Động lực học kết cấu - Chương 2

Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c

CHƯƠNG 2

HỆ MỘT BẬC TỰ DO 2.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG2.1.1 Mô hình hệ một bậc tự do

Mô hình đơn giản nhất của hệ một bậc tự do (Single Degree of Freedom system

- SDOFs), gồm các đặc trưng vật lý tập trung (Concentrated Properties):

Khối lượng: m

Độ cứng: k

Hệ số cản: c

Lực kích động: p(t)

Chú ý: Hệ một bậc tự do có các đặc trưng phân bố về m, k, c, p(t) đều có thể đưa

về mô hình có các đặc trưng vật lý tập trung (hệ một bậc tự do suy rộng).

2.1.2 Các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động

2.1.2.1 Nguyên lý D’Alembert

p(t) + fS + fI + fD =0p(t)f

Các lực tác dụng

Mô hình SDOFs

2.1.2.2 Nguyên lý công khả dĩ

Cho khối lượng chuyển vị khả dĩ v Công khả dĩ:

T  , biến phân động năng T mvv

Thế năng biến dạng đàn hồi của lò xo: 2

V  , biến phân V kvvBiến phân công của lực không bảo toàn p(t) và fD (tức là công khả dĩ củahai lực này trên chuyển vị khả dĩ v): Wnc p(t)v vv

Theo nguyên lý Hamilton: [ ( ) ] 0

m    (2.2) tích phân từng phần số hạng thứ nhất:

(2.4)

f = kvsLực

Chuyển vị

vì v tùy ý nên biểu thức:  mv v kv p( t)0 có dạng giống với (2.1)

Nhận xét: Cả 3 phương pháp cho cùng kết qủa vì cùng dựa trên định luật

quán tính của Newton Trong trường hợp cụ thể này nguyên lý D’Alembert là đơn

giản nhất

2.1.3 Ảnh hưởng của trọng lực

Hệ ở trên hình có phương trình chuyển động:

m 

trong đó W là trọng lượng của khối cứng.

Chuyển vị v gồm tổng của chuyển vị tĩnh (Static Displacement) st gây bởi

trọng lượng W và chuyển vị động v

vvst 

Thay biểu thức của lực đàn hồi fs kvkst  v

vào phương trình chuyển động:

m 

Kết luận:

Nếu lấy vị trí cân bằng tĩnh học do trọng lượng P = mg gây ra làm mốc để

tính chuyển vị thì phương trình vi phân chuyển động vẫn có dạng (2.1)

f fD

(t)

2.1.4 Ảnh hưởng của sự rung động gối tựa

Dựa vào hình vẽ, ta có phương trình cân bằng lực:

mg  eff (2.5)

Kết luận: Trong phương trình trên Peff(t)mvg là tải trọng do rung động gối tựa.Như vậy sự rung động của mặt đất tương đương như lực kích động Peff tác dụng tạivật nặng.

2.1.5 Hệ một bậc tự do suy rộng (Generalised SDOF System)

Xét hệ có đặc trưng vật lý phân bố (m, EI…), thực chất có vô hạn bậc tự do.

Nếu coi hệ chỉ dao động với một hàm dạng nào đó thì hệ trở thành 1 bậc tự do Cầntìm các đặc trưng vật lý tập trung cho hệ 1 bậc tự do đó.

v (x,t)e(t)z(t)

chuyển vị

fC 0.5fS0.5fS

Giả sử hệ chịu rung động ngang vg(t) của gối tựa (do động đất chẳng hạn).

Dùng nguyên lý Hamilton để thiết lập phương trình chuyển động Đặt:

v(x,t) = (x) Z(t) (2.6)

trong đó:

(x) - Hàm dạng (Shape Function)

Z(t) - Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinate)

Động năng của hệ:

vxt  dxx

Tl t t

 (2.7) Thế năng uốn:

etl vxt 2dx

(   (2.9)

Thế năng lực dọc (chọn vị trí ban đầu của N có thế năng bằng 0 ):

),('2 

hay VN  Nlvxtvdx

(2.10) Vì hệ không có lực không bảo toàn (lực cản, lực kích thích) nên:

 (*), với V = Vf + VN

Thế (2.7), (2.8) và (2.10) vào (*):

Dùng các liên hệ:

  (2.13) Chú ý rằng tích phân 

trong đó: 

v

* (') : Độ cứng hình học suy rộng

*( )  ( ) ( ) : Tải trọng tương đương suy rộng(2.17)

Vì Z bất kỳ nên lượng trong dấu ngoặc triệt tiêu Ta thu được phương trình

vi phân chuyển động của hệ một bậc tự do suy rộng:

m*Z(t)k*Z(t)pt*(t) (2.18) với ***

k  : Độ cứng suy rộng kết hợp (2.19)

Khi lực dọc N đạt trị số tới hạn N = Ncr thì *0

k Từ đó, suy ra công thức

tính lực Ncr là:

p(x,t)

Thí dụ: Example E8.3, page 144, [1]

Thiết lập phương trình vi phân dao động của hệ một bậc tự do suy rộng vớicác đặt trưng vật lý (khối lượng, độ cứng ) phân bố đều theo chiều cao như trênhình vẽ Cho biết phương trình đường đàn hồi (hàm dạng ) được chọn như sau:

kL  L  

Tải trọng tương đương suy rộng (bỏ qua dấu trừ):

Bỏ qua lực dọc trục, phương trình cân bằng dao động:

v (x,t)e(t)z(t)

chuyển vị

t

Độ cứng suy rộng kết hợp:

Đây là tải trọng mất ổn định thật sự cho cột consol chịu tải trọng phân bố đều,bởi vì hàm dạng được rút ra từ (a) là dạng mất ổn định thật của kết cấu Thay (h)vào (f) ta có thể biểu diễn độ cứng hình học bởi:

NLEIk* 4 3

Lxx 

Khi này độ cứng đàn hồi suy rộng trở thành:

và độ cứng hình học suy rộng:

Trong trường hợp này, tải trọng tới hạn được rút ra từ **

kk  là:2

giá trị này lớn hơn 21% so với giá trị từ (h).

2.2 DAO ĐỘNG TỰ DO

2.2.1 Nghiệm của phương trình chuyển động

Phương trình chuyển động của hệ 1 bậc tự do (kể cả suy rộng) có dạng:)

(c) là phương trình đặc trưng, nghiệm s của (c) tùy thuộc vào hệ số cản c.

2.2.2 Dao động tự do không cản - c = 0

Khi đó (c) có nghiệm: s =  i do đó nghiệm của (a) là:

sint + v(0)cost (2.24) Có thể viết (2.24) dưới dạng khác:

1 Realeit

e = cost isintCông thức Euler:it

v(t) =  cos(t - ) (2.24') Với biên độ 2(0) 2

[ 

(2.26)

2.2.3 Dao động tự do có cản- c  0

Nghiệm của (c): s = 22

(2.27)

Dạng dao động phụ thuộc vào trị số của hệ số cản c (vào biểu thức dưới dấu

căn có dấu dương, âm hay bằng không)

- Cản tới hạn (Critical damping) c = ccr

ccr = 2m thì 02

s = 

O

- Cản ít (Underdamping): c < ccr =2m.

Đặt  =

=

hay v(t) = e-t (AsinDt + BcosDt) =  e-t cos(Dt - )

(2.29) trong đó:

(2.30)

Đồ thị chuyển động với v(0)  0, v(0) = 0 như hình vẽ.

Xác định tỉ số cản :

Phương trình dao động tự do theo điều kiện ban đầu:

v(t) = e-t (

sinDt + v(0)cosDt) (2.31)

v2

Chu kỳ dao động có cản: T =

Thế vào (2.29):

 

= 122

  2  , với  nhỏ.

Do đó:  =

(2.32) Chính xác hơn:  =

Hệ số cản c được xác định theo công thức:

c = 2m (2.34)

- Cản nhiều (Overdamping)

Khi  > 1 (c > ccr) thì không có dao động, tương tự khi c = ccr

 càng lớn thì chuyển động về vị trí cân bằng càng chậm.

2.3 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG ĐIỀU HOÀ2.3.1 Hệ không cản

với: Vậy nghiệm tổng quát:

A, B xác định từ điều kiện ban đầu Nếu v(0)v(0)0, dễ dàng tìm được:0

(2.36) thế vào (2.35) ta được: (sinsin)

(2.37)

Tỉ số phản ứng (Response Ratio):

( ) ( ) ( ) 1 1 2 (sin t sin t)k

Trong thực tế, lực cản làm cho số hạng sau biến mất sau một khoảng thời

gian ngắn Khi đó hệ số động (Manification Factor) sẽ là:

 st

2.3.2 Hệ có cản

(2.39)

Nghiệm tổng quát: vtetADtBDt

h()  (sincos )Nghiệm riêng: vp(t)G1sintG2cost

Thế vào (2.39) và đồng nhất 2 vế, thu được:

(2.40)Vì nghiệm quá độ tắt rất nhanh, nên hệ chỉ dao động theo nghiệm riêng.

Dùng vector quay trên giản đồ Argrand, ta tìm được:

2) (2 )1

Khi  >> thì không có chuyển động.

Phase Angle

D

2.3.3 Sự cộng hưởng (Resonance)

Khi 1

 thì xảy ra cộng hưởng Lúc này hệ số động theo (2.43) là:

Nếu hệ không cản, tức là  = 0 thì D=1  

Đối với hệ có cản  khác 0, thì Dmax xảy ra khi:

Như vậy: Dmax khác D=1

Tuy nhiên, với hệ có tỉ số cản  bé thì có thể coi:

11maxD  

2.3.4 Sự cô lập dao động (Vibration Isolation)

Sự cô lập dao động cần thiết trong 2 trường hợp:

- Thiết bị máy móc truyền rung động có hại xuống kết cấu đỡ.- Kết cấu đỡ (bị rung) truyền dao động có hại cho thiết bị ở trên.

1 Xét motor quay, tạo ra lực kích động:t

p() o sin

Chuyển động ổn định (Steady-State

p(t) = p0 sint

Phản lực nền

Vận tốc: () Dcos(t )

Lực đàn hồi: fs kv(t)poDsin( t )

Lực cản: ()  cos(t  )2pDcos(t )

o TR = D nếu  = 0 (không cản) (2.47) Đồ thị cho thấy các đường cong đều:

Đạt cực đại tại  =1

Cùng đi qua điểm có  = 2

Với  > 2thì TR < 1

Tỷ số cản  làm giảm hiệuquả của việc cô lập dao động khi > 2 ==> Không nên dùng damper

2 Xét khối lượng m, chịu kích độngcủa gối tựa

Chuyển động tương đối của m so với gối tựa cho bởi phương trình:

(t v  2D t

Tỷ số truyền:

Tỷ số truyền dao động Vibra Transmi Ratio

= 0

vg (t)=vg sint

max 12

(2.48)Tỷ số truyền dao động giống nhau cho cả 2 trường hợp.

Chú ý: Nếu không có damper thì:

Chu kỳ dao động tự nhiên của xe: 0.572()81

Chu kỳ kích động bằng thời gian đi hết một nhịp cầu: 0.606()1

Tỷ số chu kỳ:

Biên độ dao động đứng của ôtô là:

L = 40fl = 12,2mvt

mặt cầu

Neâu xe khođng coù damper ( = 0) thì:

lôùn gaâp 5.5 laăn khi coù damper Ñieău ñoù noùi leđn söï caăn thieât cụa damper ñeơ hán cheâsöï dao ñoông ñöùng cụa ođtođ khi cháy tređn maịt ñöôøng löôïn soùng.

Baøi taôp 4-3, page-77, [1]

Xeùt lái baøi toaùn tređn, nhöng nhòp L = 36 ft = 10.97 m Xaùc ñònh:a.Toẫc ñoô gađy coông höôûng cho xe: Tp = T = 0.572 s

v = L/Tp = 10.97/0.572 = 19.18 m/s = 69km/h.

b Bieđn ñoô toaøn phaăn vmaxt cụa xe khi coông höôûng:

 

   

 

 

c Bieđn ñoô toaøn phaăn khi toâc ñoô v = 45mph = 72.4km/h =20.1m/s



2.4 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG CHU KỲ2.4.1 Khai triển tải trọng thành chuỗi Fourier

Tải trọng p(t) có chu kỳ Tp được khai triển chuỗi Fourier:

với các hệ số được xác định như sau:

(2.51)

2.4.2 Phản ứng với tải trọng chu kỳ

Khi một tải trọng chu kỳ được phân tích ra chuỗi Fourier (2.50) thì phản ứng

của hệ được xác định theo nguyên lý chồng chất Bỏ qua nghiệm quá độ, trongtrường hợp hệ không cản, phản ứng như sau:

- Với số hạng tải trọng tdtT

nsin(2 ) thì phản ứng của hệ theo (2.37) là:

với   n1T

pn

- Số hạng ao - tải trọng hằng số, gây chuyển vị tĩnh: vakoo 

- Phản ứng toàn bộ

einx cossin,inx cossin

Suy ra:



Tải trọng:

ti np

:

)( )(

(2.53)với

)(

Chú ý:

cn = c-n vì là hai số phức liên hợp,

e 1 và ein1t là hai số phức liênhợp Do đó:

c 1 và intne

c 1 cũng là hai số

phức liên hợp, và có tổng là thực (Real).

Dạng phức của nghiệm:

Khi phân tích tải trọng ra chuỗi Fourier phức (2.53), phương trình chuyểnđộng ứng với một số hạng - hàm lực phức đơn vị (Unit complex forcing function)

dưới dạng:

 

(2.55)Nghiệm ổn định có dạng:

Dùng nguyên lý chồng chất tác dụng:

v()( 1)1

Chú ý:

- H(n1)và H ( n1) là số phức liên hợp

- H(n1) gọi là hàm truyền - Complex frequency response function hay là

Transfer function.

2.5 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG DẠNG XUNG

2.5.1 Khái niệm tải trọng xung (Impulsive Loads)

- Là tải trọng tác dụng trong thời gian tương đốingắn, đột ngột.

- Phản ứng (chuyển vị chẳng hạn ) lớn nhất củahệ đạt được trong thời gian rất ngắn.

- Lực cản có vai trò nhỏ, hấp thụ ít năng lượngcủa kết cấu Vì vậy chỉ xét hệ không có cản đểđơn giản hóa.

2.5.2 Xung hình sin

Xét tải trọng nửa sóng hình sin Phảnứng của hệ được chia ra 2 pha: Cưỡng bức vàtự do.

 )sin()cos(

Hay cost cost t 2nt ,n0,1,2,

Thế (a) vào (2.59) tìm được vmax

Đặc biệt: khi  , trong (a) lấy dấu (-) và n=1 ta có :

- Nếu vmax thuộc Phase II: khi   (  càng lớn thì

+ Phase II: t t t1 0Dao động tự do theo (2.60)

Phase I1t

Phase II

Nếu t t1 tức là 2

- vmax thuộc Phase II: t t t1 0

max v(t ) v(t )

1max 2sin

(2.65) + Phase II: t 0

Điều kiện ban đầu tại t 0, hay t = t1 từ (2.65)

Dao động tự do của Phase II thu được bằng cách thế (2.66) vào (2.60) vmax

tìm từ điều kiện v(t) = 0 Với 1 0.4

thì vmax thuộc Phase I.

Hệ số động D cho ở bảng:

t1 0.20 0.40 0.50 0.75 1.00 1.50 2.00D 0.66 1.05 1.20 1.42 1.55 1.69 1.76

2.5.5 Phổ phản ứng (Response Spectra)

Khái niệm: Phổ phản ứng là đồ thị của hệ số động D theo tỷ số chiều dài xungT

t /1 , 

Ý nghĩa: Dùng tính chuyển vị của kết cấu chiụ tác dụng của xung lực.

0.81.21.62.02.4

Chú ý:

Nếu kết cấu chịu chuyển động của gối đỡ vg(t), thì sẽ tương đương với chịu

lực xung pt(t) = -mv g(t), với trị số lớn nhất po = - mv g0 Khi này hệ số động đượcđịnh nghĩa : Dmvvk

Vì vg0 đo được nên sẽ tính được gia tốc cực đại của kết cấu vmaxt

2.5.6 Tính toán gần đúng phản ứng do lực xung

Giả xử p(t) là lực xung trong thời gian t1 rất bé Hệ có chuyển vị v(t), cân

bằng lực:

m  ()

11) (0) ( )(

1 tptdtvtvvtm

v(t1) = 0 và v(t1) đóng vai trò điều kiện ban đầu của Phase II.

Dao động tự do sau khi lực thôi tác dụng có phương trình: vtvt tvt t

 )sin()cos(

(2.67)

O

Thí dụ: Xem E6-3, page 97-98 và Bài Tập 6-5, page 99

Dùng công thức gần đúng, phân tích phản ứng của hệ kết cấu một bậc tự do

chịu tải trọng dạng xung p(t) như hình vẽ Biết các đặc trưng vật lý của hệ kết cấunhư sau: độ cứng k = 51.1 k/in, trọng lượng W = 2000 k.

Chu kỳ dao động của hệ: T2 2s

Vì tải trọng tác dụng trong thời gian ngắn ( 10.15

), nên dùng (2.67) phảnứng xấp xỉ được tính:

trong đó gia tốc trọng trường cho bởi g 386in/s2

Phản ứng đạt cực đại khi sint 1, nghĩa là: vmax = 0.614 in.

Lực đàn hồi cực đại: fS,max kvmax 51.1(06.14)31.4kips

p0= 50k

Giá trị chính xác của chuyển vị cực đại được xác định từ phương pháp tích

phân trực tiếp là 0.604 in

Nhận xét: Nghiệm thu được từ phương pháp xấp xỉ khá thích hợp, sai số nhỏ hơn 2%.

2.6 PHẢN ỨNG VỚI TẢI TRỌNG TỔNG QUÁT2.6.1 Tích phân Duhamel cho hệ không cản

Xét tải trọng bất kỳ p(t) Xét thời điểm t  , theo (2.67) ta có :

(2.69)Ký hiệu:

thì (2.69) có dạng:

Phản ứng dv(t) sau khi chịu xung p( )d

 

( - Tích phân cuộn (Convolution Integral)

(2.71)Hàm h(t) được coi như phản ứng với xung lực đơn vị.

Nếu ở thời điểm t = 0 (lực bắt đầu tác dụng), kết cấu có điều kiện ban đầu

khác không: v(0)0,v(0)0 thì (2.69) phải kể thêm dao động tự do:

2.6.2 Tích phân bằng phương pháp số cho Duhamel Integral

Dùng công thức lượng giác: sin(t)sintcoscostsinPhương trình (2.69) viết lại:

v(t) = A(t)sint  B(t)cost (2.73)Nói chung A(t) và B(t) được tích phân bằng số Chẳng hạn, có thể viếtlại:

Phương pháp Simpson

Chia t ra n phần (n chẵn)n

cản

t

Trong (2.31) dùng điều kiện ban đầu do xung lực p )( d tạo ra :v(o) = 0,

v = p( )md , ta có:

(2.75)Tương tự hệ không cản, ta có:

A(t) và B(t) được tính bằng số, chẳng hạn phương pháp Simpson.

2.6.4 Tích phân phản ứng trong miền tần số (Frequency Domain)

- Ý nghĩa: Phân tích phản ứng trong miền tần số có ưu điểm hơn trong miền thời

gian khi đầu vào là bất kỳ, không tuần hoàn (chu kỳ mở rộng ra ) Đặc biệt là

với đầu vào (input) ngẫu nhiên.

- Công thức: Để tiện theo dõi, viết lại (2.53) và (2.54): (

T

Thế (d) vào (a): 

khi Tp  thì  d (theo (c)), do đó (a’) viết lại: 

 dect

n) n(

Tương tự như (2.58) phản ứng của hệ biểu diễn bởi phương trình:

 decHt

Hàm truyền:

2.7 PHÂN TÍCH PHẢN ỨNG CỦA KẾT CẤU PHI TUYẾN2.7.1 Khái niệm

Kết cấu phi tuyến: Phương trình chuyển động là phương trình vi phân phi tuyến.

Yếu tố phi tuyến có thể nằm trong quan hệ giữa lực - chuyển vị, trong hệ số cản, do

chuyển vị lớn hoặc thay đổi sơ đồ tính trong quá trình chuyển vị Chẳng hạn, phản

ứng của một tòa nhà (building) do động đất mạnh gây ra hư hỏng nghiêm trọng Sơ

đồ tính thay đổi trong quá trình bị hư hỏng Không dùng được nghiệm của phươngtrình tuyến tính.

Các cách giải quyết - có hai cách:

 Phương pháp giải tích: Tìm nghiệm giải tích của phương trình vi phân phi

tuyến Do khó khăn về toán học, nên chỉ giải được những phương trình gần

tuyến tính (á tuyến ), ứng với các bài toán vật lý tương đối đơn giản Theo

Chopra [2] thì kết quả của phương pháp giải tích không thõa mãn.

 Phương pháp số: Tìm nghiệm dưới dạng số (nghiệm rời rạc) có thể xét đến

mọi yếu tố phi tuyến, với quy luật phức tạp vốn có của bài toán Phương

pháp tích phân từng bước (Step-by-Step Integration) được coi là phươngpháp mạnh (powerful), tương đối đơn giản, đòi hỏi ít khối lượng tính toán,

nhưng cho kết quả tốt.

2.7.2 Phương trình số gia của cân bằng (Incremental Equation of Equilibrium)

Xét hệ SDOF như hình vẽ các đặc trưng m, k, c và p(t) có thể là các đạilượng suy rộng Giả thiết k(v) và c (v) là các hàm phi tuyến.

Theo nguyên lý AlembertD , phương trình cân bằng của các lực tác dụng lên

hệ ở mỗi thời điểm t:

Ở thời điểm t  t (t bé):

Lấy (b)-(a):

(tftftptfI  D  S 

Số gia của các lực xác định như sau: fI(t)fI(tt) fI(t)mv(t)

(2.84) fS(t)fS(tt) fS(t)k(t)v(t)

p(t)p(tt) p(t)

p(t)f (t)