CHỦ ĐỀ 7.1 QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC CƠ BẢN - Khái niệm mặt phẳng cách xác định mặt phẳng Khái niệm hình chóp, tứ diện, hình lăng trụ, loại lăng trụ - Vị trí tương đối đường với đường, đường với mặt, mặt với mặt - Quan hệ song song yếu tố: hai đường thẳng song song, đường thẳng song song mặt phẳng, hai mặt phẳng song song - Nắm cách biểu diễn hình khơng gian qua phép chiếu song song B KỸ NĂNG CƠ BẢN - Xác định giao điểm đường với mặt, giao tuyến hai mặt - Chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, mặt phẳng song song với mặt phẳng - Biết cách xác định thiết diện tạo mặt phẳng hình khơng gian C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I - BÀI TẬP CƠ BẢN Câu Câu Câu Câu Mệnh đề sau đúng A Nếu mặt phẳng cắt hai đường thẳng song song mặt phẳng sẽ cắt đường thẳng còn lại B Hai mặt phẳng lần lượt qua hai đường thẳng song song cắt theo giao tuyến song song với hai đường thẳng C Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song đường thẳng sẽ cắt đường thẳng còn lại D Hai mặt phẳng có điểm chung cắt theo giao tuyến qua điểm chung Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng: A Tồn mặt phẳng qua điểm đường thẳng cho trước B Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung C Tồn mặt phẳng qua điểm phân biệt D Hai mặt phẳng có điểm chung chúng còn có vơ số điểm chung khác Ba điểm phân biệt thuộc hai mặt phẳng phân biệt A Cùng thuộc đường thẳng B Cùng thuộc đường Elip C Cùng thuộc đường tròn D Cùng thuộc mặt cầu Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng ? A Hai đường thẳng phân biệt không chéo cắt B Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng khơng chéo C Hai đường thẳng phân biệt khơng song song chéo D Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác chéo Câu Câu Câu Câu Câu  a // ( α )  Cho  a ⊂ ( β ) đó:  d = ( α ) ∩ ( β ) A a song song với d B a cắt d C a trùng d D a d chéo Cho a ⊂ ( P ) ; b ⊂ ( Q ) Mệnh đề sau đúng: A a b chéo B a / / b ⇒ ( P ) / / ( Q ) C ( P ) / / ( Q ) ⇒ a / / b D ( P ) / / ( Q ) ⇒ a / / ( Q ) , b / / ( P ) Trong sau mệnh đề đúng? A Hình chiếu song song hai đường thẳng cắt song song với B Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với C Hình chiếu song song hai đường thẳng chéo song song với D Các mệnh đề đều sai Trong không gian hai đường thẳng không chéo Chọn khẳng định khẳng định sau : A Trùng B Song song với C Đồng phẳng D Cắt Cho đường thẳng a mặt phẳng ( P ) song song với Khi số đường thẳng phân biệt nằm ( P ) song song với a là: A B.Vô số C D Câu 10 Cho mặt phẳng ( R ) cắt hai mặt phẳng song song ( P ) (Q) theo hai giao tuyến a b Chọn mệnh đề mệnh đề sau: A a b song song B a b cắt C a b trùng D a b song song trùng Câu 11 Cho hai mặt phẳng ( P ) (Q) song song với Mệnh đề sau sai : A Nếu đường thẳng ∆ cắt ( P ) ∆ cắt (Q) B Nếu đường thẳng a ⊂ (Q) a // ( P) C Mọi đường thẳng qua điểm A ∈ ( P) song song với (Q) đều nằm ( P ) D d ⊂ ( P ) d ′ ⊂ (Q) d // d ' Câu 12 Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng khơng có điểm chung song song B Hai đường thẳng phân biệt khơng cắt chéo C Hai đường thẳng phân biệt nằm mặt phẳng khơng chéo D Hai đường thẳng phân biệt lần lượt thuộc hai mặt phẳng khác chéo Câu 13 Cho tứ diện ABCD Gọi M , N lần lượt trung điểm cạnh AD BC , G trọng tâm tam giác BCD Khi giao điểm MG mặt phẳng ( ABC ) là: A Điểm N B Điểm C C Giao điểm đường thẳng MG đường thẳng BC D Giao điểm đường thẳng MG đường thẳng AN Câu 14 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD hình bình hành G trọng tâm tam giác SAD Mặt phẳng ( GBC ) cắt SD E Tính tỉ số A B SE SD C 3 D Câu 15 Cho mặt phẳng ( P ) hai đường thẳng song song a, b Mệnh đề mệnh đề sau? (1) Nếu ( P ) // a ( P ) // b (2) Nếu ( P ) // a ( P ) // b chứa b (3) Nếu ( P ) song song a ( P ) cắt b (4) Nếu ( P ) cắt a ( P ) cắt b (5) Nếu ( P ) cắt a ( P ) song song với b (6) Nếu ( P ) chứa a ( P ) song song với b Hãy chọn phương án trả lời đúng A ( ) , ( ) , ( ) B ( 3) , ( ) , ( ) C ( ) , ( 1) , ( ) D ( 3) , ( ) , ( ) Câu 16 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành Các điểm I , J lần lượt trọng tâm tam giác SAB, SAD M trung điểm CD Chọn mệnh đề đúng mệnh đề sau: A IJ / /( SCD) B IJ / /( SBM ) C IJ / /( SBC ) D IJ / /( SBD) Câu 17 Trong mệnh đề sau mệnh đề A Nếu hai mặt phẳng (α ) ( β ) song song với đường thẳng nằm (α ) đều song song với đường thẳng nằm ( β ) B Nếu hai mặt phẳng (α ) ( β ) song song với đường thẳng nằm (α ) đều song song với ( β ) C Trong (α ) có chứa hai đường thẳng phân biệt hai đường thẳng song song với ( β ) (α ) ( β ) song song D Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước ta vẽ được đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước Câu 18 Cho lăng trụ ABCA ' B ' C ' Gọi G, G ' lần lượt trọng tâm tam giác ABCA ' B ' C ' M điểm cạnh AC cho AM = 2MC Mệnh đề sau sai ? A GG '/ / ( ACC 'A' ) B GG '/ / ( ABB 'A') C Đường thẳng MG ' cắt mặt phẳng ( BCC 'B') D ( MGG ') / / ( BCC 'B' ) Câu 19 Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? (Với giả thiết đoạn thẳng đường thẳng không song song trùng với phương chiếu) A Phép chiếu song song bảo toàn thứ tự ba điểm thẳng hàng B Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng C Hình chiếu hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song trùng D Hình chiếu song song đường thẳng đường thẳng Câu 20 Hình sau coi hình biểu diễn hình thang ABCD có AD / / BC , AB = BC = CD = a , AD = 2a Hình A Hình Hình B Hình Hình C Hình Hình D Hình Câu 21 Cho mặt phẳng ( P ) đường thẳng d ⊂ ( P ) Mệnh đề sau đúng: A Nếu A ∈ ( P ) A ∈ d B Nếu A ∉ d A ∉ ( P) C ∀A, A ∈ d ⇒ A ∈ ( P ) D Nếu điểm A, B, C thuộc ( P ) A, B, C thẳng hàng A, B, C ∈ d Câu 22 Mệnh đề sau sai A Qua hai đường thẳng khơng chéo có mặt phẳng B Qua hai đường thẳng cắt có mặt phẳng C Qua hai đường thẳng song song có mặt phẳng D Qua điểm đường thẳng khơng chứa điểm có mặt phẳng Câu 23 Cho năm điểm A, B, C , D, E cho khơng có bốn điểm nằm mặt phẳng Số hình tứ diện có đỉnh lấy từ năm điểm cho là: A Năm B Sáu C Ba D Bốn Câu 24 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AD lần lượt lấy điểm M , N cho AM AN = = Gọi P, Q lần lượt trung điểm cạnh CD, CB Mệnh đề sau AB AD đúng A Tứ giác MNPQ hình thang B Tứ giác MNPQ hình bình hành C Bốn điểm M , N , P, Q không đồng phẳng D Tứ giác MNPQ khơng có cặp cạnh đối song song Câu 25 Mặt phẳng ( α ) qua trung điểm cạnh AB , song song AC BD cắt tứ diện đều ABCD theo thiết diện một: A Hình chữ nhật C Hình thoi B Hình vng D Hình thang cân Câu 26 Cho hai hình bình hành ABCD ABEF lần lượt có tâm O1 , O2 không nằm mặt phẳng Mệnh đề sau sai? A O1O2 song song với mặt phẳng (CDE ) B O1O2 song song với mặt phẳng ( BCE ) C O1O2 song song với mặt phẳng ( ADF ) D O1O2 song song với mặt phẳng ( BDE ) Câu 27 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , I lần lượt trung điểm cạnh AB, SC Mặt phẳng ( α ) qua M song song với mặt phẳng ( BDI ) sẽ cắt hình chóp thiết diện hình A Tứ giác B Lục giác C Tam giác D Ngũ giác Câu 28 Giao tuyến ( SAC ) ( SBD) là: A SC B AC C BD D SO Câu 29 Giao tuyến ( SAB ) ( SCD) là: A SC B SB C SI D BC Câu 30 Giao tuyến ( SAD) ( SBC ) là: A SA B SJ C SB D SO II - BÀI TẬP NÂNG CAO KỸ NĂNG Câu 31 Cho bốn điểm A, B, C , D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC , BD lần lượt lấy điểm M , N , P cho MN khơng song song với BC Khi giao tuyến hai mặt phẳng ( BCD) ( MNP ) không thuộc mặt phẳng: A ( BCD) B ( ACD) C ( MNP ) D ( BCP ) Câu 32 Cho bốn điểm A, B, C , D không nằm mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB AD lần lượt lấy điểm M , N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Điểm I thuộc mặt phẳng : A ( ABD ) , ( ACD ) , ( BCD ) B ( ACD ) , ( MNC ) , ( BCD ) C ( ABD ) , ( MNC ) , ( BCD ) D ( ABD ) , ( MNC ) , ( ACD ) Câu 33 Trong mặt phẳng ( α ) cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc ( α ) Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, AB ta lấy lần lượt hai điểm M , N cho MN không song song với AB Gọi E , D lần lượt giao điểm MN với mặt phẳng ( SPC ) mặt phẳng ( ABC ) Trong tam giác AMD có tứ giác? A.3 B.2 C.5 D.4 Câu 34 Cho tứ diện ABCD Các điểm M , N lần lượt trung điểm BD, AD Các điểm H , G lần lượt trọng tâm tam giác BCD, ACD Đường thẳng HG chéo với đưởng thẳng sau đây? A MN B CD C CN D AB Câu 35 Cho hình chóp S ABCD , đáy hình bình thang ( AD //BC ) M trung điểm SC Mặt SQ SD D phẳng qua AM ,song song với BC cắt đường thẳng SD Q Tỉ số A B C Câu 36 Cho hình vẽ mệnh đề: (1) : Hình hình biểu diễn tam giác đều ABC tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác (2) :Hình hình biểu diễn tam giác đều ABC tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác (3) :Hình hình biểu diễn tam giác ABC vng A tâm đường tròn ngoại tiếp O tam giác ¼ = 1200 tâm đường (4) :Hình hình biểu diễn tam giác ABC cân A , có BAC tròn ngoại tiếp O tam giác Các mệnh đề đúng là: A (3) , (4) B (2) , (3) C (1) D (1) , (4) Câu 37 Cho hình chóp S ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A ', B ', C ', D ' lần lượt trung điểm cạnh SA, SB, SC , SD Gọi M điểm BC Thiết diện mp ( A ' B ' M ) với hình chóp S ABCD là: A Hình bình hành B Hình thang C Hình thoi D Hình chữ nhật Câu 38 Cho hình chóp SABCD với M , N lần lượt hai điểm lấy cạnh AB, CD Gọi (α) mặt phẳng qua MN song song với SA Khi thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( α ) là: A Hình thang B Tam giác C Ngũ giác D Tứ giác Câu 39 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ∆ABC Hình chiếu song song K G mặt phẳng ( BCD ) theo phương chiếu AD là: A Là điểm tam giác ∆BCD C Trọng tâm tam giác ∆BCD B Trực tâm tam giác ∆BCD D Là điểm H cho GH ⊥ ( BCD ) Câu 40 Cho bốn điểm A, B, C , S không nằm mặt phẳng Gọi I , H lần lượt trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho: CK = 3KS Gọi E giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Chọn khẳng định đúng khẳng định sau: BE BE = = A KE //SB B KI cắt AB C D BC BC sẽ cắt theo giao tuyến KE song song với SB Vậy chọn đáp án A Câu 41 Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mặt phẳng ( ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M không trùng với S C Gọi N giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng ( ABM ) Khi AN : A AN = ( ABM ) ∩ ( SBC ) B AN = ( ABM ) ∩ ( SAD ) C AN = ( ABM ) ∩ ( SCD ) D AN = ( ABM ) ∩ ( SAC ) Câu 42 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' điểm M , N lần lượt thuộc cạnh AB, DD ' ( M , N không trùng với đầu mút cạnh ) Thiết diện hình hộp bị cắt mặt phẳng ( MNB ) là: A Hình thoi; C Hình bình hành; B Hình chữ nhật; D Hình thang cân; Câu 43 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành M , N lần lượt trung điểm SD, DC Điểm P thay đổi cạnh BD , mp ( MNP ) hình chóp tứ giác A ≤ k ≤ B ≤ k ≤ BP = k Giá trị k BD C ≤ k < để thiết diện D ≤ k < Câu 44 Cho tứ diện ABCD , gọi G1 , G2 , G3 lần lượt trọng tâm tam giác ABC , ACD, ADB Diện tích thiết diện tạo mặt phẳng ( G1G2G3 ) k lần diện tích tam giác BCD, k bằng: A B C D Câu 45 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB đều, SC = SD = a Gọi H , K lần lượt trung điểm SA, SB M điểm cạnh AD , mặt phẳng ( HKM ) cắt BC N Đặt AM = x (0 ≤ x ≤ a) Giá trị x để diện tích thiết diện HKMN đạt giá trị nhỏ là: a A x = B x = C x = 3a D x = a Câu 46 Cho hình chóp S ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M , N lần lượt trung điểm SA, SD Gọi P, Q, R lần lượt trung điểm AB, ON , SB Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau: A PQ cắt mp ( SBC ) B mp ( MON ) / / mp ( SBC ) C mp ( MOR ) / / mp ( SCD) D PQ / / mp ( SBC ) Câu 47 Cho tứ diện ABCD Gọi H , K lần lượt trung điểm cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD lấy điểm M cho KM không song song với BD Chọn khẳng định khẳng định sau “thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng ( HKM ) “ A Thiết diện tứ diện ABCD với mp ( HKM ) hình thang B Thiết diện tứ diện ABCD với mp ( HKM ) tam giác C Thiết diện tứ diện ABCD với mp ( HKM ) tứ giác D Thiết diện tứ diện ABCD với mp ( HKM ) tam giác tứ giác Câu 48 Cho hai hình vng có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF ta lấy điểm M , N cho AM = BN Mặt phẳng ( P ) chứa MN song song với AB cắt AD AF lần lượt M ', N ' Khẳng định sau A AC , BF cắt B Tứ giác MNM ' N ' hình bình hành C MN song song với mp ( DEF) D MN cắt mp ( DEF) Câu 49 Cho hình chóp SABCD, ABCD hình bình hành tâm O có AC = a; BD = b Tam giác SBD tam giác đều Một mặt phẳng ( α ) di động song song với SBD qua I đoạn a  OC Đặt AI = x  < x < a ÷.Khi diện tích thiết diện hình chóp với 2  mặt phẳng ( α ) là: b2 a − x ) A ( a2 2 b2 a + x ) B ( a2 C b2 ( a + x ) a2 D b2 ( a − x ) a2 µ = 600 , AB = a Gọi O trung Câu 50 Trong mặt phẳng (α) cho tam giác ABC vuông A , B điểm BC Lấy điểm S mặt phẳng ( α ) cho SB = a SB ⊥ OA Gọi M điểm cạnh AB , mặt phẳng ( α ) qua M song song với SB OA , cắt BC , SC , SA lần lượt N , P, Q Đặt BM = x (0 < x < a ) Diện tích thiết diện hình chóp mặt phẳng ( α ) lớn khi: A x = 2a B x = 3a C x = 3a D x = 2a D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN A D A B A D B C B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D C D C A D B C B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 B C C A A A D C D D II –HƯỚNG DẪN GIẢI Câu Chọn A Nếu a // b ( α ) cắt a ( α ) cắt b Câu Câu Câu Câu Câu Chọn D Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung nhất” Sai hai mặt phẳng trùng Mệnh đề “Tồn mặt phẳng qua điểm phân biệt” sai thiếu điều kiện điểm không thẳng hàng Mệnh đề “Tồn mặt phẳng qua điểm đường thẳng cho trước” sai thiếu điều kiện điểm không nằm đường thẳng Chọn A điểm thuộc hai mặt phẳng điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng mà giao tuyến hai mặt phẳng phân biệt đường thẳng Chọn B Chọn đáp A điều kiện để hai đường thẳng chéo không đồng phẳng Chọn A Chọn đáp án A định lý SGK trang 61 chuẩn: “Cho đường thẳng a song song mặt phẳng ( α ) Nếu mặt phẳng ( β ) chứa a cắt ( α ) theo giao tuyến b b song song với a ” Chọn D Đáp án A đúng hai mặt phẳng song song khơng có điểm chung nên a (Q) khơng có điểm chung, b (P) khơng có điểm chung hay a / / ( Q ) , b / / ( P ) Câu Chọn B Cho hai đường thẳng chéo a, b Gọi ( α ) mặt phẳng chứa a song song với b , (β) mặt phẳng chứa b song song với a Gọi ( P ) mặt phẳng cắt ( α ) ( β ) theo hai giao tuyến a′, b′ , Vì ( α ) / / ( β ) nên a′ / / b′ Gọi d đường thẳng nằm mặt phẳng ( α ) không song song ( α ) ( β ) cắt ( P ) Khi phép chiếu song SI SJ = = suy IJ / / EF Mà SE SF EF / / BD nên IJ / / BD Kết hợp với IJ không nằm ( SBD) , ta thu được IJ / /( SBD) Gọi E , F lần lượt trung điểm AB, AD Ta có: Câu 17 Chọn B Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng (α ) ( β ) song song với đường thẳng nằm (α ) đều song song với đường thẳng nằm ( β ) ” sai hai đường thẳng chéo Mệnh đề “Nếu (α ) có chứa hai đường thẳng phân biệt hai đường thẳng song song với ( β ) (α ) ( β ) song song” sai thiếu điều kiện hai đường thẳng cắt Mệnh đề “Qua điểm nằm ngồi mặt phẳng cho trước ta vẽ được đường thẳng song song với mặt phẳng cho trước đó” sai vẽ được vơ số đường thẳng vậy Mệnh đề “Nếu hai mặt phẳng (α ) ( β ) song song với đường thẳng nằm (α ) đều song song với ( β ) ” Câu 18 Chọn C Ta có: GG '/ / AA ' nên mệnh đề GG '/ / ( ABB 'A') , GG '/ / ( ACC 'A') đều đúng Mặt khác: AM AG = = ( N trung điểm BC ) nên GM / / CN Kết hợp GG '/ / BB ' AC AN GM / / CN suy ( MGG ') / / ( BCC 'B' ) Do vậy mệnh đề “Đường thẳng MG ' cắt mặt phẳng ( BCC 'B') ” mệnh đề sai Câu 19 Chọn B Mệnh đề “Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng” sai phép chiếu song song khơng làm thay đổi tỉ số độ dài hai đoạn thẳng song song nằm đường thẳng Các mệnh đề còn lại đều tính chất phép chiếu song song mệnh đề đúng Câu 20 Chọn C Hình biểu diễn hình hình chiếu song song hình ban đầu lên mặt phẳng nên hình biểu diễn phải đảm bảo tính chất phép chiếu song song Hình 1, hình có tỉ lệ độ dài hai đáy khơng giống hình thực, hình có AD khơng song song BC Hình coi hình biểu diễn hình thang cho Câu 21 Chọn C Ta có tính chất: “ Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng đều nằm mặt phẳng đó” Do vậy đáp án A đúng Câu 22 Chọn A Nếu hai đường thẳng trùng có vơ số mặt phẳng Câu 23 Chọn A Lấy bốn điểm năm điểm có năm cách (vì bốn điểm năm điểm đều tạo thành tứ diện) Câu 24 Chọn A Vì MN //BD, PQ //BD, MN < PQ Câu 25 Chọn B AB hai đường chéo nhau(đường cao thuộc cạnh đáy hai tam giác cân nhau) nên hình vng Thiết diện hình thoi cạnh Câu 26 Chọn D Vì O1O2 ∩ ( BDE ) = O1 Câu 27 Chọn D Vì mặt phẳng ( α ) song song với SA, BD nên ( α ) cắt cạnh AD, SD, SC , SB lần lượt N , P, Q, K Do thiết diện ngũ giác MNPQK Câu 28 Chọn D Ta có S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) ( 1) O ∈ AC ⊂ ( SAC ) ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) Mà:  O ∈ BD ⊂ ( SBD ) ( 2) Từ ( 1) ( ) suy ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO Câu 29 Chọn C Ta có S ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) ( 3)  I ∈ AB ⊂ ( SAB ) ⇒ I ∈ ( SAB ) ∩ ( SCD ) Mà:   I ∈ CD ⊂ ( SCD ) ( 4) S Từ ( 3) ( ) suy ( SAB ) ∩ ( SCD ) = SI Câu 30 Chọn B Ta có S ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) D ( 5)  J ∈ AD ⊂ ( SAD ) ⇒ J ∈ ( SAD ) ∩ ( SBC ) Mà:   J ∈ BC ⊂ ( SBC ) A J ( 6) k B O Từ ( ) ( ) suy ( SAD ) ∩ ( SBC ) = SJ C II - BÀI TẬP NÂNG CAO KỸ NĂNG Câu 31 Chọn B  P ∈ BD ⊂ ( BCD ) ⇒ P ∈ ( BCD ) ∩ ( MNP ) Ta có :   P ∈ ( MNP ) Trong mặt phẳng ( ABC ) có MN không song song với BC Gọi MN ∩ BC = E Khi đó:  E ∈ BC ⊂ ( BCD ) ⇒ E ∈ ( BCD ) ∩ ( MNP )   E ∈ MN ⊂ ( MNP ) Từ ( 1) ( ) suy ( BCD ) ∩ ( MNP ) = PE Dễ thấy PE không thuộc mặt phẳng ( ACD) A M P D B N C E ( 2) ( 1) I Câu 32 Chọn C A M N D B I C I ∈ MN mà MN ⊂ ( ABD ) ⇒ I ∈ ( ABD ) I ∈ MN mà MN ⊂ ( MNC ) ⇒ I ∈ ( MNC ) I ∈ BD mà BD ⊂ ( BCD ) ⇒ I ∈ ( BCD ) Câu 33 Chọn A Dễ thấy có tứ giác cần tìm: AMEP , PENB , AMNB S M E N C A P B α Câu 34 Chọn B D CH CG = = nên HG //MN Mặt khác MN //AB nên CM CN HG // AB Rõ ràng, CN cắt HG Vậy chọn đáp án CD Trong tam giác CMN , ta có: Câu 35 Chọn C Do nên ( ADM ) mặt phẳng qua AM , song song với BC Vậy giao điểm mặt phẳng qua AM , song song với BC đường thẳng SD D Vậy: SQ SD = =1 SD SD Câu 36 Chọn D Mệnh đề (1) đúng tam giác ABC đều nên tâm đường tròn ngoại tiếp O nằm trung tuyến AE , BF Mệnh đề (2) sai hình khơng bảo tồn tính thẳng hàng A, O, E Mệnh đề (3) sai tam giác ABC vng O trùng trung điểm E BC nên hình biểu diễn phải bảo tồn tính chất Mệnh đề (4) đúng hình bảo tồn tính thẳng hàng A, O trung điểm E BC thứ tự điểm (tam giác ABC tù đỉnh A nên O nằm đoạn AE ) Câu 37 Chọn B S D' A' C' B' D A C N Chứng minh A ' B ' C ' D ' hình bình hành : M B Trong tam giác SAB , ta có : A’B’//AB, A’B’ = AB Trong tam giác SCD , ta có : C’D’//CD; C’D’ = CD ⇒ A ' B ' //C ' D ' Vậy : Tứ giác A ' B ' C ' D ' hình bình hành Tìm thiết diện ( A’B’M ) với hình chóp S ABCD : Ta có : A’B’//AB M điểm chung ( A’B’M ) ( ABCD ) Do giao tuyến ( A’B’M ) ( ABCD ) Mx song song AB A’B’ Gọi N = Mx ∩ AD Vậy : Thiết diện hình thang A’B’MN Do chọn đáp án A Câu 38 Chọn D + Mặt phẳng ( α ) song song với SA mà SA ⊂ ( SAB ), M ∈ ( α ) ∩ ( SAB ) Ta biết điểm chung M mặt phẳng ( α ) (SAB) đồng thời biết phương giao tuyến phương song song với SA Vậy ( α ) ∩ ( SAB ) = MP với MP PSA , P thuộc SB + Tương tự gọi R = AC ∩ MN điểm chung ( α ) (SAC) đồng thời ( α ) song song với SA mà SA ∈ ( SAC ) nên ta có ( α ) ∩ ( SAC ) = RQ , RQ PSA, Q ∈ SC Nên đoạn giao tuyến ( α ) ( SCD) đoạn QN + Đoạn giao tuyến ( α ) (SBC) PQ Vậy thiết diện tứ giác MNQP Câu 39 Chọn C + Từ giả thiết ta có: GK //AD, AG ∩ DK = E với E trung điểm BC Từ ta có: EK EG = = ⇒ K trọng tâm tam giác ∆BCD KD GA Câu 40 Chọn A S K I A C E' H B E Cách (dựng điểm E, sử dụng kiến thức đại cương đường thẳng mặt phẳng) Chọn mp phụ ( ABC ) ⊃ BC Tìm giao tuyến ( ABC ) ( IHK ) ( SAC ) , có IK khơng song ⇒ ( ABC ) ∩ ( IHK ) = HE ' Trong ( ABC ) , gọi E1 = BC ∩ HE ' E1 ∈ BC , BC ⊂ ( ABC ) ⇒ E1 ∈ ( ABC ) E1 ∈ HE ', HE ' ⊂ ( IHK ) ⇒ E1 ∈ ( IHK ) Suy ra: E1 = BC ∩ ( IHK ) ⇒ E ≡ E1 Trong song với AC Gọi E ' = IK ∩ AC Sau dựng xong điểm E , ta sẽ quan sát thấy KE / / SB (hoặc quan sát kĩ hình sẽ thấy “vai trò” điểm E tam giác ABC giống điểm K tam giác SAC , tỉ lệ điểm E chia đoạn BC giống tỉ lệ điểm K chia đoạn SC Do vậy, áp dụng định lí Ta-let cho tam giác SBC ta có KE / / SB ) Vậy chọn đáp án A Cách (Sử dụng tính chất quan hệ song song đường thẳng mặt phẳng) Ta có: IH đường trung bình tam giác SAB nên song song với SB Do hai mặt phẳng ( SBC ) ( IHK ) lần lượt chứa hai đường thẳng SB , IH song song với sẽ cắt theo giao tuyến KE song song với SB Vậy chọn đáp án A Câu 41 Chọn B S N M K D A O C B Ta có B ∈ ( ABM ) ∩ ( SBD ) ( 1) Gọi O = AC ∩ BD, K = AM ∩ SO Khi đó:  K ∈ AM ⊂ ( ABM ) ⇒ K ∈ ( ABM ) ∩ ( SBD )   K ∈ SO ⊂ ( SBD ) ( 2) Từ ( 1) ( ) suy ( ABM ) ∩ ( SBD ) = BK Trong mặt phẳng ( SBD ) Gọi N = BK ∩ SD Khi đó:  N ∈ SD ⇒ N = ( ABM ) ∩ SD Dễ thấy AN = ( ABM ) ∩ ( SAD )   N ∈ BK ⊂ ( ABM ) Câu 42 Chọn C A M N B C L A' D' B' Ta có : D C' ( MNB ) ∩ ( AA ' B ' B ) = MB ( MNB ) ∩ ( AA ' D ' D ) = AN ( MNB ) ∩ ( DD ' C ' C ) = NL Trong L = x ∩ CC ', L ∈ x / /CD , x qua N Mà: ( MNB ) ∩ ( BB ' C ' C ) = LB ⇒ thiết diện tứ giác ABLN (1)  LN / / DC , LN = DC ⇒ LN / / AB, LN = AB (2) Mặt khác:   DC / / AB, DC = AB Từ ( 1) ( ) suy thiết diện cần tìm hình bình hành Câu 43 Chọn C Gọi G giao điểm AN BD Trong mp ( ABCD) , P thay đổi đoạn BG ( P ≠ G ) , đường thẳng NP cắt đoạn AB điểm E ( E thay đổi từ AB , E ≠ A ), đường thẳng EN cắt đường thẳng AD I Trong mp (SAD) , đường thẳng IM cắt SA F Thiết diện tứ giác MNEF Khi P chạy từ G đến D , đường thẳng NP cắt đoạn AD I Thiết diện tam giác MNI Vậy đáp án ≤ k < Câu 44 Chọn A Gọi I , J , K lần lượt trung điểm BC , CD, DB Ta có: AG1 AG2 AG3 = = = nên AI AJ AK G1G2 / /IJ , G1G3 / / IK Suy ( G1G2G3 ) / /( BCD ) Do vậy, giao tuyến ( G1G2G3 ) (ABC) đường thẳng qua G1 song song với BC , đường thẳng cắt AB, AC lần lượt M , N MG3 ∩ AD = P Thiết diện tam giác MNP Tam giác MNP có cạnh tương ứng song song với cạnh tam giác BCD nên diện tích tam giác MNP MN NP PM = = = BC CD BD 4 lần diện tích tam giác BCD hay k = 9 Câu 45 Chọn a Mặt phẳng ( HKM ) ( ABCD) chứa hai đường thẳng song song HK AB nên giao tuyến chúng MN song song với HK AB Xét hai tam giác HAM KBN có: ¼ = MAH ¼ BN = AM ; BK = AH ; KBN (do VSBC =VSAD ) nên VHAM =VKBN a ¼ = − Ta tính Sử dụng định lý hàm số cos cho tam giác SAD ta tính được cos HAD được:   a + x + 2ax HM = HA2 + AM − HA AM  − ÷ =  2 Đường cao hình thang cân được tính cơng thức: Từ suy ra: MH = KN MHKN hình thang cân có hai đáy MN = a; HK = MN − HK 2 ) = 16 x + 8ax + 3a Do hai đáy có độ dài khơng đổi nên diện 2 tích thiết diện bé đường cao bé đạt x = HM − ( Câu 46 Chọn a S R M N P A B Q O D C Hai đáp án A D trái ngược nên chắn đáp án sai Do vậy ta cần kiểm xem PQ có song song với mặt phẳng ( SBC ) hay không Chứng minh mp ( MON ) / / mp ( SBC ) : Xét tam giác SAC SDB : OM / / SC ⇒ (OMN ) / /( SBC ) Ta có :  ON / / SB Chứng minh : PQ / / mp ( SBC ) OP / / AD ⇒ OP / / MN ⇒ M , N , P, O đồng phẳng ⇒ PQ  ⊂ ( MNO ) Ta có :   AD / / MN  PQ ⊂ ( MNO) ⇒ PQ / /( SBC ) Do vậy : PQ / / mp ( SBC ) Mà  (MNO) // (SBC) Câu 47 Chọn D Xét trường hợp : a M C D b M đoạn CD a M C D : Ta có : HK , KM đoạn giao tuyến ( HKM ) với ( ABC ) ( BCD ) Trong ( BCD ) , gọi L = KM ∩ BD Trong ( ABD ) , gọi N = AD ∩ HL Vậy : thiết diện tứ giác HKMN A H N L D B M K C b M đoạn CD: Trong ( BCD ) , gọi L = KM ∩ BD Vậy : thiết diện tam giác HKL A M H L B D K C Vậy ta chọn đáp án D Câu 48 Chọn C ( P ) //AB ⇒ MM ' //AB ⇒ MM ' //EF ( 1)  ( P ) ∩ ( ABCD ) = MM ' Tương tự NN ' //EF ⇒ MM'//NN' Từ ta vẽ được điểm M ', N ' hình vẽ quan sát thấy MNN ' M ' hình thang chưa thể hình bình hành Dễ dàng quan sát thấy M ' N ' //DF chứng minh được khẳng định sau: AM ' AM AN ' BN = = ; NN ' //AB ⇒ AD AC AF BF AM BN = Mà AC = BF ; AM = BN ⇒ AC BF AM ' AN ' ⇒ = ⇒ M ' N ' //DF ( ) AD AF Từ (1), (2) ⇒ ( MNN ' M ') // ( DEF ) ⇒ MN //( DEF) Vậy chọn đáp án A MM ' //CD ⇒ Câu 49 Chọn D + ( α ) // ( SBD ) nên ( α ) cắt mặt phẳng (ABCD), (SBC), (SCD) theo giao tuyến MN //BD, MP //SB, NP //SD Vậy thiết diện hình chóp mặt phẳng ( α ) tam giác đều MNP + S SBD = BD b = 4 2 2  2( a − x)  S MNP  MN   CI   AC − AI  ( a − x ) = = =  ÷ = ÷ = + S SBD  BD ÷ a   CO   CO  a    ÷ 2 + Mà S SBD Câu 50 Chọn D b2 nên = S SMN b2 ( a − x ) = a2 S P N B O Q M A α + Chứng minh MNPQ hình thang vuông : (α )//OA  ⇒ MN //OA (1) Ta có : OA ⊂ ( ABC )  MN = (α ) ∩ ( ABC )  (α )//SB  ⇒ MQ / / SB  SB ⊂ ( SAB )  MQ = (α ) ∩ ( SAB )  (α )//SB   SB ⊂ ( SBC )  NP = (α ) ∩ ( SBC )  ⇒ (2) NP //SB (3) Từ (2) (3), suy MQ //NP //SB (4) ⇒MNPQ hình thang OA ⊥ SB  MN ⊥ MQ  ⇒ Từ (1) (4), ta có:  MN //OA  MQ //NP //SB  MN ⊥ NP  Vậy : MNPQ hình thang vng , đường cao MN + Tính diện tích hình thang theo a x Ta có : S MNPQ = ( MQ + NP ).MN Tính MN : Xét tam giác ABC Ta có: cos B = ⇒ AB BC BC = 2a ⇒ BO = a ⇒ BC = AB cos B C  Bˆ = 60 Do   BA = BO Có MN //OA ⇒ ⇒ ∆ABO đều MN BM BN = = AO AB BO ⇒ MN = MB = BN = x Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có: MQ //SB MQ AM SB a ⇒ = ⇒ MQ = AM = (a − x) = a − x SB AB AB a Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có: NP //SB NP CN SB a 2a − x ⇒ = ⇒ NP = CN = (2a − x) = SB CB CB 2a x(4a − x) = x.(4a − 3x ) Do : S MNPQ = 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x 4a − x  x + 4a − x  x ( 4a − x ) ≤  ÷ = 4a ≤ 4a²   a² ⇒ S MNPQ ≤ 4a ² = 12 2a Đẳng thức xảy x = 4a − x ⇔ x = 2a Vậy : x = S MNPQ đạt giá trị lớn ... A D A B A D B C B 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A D C D C A D B C B C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 C A A A B D D D C B B C A B C D B D C A 41 42 43 44 45 46 47... IHK ) = HE ' Trong ( ABC ) , gọi E1 = BC ∩ HE ' E1 ∈ BC , BC ⊂ ( ABC ) ⇒ E1 ∈ ( ABC ) E1 ∈ HE ', HE ' ⊂ ( IHK ) ⇒ E1 ∈ ( IHK ) Suy ra: E1 = BC ∩ ( IHK ) ⇒ E ≡ E1 Trong song với AC Gọi E ' = IK... lượt có tâm O1 , O2 không nằm mặt phẳng Mệnh đề sau sai? A O1O2 song song với mặt phẳng (CDE ) B O1O2 song song với mặt phẳng ( BCE ) C O1O2 song song với mặt phẳng ( ADF ) D O1O2 song song