Bài giảng động lực học - Chương 4

Bài giảng động lực học

Chương 4 HỆ VÔ HẠN BẬC TỰ DO

4.1 THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG

4.1.1 Dao động uốn của dầm

Xét dầm thẳng như hình H.4.1 Tách phân tố xét

cân bằng:

với lực quán tính phân bố

EI(x), m(x)

H.4.1 Dao động uốn dầm

dx

Thế (4.2) vào (4.1) ta được:

trong đó các đại lượng EI và m thay đổi theo x.

Nếu uốn dầm xét đến ảnh hưởng lực dọc:

4.1.2 Dao động dọc của thanh

Thanh có các đặc trưng thay đổi, chịu lực kích

động q(x,t) Xét cân bằng lực của phân tố:

(4.9)

Ta có:

Thế vào (4.9) ta được:

4.2 PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG TỰ DO

H.4.2 Dao động dọc thanh

∂∂

4.2.1 Dao động uốn tự do của dầm

Xét các đại lượng EI, m = const, p(x,t) = 0

Phương trình (4.7) trở thành:

hay: (,)+ v(x,t)=0

 (4.13)Nghiệm chọn dạng phân ly biến số như sau:

Chia hai vế bởi φ(x)Y(t), (4.15) trở thành:

(4.16)hay ((xx)) EImYY((tt))

(4.17)Phương trình (4.17) chứng tỏ 2 vế không phụ thuộc

vào x và t, tức là bằng một hằng số:

(4.18)Từ đây dẫn tới 2 phương trình vi phân thường:

(t +2Yt =

Phương trình (4.19a) có nghiệm:

ω (0) sincos

Phương trình (4.19b) được giải bằng cách chọn nghiệm dạng:

Thế vào (4.19b) dẫn tới:

(s4− a4 Gesx = (4.24)Từ đó ta tìm được:

s1,2 =±, 3,4 =± (4.25)Nghiệm tổng quát của (4.19b) có dạng:

với G1, G2, G3, G4 là các hằng số phức.

Phương trình (4.26) có thể viết lại dạng thực cho các số hạng:

(x = A1 ax + A2 ax + A3 ax + A4 ax

các hằng số Ai được tìm từ điều kiện biên của dầm.

4.2.2 Dao động dọc tự do của thanh

Xét thanh có đặc trưng EA, m hằng số Khi q(x,t) =

0 thì phương trình (4.11) có dạng:

Tách biến:

−== 

(4.30)Từ đó dẫn tới hai phương trình:

(t +2Yt =

Phương trình (4.31a) có nghiệm giống (4.21) Phương trình (4.31b) có nghiệm như sau:

cos()

Thí dụ: E 18.5, p 392-393.

Chú ý: Các mode dao động φm(x) và φn(x) có tính trực giao, tức là thoả mãn điều kiện:

∫ xxmxdxL

4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC

HỌC (the Dynamic direct Stiffness Method -

4.3.1 Ý nghĩa

Trong chương 3 đã dùng hàm đa thức Hecmit để xấp xỉ đường đàn hồi và dẫn tới phương pháp

độ cứng tĩnh học (Static dirrect Stiffness Method)

Phương pháp này kém chính xác vì hàm dạng không kể đến lực quán tính.

Trên cơ sở hàm dạng (4.27) là nghiệm chính xác của dầm khi dao động, có thể dùng để làm hàm dạng, từ đó dẫn tới phương pháp độ cứng động lực học, được coi là chính xác Đặc điểm của phương pháp này là các hệ số cứng phụ thuộc vào tần số, phương pháp này hiện nay được dùng trong bài toán ngược chẩn đoán công trình.

4.3.2 Ma trận độ cứng uốn động lực

Xét dầm tiết diện đều, không chịu lực tác dụng, phương trình chuyển động của nó cho bởi (4.13):

Chuyển vị cưỡng bức có dạng:

với vi0 là biên độ chuyển vị biên vi Chuyển vị tại

một điểm bất kỳ của dầm có dạng:

v(,)=φ()sinω (4.36)Phương trình (a) được viết:

4 = ω (4.38)

Nghiệm của phương trình (4.37) có dạng:

(x = A1 ax + A2 ax + A3 ax + A4 ax

a phụ thuộc vào tần số cưỡng bức ω , khác với a

phụ thuộc vào tần số tự nhiên ω theo (4.20).

Để cho tiện về sau, ta kí hiệu đơn giản:

(4.40)Biểu diễn chuyển vị thẳng và xoay hai đầu thanh, ta có:

(4.41)

trong đó:

cosh

sinh

Phương trình ma trận (4.41) có thể viết dưới dạng kí hiệu ngắn gọn:

H.4.3 chuyểnvị và lực nút

hay: S = Uη (4.44)Từ (4.42) ta có: η= W −1v (4.45)Thế (4.45) vào (4.44) nhận được:

Ma trận độ cứng động lực của đoạn dầm đóng vai trò trung gian giữa lực nút và chuyển vị nút, vì vậy theo (4.46) ta có:

trong đó:

1

(4.49)

Trong trường hợp tĩnh học λ=0 ta có các hệ số cứng sau:

4

,6

,6

1235 6

12356

Thí dụ:

Phân tích dao động dọc tự nhiên của dầm công son khối lượng và độ cứng phân bố đều như hình vẽ.

Nghiệm của bài toán dao động dọc trục thanh:

Hai điều kiện biên của dầm công son là:

Mode 1

Mode 2

Mode 3

Thay vào phương trình trên, nhận được:

Do đó phương trình dao động được viết như sau:

Tần số dao động là

Nghiệm của bài toán dao động uốn thanh như sau:

(x =A1 ax + A2 ax +A3 ax +A4 ax

φ

Bốn điều kiện biên của dầm đơn giản là:

Tại x = 0 φ(0)=0 Chuyển vị bằng không

Tại x = L φ(L)=0 Chuyển vị bằng không

(L = EI ′′ L =

Aùp dụng điều kiện biên tại x = 0 vào phương trình

trên, nhận được:

Mode 1

Mode 2

Mode 3

thanh a, b, c như trên hình vẽ Bỏ qua ảnh hưởng

dọc trục (xem hệ có một bậc tự do là chuyển vị

xoay tại nút) Dùng phương pháp độ cứng động lực học xác định chuyển vị xoay tại nút của hệ.

M =ω ; 2(2.8)4 4

Độ cứng động của hệ:

dcSsC −

EImLaLa = ω

Cho từng phần tử a, b, c ta xác định được:

( ;5.3)

( 2.8;)

EI, m O

16EI/25 25m/16

EI, m M(t)

Từ H.4.4 suy ra được

90.2 ;

(Có thể áp dụng công thức (4.49) để tính)

Thay vào phương trình trên, xác định được độ cứng động của hệ:

LEIk =2.68

=−Chú ý:

ω (tần số lực kích thích bằng tần số riêng của hệ) thì

( ;66.3)

( 2.89;)

(aLa = aLb = aLc = Độ cứng của hệ lúc này là k =0