Đang tải... (xem toàn văn)
Động lực học kết cấu là một lĩnh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vị, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chịu tác dụng của c
ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCCHƯƠNG 1MƠÛ ĐẦU1.1 Nhiệm vụ môn họcĐộng lực học kết cấu là một lónh vực của cơ học, nghiên cứu các phương pháp phân tích phản ứng (nội lực, ứng suất hoặc chuyển vò, vận tốc, gia tốc…) trong kết cấu khi chòu tác dụng của tải trọng động.1.2 Tải trọng độngKhái niệm:Tải trọng động là tải trọng thay đổi theo thời gian về trò số, phương, vò trí, gây ra ứng suất, chuyển vò… cũng thay đổi theo thời gian.Phân loại:- Tải trọng tiền đònh (Deterministic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật biến đổi theo thời gian P = P(t). Thí dụ: Tải trọng điều hòa, chu kỳ, không chu kỳ, xung…được mô tả theo qui luật cho trước.- Tải trọng ngẫu nhiên (Random, Stochastic Loads): là tải trọng biết trước được qui luật xác suất và các đặc trưng xác suất như giá trò trung bình, độ lệch chuẩn… Thí dụ: lực gió, lực sóng, lực động đất…. Bài toán động lực học kết cấu chòu tải trọng ngẫu nhiên được giải quyết bằng lý thuyết dao động ngẫu nhiên (Random Vibration Theory). Các thông tin cần tìm bao gồm ứng suất, chuyển vò, phản lực cũng mang tính ngẫu nhiên với các đặc trưng xác suất trò trung bình, độ lệch chuẩn…Nói chung, các tải trọng trong thực tế đều mang tính chất ngẫu nhiên ở mức độ khác nhau, và được xác đònh bằng phương pháp thống kê toán học.Các quan điểm phân tích động lực học: Phân tích tiền đònh, phân tích ngẫu nhiên và phân tích mờ (Fuzzy Analysis).1.3 Đặc thù của bài toán động Xét dầm đơn giản, chòu tải trọng tónh và động như hình vẽ:Chương 1. MƠÛ ĐẦU 1 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCBài toán tónh: nội lực được xác đònh từ sự cân bằng với ngoại lực, không cần dùng phương trình đường đàn hồi nên mang tính chất đơn giản. Do đó, ứng suất và chuyển vò không phụ thuộc thời gian.Bài toán động: ngoại lực bao gồm lực quán tính phụ thuộc vào phương trình đường đàn hồi y = y(x,t). Vì vậy, dẫn tới phương trình vi phân đạo hàm riêng, phức tạp về toán học, khối lượng tính toán lớn, phải bắt đầu từ việc xác đònh y(x,t).Bài toán tónh (bao gồm cả bài toán ổn đònh) là trường hợp đặc biệt của bài toán động khi lực quán tính được bỏ qua. 1.4 Bậc tự do của kết cấuBậc tự do động lực học (Number of dynamics degrees of freedom) của kết cấu là số thành phần chuyển vò phải xét để thể hiện được ảnh hưởng của tất cả các lực quán tính.Bậc tự do được đònh nghóa trong sự liên quan đến lực quán tính và do đó liên quan đến khối lượng. Số khối lượng càng nhiều thì càng chính xác nhưng cũng càng phức tạp.Chú ý: Bậc tự do động lực học khác với bậc tự do trong bài toán tónh (số chuyển vò nút của kết cấu). Thí dụ: cho kết cấu như hình bên, nếu P là tải trọng tónh thì số bậc tự do là 3, nếu P là tải trọng động thì số bậc tự do là vô cùng.Trong thực tế, các kết cấu đều có khối lượng phân bố nên có vô hạn bậc tự do, việc giải bài toán rất phức tạp nên tìm cách rời rạc hóa hệ.Chương 1. MƠÛ ĐẦU 2P(t)PBài toán tónhBài toán độngq(t)=ρy(t)P ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC1.5 Các phương pháp rời rạc hóa1.5.1 Phương pháp khối lượng thu gọn (Lumped Mass)Thay thế hệ có khối lượng phân bố (a) thành các khối lượng tập trung (b) theo nguyên tắc tương đương tónh học. Đây là phương pháp thường được dùng trong hệ kết cấu phức tạp. Khối lượng thường được thu gọn về điểm nút (thí dụ như hệ dàn).Số bậc tự do của hệ tùy thuộc vào giả thiết về tính chất chuyển vò của hệ và tính chất quán tính của các khối lượng mi. Chẳng hạn, xét hệ (b) là hệ phẳng:Nếu biến dạng dọc trục và mi có quán tính xoay: 9 BTD (3BTD/mass).Nếu coi mi là một điểm (không có quán tính xoay): 6 BTD (2 chuyển vò thẳng/mass).Bỏ qua biến dạng dọc trục nên chỉ có chuyển vò đứng: 3 BTD (1 chuyển vò đứng/mass).Chú ý: Độ phức tạp của bài toán động lực học phụ thuộc vào số bậc tự do.1.5.2 Phương pháp dùng tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates)Giả sử đường đàn hồi là tổ hợp tuyến tính của các hàm xác đònh ψi(x) có biên độ Zi như sau:∑=∞=1)(),(iiixZtxyψ(*)trong đó:ψi(x) : Hàm dạng (Shape Functions)ZI(t) : Tọa độ suy rộng (Generalised Coordinates)Chương 1. MƠÛ ĐẦU 3P(t)m(z)P(t)m m m1 2 3(a)(b) ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCHàm dạng ψi(x) được tìm từ việc giải phương trình vi phân đạo hàm riêng, hoặc do giả thiết phù hợp với điều kiện biên. Khi tính toán thường giữ lại một số số hạng đầu tiên của chuỗi (*) và hệ trở thành hữu hạn bậc tự do (Zi đóng vai trò bậc tự do).1.5.3 Phương pháp phần tữ hữu hạn (Finite Element Method - FEM)Đây là trường hợp đặc biệt của phương pháp tọa độ suy rộng, trong đó:- Zi là các chuyển vò nút (Tọa độ suy rộng).- ψi(x) là các hàm nội suy (Interpolation Functions) các phần tử - Hàm dạng.Thường các hàm nội suy ψi(x) được chọn giống nhau cho các phần tử (ứng với cùng một bậc tự do) và là hàm đa thức nên việc tính toán được đơn giản. Đặc biệt, do tính chất cục bộ của các hàm nội suy nên các phương trình ít liên kết (uncoupled) với nhau làm giảm nhiều khối lượng tính toán.Chương 1. MƠÛ ĐẦU 4LZ2Z3y(x)ψ1(x)Z1ψ3(x)ψ2(x) iπxLi=1,2, .,nψi(x) =sin32145v3=1ψ3v(c)ψ3v(b)abcdθ3=1ψ3θ(c)ψ3θ(b) ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC1.6 Các phương pháp thiết lập phương trình vi phân của chuyển động1.6.1 Nguyên lý D’AlembertXét khối lượng mi (i=1,n) chòu tác động của lực Pi(t) có chuyển vò vi(t) và gia tốc )(tvi. Nếu đặt thêm lực quán tính thì khối lượng mi sẽ cân bằng: 0)()( =− tvmtPiii(1.1) Nếu hệ có n bậc tự do thì sẽ có n phương trình vi phân chuyển động.1.6.2 Nguyên lý công khả dóCho khối lượng mi (i=1,n) một chuyển vò khả dó δvi , công khã dó δW của các lực tác dụng lên mi (cân bằng) trên chuyển vò δvi phải triệt tiêu: ∑=− 0)]()([iiiivtvmtPδ(1.2) Nguyên lí công khả dó thích hợp cho hệ phức tạp gồm các khối lượng điểm và khối lượng có quán tính xoay. Các số hạng trong phương trình là các vô hướng (scalar) nên lập phương trình đơn giản so với phương trình vector.Nếu cho hệ các chuyển vò khả dó ivδ lần lượt theo các bậc tự do sẽ thu được n phương trình vi phân của chuyển động.Ký hiệu công khả dó của ngoại lực Pi(t) là δW, từ (1.2) ta có biến phân công khả dó:∑ ∑==iiiivtvmvtPWδδδ)]()( (1.3)1.6.3 Nguyên lý Hamilton (page 344, [1])Xét hệ gồm các khối lượng mi (i=1, n) có các chuyển vò vi(t) ở hai thời điểm t1 và t2, chuyển vò có các trò số vi(t1) và vi(t2) tương ứng với hai đường biến dạng (b) và (c). Đường biến dạng (d) ứng với t = t1 + ∆t < t2. Đường biến dạng thật tuân theo đònh luật II Newton. Đường lệch trùng với đường thật tại hai thời điểm t1 và t2: δv1(t1) =δv1(t2) =0 (1.4) Động năng của hệ tại thời điểm t:)(2112iniiivTvmT==∑=Biến phân của động năng δT tương ứng với biến phân của chuyển vò δvi:Chương 1. MƠÛ ĐẦU 5 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCδT = ∑∂∂=niiivVT1δ= ∑ ∑==∑= i iiiiiiiniiiivdtdvmdtdvvmvvmδδδ1 (1.5) Mặt khác, ta có đồng nhất thức:iiiiiivdtdvvvvvdtdδδδ+=)(Nhân cả hai vế với mi và lấy tổng cho toàn hệ: ∑∑∑+=iiiiiiiiiiivdtdvmvvmvvmdtdδδδ)( WTvvmdtdiiiiδδδ+=∑)((1.6) Nhân hai vế với dt và lấy tích phân từ t1 đến t2:Chương 1. MƠÛ ĐẦU 6m1m2m3m4vvv1 23v4v (t )11v (t )12t=t1t=t2t=t +∆t < t12v(t +∆t)11δv12δv3δv4δvthật(a)(b)(c)(d)11tt2t +∆t111v(t +∆t)v (t )1 21v (t )1v (t)1tδv (t +∆t)11Đường lệchv(t)+δv11Đường Newton (thật) ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC∫+=∑2121)(ttttiiidtWTvvmδδδTheo trên vì δvi(t1) = δvi(t2) = 0 với mọi i nên vế trái triệt tiêu: 0)(21=+∫ttdtWTδδ(1.7) Nếu ngoại lực tác dụng trên hệ gồm lực bảo toàn (lực thế) và lực không bảo toàn (thí dụ lực ma sát) thì biến phân của công ngoại lực δW được tách ra hai thành phần: δW = δWc + δWnc(1.8) Đối với lực bảo toàn thì công của lực bằng độ giảm thế năng của hệ nên: δWc = -δV (1.9) với δV là biến phân của thế năng. Thế (1.9) vào (1.8): δW = -δV + δWnc(1.10) Thế vào (1.7): 0)(2121=+−∫ ∫ttttncdtWdtVTδδ(1.11) Đây là nguyên lý biến phân của Hamilton, trong đó:T: Động năng của hệ.V: Thế năng của hệ, gồm thế năng biến dạng đàn hồi và thế năng của lực bảo toàn.Wnc : Công của lực không bảo toàn (lực cản, ma sát, ngoại lực .)• Ý nghóaCông thức (1.7) được viết lại: 0)(21=+∫ttdtWTδ(1.12) Như vậy, trong tất cả các đường chuyển động trong khoảng thời gian từ t1 đến t2 thì đường làm cho tích phân 0)(21=+∫ttdtWT có giá trò dừng (cực tiểu) là đường chuyển động tuân theo đònh luật Newton.Chương 1. MƠÛ ĐẦU 7 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCBài toán tónh T = 0 thì (1.7) trở thành:021=∫ttWdtδ suy ra 0=Wδ hay 0)( =−ncWVδ(1.13) Đây là nguyên lý thế năng cực tiểu trong bài toán tónh (Nếu một hệ cân bằng ổn đònh thì thế năng của hệ cực tiểu).Chú ý: Nguyên lý Hamilton cũng là một phương pháp năng lượng, trong đó không dùng trực tiếp đến lực quán tính và lực bảo toàn. Dùng thích hợp cho hệ phức tạp, khối lượng phân bố.Nhận xét: Cả 3 phương pháp D’Alembert, Virtual Work và Hamilton đều dẫn đến phương trình chuyển động giống nhau (đều cùng mang bản chất đònh luật II Newton).Phương trình LagrangeGọi q1, q2, , qn là các tọa độ suy rộng. Trong công thức (1.11) ta có: ), ,,,, ,,(2121 nnqqqqqqTT= ), ,,(21 nqqqVV = nqnqqncQQQWδδδδ+++= 2121, với Qi là lực suy rộng không bảo toàn. Thế vào (1.11):0) .(2111111111=++∂∂−−∂∂−∂∂++∂∂+∂∂++∂∂∫ttnnnnnnnndtqQqQqqVqqVqqTqqTqqTqqTδδδδδδδδ (*)Tích phân các số hạng chứa vận tốc iqδtừng phần:∫∂∂∂∂∂−∂∂=∫∂∂21212111111)(((ttittttdtqqTtqqTdtqqTδδ(1.14)Thế vào biểu thức (*):∫∑=+∂∂−∂∂+∂∂∂∂−=210)(1ttniiiiiidtqQqVqTqTTδ(1.15)Vì δqi là tùy ý nên:iiiiQqVqTqTT=∂∂+∂∂−∂∂∂∂)((1.16)Đây là phương trình Larange, dùng được cho hệ tuyến tính và phi tuyến. Chương 1. MƠÛ ĐẦU 8 ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCChương 1. MƠÛ ĐẦU 9 . +∆t )11 δv12δv3δv4δvthật(a)(b)(c)(d )11 tt2t +∆t 111 v(t +∆t)v (t )1 21v (t )1v (t)1tδv (t +∆t )11 Đường lệchv(t)+δv 11 ường Newton (thật) ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐC∫+=∑ 212 1)(ttttiiidtWTvvmδδδTheo. ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU TS. ĐỖ KIẾN QUỐCCHƯƠNG 1MƠÛ ĐẦU1 .1 Nhiệm vụ môn học ộng lực học kết cấu là một lónh vực của cơ học, nghiên cứu các