= 1800 K 23= -1 200 in K31=0 K 32 = -1 200 V3=1 K 33 = 30 00 1,5 v2 1200 2,0 v3 1800 (a) ... làm giảm độ cứng kết cấu (làm cho kết cấu mềm đi) 3. 2 XÁC ĐỊNH CÁC MA TRẬN TÍNH CHẤT CỦA HỆ KẾT CẤU 3. 2.1 Tính chất đàn hồi 3. 2.1.1 Độ mềm kết cấu f1j f2j fij fjj fNj Chương HỆ NHIỀU BẬC