Chun đề HÌNH HỌC KHƠNG GIAN CỔ ĐIỂN Chủ đề 7.5 MẶT CẦU – MẶT NÓN – MẶT TRỤ A KIẾN THỨC CƠ BẢN I MẶT NÓN Hình Hình Trong mặt phẳng ( P ) , cho đường thẳng d , ∆ cắt tại O và chúng tạo thành góc β với 1/ Mặt nón tròn xoay 00 < β < 900 Khi quay mp ( P ) xung quanh trục ∆ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1)  Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón  Đường thẳng ∆ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc β gọi là góc ở đỉnh 2/ Hình nón tròn xoay Cho ∆OIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2)  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón  Hình tròn tâm I , bán kính r = IM là đáy của hình nón 3/ Công thức diện tích và thể tích hình nón Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh là l thì có:  Diện tích xung quanh: S xq = π r.l Diện tích toàn phần hình nón:  Diện tích đáy (hình tròn): Sð = π r  Thể tích khối nón: Vnon = 1 Sð h = π r h 3 4/ Tính chất:  TH1: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp ( P ) qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp ( P ) cắt mặt nón theo đường sinh ⇒ Thiết diện là tam giác cân + Nếu mp ( P ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh Trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón  TH2: Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra: + Nếu mp (Q ) vuông góc với trục hình nón ⇒ giao tuyến là một đường tròn + Nếu mp (Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là nhánh của hypebol + Nếu mp (Q ) song song với đường sinh hình nón ⇒ giao tuyến là đường parabol II MẶT TRỤ 1/ Mặt trụ tròn xoay Trong mp ( P ) cho hai đường thẳng ∆ và l song song ∆ nhau, cách một khoảng r Khi quay mp ( P ) l r A quanh trục cố định ∆ thì đường thẳng l sinh một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt D là mặt trụ  Đường thẳng ∆ được gọi là trụC  Đường thẳng l được gọi là đường sinh  Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ 2/ Hình trụ tròn xoay B Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường r C thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ  Đường thẳng AB được gọi là trụC  Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh  Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ  Hình tròn tâm A , bán kính r = AD và hình tròn tâm B , bán kính r = BC được gọi là đáy của hình trụ  Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ 3/ Công thức tính diện tích và thể tích hình trụ Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r , đó:  Diện tích xung quanh của hình trụ: S xq = 2π rh  Diện tích toàn phần của hình trụ:  Thể tích khối trụ: Stp = S xq + 2.S Ðay = 2π rh + 2π r V = B.h = π r h 4/ Tính chất:  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp ( α ) vuông góc với trục ∆ thì ta được đường tròn có tâm ∆ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó  Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r ) bởi một mp ( α ) không vuông góc với trục ∆ cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 2r , đó ϕ là góc giữa trục ∆ và mp ( α ) với 00 < ϕ < 900 sin ϕ  Cho mp ( α ) song song với trục ∆ của mặt trụ tròn xoay và cách ∆ một khoảng d + Nếu d < r thì mp ( α ) cắt mặt trụ theo hai đường sinh ⇒ thiết diện là hình chữ nhật + Nếu d = r thì mp ( α ) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh + Nếu d > r thì mp ( α ) không cắt mặt trụ III MẶT CẦU 1/ Định nghĩa Tập hợp các điểm M không gian cách điểm O cố định một khoảng R gọi là mặt cầu tâm O , bán kính R , kí hiệu là: S ( O; R ) Khi đó S ( O; R ) = { M | OM = R} 2/ Vị trí tương đối một điểm đối với mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) và một điểm A bất kì, đó:  Nếu OA = R ⇔ A ∈ S ( O; R ) Khi đó OA gọi là bán kính mặt cầu Nếu OA và OB là hai bán uuu r uuu r kính cho OA = −OB thì đoạn thẳng AB gọi là một đường kính của B mặt cầu O  Nếu OA < R ⇔ A nằm mặt cầu A A  Nếu OA > R ⇔ A nằm ngoài mặt cầu ⇒ Khối cầu S ( O; R ) là tập hợp tất cả các điểm M cho OM ≤ R 3/ Vị trí tương đối mặt phẳng và mặt cầu A Cho mặt cầu S ( O; R ) và một mp ( P ) Gọi d là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến mp ( P ) và H là hình chiếu của O mp ( P ) ⇒ d = OH  Nếu d < R ⇔ mp ( P ) cắt mặt cầu S ( O; R ) theo giao tuyến là đường tròn nằm mp ( P ) có tâm là H và bán kính r = HM = R − d = R − OH (hình a)  Nếu d > R ⇔ mp ( P ) không cắt mặt cầu S ( O; R ) (hình b)  Nếu d = R ⇔ mp ( P ) có một điểm chung nhất Ta nói mặt cầu S ( O; R ) tiếp xúc mp ( P ) Do đó, điều kiện cần và đủ để mp ( P ) tiếp xúc với mặt cầu S ( O; R ) là d ( O , ( P ) ) = R (hình c) d Hình a Hình b d= Hình c 4/ Vị trí tương đối đường thẳng và mặt cầu Cho mặt cầu S ( O; R ) và một đường thẳng ∆ Gọi H là hình chiếu của O đường thẳng ∆ và d = OH là khoảng cách từ tâm O của mặt cầu đến đường thẳng ∆ Khi đó: d d=  Nếu d > R ⇔ ∆ không cắt mặt cầu S ( O; R )  Nếu d < R ⇔ ∆ cắt mặt cầu S ( O; R ) tại hai điểm phân biệt  Nếu d = R ⇔ ∆ và mặt cầu tiếp xúc (tại một điểm nhất) Do đó: điều kiện cần và đủ để đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu là d = d ( O, ∆ ) = R Định lí: Nếu điểm A nằm ngoài mặt cầu S ( O; R ) thì:  Qua A có vô số tiếp tuyến với mặt cầu S ( O; R )  Độ dài đoạn thẳng nối A với các tiếp điểm đều bằng  Tập hợp các điểm này là một đường tròn nằm mặt cầu S ( O; R ) 5/ Diện tích và thể tích mặt cầu • Diện tích mặt cầu: SC = 4π R • Thể tích mặt cầu: VC = π R3 B KỸ NĂNG CƠ BẢN I Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện 1/ Các khái niệm bản  Trục đa giác đáy: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy ⇒ Bất kì một điểm nào nằm trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó  Đường trung trực đoạn thẳng: là đường thẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó ⇒ Bất kì một điểm nào nằm đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng  Mặt trung trực đoạn thẳng: là mặt phẳng qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó ⇒ Bất kì một điểm nào nằm mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng 2/ Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp  Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp 3/ Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu một số hình đa diện bản a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương - Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương) ⇒ Tâm là I , là trung điểm của AC ' - Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương) AC ' A B A ⇒ Bán kính: R = D C I I A B ’ ’ C C D A ’ ’ A b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội ’tiếp đường tròn n O ' ' ' ' Xét hình lăng trụ đứng A1 A2 A3 An A1 A2 A3 An , đó có đáy A A A1 A2 A3 An và A1' A2' A3' An' nội tiếp đường tròn ( O ) và ( O ' ) Lúc đó, I mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có: A A ’n O ’1 A’ ’ A - Tâm: I với I là trung điểm của OO ' ' - Bán kính: R = IA1 = IA2 = = IAn c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối đỉnh còn lại dưới góc vuông · · - Hình chóp S ABC có SAC = SBC = 900 S S + Tâm: I là trung điểm của SC SC = IA = IB = IC + Bán kính: R = I I - Hình chóp S ABCD có A · · · SAC = SBC = SDC = 900 A C + Tâm: I là trung điểm của SC B B SC = IA = IB = IC = ID + Bán kính: R = d/ Hình chóp S Cho hình chóp đều S ABC - Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy ∆ - Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, M chẳng hạn mp ( SAO ) , ta vẽ đường trung trực của cạnh SA I là ∆ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu - Bán kính: D C A Ta có: ∆SMI : ∆SOA ⇒ SM SI = ⇒ Bán kính là: SO SA SM SA SA2 R = IS = = = IA = IB = IC = SO SO e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy D O B C Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy ( ABC ) và đáy ABC nội tiếp được đường tròn tâm O Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC được xác định sau: - Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với mp ( ABC ) tại O - Trong mp ( d , SA) , ta dựng đường trung trực ∆ của cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS = - Tìm bán kính: Ta có: MIOB là hình chữ nhật Xét ∆MAI vuông tại M có: S d M I ∆ R = AI = MI + MA = f/ Hình chóp kháC - Dựng trục ∆ của đáy  SA  AO +  ÷   - Dựng mặt phẳng trung trực ( α ) của một cạnh bên bất kì O A B C - (α) ∩ ∆ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp - Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán O O Hình vuông: O là giao điểm đường chéo O Hình chữ nhật: O là giao điểm của hai đường chéo O O ∆ vuông: O là trung điểm của cạnh huyền ∆ đều: O là giao điểm của đường trung tuyến (trọng tâm) ∆ thường: O là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh ∆ II KỸ THUẬT XÁC ĐỊNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHĨP Cho hình chóp S A1 A2 An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp) Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ta thực theo hai bước: Bước 1: Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Dựng ∆ : trục đường tròn ngoại tiếp đa S giác đáy Bước 2: Lập mặt phẳng trung trực (α ) của một cạnh bên α Lúc : I - Tâm O của mặt cầu: ∆ ∩ mp(α ) = { O} - Bán kính: R = SA ( = SO ) Tuỳ vào từng trường hợp Lưu ý: Kỹ xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vng góc với mặt phẳng đáy Tính chất: ∀M ∈ ∆ : MA = MB = MC Suy ra: MA = MB = MC ⇔ M ∈ ∆ Các bước xác định trục: O D A C H B ∆ M A H B C - Bước 1: Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy - Bước 2: Qua H dựng ∆ vuông góc với mặt phẳng đáy VD: Một số trường hợp đặc biệt A Tam giác vuông B Tam giác đều ∆ B C Tam giác bất kì ∆ H C ∆ B B C H A H C A A S Lưu ý: Kỹ tam giác đồng dạng M SO SM = ∆SMO đồng dạng với ∆SIA ⇒ SA SI O I A Nhận xét quan trọng:  MA = MB = MC ∃M , S :  ⇒ SM là trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  SA = SB = SC Ví dụ: Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Dạng 1: Chóp có điểm nhìn đoạn góc vng  SA ⊥ ( ABC ) Ví dụ: Cho S ABC :  Theo đề bài:  ∆ABC ⊥ B  BC ⊥ AB ( gt )   BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB Ta có B A nhìn SC mợt góc vng ⇒ nên B A nằm mợt mặt cầu có đường kính SC Gọi I trung điểm SC ⇒ I tâm MCNT khối chóp S ABC bán kính R = SI Dạng 2: Chóp có cạnh bên Ví dụ: Cho hình chóp tam giác S ABC + Vẽ SG ⊥ ( ABC ) G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC + Trên mặt phẳng ( SGC ) , vẽ đường trung trực của SC , đường cắt SG tại I I tâm mặt cầu ngoại tiếp S ABC bán kính R = IS SG SC SC SK SC = ⇒ R= = + Ta có ∆SGC : ∆SKI ( g − g ) ⇒ SK SI SG SG Dạng 3: Chóp có mặt bên vng góc với đáy Ví dụ: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông tại A Mặt bên ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ∆SAB Gọi H , M trung điểm của AB, AC Ta có M tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (do MA = MB = MC ) Dựng d1 trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ( d1 qua M song song SH ) Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆SAB d trục đường tròn ngoại tiếp ∆SAB , d cắt d1 tại I ⇒ I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABC ⇒ Bán kính R = SI Xét ∆SGI → SI = GI + SG C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MẶT CẦU Câu Cho một mặt cầu có diện tích là S , thể tích khối cầu đó là V Tính bán kính R của mặt cầu A R = 3V S B R = S 3V C R = 4V S D R = V 3S Câu Cho mặt cầu S (O; R ) và điểm A cố định với OA = d Qua A , kẻ đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M Công thức nào sau được dùng để tính độ dài đoạn thẳng AM ? A 2R − d B d − R2 C R − 2d D d + R2 Câu Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c Gọi ( S ) là mặt cầu qua đỉnh của hình hộp chữ nhật đó Tính diện tích của hình cầu ( S ) theo a , b, c A π ( a + b2 + c ) B 2π ( a + b2 + c ) π 2 D ( a + b + c ) C 4π ( a + b2 + c ) Câu Một hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a , b, c Gọi ( S ) là mặt cầu qua đỉnh của hình hộp chữ nhật đó Tâm của mặt cầu ( S ) là A một đỉnh bất kì của hình hộp chữ nhật B tâm của một mặt bên của hình hộp chữ nhật C trung điểm của một cạnh của hình hộp chữ nhật D tâm của hình hộp chữ nhật Câu Cho mặt cầu S (O; R ) và đường thẳng ∆ Biết khoảng cách từ O tới ∆ bằng d Đường thẳng ∆ tiếp xúc với S (O; R ) thỏa mãn điều kiện nào các điều kiện sau ? A d = R B d > R C d < R D d ≠ R Câu Cho đường tròn (C ) và điểm A nằm ngoài mặt phẳng chứa (C ) Có tất cả mặt cầu chứa đường tròn (C ) và qua A ? A B C D vô số Câu Cho hai điểm A, B phân biệt Tập hợp tâm những mặt cầu qua A và B là A mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB B đường thẳng trung trực của AB C mặt phẳng song song với đường thẳng AB D trung điểm của đoạn thẳng AB Câu Cho mặt cầu S (O; R ) và mặt phẳng (α ) Biết khoảng cách từ O tới (α ) bằng d Nếu d < R thì giao tuyến của mặt phẳng (α ) với mặt cầu S (O; R ) là đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu? A Rd B R2 + d C R2 − d D R − 2d Câu Từ điểm M nằm ngoài mặt cầu S (O; R ) có thể kẻ được tiếp tuyến với mặt cầu ? A Vô số B C D Câu 10 Một đường thẳng d thay đổi qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA M thuộc mặt phẳng nào những mặt phẳng sau đây? A Mặt phẳng qua H và vuông góc với OA B Mặt phẳng trung trực của OA C Mặt phẳng qua O và vuông góc với AM D Mặt phẳng qua A và vuông góc với OM Câu 11 Một đường thẳng thay đổi d qua A và tiếp xúc với mặt cầu S (O; R ) tại M Gọi H là hình chiếu của M lên đường thẳng OA Độ dài đoạn thẳng MH tính theo R là: A R B R C 2R D 3R Câu 12 Thể tích của một khối cầu là 113 cm thì bán kính nó là ? (lấy π ≈ A cm B cm C cm 22 ) D 3cm Câu 13 Khinh khí cầu của nhà Mông–gôn–fie (Montgolfier) (người Pháp) phát minh khinh khí cầu dùng khí nóng Coi khinh khí cầu này là một mặt cầu có đường kính 11m thì diện tích của mặt khinh khí cầu là bao nhiêu? (lấy π ≈ A 379, 94 (m ) 22 và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) B 697,19 (m ) C 190,14 cm D 95, 07 (m ) Câu 14 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có độ dài cạnh là 10 cm Gọi O là tâm mặt cầu qua đỉnh của hình lập phương Khi đó, diện tích S của mặt cầu và thể tích V của hình cầu là: A S = 150π (cm );V = 125 (cm ) B S = 100 3π (cm );V = 500 (cm ) C S = 300π (cm );V = 500 (cm ) D S = 250π (cm );V = 500 (cm ) Câu 15 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu Thể tích của khối cầu tương ứng là: A π a3 54 B 4π a C 4π a 3 27 D 4π a Câu 16 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a , chiều cao AH Quay đường tròn (C ) xung quanh trục AH , ta được một mặt cầu Thể tích của khối cầu tương ứng là: A 4π a 3 27 B 4π a C π a3 54 D 4π a µ = 300 Quay tam giác vuông này quanh Câu 17 Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2a và B trục AB , ta được một hình nón đỉnh B Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón đó và S2 là diện tích mặt cầu có đường kính AB Khi đó, tỉ số A S1 = S2 B S1 = S2 C S1 là: S2 S1 = S2 D S1 = S2 Câu 36 Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a 2a 2a 2a 14 2a B C D 7  Hướng dẫn giải: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi H là tâm đáy thì SH là trục của hình vuông ABCD Gọi M là trung điểm của SD , mp A ( SDH ) kẻ trung trực của đoạn SD cắt SH tại O thì OS = OA = OB = OC = OD nên O chính là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bán kính mặt cầu là R = SO Ta có SO SM SD.SM SD = ⇒ R = SO = = SD SH SH SH a a 7a ⇒ SH = Với SH = SD − HD = 4a − = 2 ∆SMO ∽ ∆SHD ⇒ Vậy R = SD 2a 14 = SH Câu 37 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 5π 15π 3π B V = C V = 18 27  Hướng dẫn giải: Gọi M là trung điểm của AB thì SM ⊥ AB (vì tam giác A V = SAB đều) Mặt khác ( SAB ) ⊥ ( ABC ) D V = 15π 54 nên SM ⊥ ( ABC ) Tương tự: CM ⊥ ( SAB ) Gọi G và K lần lượt là tâm của các tam giác ABC và SAB Trong mặt phẳng ( SMC ) , kẻ đường thẳng Gx //SM và kẻ đường thẳng Ky //SM Gọi O = Gx ∩ Ky , thì ta có: OG ⊥ ( SAB )  OK ⊥ ( ABC ) Suy OG , OK lần lượt là trục của tam giác ABC và SAB Do đó ta có: OA = OB = OC = OD = OS hay O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Tứ giác OKMN là hình chữ nhật có MK = MG = nên OKMN là hình vuông Do đó OK = Mặt khác SK = OS = OK + SK = 3 Xét tam giác SKO vuông tại K có 3 15 + = 36 Suy bán kính mặt cầu cần tìm là R = OS = 15 Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: 4  15  15π V = π R3 = π  ÷ = 3   54 Câu 38 Một hình lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đó 4a a 39 a 12 2a B C D 6  Hướng dẫn giải: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A ' B ' C ' Gọi G, G ' lần lượt là A tâm của hai đáy ABC và A ' B ' C ' Ta có GG ' chính là trục của các tam giác ABC và A ' B ' C ' Gọi O là trung điểm của GG ' thì O cách đều đỉnh của hình lăng trụ nên là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Bán kính mặt cầu là R = OA OAG G , ta có: Xét tam giác vuông tại OA = AG + GO = a2 2a 2a Vậy bán kính mặt cầu cần tìm là R = + a2 = 3 Câu 39 Cho hình trụ có bán kính đáy là R , thiết diện qua trục là một hình vuông Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ cho theo R A 4R B 2R C 2R D 8R  Hướng dẫn giải: Giả sử ABCD A ' B ' C ' D ' là lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ thì BDD ' B ' là thiết diện qua trục của hình trụ BD = BB ' = R và cạnh đáy hình lăng trụ là R Do đó thể tích khối lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' là ( ) V = R 2 R = R Câu 40 Cho hình trụ có bán kính đáy là cm, một mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A ' B ' mà AB = A ' B ' = cm (hình vẽ) Biết diện tích tứ giác ABB ' A ' bằng 60 cm2 Tính chiều cao của hình trụ cho A cm B cm C cm D cm  Hướng dẫn giải: Dựng đường sinh B ' C và A ' D , ta có tứ giác A ' B ' CD là hình chữ nhật nên CD //A ' B ' và CD = A ' B ' = cm Vậy CD //AB và CD = AB = cm Do đó tứ giác ABCD là hình bình hành và nội tiếp được nên là hình chữ nhật Từ đó AB ⊥ BC , mặt khác AB ⊥ B 'C nên AB ⊥ ( BCB ') ⇒ AB ⊥ BB ' Vậy ABB ' C ' là hình bình hành có một góc vuông nên là hình chữ nhật Ta có S ABB ' A ' = AB.BB ' nên BB ' = 60 = 10 cm Xét tam giác BB ' C B ' C = BB '2 − BC vuông C tại có mà BC = AC − AB = 64 − 36 = 28 nên B ' C = 100 − 28 = 72 ⇒ B ' C = cm Vậy chiều cao hình trụ là cm Câu 41 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ( O; R ) và ( O '; R ) Tồn tại dây cung AB thuộc đường tròn (O ) cho ∆O ' AB là tam giác đều và mặt phẳng (O ' AB ) hợp với mặt phẳng chứa đường tròn (O ) một góc 600 Khi đó, diện tích xung quanh S xq hình trụ và thể tích V của khối trụ tương ứng là: 4π R 2π R 6π R 3π R B ;V = S xq = ;V = 7 7 3π R 2π R 3π R π R3 ;V = C S xq = D S xq = ;V = 7 7  Hướng dẫn giải: · * Ta có: OO ' ⊥ ( OAB ) Gọi H là trung điểm của AB thì OH ⊥ AB, O ' H ⊥ AB ⇒ OHO ' = 600 A S xq = * Giả OH = x sử Khi đó: 0< x< R và OO ' = x tan 600 = x * Xét ∆OAH , ta có: AH = R − x * Vì ∆O ' AB đều nên: O ' A = AB = AH = R − x ( 1) * Mặt khác, ∆AOO ' vuông tại O nên: AO '2 = OO '2 + R = x + R ( ) * Từ ( 1) , ( ) ⇒ 4( R − x 2 ) 3R = 3x + R ⇒ x = 2 3R Vậy, nếu kí hiệu S là diện tích xung quanh và V là thể tích của hình trụ thì, ta có: ⇒ h = OO ' = x = * 6π R 3π R S = 2π Rh = ; V =πR h = 7 Câu 42 Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm đường tròn đáy thứ hai của hình trụ Mặt phẳng ( ABCD ) tạo với đáy hình trụ góc 450 Diện tích xung quanh S xq hình trụ và thể tích V của khối trụ là: A S xq = π a2 3 2a ;V = B S xq = π a2 2a ;V = 32 π a2 3 3a π a2 3 2a D ;V = S xq = ;V = 16 16  Hướng dẫn giải: * Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của AB và CD Khi đó: OM ⊥ AB và O ' N ⊥ DC Giả sử I là giao điểm của MN và OO ' Đặt R = OA, h = OO ' * Trong ∆IOM vuông cân tại I nên: OM = OI = IM h a ⇒ = ⇔h= a 2 2 * Ta có: R = OA2 + AM + MO C S xq = 2 a a 3a a a 2 = ÷ + + = ÷ = 8 2   ⇒ S xq = 2π Rh = 2π a a π a2 3a a 2a = ; V = π R2h = π = 16 2 Câu 43 Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh cm với AB là đường kính · của đường tròn đáy tâm O Gọi M là điểm thuộc cung »AB cho ABM = 600 Khi đó, thể tích V của khối tứ diện ACDM là: A V = (cm ) B V = (cm ) C V = (cm )  Hướng dẫn giải: Ta có: BM ⊥ AD, BM ⊥ AM ⇒ BM ⊥ ( ADM ) BC //AD ⇒ BC //( ADM ) ⇒ d [C , ( ADM )] = d [ B, ( ADM )] = BM 1 ⇒ V = BM S ∆ADM = BM AM AD (1) ∆OBM Vì đều D V = 3(cm ) ⇒ BM = ⇒ AM = AB − BM = (cm) (1) ⇒ V = 3.3.2 = 3(cm ) Câu 44 Một hình nón có chiều cao h = 20 cm, bán kính đáy r = 25 cm Một thiết diện qua đỉnh có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm Tính diện tích thiết diện đó A 450 cm2  Hướng dẫn giải: B 500 cm2 C 500 cm2 D 125 34 cm2 Tính diện tích thiết diện S SAB 1 + Ta có S∆SAB = AB.SI = IA.SI = IA.SI 2 + Xét tam giác vuông SOI , ta có: 1 1 1 = + ⇒ = + ⇒ OI = 15 (cm) 2 OH OI OS 12 OI 20 + Mặt khác, xét tam giác vuông SOI thì: OI OS 20.15 OI OS = SI OH ⇒ SI = = = 25 (cm) OH 12 + Trong tam giác vuông AIO , ta có: IA = OA2 − OI = 252 − 152 = 20 (cm) + Từ đó suy ra: S∆SAB = IA.SI = 20.25 = 500 (cm2) Câu 45 Cho hình lập phương ABCD A’B’C ’D’ có cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh S xq thể tích V của khới nón có đỉnh tâm O của hình vng ABCD đáy hình tròn nợi tiếp hình vng A’B’C’D’ π a2 π a3 ;V = 12 π a2 π a3 C S xq = ;V =  Hướng dẫn giải: π a2 π a3 ;V = 4 π a3 D S xq = π a 5;V = A S xq = B S xq = a nón Khối nón có chiều cao bằng a và bán kính đáy r = Diện tích xung quanh khối là π a2 a (đvdt) S xq = π rl = π a a +  ÷ = 2 Thể tích của khối nón là: 1 a π a3 V = Bh = π r h = π  ÷ a = (đvtt) 3 2 12 Câu 46 Thiết diện qua trục của hình nón đỉnh S là một tam giác vuông cân có cạnh cạnh huyền bằng a Kẻ dây cung BC của đường tròn đáy hình nón, cho mp ( SBC ) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc 600 Diện tích tam giác SBC tính theo a là: a2 a2 a2 a2 B C D  Hướng dẫn giải: + Do thiết diện qua trục là tam giác ∆SAB vuông cân tại đỉnh S , có cạnh huyền AB = a A nên suy bán kính đáy hình nón là r = a ; đường sinh hình nón l = SA = SB = a ; đường a + Gọi I là trung điểm BC thì OI ⊥ BC (1)  BC ⊥ OI ⇒ BC ⊥ ( SOI ) ⇒ BC ⊥ SI (2) Ta lại có:   BC ⊥ SO Gọi (α ) là mặt phẳng chứa đáy thì (α ) ∩ (SBC) = BC (3) cao hình nón h = SO = · Từ (1), (2) và (3) suy (·(α ), (SBC) ) = (·SI , OI ) = SIO = 600 SOI O , ta có: Xét tam giác vuông tại SO SI = = · sin SIO a 2 =a 3 2 Xét tam giác SIB ⇒ BC = IB = 2a vuông tại Diện tích thiết diện SBC là: S∆SBC = I , ta có: a 6 a IB = SB − SI = a −  ÷ =   2 1 a 2a a 2 (đvdt) SI BC = = 2 3 Câu 47 Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S , O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 600 Gọi I là một điểm đường cao SO của hình nón cho tỉ số SI = Khi đó, diện tích của thiết diện qua I và vuông góc với trục OI của hình nón là: π a2 π a2 π a2 π a2 A B C D 18 36 18  Hướng dẫn giải: Gọi A là một điểm thuộc đường tròn đáy hình nón Thiết diện qua I và vuông góc với trục của hình nón là một hình tròn có bán kính hình vẽ Gọi diện tích này là Std Theo giả thiết ta có đường sinh · SA = a và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là SAO = 600 Trong tam giác vuông SAO có OA = SA cos 600 = a Ta có ∆SIB ∽ ∆SOA ⇒ SI IB SI 1a a = ⇒ IB = OA = = SO OA SO a 2 π a2 ⇒ Std = π IB = π  ÷ = 18   Câu 48 Cho hình nón đỉnh S với đáy là đường tròn tâm O bán kính R Gọi I là một điểm nằm mặt phẳng đáy cho OI = R Giả sử A là điểm nằm đường tròn (O; R ) cho OA ⊥ OI Biết rằng tam giác SAI vuông cân tại S Khi đó, diện tích xung quanh S xq của hình nón và thể tích V của khối nón là: π R3 2π R A S xq = π R 2;V = B S xq = 2π R ;V = 3 2π R π R2 π R3 C S xq = D S xq = π R ;V = ;V =  Hướng dẫn giải: + Xét tam giác AOI vuông tại O , có: IA2 = OA2 + OI = R + 3R = R ⇒ IA = R + Do tam giác SAI vuông cân tại S nên ta có: IA R IA = SA ⇒ SA = = =R 2 + Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có: SO = SA2 − OA2 = R − R = R + Diện tích xung quanh của hình nón là: S xq = π Rl = π R.R = π R 2 (đvdt) + Thể tích của khối nón tương ứng là: V = 1 π R3 (đvtt) Bh = π R h = π R R = 3 3 Câu 49 Một hình nón đỉnh S có bán kính đáy bằng a , góc ở đỉnh là 1200 Thiết diện qua đỉnh của hình nón là một tam giác Diện tích lớn nhất Smax của thiết điện đó là ? A Smax = 2a B Smax = a 2 C Smax = 4a D Smax = 9a  Hướng dẫn giải: Giả sử O là tâm đáy và AB là một đường kính của đường tròn đáy hình nón Thiết diện qua đỉnh của hình nón là tam giác cân SAM Theo giả thiết hình nón có bán kính đáy · R = OA = a cm , ·ASB = 1200 nên ASO = 600 Xét tam giác SOA vuông tại O , ta có: OA OA ⇒ SA = = 2a SA sin 600 1 · · · = 2a.2a.sin ASM = 2a sin ASM Diện tích thiết diện là: S∆SAM = SA.SM sin ASM 2 · Do < sin ASM ≤ nên S∆SAM lớn nhất và chỉ sin 600 = · sin ASM = hay tam giác ASM vuông cân tại đỉnh S (vì ·ASB = 1200 > 900 nên tồn tại tam giác ASM thỏa mãn) Vậy diện tích thiết diện lớn nhất là: Smax = 2a (đvtt) VẬN DỤNG CAO Câu 50 Bán kính r của mặt cầu nội tiếp tứ diện đều cạnh a là a a a B r = C r = 12  Hướng dẫn giải: Gọi O là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện đều ABCD cạnh a a3 Ta tính được thể tích khối tứ diện đều là VABCD = 12 Mặt khác, ta lại có: A r = D r = a VABCD = VO ABC + VO ACD + VO BCD + VO ABD (*) Mỗi hình tứ diện đỉnh O đều có chiều cao r và diện tích đáy là a2 Do đó, từ (*) ta suy ra: VABCD = a3 a2 a = r ⇒r= 12 12 Câu 51 Chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình cầu có bán kính R là A R B R C 4R D 2R  Hướng dẫn giải: Giả sử 2x là chiều cao hình trụ (0 < x < R ) (xem hình vẽ) Bán kính của khối trụ là r = R − x Thể tích khối trụ là: V = π ( R − x )2 x Xét hàm số V ( x ) = π ( R − x )2 x, < x < R Ta V '( x ) = 2π ( R − 3x ) = ⇔ x = có R 3 Bảng biến thiên: x + V '( x ) R 3 R − 4π R 3 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất chiều cao của khối trụ là Vmax = 2R ; 4π R 3 Câu 52 Cho hình nón có chiều cao h Tính chiều cao x của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp hình nón theo h A x = h B x = h C x = 2h D x = h  Hướng dẫn giải: Gọi r, R theo thứ tự là bán kính đáy hình nón và khối trụ cần tìm O là đỉnh của hình nón, I là tâm của đáy hình nón, J là tâm của đáy hình trụ và khác I OA là một đường sinh của hình nón, B là điểm chung của OA với khối trụ Ta có: Thể tích khối trụ là: V = π xR = π x r h−x R = ⇒ r = (h − x ) R h h R2 (h − x )2 h R2 Xét hàm số V ( x ) = π x ( h − x ) , < x < h h R h Ta có V '( x ) = π ( h − x )( h − x ) = ⇔ x = hay x = h h Bảng biến thiên: x + V '( x ) h h − 4π R h 27 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn nhất chiều cao của khối trụ là x = Vmax = h ; 4π R h 27 Câu 53 Cho hình nón đỉnh O , chiều cao là h Một khối nón khác có đỉnh là tâm của đáy và có đáy là là một thiết diện song song với đáy của hình nón đỉnh O cho (hình vẽ) Tính chiều cao x của khối nón này để thể tích của nó lớn nhất, biết < x < h A x = h B x = h C x = 2h D x = h  Hướng dẫn giải: JB OJ h − x R (h − x ) = = ⇒ JB = Từ hình vẽ ta có IA OI h h R2 Thể tích khối nón cần tìm là: V = π ( h − x )2 x h R Xét hàm số V ( x ) = π ( h − x ) x , < x < h h R2 h Ta có V '( x ) = π ( h − x )( h − x ) = ⇔ x = h hay x = h Bảng biến thiên: x h 0 + V '( x ) h − 4π R h 81 V ( x) 0 Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối nón cần tìm lớn nhất chiều cao của nó là x = Vmax h ; 4π R h = 81 Câu 54 Cho một hình nón có bán kính đáy là R , chiều cao là 2R , ngoại tiếp một hình cầu S (O; r ) Khi đó, thể tích của khối trụ ngoại tiếp hình cầu S (O; r ) là A ( 16π R ) −1 4π R B 1+ C 16π R (1 + 5) 4π R D −1  Hướng dẫn giải: Giả sử hình nón có đỉnh O và đường kính đáy là AB Ta có OA = OB = R + (2 R ) = R Tam giác OAB có diện tích là S = R , chu vi là p = R (1 + 5) Do đó bán kính khối cầu S (O; r ) là r= S 2R = p 1+ Thể tích khối trụ cần tìm là: Vtru = π r h = 2π r = 16π R (1+ 5) Câu 55 Trong số các hình trụ có diện tích toàn phần đều bằng S thì bán kính R và chiều cao h của khối trụ có thể tích lớn nhất là: A R = S S ;h = 2π 2π B R = S ;h = 4π S 4π 2S 2S S S D R = ;h = ;h = 3π 3π 6π 6π  Hướng dẫn giải: Gọi thể tích khối trụ là V , diện tích toàn phần của hình trụ là S C R = Ta có: S = S2 day + S xq = 2π R + 2π Rh Từ đó suy ra: S S V V V Cauchy V = R + Rh ⇔ = R2 + = R2 + + 2π 2π πR 2π R 2π R ≥ 4π hay V2  S  S3 27 ≤  ÷ ⇔V ≤ 4π 54π  2π  Vậy Vmax = V π R h Rh S3 Dấu “=” xảy ⇔ R = hay h = R = = 2π R 2π R 54π S 6π Khi đó S = 6π R ⇒ R = và h = R = S 6π BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ RÈN LUYỆN (CÓ HƯỚNG DẪN) Câu 56 Thiết diện qua trục của một hình nón tròn xoay là một tam giác vuông cân có điện tích bằng 2a Khi đó thể tích của khối nón bằng: A 2π a 3 B π a3 C 2π a 3 D 2π a 3 Hướng dẫn giải l = 2a ⇒ l = 2a Dùng định lý Pitago cho tam giác thiết diện ta được đường kính đường tròn đáy d = 2a ⇒ r = a 1 2π a Vậy V = Bh = π r l − r = 3 Ta có: S = Câu 57 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy lần lượt ngoại tiếp các hình vuông ABDC và A'B'C'D' Khi đó S bằng: A S = π a B S = π a 2 C S = π a2 2 D S = π a2 Hướng dẫn giải a ⇒ +) Đáy là hình vuông cạnh đường chéo bằng AC = a ⇒ bán kính đường tròn ngoại a +) Đường sinh l bằng cạnh của hình lập phương ⇒ l = a +) Vậy S xq = 2π rl = π a ⇒ Chọn B tiếp đáy r = Câu 58 Một hình lập phương có diện tích mặt chéo bằng a 2 Gọi V là thể tích khối cầu và S là diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương nói Khi đó tích S V bằng: A S V = 3π a B S V = 3π a 2 C S V = 3π a Hướng dẫn giải +) Đặt AB = x ⇒ BD = x 2 D S V = 6π a +) Ta có: S BDD ' B ' = a 2 = x x ⇒ x = a ⇒ BD ' = a ⇒ R = a π a3 và S = 4π R = 3π a π R3 = 3 3π a ⇒ +) Vậy SV = Chọn A +) Khi đó ta có: V = Câu 59 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, BC = a 3, AA ' = a Gọi V là thể tích hình nón sinh quay tam giác AA'C quanh trục AA' Khi đó V bằng: A V = 2π a B V = π a 3 C V = 4π a 3 D V = 4π a Hướng dẫn giải Ta có: r = AC = AB + BC = 2a 1 4π a V = Bh = π r AA ' = Vậy: 3 2 Câu 60 Một hình trụ có diện tích xung quanh bằng 4π và có thiết diện qua trục là một hình vuông Khi đó thể tích khối trụ tương ứng bằng: A 2π B 4π C π D π Hướng dẫn giải +) Theo đề ta có: S xq = 4π ⇒ 2π rl = 4π ⇒ rl = (*) l +) Thiết diện qua trục là hình vuông ⇒ r = Thay vào (*) ta được: l = ⇒ r = 2 +) Vậy V = π r l = 2π ⇒ Chọn A Câu 61 Tỉ số thể tích của khối lập phương và khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó bằng: A 3π B π C 3π D 3π Hướng dẫn giải +) Thể tích khối lập phương V = a +) Đăt AB = a ⇒ AC = a ⇒ A ' C = a ⇒ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối lập phương là a π a3 (**) ⇒ VCâu = π R = Vlâp phuong = ⇒ Chọn D Từ (*) và (**) suy ra: VCAU 3π R= Câu 62 Một hình nón có đường sinh hợp với đáy một góc α và độ dài đường sinh bằng l Khi đó diện tích toàn phần của hình nón bằng: α α 2 C Stp = π l cos α cos 2 A Stp = 2π l cos α cos 2 B Stp = 2π l cos α sin α 2 α D Stp = π l cos α cos 2 Hướng dẫn giải +) Ta có: r = cos α ⇒ r = l cos α l +) STP = S XQĐ+ S = π rl + π r = π l cos α + π l cos α = π l cos α (1 + cos α ) = 2π l cos α cos α +) Vậy chọn A Câu 63 Cho lăng trụ đều có tất cả các cạnh đều bằng A Gọi V là thể tích hình trụ ngoại tiếp khối lăng trụ nói Khi đó V bằng: A V = π a3 3 B V = π a3 C V = 3π a 3 D V = π a3 Hướng dẫn giải +) Gọi I, G lần lượt là trung điểm BC và trọng tâm tam giác ABC a a a +) Tam giác ABC đều ⇒ AI = ⇒ AG = = =r 3 +) l = a π a3 +) Vậy V = π r l = ⇒ Chọn B Câu 64 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng a Khẳng định nào sau sai? A Không có mặt cầu ngoại tiếp S.ABC B Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trọng tâm tam giác ABC C Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có tâm là trực tâm tam giác ABC a D Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có bán kính R = Câu 65 Một hình nón có bán kính đường tròn đáy bằng A Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác có góc ở đỉnh bằng 1200 Gọi V là thể tích khối nón Khi đó V bằng: A V = π a3 B V = +) r=a π a3 3 C V = π a3 D V = π a3 Hướng dẫn giải a a = tan 60 3 1 πa +) V = S Đ h = π r h = ⇒ Chọn C 3 +) Góc ở đỉnh = 1200 ⇒ h = Câu 66 Trong không gian cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi I và H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Khi quay hình vuông đó xung quanh trục IH ta được một hình trụ tròn xoay.Khi đó thể tích khối trụ tương ứng bằng: A π a3 B π a3 12 C 4π a 3 D π a3 Hướng dẫn giải a +) Ta có: r = l = a π a3 +) V = B.h = π r l = Câu 67 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B với AB = 3a, BC = 4a, SA ⊥ ( ABC ) , cạnh bên SC tạo với đáy góc 600 Khi đó thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC là: A V = π a 3 B V = 50π a 3 C V = 5π a 3 D V = 500π a Hướng dẫn giải +) Ta có: ∆SAC vuông tại S(*)  BC ⊥ AB ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB ⇒ ∆SBC vuông tại B(**) +)   BC ⊥ SA +) Từ (*) và (**) ⇒ Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC là trung điểm đoạn SC AC SC 2 = cos 600 = ⇒ SC = AC = 10a ⇒ R = = 5a +) Ta có: AC = AB + BC = 5a Mà SC 2 500π a 3 +) Vậy V = π R = ⇒ Chọn D 3 Câu 68 Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A′ B′ C′ D′ có cạnh đáy bằng a , chiều cao 2a Biết rằng O′ là tâm của A′ B′ C′ D′ và (C) là đường tròn nội tiếp đáy ABCD Diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh O′ và đáy (C) A S xq = 3π a 2 B S xq = 5π a 2 C S xq = π a2 D S xq = 2π a 2 Hướng dẫn giải +) ABCD.A'B'C'D' là lăng trụ tứ giác đều ⇒ đáy ABCD là hình vuông Khi đó bán kính đường AC a = 2 tròn ngoại tiếp đáy là r = +) Đường sinh l = O ' A = +) Vậy S XQ = π rl = π AA '2 + A ' O = 4a + a 3a = 2 a 3a 3π a = ⇒ Chọn A 2 Câu 69 Một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn nội tiếp hai mặt của một hình lập phương có cạnh bằng Thể tích của khối trụ đó bằng: A π B π C π D π Hướng dẫn giải +) Ta có:Đường tròn đáy nội tiếp hình vuông cạnh bằng ⇒ bán kính r = +) Độ dài đường sinh = độ dài cạnh của hình lập phương ⇒ l = π 1 +) Vậy V = π r l = π  ÷ = ⇒ Chọn A 2 Câu 70 Cho tứ diện S.ABC có đường thẳng SA, SB, SC vuông góc với từng đôi một, SA = 3, SB = 4, SC = Diện tích mặt cầu ngoại tiếp S.ABC bằng: A 25π B 50π C 75π D 100π Hướng dẫn giải +) Tam giác SBC vuông tại S nên từ trung điểm I của cạnh BC ta vẽ đường thẳng (d) vuông góc với (SBC) (tức là d // SA), đó d chính là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC +) Trong mp được xác định bởi đường thẳng song song d và SA ta dựng đường trung trực của SA cắt d tại J Khi đó J chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp SABC ⇒ SJ là bán kính SA BC + SA2 +) SJ = SI +  ÷ = =   50 = 50π ⇒ Chọn B + S = 4π R = 4π Câu 71 Thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ có chiều cao h và bán kính đường tròn đáy R bằng: A 2R h B R h C Hướng dẫn giải = S ABCD AA ' = AB OO ' = AB h (*) 2R h D +) Ta có: VLTRU +) Tính AB: Ta có tam giác OAB vuông cân tại O nên AB = OA = R + Thay vào (*) ta được: V = R h R2h ... 13 14 15 16 17 18 19 20 A B D A C C A A D A B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55... hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 10 (cm) A 48 π (cm ) B 24 (cm ) C 72π (cm ) D 18π 347 2π (cm ) Câu 32 Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = và AD = Gọi M,... trục AH , ta được một mặt cầu Thể tích của khối cầu tương ứng là: A π a3 54 B 4 a C 4 a 3 27 D 4 a Câu 16 Cho đường tròn (C ) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng