Đang tải... (xem toàn văn)
Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)Phương pháp lặp hiện giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu (tt)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÁO CÁO TĨM TẮT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆN GIẢI BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VỚI TOÁN TỬ LOẠI ĐƠN ĐIỆU Mã số: ĐH2016-TN06-02 Xác nhận tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) Nguyễn Song Hà THÁI NGUYÊN - 2018 ii DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI VÀ ĐƠN VỊ PHỐI HỢP CHÍNH I Thành viên thực đề tài • PGS.TS Nguyễn Thị Thu Thủy - Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun • TS Bùi Việt Hương - Khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên • TS Trần Xuân Quý - Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên II Đơn vị phối hợp thực • Viện CNTT, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam (Người đại diện đơn vị GS.TS Nguyễn Bường) iii Mục lục Trang bìa phụ i Danh sách thành viên tham gia nghiên cứu đề tài đơn vị phối hợp ii Mục lục iii Danh mục ký hiệu chữ viết tắt Danh sách bảng Thông tin kết nghiên cứu v vii viii Mở đầu 0.1 Tính cấp thiết đề tài 0.2 Mục tiêu đề tài 0.3 Nội dung nghiên cứu đề tài Chương Phương pháp lai ghép đường dốc nhất, chiếu lai ghép chiếu co hẹp 1.1 Không gian Banach giới hạn Banach 4 1.2 Ánh xạ liên tục Lipschitz ánh xạ j-đơn điệu 1.3 Một lớp toán bất đẳng thức biến phân 4 1.3.1 Mơ hình tốn 1.3.2 Phương pháp lai ghép đường dốc 1.4 Phương pháp chiếu lai ghép chiếu co hẹp iv Chương Các phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho toán VIP∗ (F, C) 2.1 Phương pháp lai ghép đường dốc dùng ánh xạ S˜k 2.1.1 Nội dung phương pháp 2.1.2 Sự hội tụ mạnh phương pháp 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc dùng ánh xạ Sˆk 2.2.1 10 Nội dung phương pháp 10 2.2.2 Sự hội tụ mạnh phương pháp 2.3 Phương pháp lai ghép đường dốc dùng ánh xạ S k 10 10 2.3.1 2.3.2 Nội dung phương pháp Sự hội tụ mạnh phương pháp 10 11 2.4 Ứng dụng kết tính toán số 11 Kết luận chung đề nghị 15 v Danh mục ký hiệu chữ viết tắt H không gian Hilbert thực E không gian Banach thực E∗ không gian đối ngẫu E SE mặt cầu đơn vị E E ∗∗ không gian liên hợp thứ hai E R tập hợp số thực R+ tập hợp số thực không âm Rn không gian Euclide thực n chiều N tập hợp số tự nhiên ∅ tập hợp rỗng ∀ với ∩ phép giao d(x, C) khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C PC phép chiếu mêtric từ E (hoặc H) lên C I ánh xạ đơn vị x, x∗ giá trị x∗ ∈ E ∗ điểm x ∈ E x, y tích vơ hướng x ∈ H y ∈ H xT chuyển vị véctơ x J ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc đơn trị µ giới hạn Banach ∇ϕ(x) gradient hàm ϕ(x) vi R(F ) miền ảnh ánh xạ F D(F ) miền xác định ánh xạ F Fix(T ) tập điểm bất động ánh xạ T VIP(A, C) toán bất đẳng thức biến phân với A : C → H Sol(VIP(A, C)) tập nghiệm toán VI(A, C) VIP∗ (F, C) toán bất đẳng thức biến phân ∞ Fix(Ti ) với F : E → E C := i=1 ∗ Sol(VIP (F, C)) tập nghiệm toán VIP∗ (F, C) A−1 ánh xạ ngược ánh xạ A JrA toán tử giải ánh xạ A với JrA := (I + rA)−1 JA toán tử giải ánh xạ A tương ứng với r = lim supxk giới hạn dãy {xk } k→∞ lim inf xk giới hạn dãy {xk } xk → x0 {xk } hội tụ mạnh tới x0 diam(C) đường kính tập C B(C) tập tập bị chặn C DC (Ti , Tj ) khoảng cách DC (Ti , Tj ) = sup Ti (x) − Tj (x) k→∞ x∈C vii Danh sách bảng 2.1 Kết tính toán cho phương pháp (2.1) 12 2.2 2.3 Kết tính tốn cho phương pháp (1.9) với ρ = 1/20 Kết tính tốn cho phương pháp (1.10) với γk = 1/100 12 12 2.4 2.5 Kết tính tốn cho phương pháp (2.10) Kết tính tốn cho phương pháp (2.16) 13 14 viii ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Thông tin chung - Tên đề tài: Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu - Mã số: ĐH2016-TN06-02 - Chủ nhiệm: ThS Nguyễn Song Hà - Tổ chức chủ trì: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên - Thời gian thực hiện: 08/2016 - 08/2018 Mục tiêu - Xây dựng phương pháp lặp có cấu trúc đơn giản tính tốn song song Đưa điều kiện chứng minh hội tụ phương pháp - Ứng dụng xấp xỉ nghiệm cho tốn cực trị lồi - Góp phần nâng cao lực nghiên cứu cho cán giảng dạy Tốn học giải tích Tốn học ứng dụng Đại học; phục vụ hiệu cho công tác NCKH đào tạo sau đại học chuyên ngành Toán giải tích Tốn ứng dụng Đại học Thái Ngun - Mở rộng hợp tác nghiên cứu khoa học với sở nghiên cứu ngồi Đại học Tính mới, tính sáng tạo - Xây dựng phương pháp lặp dạng xấp xỉ nghiệm cho lớp toán bất đẳng thức biến phân Các phương pháp có cấu trúc đơn giản tính tốn song song - Xây dựng ví dụ số cụ thể minh họa - Ứng dụng xấp xỉ nghiệm cho toán cực trị hàm lồi Kết nghiên cứu - Đề xuất phương pháp chiếu lai ghép phương pháp chiếu co hẹp để tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert thực Đồng thời áp dụng phương pháp xấp xỉ nghiệm cho toán hệ bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu - Xây dựng phương pháp lặp dạng xấp xỉ nghiệm cho lớp ix tốn bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach thông qua đề xuất sử dụng ánh xạ S˜k , Sˆk S k - Xây dựng ví dụ số cụ thể minh họa cho thuật toán đề xuất tương quan với số phương pháp có Sản phẩm 5.1 Sản phẩm khoa học • Có 05 báo đăng tạp chí Khoa học (1) Buong Ng., Ha Ng S., Thuy Ng T T (2016), "A new explicit iteration method for a class of variational inequalities", Numer Algorithms, 72, pp 467-481 (2) Buong Ng., Ha Ng S., Thuy Ng T T (2016), "Hybrid steepest-descent method with a countably infinite family of nonexpansive mappings on Banach spaces", Nonlinear Funct Anal Appl., 21, pp 273-287 (3) Buong Ng., Quynh V X., Thuy Ng T T (2016), "A steepest-descent Krasnosel’skii–Mann algorithm for a class of variational inequalities in Banach spaces", J Fixed Point Theory and Appl., 18, pp 519-532 (4) Ha Ng S., Buong Ng., Thuy Ng T T (2017), "A new simple parallel iteration method for a class of variational inequalities", Acta Math Vietnam., DOI 10.1007/s40306-017-0228-x (5) Tuyen T M., Ha Ng S (2017), "Parallel iterative methods for a finite family of sequences of nearly nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Comp Appl Math., DOI 10.1007/s40314-017-0503-4 5.2 Sản phẩm đào tạo • Có 01 đề tài sinh viên NCKH nghiệm thu (1) Nguyễn Quang Hưng (2016), "Một số phương pháp xấp xỉ tìm cực trị hàm phi tuyến", Đề tài sinh viên NCKH, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Ngun • Có 01 KLTN Đại học nghiệm thu x (1) Hà Thị Thanh Hường (2017), "Tính khơng giãn tốn tử khơng gian Hilbert", Khóa luận tốt nghiệp, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Phương thức chuyển giao, địa ứng dụng, tác động lợi ích mang lại kết nghiên cứu - Phục vụ công tác NCKH đào tạo sau đại học Đại học Thái Nguyên - Tăng cường hợp tác nghiên cứu khoa học cán thuộc trường Đại học, viện nghiên cứu (Viện Cơng nghệ thơng tin Viện Tốn học) - Tăng cường lực nghiên cứu cho nhóm thực đề tài Thái Nguyên, ngày tháng năm 2018 Xác nhận tổ chức chủ trì Chủ nhiệm đề tài (ký, họ tên, đóng dấu) (ký, họ tên) Nguyễn Song Hà Mở đầu 0.1 Tính cấp thiết đề tài Cho H không gian Hilbert thực C tập lồi đóng khác rỗng H Cho F : H → H ánh xạ xác định H Mơ hình tốn bất đẳng thức biến phân cổ điển có dạng: Tìm x∗ ∈ C cho: F (x∗ ), x − x∗ ≥ 0, ∀x ∈ C, (0.1) Bài toán bất đẳng thức biến phân (0.1) đề xuất vào năm đầu thập niên 60 kỉ XX, gắn liền với nghiên cứu Lions, Stampacchia cộng (Lions Stampacchia, 1965, 1967; Hartman Stampacchia, 1966) Từ đến nay, bất đẳng thức biến phân ln chủ đề nghiên cứu mang tính thời Bài toán thu hút nhiều nhà khoa học quan tâm nghiên cứu toán bao hàm nhiều tốn lí thuyết như: tốn cực trị; toán điểm bất động; toán cân bằng; tốn bù; phương trình với tốn tử đơn điệu; tốn biên có dạng phương trình đạo hàm riêng nhiều toán thực tiễn như: tốn khơi phục tín hiệu; tốn phân phối băng thơng; kiểm sốt lượng hệ thống mạng CDMA kĩ thuật xử lí tín hiệu băng tần Để ứng dụng tốn bất đẳng thức biến phân vào thực tiễn, đòi hỏi phải có phương pháp giải số hiệu cho toán Cho đến người ta thiết lập nhiều kĩ thuật giải bất đẳng thức biến phân dựa phương pháp chiếu Goldstein (1964), Polyak (1966, 1967, 1969), phương pháp điểm gần kề Martinet (1970), Rokaffellar (1976), nguyên lý toán phụ Cohen (1980), phương pháp hiệu chỉnh dạng BrowderTikhonov (Browder, 1966; Tikhonov, 1963), phương pháp điểm gần kề hiệu chỉnh Lehdili Moudafi (1996), Ryazantseva (2002) phương pháp điểm gần kề quán tính Alvarez Attouch (2001) đề xuất dựa số kĩ thuật tìm điểm bất động phương pháp lặp Krasnosel’skiiMann (Mann, 1953; Krasnosel’skii, 1955), phương pháp lặp Halpern (1967) phương pháp xấp xỉ mềm (Moudafi, 2000) Mặt khác, nhiều toán thuộc lĩnh vực công nghệ truyền thông đại đề cập quy mơ hình toán (0.1) với C cho dạng ẩn tập điểm bất động chung họ ánh xạ không giãn Ti (i ∈ I), I tập số Năm 2001, Yamada xây dựng phương pháp lai ghép đường dốc mà phương pháp hội tụ mạnh thành phần nằm tập điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ không giãn đồng thời thỏa mãn nghiệm tốn (0.1) Từ đến nay, có nhiều cơng trình nghiên cứu nhằm mở rộng cải tiến phương pháp Yamada theo nhiều hướng khác Chẳng hạn, theo hướng làm giảm nhẹ điều kiện đặt lên dãy tham số lặp (Xu đtg, 2003; Zeng đtg, 2007; Nguyễn Bường đtg, 2011) mở rộng cho toán trường hợp phức tạp hơn, chẳng hạn C tập điểm bất động chung họ vô hạn ánh xạ không giãn (Iemoto đtg 2008; Yao đtg, 2010; Wang, 2011) nghiên cứu mở rộng từ không gian Hilbert H tới lớp không gian Banach E (Ceng đtg, 2008; Chidume đtg, 2011; Nguyễn Bường đtg, 2013, 2015) Có thể khẳng định rằng, toán bất đẳng thức biến phân nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu theo nhiều đường tiếp cận khác nhằm xây dựng phương pháp giải hữu hiệu để ứng dụng thực tiễn Vì lí phân tích trên, lựa chọn đề tài nghiên cứu "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu" 0.2 Mục tiêu đề tài Xây dựng phương pháp lặp dạng xấp xỉ nghiệm cho lớp tốn nghiên cứu có cấu trúc đơn giản tính tốn song song Đưa điều kiện chứng minh hội tụ phương pháp Xây dựng ví dụ số cụ thể minh họa tương quan với số phương pháp có 3 Ứng dụng xấp xỉ nghiệm cho toán cực trị lồi 0.3 Nội dung nghiên cứu đề tài Báo cáo tổng kết đề tài gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận tài liệu tham khảo Chương giới thiệu sơ lược số vấn đề liên quan đến cấu trúc hình học khơng gian Banach, lớp toán nghiên cứu, số mệnh đề bổ đề cần sử dụng cho việc chứng minh kết nghiên cứu đạt Chương trình bày kết nghiên cứu vấn đề nêu Chúng giới thiệu chứng minh chi tiết hội tụ mạnh phương pháp lặp dạng xấp xỉ nghiệm cho lớp tốn nghiên cứu Bên cạnh đó, trình bày ví dụ số cụ thể minh họa ứng dụng cho cực trị hàm lồi Chương Phương pháp lai ghép đường dốc nhất, chiếu lai ghép chiếu co hẹp 1.1 Không gian Banach giới hạn Banach 1.2 Ánh xạ liên tục Lipschitz ánh xạ j-đơn điệu 1.3 Một lớp tốn bất đẳng thức biến phân 1.3.1 Mơ hình tốn Cho E khơng gian Banach phản xạ thực, lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ j-đơn điệu mạnh với hệ số η γ-giả co chặt với η + γ > Giả sử {Ti } họ vô hạn đếm ánh xạ không ∞ Fix(Ti ) = ∅ Lớp toán bất đẳng thức biến phân, giãn E với C := i=1 kí hiệu VIP∗ (F, C), phát biểu sau: Tìm x∗ ∈ C cho: F (x∗ ), j(x − x∗ ) ≥ 0, ∀x ∈ C, (1.2) j ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc E 1.3.2 Phương pháp lai ghép đường dốc Nghiên cứu mở rộng cho trường hợp C tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn, việc sử dụng ánh xạ Wk , năm 2008, Iemoto Takahashi xây dựng dãy lặp {xk } có dạng xk+1 = (I − λk ρF )Wk (xk ), k = 1, 2, 3, (1.9) x1 điểm tùy ý thuộc H, λk ∈ (0, 1] ρ > tham số lặp Định lí 1.3 Cho F : H → H ánh xạ liên tục L-Lipschitz η-đơn điệu mạnh H Cho {Ti } họ vô hạn ánh xạ không giãn H với C := ∞ Fix(Ti ) = ∅ Giả sử {αk } dãy số thực thỏa mãn < a ≤ αk ≤ b < 1, i=1 k = 1, 2, 3, với a, b ∈ (0, 1) Khi đó, điều kiện sau bảo đảm i) ρ ∈ (0, 2η/L2 ), ii) λk thỏa mãn điều kiện (L1) (L2) dãy lặp (1.9) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán (0.1) Các tác giả loại bỏ điều kiện (L3) (L3)∗ Tuy vậy, ánh xạ Wk có cấu trúc phức tạp phương pháp (1.9) khơng tính tốn song song Năm 2010, Yao cộng thiết lập lược đồ lặp cải biên có dạng xk+1 = (1 − γk )(I − λk F )(xk ) + γk Wk ((I − λk F )(xk )), k = 1, 2, 3, (1.10) x1 điểm tùy ý thuộc H, γk ∈ [0, 1] λk ≥ tham số lặp Định lí 1.4 Cho F : H → H ánh xạ liên tục L-Lipschitz η-đơn điệu mạnh H Cho {Ti } họ vô hạn ánh xạ không giãn H với C := ∞ Fix(Ti ) = ∅ Giả sử {αk } dãy số thực thỏa mãn < αk ≤ b < 1, i=1 k = 1, 2, 3, Khi đó, điều kiện sau bảo đảm i) γk ∈ [γ, 1/2] với γ > 0, ii) λk thỏa mãn điều kiện (L1) (L2) dãy lặp (1.10) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán (0.1) Giống phương pháp (1.9), ta thấy phương pháp (1.10) có cấu trúc phức tạp khơng tính tốn song song Một năm sau, Wang nhận kết tương tự Yao cộng Tuy nhiên, điều kiện thêm vào λk F (xk ) → k → ∞ đảm bảo hội tụ lại hạn chế phương pháp Bởi với điều kiện việc tính tốn kiểm tra máy tính khó thực Nghiên cứu mở rộng từ khơng gian Hilbert H tới lớp không gian Banach E, năm 2008, Ceng cộng cải biên phương pháp lai ghép đường dốc Yamada Các tác giả xây dựng dãy lặp ẩn xấp xỉ nghiệm cho tốn (1.2) có dạng: xk = αk (I − λk βk F )T (xk−1 ) + (1 − αk )T (xk ), k = 1, 2, 3, (1.11) xk+1 = (I − λk βk F )T (αk xk + (1 − αk )T (yk )), k = 1, 2, 3, (1.12) λk , βk αk dãy số thực thuộc [0, 1) Tuy nhiên, việc xây dựng kĩ thuật lặp ẩn cho toán (1.2), khó khăn gặp phải phương pháp thực hành tính tốn bước lặp, ta phải thực bước giải phương trình dạng ẩn để tìm nghiệm xấp xỉ sau số hữu hạn bước lặp ta thu nghiệm xấp xỉ gần với nghiệm xác tốn Để khắc phục khó khăn này, năm 2016, thiết lập phương pháp lặp dạng kiểu Krasnosel’skii-Mann đường dốc sau: xk+1 = (I − λk F )(αk xk + (1 − αk )T (xk )), k = 1, 2, 3, (1.13) Sự hội tụ mạnh phương pháp phát biểu định lí sau Định lí 1.5 Cho E không gian Banach trơn (hoặc không gian Banach phản xạ thực, lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux đều) Cho F : E → E ánh xạ j-đơn điệu mạnh với hệ số η γ-giả co chặt với η + γ > Cho T ánh xạ không giãn E với C := Fix(T ) = ∅ Giả sử λk ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện (L1), (L2) αk ∈ [a, b] ⊂ (0, 1) Khi ấy, dãy {xk } xác định (1.13) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán (1.2) k → ∞ Khi C tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Banach thực E, thay cho việc sử dụng ánh xạ phức tạp Wk , ta sử dụng ánh xạ Vk Sk có cấu trúc đơn giản Nguyễn Bường cộng đề xuất vào năm 2013 2015 Nổi bật hai phương pháp lặp sử dụng ánh xạ Sk tính toán song song 1.4 Phương pháp chiếu lai ghép chiếu co hẹp Định lí 1.8 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H với diam(C) < ∞ Cho Ti = {Ti,k } dãy ánh xạ gần không N giãn từ C vào H tương ứng với dãy {ai,k } cho S = Fix(Ti ) = ∅ Cho i=1 Ti : C → H xác định Ti (x) = lim Ti,k (x) với x ∈ C Giả sử k→∞ N lim DC (Ti,k , Ti ) = k→∞ N Fix(Ti ) = i=1 Fix(Ti ) Với điểm ban đầu tùy ý i=1 x0 ∈ C, xét dãy {xk } C xác định bởi: yki = αk xk + (1 − αk )Ti,k (xk ), i = 1, 2, , N, Cki = {z ∈ C : yki − z ≤ xk − z + (2diam(C) + ai,k )ai,k }, N Ck = Cki , i=1 Qk = {z ∈ C : xk − z, x0 − xk ≥ 0}, x =P (x ), k ≥ 0, k+1 Ck ∩Qk (1.26) yki = αk xk + (1 − αk )Ti,k (xk ), i = 1, 2, , N, Chọn ik ∈ argmax { yki − xk }, i=1,2, ,N ik y k = yk , Ck = {z ∈ C : y k − z ≤ xk − z + (2diam(C) + aik ,k )aik ,k }, Qk = {z ∈ C : xk − z, x0 − xk ≥ 0}, xk+1 = PC ∩Q (x0 ), k ≥ 0, k k (1.27) ≤ αk ≤ α < Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh tới PS (x0 ) Định lí 1.9 Cho C, Ti = {Ti,k }, Ti với i = 1, 2, , N giả thiết tương tự Định lí 1.8 Với điểm ban đầu tùy ý x0 ∈ C, xét dãy {xk } C xác định bởi: C0 = C, yki = αk xk + (1 − αk )Ti,k (xk ), i = 1, 2, , N, i Ck = {z ∈ Ck : yki − z ≤ xk − z + (2diam(C) + ai,k )ai,k }, N Ck+1 = Cki , i=1 x k+1 = PCk+1 (x0 ), k ≥ 0, (1.28) C0 = C, yki = αk xk + (1 − αk )Ti,k (xk ), i = 1, 2, , N, Chọn ik ∈ argmax { yki − xk }, i=1,2, ,N y k = ykik , Ck+1 = {z ∈ Ck : y k − z xk+1 = PC (x0 ), k ≥ 0, k+1 ≤ xk − z + (2diam(C) + aik ,k )aik ,k }, (1.29) ≤ αk ≤ α < Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh tới PS (x0 ) Áp dụng kết chúng tơi cho tốn xác định khơng điểm chung họ hữu hạn tốn tử Ai mà không cần giả thiết diam(C) < ∞ Định lí sau hệ trực tiếp Định lí 1.8 Định lí 1.9 Định lí 1.10 Cho {ri,k }, i = 1, 2, , N dãy số thực dương cho {inf {ri,k }} = r > i=1,2, ,N k Với điểm ban đầu tùy ý x0 ∈ C, xét dãy {xk } C xác định (1.26)(1.27) (1.28)-(1.29), với ≤ αk ≤ α < Ti,k = JrAi,ki Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh tới PS (x0 ) Từ Định lí 1.10 ta nhận kết Định lí 1.11 Cho Ci , i = 1, 2, , N tập lồi đóng khơng gian Hilbert thực H Cho Ai : Ci → H toán tử đơn điệu h-liên tục, i = N Sol(VIP(Ai , Ci )) = ∅ Với điểm ban đầu tùy ý x0 ∈ C, 1, 2, , N với S = i=1 xét dãy {xk } C xác định (1.26)-(1.27) (1.28)-(1.29), với ≤ αk ≤ α < 1, Ti,k (xk ) = Sol(VI(γi,n Ai + I − xk ), Ci ) {inf {γi,k }} = i=1,2, ,N r > Khi đó, dãy {xk } hội tụ mạnh tới PS (x0 ) k Chương Các phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho toán VIP∗(F, C) 2.1 Phương pháp lai ghép đường dốc dùng ánh xạ S˜k 2.1.1 Nội dung phương pháp Xuất phát từ điểm x1 tùy ý thuộc E, xây dựng dãy {xk } theo lược đồ lặp sau: xk+1 = (I − λk F )S˜k (xk ), k = 1, 2, 3, (2.1) S˜k xác định k S˜k = i=1 si i T s˜k (2.2) với T i = (1 − αi )I + αi Ti , i = 1, 2, 3, (2.3) αi ∈ (0, 1), Ti ánh xạ không giãn I ánh xạ đơn vị E Các dãy tham số λk ∈ (0, 1) {si } tương ứng thỏa mãn điều kiện (L1), (L2) ∞ k si > 0, s˜k = si i=1 2.1.2 si = s˜ < ∞ (2.4) i=1 Sự hội tụ mạnh phương pháp Định lí 2.1 Cho E khơng gian Banach phản xạ thực, lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ j-đơn điệu mạnh với hệ số η γ-giả co chặt với η + γ > Cho {Ti } họ vô hạn ánh xạ không giãn ∞ Fix(Ti ) = ∅ Giả sử λk ∈ (0, 1) si tương ứng thỏa mãn E với C := i=1 điều kiện (L1), (L2) (2.4) Khi ấy, dãy {xk } xác định (2.1) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán (1.2) k → ∞ 10 2.2 Phương pháp lai ghép đường dốc dùng ánh xạ Sˆk 2.2.1 Nội dung phương pháp Xuất phát từ điểm x1 tùy ý thuộc E, xây dựng dãy lặp {xk } sau: xk+1 = (I − λk F )Sˆk (xk ), k = 1, 2, 3, (2.10) ánh xạ Sˆk xác định Sˆk = s0 − sk k (si−1 − si )T i (2.11) i=1 T i xác định (2.3), λk ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện (L1), (L2) {si } dãy số thực giảm ngặt, hội tụ i → ∞ 2.2.2 Sự hội tụ mạnh phương pháp Định lí 2.2 Cho E khơng gian Banach phản xạ thực, lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ j-đơn điệu mạnh với hệ số η γ-giả co chặt với η + γ > Cho {Ti } họ vô hạn ánh xạ không giãn ∞ Fix(Ti ) = ∅ Giả sử λk ∈ (0, 1) thỏa mãn điều kiện E với C := i=1 (L1), (L2) {si } dãy số thực dương giảm ngặt, hội tụ Khi ấy, dãy {xk } xác định (2.10) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán (1.2) k → ∞ 2.3 2.3.1 Phương pháp lai ghép đường dốc dùng ánh xạ S k Nội dung phương pháp Xuất phát từ điểm x1 tùy ý thuộc E, dãy lặp {xk } thiết kế sau: xk+1 = (I − λk F )S k (xk ), k = 1, 2, 3, (2.16) k k k k S = αI + (1 − α)T với T = (si /˜ sk )Ti α ∈ (0, 1) số i=1 k thực cố định, si xác định (2.4), s˜k = si λk thỏa mãn điều i=1 kiện (L1) (L2) 11 2.3.2 Sự hội tụ mạnh phương pháp Định lí 2.3 Cho E khơng gian Banach phản xạ thực, lồi chặt có chuẩn khả vi Gâteaux Cho F : E → E ánh xạ j-đơn điệu mạnh với hệ số η γ-giả co chặt với η + γ > Cho {Ti } họ vô hạn ánh xạ không giãn ∞ Fix(Ti ) = ∅ Lấy giá trị cố định α ∈ (0, 1) Giả sử E với C := i=1 λk si tương ứng thỏa mãn điều kiện (L1), (L2) (2.4) Khi ấy, dãy {xk } xác định (2.16) hội tụ mạnh tới nghiệm x∗ toán (1.2) k → ∞ 2.4 Ứng dụng kết tính tốn số Các phương pháp lặp dạng chúng tơi áp dụng để tìm nghiệm tốn cực trị: ∞ Tìm x∗ ∈ C cho : ϕ(x∗ ) = ϕ(x), x∈C C := Ci , (2.22) i=1 ϕ phiếm hàm lồi, có đạo hàm ϕ (x) liên tục Lipschitz, đơn điệu mạnh không gian Rn Ci tập lồi đóng Rn cho Ci = {x ∈ Rn : ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn ≤ bi }, (2.23) n n (xj − aij )2 ≤ ri2 }, Ci = {x ∈ R : ri > 0, (2.24) j=1 aij , bi ∈ R (1 ≤ j ≤ n) Ví dụ 2.1 Xét tốn (2.22)-(2.23) trường hợp n = Hàm mục tiêu ϕ : R2 → R có dạng ϕ(x) := x = x21 + x22 với x = (x1 , x2 ) Các tập Ci cho Ci = {x ∈ R2 : ai1 x1 + ai2 x2 ≤ bi } với ai1 = 1/i, ai2 = −1 bi = với i ≥ Trong trường hợp này, dễ thấy x∗ = (0; 0) nghiệm toán Chọn điểm ban đầu x1 = (2.0; −3.0) dãy tham số thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lí 2.1 λk = 1/(k + 2), si = αi = 1/i(i + 1) 12 Sau 100 bước lặp ta nhận bảng kết quả: (k) k (k) x1 x2 k 2.000000000 -3.000000000 (k) (k) x1 x2 100 -0.000100272 -0.000040995 Bảng 2.1: Kết tính tốn cho phương pháp (2.1) Tiếp theo, áp dụng phương pháp (1.9) Iemoto cộng cho toán Ta chọn tham số thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lí 1.3 λk = 1/(k + 2), αi = 1/100 + 1/i(i + 1) ρ = 1/20 Kết tính tốn phương pháp (1.9) với điểm ban đầu số bước lặp: k (k) x1 (k) x2 k 2.000000000 -3.000000000 (k) (k) x1 x2 100 -0.335041279 -0.149090066 Bảng 2.2: Kết tính tốn cho phương pháp (1.9) với ρ = 1/20 Bây giờ, sử dụng phương pháp (1.10) Yao cộng Các tham số chọn thỏa mãn Định lí 1.4 λk = 1/(k + 2), αi = 1/100 + 1/i(i + 1) γk = 1/100 Kết tính tốn cho phương pháp (1.10) với điểm ban đầu số bước lặp cho bảng sau đây: k (k) x1 (k) x2 k 2.000000000 -3.000000000 (k) (k) x1 x2 100 0.000210945 -0.000385873 Bảng 2.3: Kết tính tốn cho phương pháp (1.10) với γk = 1/100 Trong ví dụ này, phương pháp (2.1) chúng tơi đề xuất có tốc độ hội tụ nhanh cần thời gian tính tốn phương pháp (1.9) phương pháp (1.10) 13 Ví dụ 2.2 Xét tốn (2.22)-(2.24) trường hợp n = Hàm mục tiêu ϕ : R2 → R xác định ϕ(x) = (x1 − 1)2 + (x2 − 2)2 với x = (x1 , x2 ) Các tập Ci cho Ci = {x ∈ R2 : (x1 −ai1 )2 +(x2 −ai2 )2 ≤ ri2 } với ri = 1, √ ai1 = 1+1/i ai2 = với i ≥ Trong trường hợp x∗ = (1.5; 0.75) nghiệm toán Áp dụng phương pháp (2.1) với F (x) = ∇ϕ(x) Ti = PCi Chọn điểm ban đầu x1 = (3.0; 3.0) dãy tham số tương tự Ví dụ 3.1 Áp dụng phương pháp (2.1), kết tính tốn bước lặp 46000 ta nhận nghiệm xấp xỉ (1.54118986; 0.88877202) Trong đó, bước lặp trên, áp dụng phương pháp (1.9) với ρ = 1/3 nghiệm xấp xỉ (1.552771131; 0.894458825), sử dụng phương pháp (1.10) với γk = 1/100 ta nhận nghiệm xấp xỉ (1.548117716; 0.903764265) Trong ví dụ này, thấy phương pháp (2.1) có tốc độ hội tụ nhanh cần thời gian tính tốn phương pháp (1.9) (1.10) Ví dụ 2.3 Ta xét tốn (2.22)-(2.23) trường hợp n = Hàm mục tiêu ϕ : R2 → R xác định ϕ(x) = xT Ax + bT x + c với x = (x1 , x2 ), −4 A= ,b = c = 13 −6 Các tập Ci cho Ci = {x ∈ R2 : ai1 x1 + ai2 x2 ≥ bi } với ai1 = 1, ai2 = i bi = với i ≥ Trong trường hợp x∗ = (2.0; 3.0) nghiệm tốn Áp dụng phương pháp (2.10) cho ví dụ với F (x) = ∇ϕ(x) Ti = PCi Chọn điểm ban đầu x1 = (−3.0; −3.0) dãy tham số thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lí 2.4 λk = 1/k + 2, si = 1/(i + 1)(i + 2) với i ≥ 0, αi = 1/i(i + 1) với i ≥ Sau 1000 vòng lặp ta có bảng kết tính tốn: k (k) x1 (k) x2 -3.00000000 -3.000000000 (k) (k) k x1 x2 1000 1.999975551 2.999969617 Bảng 2.4: Kết tính tốn cho phương pháp (2.10) Nếu sử dụng phương pháp (1.9) với điểm xuất phát chọn tham số lặp thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lí 1.3 λk = 1/(k + 2), αi = 14 1/100 + 1/i(i + 1) ρ = 1/20 kết tính tốn phương pháp bước lặp thứ 1000 x1000 = (−0.003777417; 0.004757678) Nghiệm sai số lớn so với nghiệm xác toán Nếu sử dụng (1.10) với điểm xuất phát chọn tham số lặp thỏa mãn điều kiện hội tụ Định lí 1.4 λk = 1/(k + 2), αi = 1/100 + 1/i(i + 1) γk = 1/2 kết số bước lặp x1000 = (1.999988011; 2.999986013) Nếu sử dụng phương pháp (2.1) với điểm xuất phát tham số lặp chọn tương tự phương pháp (2.10) kết số bước lặp x1000 = (1.999993006; 2.999991008) Trong ví dụ này, ta thấy tốc độ hội tụ thời gian tính toán phương pháp (2.1) (2.10) nhanh phương pháp (1.9) (1.10) Ví dụ 2.4 Sử dụng phương pháp (2.16) chúng tơi cho tốn (2.22)(2.23) với giả thiết tương tự Ví dụ 3.1 Với điểm ban đầu x1 = (2.0; −3.0), chọn α = 0.5 giá trị tham số lặp khác chọn giống phương pháp (2.1) Ví dụ 3.1 λk = 1/(k + 2) si = 1/i(i + 1) sau 100 bước lặp ta có k (k) x1 (k) x2 k 2.000000000 -3.000000000 (k) (k) x1 x2 100 -0.000078416 -0.000004588 Bảng 2.5: Kết tính tốn cho phương pháp (2.16) Tiếp theo, sử dụng phương pháp (2.16) toán (2.22)-(2.24) với giả thiết tương tự Ví dụ 3.2 Với điểm ban đầu x1 = (3.0; 3.0), chọn α = 0.5 giá trị tham số lặp khác chọn giống Khi ấy, bước lặp 45000 nghiệm xấp xỉ tốn (1.5034141156; 0.8682249753) Chúng ta thấy phương pháp (2.16) có tốc độ hội tụ nhanh phương pháp (2.1) tốn thời gian tính tốn phương pháp (2.1) ví dụ Đồng thời, thể tính vượt trội phương pháp khác trình bày 15 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ Đề tài nghiên cứu đề xuất phương pháp lặp xấp xỉ nghiệm cho lớp toán bất đẳng thức biến phân Đề tài đạt kết sau: - Đề xuất hai phương pháp chiếu lai ghép phương pháp (1.26), (1.27) hai phương pháp chiếu co hẹp (1.28) (1.29) để tìm điểm bất động chung họ hữu hạn ánh xạ gần không giãn không gian Hilbert thực Đồng thời áp dụng phương pháp xấp xỉ nghiệm cho toán hệ bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu - Đề xuất bốn phương pháp lặp dạng phương pháp (1.13), phương pháp (2.1), phương pháp (2.10) phương pháp (2.16) để xấp xỉ nghiệm cho lớp toán bất đẳng thức biến phân khơng gian Banach với tốn tử j-đơn điệu - Các phương pháp chúng tơi áp dụng cho tốn tìm điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn tìm khơng điểm chung họ vơ hạn đếm ánh xạ j-đơn điệu cực đại - Xây dựng bốn ví dụ số đơn giản minh họa cho thuật tốn đề xuất có tương quan với số phương pháp (Ví dụ 2.1-Ví dụ 2.4) Kiến nghị hướng nghiên cứu đề tài: (I) Nghiên cứu tiêu chuẩn dừng phương pháp lặp đề xuất từ có thêm sở để so sánh tốc độ hội tụ phương pháp lặp đề xuất so với kết số tác giả khác (II) Nghiên cứu giải toán bất đẳng thức biến phân nhiều bậc Kiến nghị khác: Tiếp tục nhận hỗ trợ từ cấp, ngành, đơn vị nhân lực vật lực để tiếp tục thực hướng nghiên cứu đề tài để ứng dụng kết nghiên cứu hiệu giải tốn có ý nghĩa thực tiễn ... toán hệ bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu - Đề xuất bốn phương pháp lặp dạng phương pháp (1.13), phương pháp (2.1), phương pháp (2.10) phương pháp (2.16) để xấp xỉ nghiệm cho lớp toán. .. thời áp dụng phương pháp xấp xỉ nghiệm cho toán hệ bất đẳng thức biến phân với toán tử đơn điệu - Xây dựng phương pháp lặp dạng xấp xỉ nghiệm cho lớp ix toán bất đẳng thức biến phân không gian... nghiên cứu "Phương pháp lặp giải bất đẳng thức biến phân với toán tử loại đơn điệu" 0.2 Mục tiêu đề tài Xây dựng phương pháp lặp dạng xấp xỉ nghiệm cho lớp toán nghiên cứu có cấu trúc đơn giản tính