Lý thuyết và ví dụ về hình học không gian cổ điển

27 13 0
  • Loading ...
1/27 trang

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 14/05/2018, 09:35

DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Mục lục Hình học khơng gian (cổ điển) I Một số vấn đề quan hệ song song Việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng Việc xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng Một số định nhận dạng quan hệ song song II Một số vấn đề quan hệ vng góc Phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc III Phương pháp xác định loại góc khơng gian Góc hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng (cắt khơng vng góc) Góc hai mặt phẳng (cắt nhau) IV Phương pháp xác định khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Khoảng cách đối tượng song song Khoảng cách đường thẳng a b chéo V Một số vấn đề khối đa diện lồi, khối đa diện Tính chất hình đa diện, khối đa diện Bảng tổng hợp tính chất đa diện VI Một số cơng thức tính tốn hình học Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tam giác Công thức tính tốn hình học liên quan đến tứ giác Cơng thức thể tính thể tích khối chóp khối lăng trụ Cơng thức tính tốn với khối nón - trụ - cầu Phương pháp dựng tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp VII Một số khối đa diện thường gặp đề thi Hình chóp tam giác Hình tam diện vng O.ABC (vuông O) Hình chóp S.ABC đường cao SA, AB vng góc với BC Hình chóp S.ABC cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy tam giác “thường” Hình chóp S.ABC mặt bên b “cân S” “dựng đứng” Hình chóp tứ giác Hình chóp S.ABCD cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy “hình chữ nhật” Hình chóp S.ABCD mặt bên “cân S” “dựng đứng” Hình hộp chữ nhật 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 8 10 10 10 10 11 11 11 12 12 13 MỤC LỤC ❄ Cơng thức tính nhanh số khối tứ diện đặc biệt ❄ Một số công thức biệt liên quan khối tròn xoay VIII dụ giải tốn điển hình 13 14 15 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Hình học khơng gian (cổ điển) I Một số vấn đề quan hệ song song Việc xác định giao tuyến hai mặt phẳng α α B A β α a ∆ β β b a ∆ DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Chương Nếu mặt phẳng phân biệt (α) (β) điểm chung phân biệt A B đường thẳng AB giao tuyến chúng Hai mặt phẳng phân biệt qua đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng trùng với đường thẳng Hai mặt phẳng phân biệt thoả mãn tính chất “mặt phẳng chứa đường thẳng a, mặt phẳng song song với a” giao tuyến chúng song song với a γ β c α α a b a γ β b α b c a β γ Ba mặt phẳng đôi cắt tạo thành giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với Cho hai mặt phẳng song song với Nếu mặt phẳng thứ ba cắt mặt phẳng thứ mặt phẳng thứ ba cắt ln mặt phẳng thứ hai, đồng thời hai đường giao tuyến tạo thành song song với Việc xác định giao điểm đường thẳng mặt phẳng d PP bản: muốn tìm giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng (α) ta tìm giao điểm đường thẳng d với đường thẳng ∆ (hợp lý) mặt phẳng (α) Nếu chưa tìm đường thẳng ∆ (α) PP nêu, ta thực bước giải sau: ∆ α I CHƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) d +o Bước 1: chọn mặt phẳng phụ (β) chứa đường thẳng d +o Bước 2: tìm giao tuyến ∆ (β) mp(α) cho +o Bước 3: tìm giao điểm I ∆ đường thẳng d α I ∆ Một số định nhận dạng quan hệ song song Muốn chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng nằm mặt phẳng đồng thời song song với đường thẳng nằm mặt phẳng Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với mặt phẳng II Một số vấn đề quan hệ vng góc Phương pháp chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng d α β d d Q a P b P   (α) ⊥ (P ) (β) ⊥ (P ) ⇒ d ⊥ (P )   d = (α) ∩ (β)    d ⊥ a ⊂ (P ) d ⊥ b ⊂ (P ) ⇒ d ⊥ (P )   a∩b = I ∆ P   (P ) ⊥ (Q ) d ⊂ (Q ) ⇒ d ⊥ (P )   d ⊥ ∆ = (P ) ∩ (Q ) Muốn chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng vng góc với đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng (nếu có) vng góc với mặt phẳng thứ ba Xét mặt phẳng vng góc với nhau: mặt phẳng đường thẳng vng góc với giao tuyến chúng đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc Muốn chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng d ⊥ (P ) ∆ ⊂ (P ) d ⇒d⊥∆ P ∆ Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng vng góc Muốn chứng minh hai mặt phẳng vng góc với ta chứng minh mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng d ⊥ (P ) d ⊂ (Q ) ⇒ (P ) ⊥ (Q ) d Q P DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN III Phương pháp xác định loại góc khơng gian Góc hai đường thẳng DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a b cắt song song trùng với hai đường thẳng a, b Góc đường thẳng mặt phẳng (cắt khơng vng góc) Bước 1: Xác định giao điểm I d (α) (góc cần vẽ đỉnh đặt đây) d A Bước 2: Tìm hình chiếu vng góc d d lên (α) +o Trên d , lấy điểm A khác I ϕ +o Tìm hình chiếu A A (α) α +o Kẻ đường thẳng nối I A , d I A Bước 3: Xác định góc ϕ = (d, (α)) = (d, d ) d ❄ Lưu ý: Nếu đường thẳng d nằm mặt phẳng (β) vng góc với (α) góc hợp d (α) góc hợp d với giao tuyến (α) (β) ϕ I α (giao tuyến (α) (β) trường hợp hình chiếu vng góc d lên (α)) Góc hai mặt phẳng (cắt nhau) Bước 1: xác định giao tuyến c hai mặt phẳng (α) (β) β c Bước 2: tìm đường thẳng a, b cắt nhau, vng góc với giao tuyến c, nằm mặt phẳng (α) (β) a I Bước 3: xác định góc mặt phẳng (α) (β): α góc góc (a, b) 90◦ ❄ Lưu ý: góc mặt phẳng định nghĩa b góc hai đường thẳng vng góc với mặt phẳng α α M d ∆ N ❄ Đặc biệt: M d β I ϕ N β Nếu đường thẳng ∆ vng góc với giao tuyến mặt phẳng (α) (β) mà đường thẳng ∆ qua điểm M ∈ (α) N ∈ (β) , để xác định góc mặt phẳng (α) (β), từ điểm N ta vẽ N I ⊥ d I ∈ d Khi ((α), (β)) = M I N CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) IV Phương pháp xác định khoảng cách Bài toán 1: Cho M hình chiếu vng góc điểm S ∉ (β) lên mặt phẳng (β) Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng nằm nghiêng (α) qua S cắt (β) ta làm sau: α S H d +o Bước 1: Xác định giao tuyến d (α) (β) +o Bước 2: Từ M , vẽ M I ⊥ d I ∈ d I β M +o Bước 3: Vẽ MH ⊥ SI H ∈ SI d M, (α) = MH Bài toán 2: Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với nhau, điểm M ∈ (β) Để tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) ta làm sau: α +o Bước 1: Xác định giao tuyến d (α) (β) +o Bước 2: vẽ MH ⊥ d H ∈ d d M, (α) = MH β d H M Một số lưu ý: A A M B B A α B d A, (α) d B, (α) α = AI BI C A I A B α d A, (α) = d B, (α) B d M, ( ABC ) = 3.VM ABC S ABC Khoảng cách đối tượng song song Khoảng cách d d (song song nhau) khoảng cách từ điểm M ∈ d đến d Khoảng cách d (α) (song song nhau) khoảng cách từ điểm M ∈ d đến (α) Khoảng cách (α) (β) (song song nhau) khoảng cách từ điểm M ∈ (α) đến (β) Khoảng cách đường thẳng a b chéo a a A M A α β b B P b B Khoảng cách đường thẳng chéo (a b) độ dài đoạn vng góc chung chúng (tức đoạn thẳng AB A ∈ a, B ∈ b AB ⊥ a, AB ⊥ b) Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song với đồng thời chứa đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo khoảng cách mặt phẳng song song với chứa đường thẳng DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng V Một số vấn đề khối đa diện lồi, khối đa diện Tính chất hình đa diện, khối đa diện Mỗi cạnh đa giác cạnh chung đa giác Bất hình đa diện phân chia thành nhiều khối tứ diện DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Hai đa giác phân biệt thể: khơng điểm chung, đỉnh chung, cạnh chung Mỗi đỉnh đỉnh chung đa giác Bất hình đa diện đỉnh, mặt cạnh Hình chóp mặt đáy n-giác (n + 1) đỉnh, (2 n) cạnh (n + 1) mặt Hình lăng trụ mặt đáy n-giác (2 n) đỉnh, (3 n) cạnh (n + 2) mặt Mp cạnh Với đa diện lồi Đ đỉnh, C cạnh M mặt M + C − Đ = (định Euler) Một hình đa diện M mặt, mặt p cạnh Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện Khối đa diện lồi khối đa diện mà đoạn thẳng nối điểm khối đa diện ln thuộc vào Bảng tổng hợp tính chất đa diện Tứ diện H.lập phương Bát diện Số Số Số Số mặt đỉnh cạnh mặt đ.xứng 12 mặt Số trục đ.xứng Tên đa diện Loại Tứ diện {3;3} 6 H.lập phương {4;3} 12 9 Bát diện {3;4} 12 12 mặt {5;3} 20 30 12 15 20 mặt {3;5} 12 30 20 15 20 mặt Thể tích V= c3 12 V = c3 V= c3 Bán kính mc ng.tiếp 6c 3c R= 2c R= R= Ký hiệu { p; q} cho biết p số cạnh mặt, q số mặt qua đỉnh CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) VI Một số cơng thức tính tốn hình học Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tam giác Đối với tam giác +o Độ dài đường cao: h = (cạnh) × +o Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R = +o Bán kính đường tròn nội tiếp: r = (cạnh) × O (cạnh) × B H C A Đối với tam giác vuông cân +o Độ dài cạnh huyền: cạnh huyền = (cạnh góc vng) × cạnh huyền +o Độ dài cạnh góc vng: cạnh góc vng = B C Hệ thức lượng tam giác vuông A +o a2 = b2 + c2 +o ah = bc +o b2 = b a +o c2 = c a c 1 +o = + h b c +o a = 2.m a b2 + c2 +o h2 = b c b2 b +o = a a2 c B c c = a a +o b h ma +o h = bc b H M a C Hệ thức lượng tam giác A +o Định côsin: a2 = b2 + c2 − 2bc cos A b + c − a2 bc a b c +o Định sin: = = = 2R sin A sin B sin C b + c a2 +o Định trung tuyến: m2a = − +o Cơng thức tính góc: cos A = c b ma B a M Cơng thức tính diện tích tam giác +o Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 × +o Diện tích tam giác vng nửa tích hai cạnh góc vng +o Diện tích tam giác (bất kỳ): S ABC 1 abc = a.h a = bc sin A = = pr = 2 4R p( p − a)( p − b)( p − c) a+b+c : nửa chu vi * h a : đường cao ứng với cạnh đáy a * p= * R : bán kính đường tròn ngoại tiếp * r : bán kính đường tròn nội tiếp +o Cơng thức tỉ số diện tích: S S AB C ABC = DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN A AB AC · , B ∈ AB, C ∈ AC AB AC C Định Menelaus Định Ceva A A N B M K C B ( M, N, K thẳng hàng) K C ( AK, BN, CM đồng quy) Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tứ giác Đối với hình vng D A +o Độ dài đường chéo: đường chéo = (cạnh) × +o Độ dài cạnh: cạnh = đường chéo 2 +o Diện tích hình vng: Shv = (cạnh) = (đường chéo) B C D A Đối với hình chữ nhật +o Độ dài đường chéo hình chữ nhật: đường chéo = 2 (chiều dài) + (chiều rộng) +o Diện tích: Shcn = (chiều dài) × (chiều rộng) B C Đối với hình thang D A +o Diện tích hình thang nửa tổng hai đáy nhân với chiều cao: S h.thang = (đáy lớn) + (đáy bé) × (đường cao) B H Đối với hình bình hành A +o Diện tích h.bình hành cạnh nhân với đường cao S h.bình hành = (cạnh BC ) × (đường cao AH ) +o Diện tích hình bình hành tích cạnh kề nhân với sin góc B S h.bình hành = (cạnh AB) × (cạnh BC ) × sin ABC Đối với hình thoi S h.thoi = B O Đặc biệt: hình thoi góc 60◦ 120◦ diện tích S h.thoi (ĐB) = (cạnh)2 × C D C H A +o Diện tích hình thoi nửa tích hai đường chéo (đường chéo 1) × (đường chéo 2) ❄ DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN N M A K B NC × × =1 MB K C N A M D C Với tứ giác lồi đường chéo vng góc: diện tích nửa tích đường chéo CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Vlăng trụ = S mặt đáy × h Vkhối chóp = S mặt đáy × h h h Cơng thức dùng để tính tỉ số thể tích: S S A C C B A B A C M SA SA b= SB SB D c= SC SC d= SD SD D A B C VS.A B C D a+b+c+d = VS.ABCD 4abcd B VS.A B C S A SB SC = · · VS.ABC S A SB SC A a= C A P M B D Q C B N A C A D N B VMNPQ.A B C D B VMNP.A B C AM BN CP = + + VABC.A B C AA BB CC VABCD.A B C D P C AM CP = + AA CC Cơng thức tính tốn với khối nón - trụ - cầu O Đối với hình nón - hình nón cụt +o Diện tích mặt đáy: Sđáy = π r h l +o Diện tích xung quanh: Sxq = π rl +o Diện tích tồn phần: Stp = Sđáy + Sxq l h 1 +o Thể tích: Vnón = Sđáy h = π r h 3 +o Chu vi đường tròn đáy: C = 2π r I +o Góc đỉnh nón: 2β = IO A I A r h l A = V(O,I,r) h l +o Thể tích hình nón cụt hai đáy ( I, r ) ( I , r ) là: Vnón cụt = π h r + rr + r +o Diện tích xung quan hình nón cụt nêu là: Sxq (nón cụt) = π r + r l +o Tỉ số thể tích: V(O,I ,r ) = r r r = DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Cơng thức thể tính thể tích khối chóp khối lăng trụ 11 Tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABC (trường hợp này) trung điểm I cạnh bên SC Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HK.ABC trung điểm O cạnh đáy AC Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện BCMN trung điểm cạnh đáy BC DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B.S AMN trung điểm cạnh bên SB Hình chóp S.ABC cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy tam giác “thường” S S ((SBC ), ( ABC )) = SM A d A, (SBC ) = AH d A, (S AC ) = d B, AC H Nếu mặt đáy ABC cân A T C A (hoặc mặt đáy ABC đều) M trung điểm cạnh A M B BC , SB = SC ∆ B K Khoảng cách cạnh đối diện SB AC : d SB, AC = d AC, (SBK ) = AT Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = R 2d + h2 C (trong đường cao h = S A R d bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy ABC ) Hình chóp S.ABC mặt bên b “cân S” “dựng đứng” Nếu S ABC vng A S M trung điểm cạnh AB N trung điểm cạnh AC ((S AB), ( ABC )) = SMH P B ((S AC ), ( ABC )) = SN H d A, (SBC ) = d A, BC Q H B H N M d H, (S AB) = HP, d H, (S AC ) = HQ T C A K A Khoảng cách hai cạnh S A BC d S A, BC = d BC, (S AK ) = AT Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = R 2d + R 2b − 14 ( gt)2 C (R d , R b : bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy mặt bên, gt: giao tuyến chúng) Hình chóp tứ giác S S A B H O E C S A I B A D D O C B D O C 12 CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Góc cạnh bên mặt đáy: α = S AO = SBO = SCO = SCO Góc mặt bên mặt đáy: ϕ = SEO d b2 − d tan2 ϕ + = d tan ϕ b2 2h Tâm mặt cầu ngoại tiếp thuộc SO đồng thời cách điểm S A Cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp (mọi hình chóp đều): R = Hình chóp S.ABCD cạnh bên SA “thẳng đứng”, mặt đáy “hình chữ nhật” S BC ⊥ (S AB), S AH ⊥ (SBC ), I AK ⊥ (SCD ), N H SC ⊥ ( AHPK ), T D A BD ⊥ (S AE ), AT ⊥ (SBD ) K P CD ⊥ (S AD ), O D A O E M B B C C ((SBC ), ( ABCD )) = SBA ; ((SCD ), ( ABCD )) = SD A ; ((SBD ), ( ABCD )) = SE A d A, (SBC ) = AH ; d A, (SCD ) = AK ; d A, (SBD ) = AT ; d SB, AC = AN 1 1 = + + AT S A AB2 AD ❄ Chú ý: ABCD hình vng E ≡ O; AM ∥ OB; AH = AK ; HK ∥ BD h Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD R = R 2d + Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD tâm trung điểm I cạnh bên SC Mặt cầu ngoại tiếp đa diện lồi HPK.ABCD tâm tr.điểm O mặt đáy ABCD Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.AHPK tâm trung điểm đường cao S A Hình chóp S.ABCD mặt bên “cân S” “dựng đứng” S CD ⊥ (SHE ), S HK ⊥ (SCD ), N AM ⊥ (SBC ), BN ⊥ (S AD ), M K A HT ⊥ (SBD ) d B, (S AD ) = BN B H E H d A, (SBC ) = AM A D D T M C B ((SBC ), ( ABCD )) = SBA ; ((SCD ), ( ABCD )) = SEH ; ((SBD ), ( ABCD )) = SMH C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Công thức thể tích: V = b tan ϕ b2 − d = Cơng thức tính độ dài đường cao: h = 13 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC R = R 2d + R 2b − 14 ( gt)2 (R d , R b : bán kính đ.tròn ngoại tiếp mặt đáy mặt bên, gt: giao tuyến chúng) A Độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật: a2 + b + c Bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R = AC Thể tích hình hộp chữ nhật: Vhhcn = abc = O a AC = G B S1 S2 S3 b c I A (S , S , S diện tích mặt chung đỉnh hhcn) B Thể tích khối chóp BD A C : VBD A C = Vhình hộp Cơng thức tính nhanh thể tích số khối tứ diện đặc biệt Điều kiện S A = a, SB = b, SC = c ASB = α, BSC = β, CS A = γ Cơng thức tính thể tích V= abc  S A = a, SB = b, SC = c    ASB = α, ASC = β    ((S AB), (S AC )) = ϕ   S A = BC = a SB = AC = b   SC = AB = c V = abd sin α BC = a, AC = b, AB = c D C (biết cạnh đối diện; khoảng cách góc chúng) V= 2S S sin ϕ 3a (biết cạnh; diện tích góc mặt kề với nó) V = abc sin α sin β sin ϕ (biết cạnh chứa đỉnh, góc đỉnh góc nhị diện) V= 12 (a2 + b2 − c2 )( b2 + c2 − a2 )(a2 + c2 − b2 ) (biết cặp cạnh đối diện nhau)  2 2 2 2   M = a x (b + c + y + z − a − x )     N = b2 y2 (a2 + c2 + x2 + z2 − b2 − y2 ) S A = x, SB = y, SC = z C (biết cạnh chung đỉnh góc đỉnh đó) S A = a, S S AB = S , S S AC = S ((S AB), (S AC )) = ϕ D − cos2 α − cos2 β − cos2 γ + cos α cos β cos γ S A = a, BC = b d(S A, BC ) = d ; (S A, BC ) = α DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Hình hộp chữ nhật  P = c2 z2 (a2 + b2 + x2 + y2 − c2 − z2 )     Q = (abc)2 + (a yz)2 + ( x yc)2 + ( xbz)2 V= 12 M + N +P −Q 14 CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Cơng thức Hình minh hoạ S xq = 2πRh = π( r + h2 ) h πh = (h + 3r2 ) Vchỏm cầu = π h2 R − h H r R O S xq = π r ( h + h ) h1 + h2 V = πr2 h2 h1 r O h 2 Vhình nêm = r tan ϕ = r h 3  S  S parabol = rh ; = S 3 r h = h r r O ϕ r r r r h h r Vparabolic = π r h h B S elip = πab Vquay quanh 2a = πab2 Vquay quanh 2b = πa2 b b A a A O B A A Quay tam giác ABC xung quanh cạnh AB ta hình tròn xoay 4π S ABC · AB AC + BC S xq = 2πS ABC AB V= B H C H B C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Một số cơng thức hình, khối đặc biệt liên quan khối tròn xoay 15 VIII dụ giải tốn điển hình Lời giải ❄ Phương pháp cổ điển S Để tính góc hai đường thẳng chéo thường ta dựng thêm đường thẳng song song với đường thẳng A cắt đường thẳng lại S 2a N C a Góc AM & SC dễ dựng góc SM & NC ! A a M DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN dụ Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính góc hợp hai đường thẳng đây: a) AM SC b) SM NC C M B B Câu a Gọi K trung điểm cạnh SB MK ∥ SC , ( AM, SC ) = ( AM, MK ) S A + AB2 SB2 3a2 a − = ; MK = SC = a ; AM = 2 AM + MK − AK = ⇒ ( AM, SC ) = AMK ≈ 81◦ 42 AMK cos AMK = 2.AM.MK 12 Ta AK = Câu b Gọi I trung điểm đoạn thẳng AM N I ∥ SM , (SM, NC ) = ( N I, NC ) a 1 a 15 a ; N I = SM = SC − MC = ; IC = I M + CM = 2 4 2 N I + NC − IC 10 I NC cos I NC = = ⇒ (SM, NC ) = I NC ≈ 32◦ 30 2.N I.NC 15 z S S S Ta NC = AK = 2a 2a N K x C A a a M B C A ❄ Phương pháp toạ độ I M C A a y B H B a a 1 a 33 ; AH = ; SH = b2 − d = (2a)2 − a2 = 3 Gắn hệ trục Mx yz (như hình vẽ) với toạ độ điểm sau: Ta AM = M (0; 0; 0) ; A ; 0; ; C 0; − ; ; H 2 ; 0; ⇒ S 33 ; 0; ⇒N M 33 ; 0; Đến dùng công thức tính góc hai đường thẳng ta giải câu a b # »# » # »# » AM.SC SM NC cos (SM, SC ) = ; cos (SM, NC ) = AM.SC SM.NC 16 CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Lời giải Câu a Ta SC ∩ (S AB) = S Do BC ⊥ AB BC ⊥ S A S nên BC ⊥ (S AB) B Do (SC, (S AB)) = (SC, SB) = BSC a E S A + AB2 = 2a BC SBC vuông B tan BSC = = ⇒ BSC = 45◦ SB S AB vng A SB = A a ◦ Vậy (SC, (S AB)) = 45 2a D Câu b Ta AC ∩ (SCD ) = C Vẽ AE ⊥ SD E ∈ SD AE ⊥ (SCD ) B C Như ( AC, (SCD )) = ( AC, CE ) = ACE Ta AE = S A.AD S A + AD = 2a ; AC = AB2 + BC = a ; sin ACE = AE 105 = AC 135 ◦ Vậy ( AC, (SCD )) ≈ 35 50 dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật với AB = 2a, BD = 3a, mặt bên S AB tam giác cân S đồng thời nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết SB = a 5, tính góc hợp cặp mặt phẳng sau đây: a) (SCD ) ( ABCD ) b) (SBD ) ( ABCD ) c) (SBC ) (S AD ) Lời giải Gọi H trung điểm cạnh AB SH ⊥ AB (do   (S AB) ⊥ ( ABCD ) Mà SH ⊂ (S AB) nên SH ⊥ ( ABCD )   AB = (S AB) ∩ ( ABCD ) SHB vuông H SH = SB2 − HB2 = 2a ABD vng A AD = BD − AB2 = a S AB cân S ) S A D Câu a Gọi K trung điểm cạnh CD ta CD ⊥ HK H ⇒ CD ⊥ (SHK ) ⇒ CD ⊥ SK K I CD ⊥ SH B   CD = (SCD ) ∩ ( ABCD ) Do CD ⊥ HK ⊂ ( ABCD ) nên ((SCD ), ( ABCD )) = (SK, HK )   CD ⊥ SK ⊂ (SCD ) 2a SH SHK vng H tan SK H = = = ⇒ SK H ≈ 41◦ 48 HK a 5 Vậy ((SCD ), ( ABCD )) ≈ 41◦ 48 C DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, S A = a S A vuông góc với mặt đáy Tính góc cặp đường thẳng mặt phẳng sau đây: a) SC (S AB) b) AC (SCD ) 17 Câu b Vẽ H I ⊥ BD I ∈ BD , ta chứng minh BD ⊥ (SH I ) BD ⊥ SI Ta BAD nên BI H Cuối tan SI H = H I BH AD.BH a 5.a a = ⇒ HI = = = AD BD BD 3a SH = , ((SBD ), ( ABCD )) = SI H ≈ 69◦ 33 IH DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Với kết ta tiếp tục chứng minh ((SBD ), ( ABCD )) = (SI, H I ) Câu c Do (SBC ) (S AD ) chung điểm S BC ∥ AD nên giao tuyến ∆ chúng qua đỉnh S song song với hai cạnh BC , AD Hình chóp S.ABCD tính chất SB ⊥ BC S A ⊥ AD SB ⊥ ∆ S A ⊥ ∆ Như ((SBC ), (S AD )) = (SB, SC ) = 2.BSH ≈ 53◦ dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng tâm O cạnh a, cạnh bên S A vng góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy góc 60◦ a) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD ) Lời giải Câu a Do SC ∩ ( ABCD ) = C S A ⊥ ( ABCD ) nên (SC, ( ABCD )) = (SC, AC ) ⇒ SC A = 60◦ Tam giác S AC vng C tan SC A = SA AC S ⇒ S A = AC tan SC A = a tan 60◦ = a 3 Vậy VS.ABCD = S ABCD S A = a2 a = H a3 A Câu b Vẽ AH ⊥ SD H ∈ SD ta chứng minh AH ⊥ (SCD ) H ∈ (SCD ) Suy d( A, (SCD )) = AH = S A.AD S A + AD = a 42 B C dụ Cho hình chóp S.ABCD mặt đáy ABCD hình thang vuông A D với CD = a, AB = AD = 2a, mặt bên S AD cân S đồng thời nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Biết góc (SBC ) ( ABCD ) 60◦ Tính theo a a) Thể tích khối chóp S.ABCD b) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC ) Lời giải Câu a Gọi H trung điểm cạnh AD SH ⊥ ( ABCD ) Vẽ H I ⊥ BC I ∈ BC ta BC ⊥ SI , từ ((SBC ), ( ABCD )) = SI H = 60◦ D 18 CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Suy S HBC = S ABCD − S H AB − S Hình thang ABCD S ABCD = ( AB + CD ).AD = 3a2 HCD = 3a S 2S HBC 3a a2 = = BC a A 3a 15 3a ◦ tan 60 = SH I SH = I H tan SI H = H 5 3a 3a 15 3a 15 Vậy V = · = D C 5 a 15 Câu b S ABC = S ABCD − S ACD = 2a2 ⇒ VS.ABC = S ABC SH = 6a ⇒ S SBC = BC.SI = 3a2 SI H SI = SH + I H = 3VS.ABC a 15 Như d( A, (SBC )) = = S SBC B I dụ Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C đáy ABC tam giác vng B, BC = a, mp( A BC ) tạo với đáy góc 30◦ ∆ A BC diện tích a2 Tính thể tích khối lăng trụ Lời giải Do BC ⊥ AB nên BC ⊥ A B BC ⊥ A A   BC ⊥ AB ⊂ ( ABC ) Do BC ⊥ AB ⊂ ( A BC ) nên (( A BC ), ( ABC )) = ABA   BC = ( ABC ) ∩ ( A BC ) 2.S A BC 2a2 = = a BC a ABA AB = A B · cos ABA = 2a · cos 30◦ = 3a C A B A Ta A B = C ◦ 30 A A = A B · sin ABA = 2a · sin 30◦ = a Vậy VABC.A B C = B · h = S ABC · A A = AB · BC · A A = B a3 · 3a · a · a = 2 dụ Cho hình chóp S.ABC đường cao S A = a, AB vng góc với BC , cạnh AB = a AC = 2a Một mặt phẳng (α) qua điểm A vng góc với cạnh SB, cắt SB SC M N Tính theo a thể tích khối chóp A.BCN M Lời giải S Dễ dàng chứng minh BC ⊥ (S AB) BC ⊥ SB Do SB ⊥ ( AMN ) nên SB ⊥ AM SB ⊥ MN Xét ( AMN ), Do VS.AMN = BC ⊥ SB MN ⊥ SB ⇒ MN ∥ BC ⇒ SM SN VS.ABC nên SB SC SM VA.BCN M = − VS.ABC SB2 N M SM SN = SB SC C A B DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Từ I H = 19 S AB vng A Vậy VA.BCN M = − ABC S A = a3 SM S A S A2 = = = SB SB2 S A + AB2 a3 a3 = 32 42 Chú ý DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN ABC vuông B BC = AC − AB2 = a a2 ⇒ S ABC = AB.BC = VS.ABC = S 2 Giả thiết đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ không đủ để kết luận hai đường thẳng song song với Chỉ đường thẳng nằm mặt phẳng kết luận S dụ Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tích V Gọi M trung điểm cạnh SB; P điểm thuộc cạnh SD cho SP = 2DP Mặt phẳng ( AMP ) cắt cạnh SC điểm N Tính thể tích khối chóp S.AMNP theo V Nhận xét: P M D A Nếu không dựng thiết diện hình chóp cắt ( AMP ) khơng thể giải toán này! B C Lời giải Dựng giao điểm N = SC ∩ ( AMP ) (và tạo nên thiết diện hình chóp cắt ( AMP )) S + Vẽ giao điểm O = AC ∩ BD + Nối SO cắt MP I + Kéo dài AI cắt SD N SI (dựa vào tỉ số diện tích tam giác): SO + SMP S SMP = S SBD = S SBD (1) 3 SI SI + S SMP = S SM I + S SP I = + S SBD (2) SO SO SI = + Từ (1) (2) ta tính SO SN Tính tỉ số (dựa vào tỉ số diện tích tam giác): SC N Tính tỉ số + Dùng tỉ số S S AN M I A O B S S AC lần tương tự ta tính C SN = SC Dùng tỉ số thể tích hai khối chóp tam giác để tính VS.AMNP + Ta VS.AMNP = VS.AMN + VS.ANP = P SM SN SN SP + VS.ABCD = V SB SC SC SD 30 D 20 CHƯƠNG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Lời giải Gọi I, M tương ứng trung điểm cạnh S A, AB Do S AB vuông B, S S AC vuông C nên I A = IB = IC = SI Gọi O tâm mặt đáy ABC IO ⊥ ( ABC ) Ngoài ra, I M ⊥ AB OM ⊥ AB I ⇒ ((S AB), ( ABC )) = I MO ⇒ I MO = 60◦ a a tan 60◦ = A 2 a2 a a3 M Suy VS.ABC = 2VI.ABC = S ABC IO = = 3 12 I MO IO = OM tan M = C O B d tan ϕ ❄ Ghi nhớ: V = 24 ❄ Chú ý: thuộc cơng thức tính thể tích khối chóp tam giác biết trước hình chóp S.ABC cạnh đáy góc hợp mặt bên với mặt đáy tốn giải nhanh dụ 10 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C mặt đáy ABC tam giác vng A Biết AB = a 3, AC = a, A A = 2a, tính khoảng cách giữa: a) B ( ACB ) b) A B AC c) BC AC Lời giải C B C B C B A A A K I H B C B C A B C A A Chú ý: Với giả thiết toán ta chứng minh A C ⊥ ( ABB A ) A B ⊥ ( ACC A ) Câu a Từ B, ta vẽ BH ⊥ AB H ∈ AB chứng minh BH ⊥ ( ACB ) H Từ d(B, ( ACB )) = BH = BA.BB BA + BB = 2a 21 Câu a giải phương pháp thể tích sau (nếu khơng vẽ hình) d(B, ( ACB )) = 3VB ABC Vlăng trụ = (có thể dùng CT Hê-rơng để tính S S ACB S ACB ACB ) Câu b Từ A , ta vẽ A K ⊥ AC chứng minh A K ⊥ A B Kết hợp A K ⊥ AC ta suy d( A B , AC ) = A K = A C A A A C + AA = 2a DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN dụ Cho hình chóp S.ABC đáy tam giác ABC cạnh a, tam giác S AB vuông B, tam giác S AC vng C Biết góc hai mặt phẳng (S AB) ( ABC ) 60◦ Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a 21 Câu c Ta BC ∥ ( AB C ) nên d(BC, AC ) = d(BC, ( AB C )) = d(C, ( AB C )) Do C A cắt ( AB C ) điểm I trung điểm C A nên d(C, ( AB C )) = d( A , ( AB C )) DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN A AB C tam diện vuông A nên đặt h = d( A , ( AB C )) 1 2a 57 19 = = ⇒ d( A + + , ( AB C )) = h = 19 h2 A B A C A A 12a2 dụ 11 Cho hai hình vng ABCD ABEF cạnh 1, nằm hai mặt phẳng vng góc với Gọi S điểm đối xứng với B qua đường thẳng DE Tính thể tích khối đa diện ABCDSEF Lời giải Cắt khối đa diện ABCDSEF mặt phẳng (CDFE ) ta khối lăng trụ ABC.A B C khối chóp S.CDFE Ta VABC.A B C = A F 1 BC.BE AB = 1.1.1 = 2 Gọi I = DE ∩ BS ta D BS ∩ (CDFE ) = I IB = IS ⇒ d (S, (CDFE )) = d (B, (CDFE )) I BC.BE = CE 1 ⇒ VS.CDFE = S CDFE d (S, (CDFE )) = = 3 1 Vậy VABCDSEF = VABC.A B C + VS.CDFE = + = = d (B, CE ) = B 1 E C S dụ 12 Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a cạnh bên 3a Một mặt phẳng thay đổi song song với hai cạnh SB AC , cắt hình chóp theo thiết diện đa giác (H ) Tính diện tích lớn (H ) Lời giải Gọi (P ) mặt phẳng song song với SB AC , (P ) cắt AB M S Khi thiết diện hình chóp S.ABC cắt (P ) hình hình hành MNPQ (như hình vẽ) N P Do S.ABC hình chóp nên SB ⊥ AC , từ MNPQ hình chữ nhật A N A MN x Đặt MN = x (0 < x < 3a), ta = = SA SB 3a M Q SN 3a − x NP SN 3a − x 3a − x Suy = ⇒ = = ⇒ NP = B SA 3a AC S A 3a x(3a − x) x + (3a − x) 3a2 Diện tích thiết diện: S MNPQ = MN.NP = = (*) 3 3a Dấu "=" (*) xảy x = 3a − x ⇔ x = ∈ (0; 3a) a2 Vậy diện tích lớn thiết diện (H ) Smax = C 22 CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) dụ 13 Cho hình nón độ dài đường sinh 5, bán kính đáy b) Một mặt phẳng (α) qua đỉnh hình nón, cách tâm mặt đáy đoạn Tính diện tích thiết diện tạo hình nón mặt phẳng (α) Lời giải Xét hình nón đỉnh S l = 5, r = Khi h = l − r = S Câu a S = S xq + Sđ = π rl + π r = π.3.5 + π.3 = 24π ; V = π.r h = 12π 2 Câu b Xét thiết diện S AB thoả đề (như hình vẽ) Gọi I trung điểm dây cung AC A H hình chiếu vng góc O lên đoạn thẳng SI H Khi ta chứng minh OH ⊥ (S AB) H O I B Suy OH = d(O, (S AB)) = 1 ⇒ OI = ⇒ SI = SO + OI = = − = 2 16 OI OH SO 3 33 33 IOB vuông I IB = OB2 − OI = ⇒ AB = IB = 3 11 Vậy diện tích thiết diện S AB S S AB = SI.AB = SOI vng O dụ 14 Cho tam giác ABC vng A AB = 3, AC = Quay tam giác ABC quanh cạnh để tạo khối tròn xoay Tính tổng thể tích khối tròn xoay C Lời giải C B H A A A C B B Xét khối nón trục cạnh AC 3 3 Khối nón h1 = AC = 4, r = AB = ⇒ V1 = π.r 21 h1 = π32 = 12π Xét khối nón trục cạnh AB Khối nón h2 = AB = 4, r = AC = ⇒ V1 = π.r 22 h2 = π42 = 16π Xét khối tròn xoay (T ) ABC quay quanh cạnh BC tạo Khi (T ) hợp hai khối nón (như hình vẽ), bán kính đáy chung r = AH = 3 Thể tích khối V3 = π.r 23 AH + π.r 23 BH = π.r 23 AB = Vậy tổng thể tích khối V1 + V2 + V3 = 188 π 48 pi 12 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN a) Tính diện tích tồn phần thể tích hình nón 23 Lời giải S Gọi SMN thiết diện qua trục vng góc với AB hình nón Gọi (T ) thiết diện cần tìm diện tích (với đỉnh I ) AB Theo giả thiết SM = ⇒ OI = , O A = OB = = 2 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN dụ 15 Một khối nón tròn xoay thiết diện qua trục tam giác cạnh Một mặt phẳng qua đường kính AB mặt đáy đồng thời hợp với mặt đáy góc 60◦ cắt khối nón theo thiết diện hình parabol Tính diện tích thiết diện I Từ giả thiết ta ION = SMN = 60◦ ⇒ IO ∥ SM IO = SM A Do thiết diện hình parabol nên diện tích S th.diện = O A.OI = 3 M O N B dụ 16 Một hình trụ bán kính đáy 5, khoảng cách hai đáy a) Tính thể tích diện tích tồn phần hình trụ b) Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục đoạn Tính diện tích thiết diện tạo thành Lời giải Câu a Theo giả thiết r = 5; h = l = nên S = 2S đ + S xq = 2π.r + 2π.rl = 2π.52 + 2π.5.7 = 120π O V = π.r h = π.52 = 175π Câu b Giả sử hình trụ (T ) trục OO , thiết diện song song với trục hình chữ nhật MNPQ ( N, P ∈ (O ) M,Q ∈ (O )) Gọi H trung điểm MQ O H ⊥ MQ ⇒ O H ⊥ ( MNPQ ) Do d OO , ( MNPQ ) = d O , ( MNPQ ) = O H = O Ta MH = O M − O H = cm ⇒ MQ = · MH = Q H M N Diện tích thiết diện: S = MH · MN = 56 dụ 17 Cho hình trụ thiết diện qua trục hình vng ABCD cạnh A cm với AB đường kính đường tròn đáy Gọi M B M điểm thuộc cung AB đường tròn đáy cho ABM = 60◦ Tính thể tích khối tứ diện ACDM D C Lời giải Ta AMB = 90◦ nên AM = AB sin ABM = sin 30◦ = cm d( AM, CD ) = AD = cm ( AM, CD ) = ( AM, AB) = M AB = 30◦ 1 VACDM = AM.CD.d( AM, CD ) sin ( AM, CD ) = 3.2 3.2 sin 30◦ = 6 cm2 P 24 CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Lời giải Câu a Gọi MN PQ hai dây cung (α) cắt hai đường tròn đáy tạo nên N Khi MN = PQ = O Gọi E, F trung điểm MN, PQ E M Gọi I = EF ∩ OO I trung điểm EF lẫn OO Vẽ OI ⊥ PQ F ∈ PQ OT ⊥ EF T ∈ EF OT ⊥ (α) OFQ vng F OF = OQ − FQ = OIF vng O IF = OI + OF = OI.OF 15 Như d(O, (α)) = OT = = IF 37 52 − = I 111 T P O F Q Câu b Gọi K giao điểm EF với mặt trụ (mở rộng) Ta OF ∥ HK nên HK.IF IK HK = ⇒ IK = = IF OF OF H K Gọi H hình chiếu K lên trục OO (kéo dài) y 37 Thiết diện khối trụ cắt (α) hình elip cụt trục lớn 37, trục nhỏ 10 Phương trình elip: x2 y2 + =1 37 25 Diện tích thiết diện: S = = 111 37 K 37 F x 111 I 37 − x2 d x x 37 x 37 − x2 + arcsin 37 37 111 20 = 111 10π 37 + dụ 19 Cho hình lập phương ABCD.A B C D cạnh a Tính bán kính mặt cầu trường hợp sau đây: D A B I C a) Đi qua đỉnh hình lập phương; O b) Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương; c) Tiếp xúc với mặt bên hình lập phương H D A B C Lời giải Gọi O trung điểm đường chéo AC O cách đỉnh hình lập phương, O cách 12 cạnh hình lập phương O cách mặt hình lập phương DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN dụ 18 Một hình trụ bán kính đáy r = chiều cao h = Gọi (α) mặt phẳng không song song với trục hình trụ, cắt hai đáy hình trụ theo dây cung chiều dài Tính khoảng cách từ tâm O mặt đáy đến mặt phẳng (α) diện tích thiết diện tạo nên khối trụ (α) 25 a) Bán kính mặt cầu qua đỉnh hình lập phương r = AC = a a a c) Bán kính mặt cầu tiếp xúc mặt hình lập phương r = d(O, ( ABCD )) = CC = 2 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN b) Bán kính mặt cầu tiếp xúc 12 cạnh hình lập phương r = d(O, DD ) = BD = dụ 20 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A B C cạnh a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ Lời giải Gọi I I tâm ABC A ABC I Ta I I ⊥ ( ABC ) I I ⊥ ( A B C ) B Gọi O trung điểm I I O O cách đỉnh hình lăng trụ ABC.A B C ⇒ O tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABC.A B C A a2 a2 a2 + = 12 a 7π a Diện tích mặt cầu S = 4π.O A = 4π = 12 OI A vuông I nên O A = AI + IO = I B C C dụ 21 Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy a, mặt bên tạo với đáy góc α (0◦ < α < 90◦ ) Xác định tâm tính theo a α bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp Lời giải Gọi H tâm tam giác ABC , ta SH ⊥ ( ABC )   BC = (SBC ) ∩ ( ABC ) Gọi M trung điểm BC , ta BC ⊥ SM ⊂ (SBC )   BC ⊥ AM ⊂ ( ABC ) S ⇒ ((SBC ), ( ABC )) = SM A Do SM A = α Gọi I tâm mặt cầu nội tiếp S.ABC I ∈ SH I tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC nên M I đường phân giác góc SM A I A Khi đó,bán kính mặt cầu nội tiếp S.ABC r = I H a α I HM vng H I H = MH tan = × tan H α B M C ... CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) Ví dụ 13 Cho hình nón có độ dài đường sinh 5, bán kính đáy b) Một mặt phẳng (α) qua đỉnh hình nón, cách tâm mặt đáy đoạn Tính diện tích thiết diện tạo hình. .. cho biết p số cạnh mặt, q số mặt qua đỉnh CHƯƠNG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN (CỔ ĐIỂN) VI Một số cơng thức tính tốn hình học Cơng thức tính tốn hình học liên quan đến tam giác Đối với tam giác +o Độ... quan khối tròn xoay VIII Ví dụ giải tốn điển hình 13 14 15 DƯƠNG PHƯỚC SANG - THPT CHU VĂN AN Hình học khơng gian (cổ điển) I Một số vấn đề quan hệ song
- Xem thêm -

Xem thêm: Lý thuyết và ví dụ về hình học không gian cổ điển, Lý thuyết và ví dụ về hình học không gian cổ điển, Hình chóp S.ABCD có 1 mặt bên “cân tại S” và “dựng đứng”

Từ khóa liên quan

Mục lục

Xem thêm

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay