www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN A/ Đặt Vấn Đề: I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Là Giáo Viên dạy học mơn tốn, thật thấy tầm quan trọng tốn học, đa dạng phong phú, thuộc nhiều lĩnh vực nghiên cứu khoa học cho ngành nghề Bất ngành nghề đòi hỏi phải có tính tốn Muốn tính tốn giỏi ta phải học tốt mơn tốn, từ số, thực phép tính đơn giản phép tính khó.v.v Vì ta phải xây dựng hệ học sinh trở thành người phát triển toàn diện Bên cạnh phải giáo dục cho học sinh có đầy đủ phẩm chất đạo đức, lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu thực tế Muốn giải nhiệm vụ quan trọng này, trước hết Thầy, Cô giáo phải xây dựng cho phương pháp dạy thật tốt thường xuyên cải tiến phương pháp giảng dạy cho phù hợp với nội dung, điều kiện giảng dạy vào đối tượng tham gia học tập, nhằm tạo tiền đề vững chắc, lâu bền việc tiếp nhận tri thức, nề nếp thái độ học tập em nhà trường Để giúp học sinh học tốt mơn tốn, việc truyền thụ kiến thức theo phân phối chương trình Bộ Giáo dục & đào tạo ban hành cho trường học phổ thông ( Kể ba cấp ), giáo viên học sinh cần phải nghiên cứu thật nhiều tài liệu, sách báo, băng hình, có liên quan đến mơn tốn để bổ sung dạng kiến thức mới, phương pháp giải mới, Giúp học sinh học dễ hiểu, dễ tiếp thu nhằm tạo sân chơi thân thiện, từ em tích cực tham gia hoạt động học tập, có ý tưởng tự nghiên cứu sáng tạo cho việc học giải toán thuận lợi Theo nhà khoa học Lep-Nitx nói: “Một phương pháp coi tốt, từ đầu ta thấy trước sau khẳng định theo phương pháp ta đạt tới đích” Với tốn Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN ta giải được, cần bắt chước theo chuẩn mực đắn thường xuyên thực hành Là người giáo viên, cần phải nghiên cứu, tham khảo thật nhiều loại sách, báo, đề tài nghiệp vụ sư phạm, phương pháp giải số dạng tốn.v.v có liên quan đến lĩnh vực tốn học để kịp thời nắm bắt vận dụng vào thực tế giảng dạy Tuy nhiên suốt qúa trình giảng dạy cho thấy việc vận dụng kiến thức sách giáo khoa, sách nâng cao tốn “Tìm chữ số tận số tự nhiên viết dạng lũy thừa” có bậc thấp học sinh dễ tìm ra, lũy thừa dạng bậc cao học sinh vơ lúng túng, khó giải Chính mà Tơi cố nghiên cứu tìm phương pháp giải đơn giản số tự nhiên dạng an Ngoài Tôi mạnh dạng đưa “ Một số dạng tốn lũy thừa chương trình tốn ” phương pháp giải, chúng đúc kết qua kinh nghiệm thực tế giảng dạy môn số học Tơi Các tốn lũy thừa thật đa dạng, phong phú hấp dẫn, khơng Học sinh làm loại toán thường chưa phân dạng nên chưa có phương pháp giải phù hợp, dẫn đến bế tắc có cách giải phức tạp, chưa tối ưu Chính mà vấn đề Tôi đưa đề giúp cho em giải phần khó khăn mà em vấp phải B NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VÀ VÍ DỤ Phần 1: Phương pháp tìm chữ số tận số tự nhiên n dạng: a với: a  a 1, n  N ( Gọi tắt phương pháp H ) Theo định nghĩa lũy thừa số học lớp ta được: Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN an= a a a n thừa số Ta có nhận xét trường hợp a = Trong dãy lũy thừa 21, 22, 23, 2n tồn bốn dãy lũy thừa Mà lũy thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu: D2-1 tập hợp lũy thừa có dạng 1; 25; 29; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D2-2 tập hợp lũy thừa có dạng 22; 26; 210;… giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D2-3 tập hợp lũy thừa có dạng 23; 27; 211; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D2-4 tập hợp lũy thừa có dạng 24; 28; 212; …và giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận Vấn đề trình bày nêu cho thấy giá trị lũy thừa dãy D2 = 21, 22, 23, 2n có chữ số tận lập lại theo thứ tự mà số mũ dãy cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) Ta có bảng tóm tắt dãy phương pháp tìm chữ số tận D2-1 = 121;225;3 29; …n Giá trị lũy Có chữ số tận dãy D2 = , , , sau: D2-2 = 22; 26; 210;… Giá trị lũy Có chữ số tận D2-3 = 23; 27; 211; … Giá trị lũy Có chữ số tận D2-4 = 24; 28; 212; … Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 12n; 22n; 32n; áp dụng Cách tìm: Ta chia số mũ lũy thừa cho Nếu số dư thuộc D2-1 nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D2-2 Nên có chữ số tận Trang: Nếu số dư thuộc D2-4 Nên có chữ số tận www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Ví dụ1: Tìm chữ số tận A = 265 ; B = 22003 Giải: Vì 265  2n nên ta chia số mũ 65 cho ta số dư  D2-1 Vậy số 265 có chữ số tận Hay A có chữ số tận 2 Vì 22003  2n Nên ta chia số mũ 2003 cho ta số dư  D2-3 Vậy B có chữ số tận Ví dụ 2: Tìm chữ số tận số: 3244 ; 109214; 3521001; 1228051 Giải: Vì 32 = 30 + nên muốn tìm chữ số tận 3244 ta việc tìm chữ số tận 244 thỏa mãn ( số chẳn chục lũy thừa n lên ln có chữ số tận ) Do ta chia 44 cho dư 0, mà số dư vừa tìm lại thuộc D2-4 Vậy Số 3244 có chữ số tận Vì 1092 = 1090 + cách tìm tương tự tốn Muốn tìm chữ số tận số 109214 ta tìm chữ số tận 214 Do 14 chia cho dư 2, mà số dư thuộc vào D2-2 nên có chữ số tận Vậy số 109214 có chữ số tận Vì số 352 có chữ số tận Nên 3521001 21001 có chữ số tận giống Cách tìm: ta tìm số dư phép chia 1001 cho 4, ta số dư Ứng với số dư ta có chữ số tận Vậy: 3521001 có chữ số tận Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Ta thấy số 122 có chữ số tận nên 1228051 28051 có chữ số tận Dựa vào cách tìm ta có số dư phép chia 8051 cho Mà ứng với số dư ta có chữ số tận Vậy: 1228051 có chữ số tận Ta có nhận xét trường hợp a = Trong dãy lũy thừa 31, 32, 33, 3n tồn bốn dãy lũy thừa Mà lũy thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu: D3-1 tập hợp lũy thừa có dạng 1; 35; 39; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D3-2 tập hợp lũy thừa có dạng 32; 36; 310;… giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D3-3 tập hợp lũy thừa có dạng 33; 37; 311; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D3-4 tập hợp lũy thừa có dạng 34; 38; 312; …và giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận Vấn đề trình bày nêu cho thấy giá trị lũy thừa dãy D3 = 31, 32, 33, 3n có chữ số tận lập lại theo thứ tự mà số mũ mỗiDdãy là3một số lớn trừ số 4.là ; 35;cấp 39; số …cộng Giácótrịhiệu mỗi(lũy Có chữ sốnhỏ tận )cùng 3-1 = Ta có bảng tóm tắt dãy phương pháp tìm chữ số tận D 32; 36; 310;… Giá trị lũy Có chữ số tận dãy D3-23 == 31, 32, 33, 3n sau: D3-3 = 33; 37; 311; … Giá trị lũy Có chữ số tận D3-4 = 34; 38; 312; … Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 13n; 23n; 33n; áp dụng Cách tìm: Ta chia số mũ lũy thừa cho Nếu số dư thuộc D3-1 nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D3-2 Nên có chữ số tận Trang: Nếu số dư thuộc D3-4 Nên có chữ số tận www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Ví dụ: Tìm chữ số tận của: 3999 ; 43126; 21535717 Giải: * Ta chia số mũ 999 cho ta số dư 3, số dư thuộc D3-3 Nên chữ số tận số 3999 là: * Vì 43 = 40 + 3, nên chữ số tận số 43126 lại chữ số tận số 3126 Dựa vào cách tìm chữ số tận lũy thừa với số ( 126 : = 31 dư ), mà số dư thuộc D3-2 Vậy: Số 43126 có chữ số tận * Ta thấy: số 2153 có chữ số tận 3, nên số 21535717 số 35717 có chữ số tận Do ta có cách tìm chữ số tận sau: Ta chia số mũ 5717 cho ta số dư 1, ứng với số dư ta có chữ số tận Vậy: 21535717 có chữ số tận Ta có nhận xét trường hợp a = Trong dãy lũy thừa 41, 42, 43, 4n tồn hai dãy lũy thừa Mà lũy thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu: Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN D4-1 tập hợp lũy thừa có dạng 1; 43; 45; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D4-2 tập hợp lũy thừa có dạng 2; 44; 46;… giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận Vấn đề trình bày nêu cho thấy giá trị lũy thừa dãy D4 = 41, 42, 43, 4n có chữ số tận lập lại theo thứ tự mà số mũ dãy cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) Điều cho thấy D4 tồn hai dãy lũy thừa, dãy lũy thừa với số mũ lẽ dãy lũy thừa với số mũ chẳn Ta có bảng tóm tắt dãy phương pháp tìm chữ số tận dãy D4 = 41, 42, 43, 4n sau: D4-1 = 41; 43; 43; … Giá trị lũy Có chữ số tận D4-2 = 42; 44; 46;… Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 14n; 24n; 34n; áp dụng Cách tìm: Ta chia số mũ lũy thừa cho Nếu số dư thuộc D4-1 nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D4-2 Nên có chữ số tận Hoặc xác định chữ số tận nhận xét số mũ; Nếu số mũ lũy thừa mà chẳn chữ số tận số 6, số mũ lũy thừa số lẻ chữ số tận số Ví dụ: Tìm chữ số tận 418 , 487 , 18942n Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Giải: Do Lũy thừa với số cho ta chữ số tận hoặc Nếu số mũ lẻ có chữ số tận 4; số mũ chẳn cóa chữ số tận Vậy: * Số 418 có chữ số tận ( số mũ chẳn ) * Số 487 có chữ số tận ( số mũ lẻ ) * Số 18942n = ( 1890 + )2n 42n có chữ số tận ( 2n số mũ chẳn ) Vậy: số 18942n có chữ số tận Ta có nhận xét trường hợp a = Khi a = 5n ( Với n  N* ) ln ln có chữ số tận Ví dụ: 53 có chữ số tận 5100 có chữ số rận Ta có nhận xét trường hợp a = Khi a = Thì 6n ( Với n  N* ) ln ln có chữ số tận Ví dụ: 61 = 6; 62 = 36; 63 = 216; 64 = 1296 6n = Ta có nhận xét trường hợp a = Trong dãy lũy thừa 71, 72, 73, 7n tồn bốn dãy lũy thừa Mà lũy thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu: Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN D7-1 tập hợp lũy thừa có dạng 1; 75; 79; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D7-2 tập hợp lũy thừa có dạng 72; 76; 710;… giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D7-3 tập hợp lũy thừa có dạng 73; 77; 711; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D7-4 tập hợp lũy thừa có dạng 74; 78; 712; …và giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận Vấn đề trình bày nêu cho thấy giá trị lũy thừa dãy D7 = 71, 72, 73, 7n có chữ số tận lập lại theo thứ tự mà số mũ dãy cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) Ta có bảng tóm tắt dãy phương pháp tìm chữ số tận dãy D7 = 71, 72, 73, 7n sau: D7-1 = 71; 75; 79; … Giá trị lũy Có chữ số tận D7-2 = 72; 76; 710;… Giá trị lũy Có chữ số tận D7-3 = 73; 77; 711; … Giá trị lũy Có chữ số tận D7-4 = 74; 78; 712; … Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 17n; 27n; 37n; áp dụng Cách tìm: Ta chia số mũ lũy thừa cho Nếu số dư thuộc D7-1 nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D7-2 Nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D7-3 Nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D7-4 Nên có chữ số tận Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Ví dụ: Tìm chữ số tận 71234 ; 72009 ; 8755 ? Giải: Ta chia số mũ 1234 cho ta số dư số dư thuộc dãy D7- Nên số 71234 có chữ số tận Tương tự: ta chia số mũ 2009 cho ta số dư 1, số dư thuộc dãy D7-1 Nên số 72009 có chữ số tận Vì 87 = 80 + Do việc tìm chữ số tận 8755 ta việc tìm chữ số tận số 755 Cách tìm ta chia số mũ 55 cho 4, phép chia có số dư 3, số dư thuộc D7-3 Nên 755 có chữ số tận Vậy số 8755 có số tận Ta có nhận xét trường hợp a = Trong dãy lũy thừa 81, 82, 83, 8n tồn bốn dãy lũy thừa Mà lũy thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu: D8-1 tập hợp lũy thừa có dạng 1; 85; 89; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D8-2 tập hợp lũy thừa có dạng 82; 86; 810;… giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D8-3 tập hợp lũy thừa có dạng 83; 87; 811; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D8-4 tập hợp lũy thừa có dạng 84; 88; 812; …và giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận Vấn đề trình bày nêu cho thấy giá trị lũy thừa dãy D8 = 81, 82, 83, 8n có chữ số tận lập lại theo thứ tự mà số mũ dãy cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) Trang: 10 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Ta có bảng tóm tắt dãy phương pháp tìm chữ số tận dãy D8 = 81, 82, 83, 8n sau: D8-1 = 81; 85; 89; … Giá trị lũy Có chữ số tận D8-2 = 82; 86; 810;… Giá trị lũy Có chữ số tận D8-3 = 83; 87; 811; … Giá trị lũy Có chữ số tận D8-4 = 84; 88; 812; … Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 18n; 28n; 38n; áp dụng Cách tìm: Ta chia số mũ lũy thừa cho Nếu số dư thuộc D8-1 nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D8-2 Nên có chữ số tận Nếu số dư thuộc D8-3 Nên có chữ số tận dưsố tận thuộc Nên có chữ số tận Ví dụ:Nếu Tìmsốchữ củaD 8-4 số sau 87 ; 850 ; 81101 ; 518400 Giải: * Tìm chữ số tận số 87 Ta có: chia dư 3; Số dư thuộc dãy D8-3 Nên số 87 có chữ số tận * Tìm chữ số tận số 850 Ta có: 50 chia dư 2; mà số dư thuộc D8-2 Nên số 850 có chữ số tận * Tìm chữ số tận số 81101 Ta có: 1101 chia dư 1; số dư lại thuộc dãy D8-1 Nên số 81101 có chữ số tận Trang: 11 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN * Tìm chữ số tận số 518400 Để tìm chữ số tận số 518400 ta cần tìm chữ số tận số 8400, Vì: 518 = 510 + Mà ta chia số mũ 400 cho ta phép chia hết, nên số dư thuộc D8-4 Do số 8400 có chữ số tận 6, hay số 518400 có chữ số tận Ta có nhận xét trường hợp a = Trong dãy lũy thừa 91, 92, 93, 9n tồn hai dãy lũy thừa Mà lũy thừa dãy có chữ số tận Ta ký hiệu: D9-1 tập hợp lũy thừa có dạng 91; 93; 95; … giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận D9-2 tập hợp lũy thừa có dạng 2; 94; 96;… giá trị lũy thừa dãy có chữ số tận Vấn đề trình bày nêu cho thấy giá trị lũy thừa dãy D9 = 91, 92, 93, 9n có chữ số tận lập lại theo thứ tự mà số mũ dãy cấp số cộng có hiệu ( số lớn trừ số nhỏ ) Điều cho thấy D9 tồn hai dãy lũy thừa, dãy lũy thừa với số mũ lẽ dãy lũy thừa với số mũ chẳn Ta có bảng tóm tắt dãy phương pháp tìm chữ số tận dãy D9 = 91, 92, 93, 9n sau: D9-1 = 91; 93; 93; … Giá trị lũy Có chữ số tận D9-2 = 92; 94; 96;… Giá trị lũy Có chữ số tận Những số có nhiều chữ số 19n; 29n; 39n; áp dụng Trang: 12 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Cách tìm: Ta chia số mũ lũy thừa cho *Nếu số dư thuộc D9-1 nên có chữ số tận *Nếu số dư thuộc D9-2 Nên có chữ số tận Hoặc xác định chữ số tận nhận xét số mũ; Nếu số mũ lũy thừa mà chẳn chữ số tận số 1, số mũ lũy thừa số lẻ chữ số tận số Chú ý: Những số chẳn chục 10; 20; 30; … Khi nâng lên lũy thừa với số mũ lớn ln ln có chữ số tận Những số dạng: 1; 11; 21; 31; ……khi nâng lên lũy thừa với số mũ ln ln có chữ số tận Các số có chữ số tận 0;1;5;6 nâng lên lũy thừa với số mũ khác có chữ số tận 0;1;5;6 Phần 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI KHÁC 99 Bài 1: Tìm chữ số tận số A = Giải: Cách 1: Theo phương pháp (H) số 99 có số mũ lẻ Nên số có chữ số tận 99 là số lẻ Do số có chữ số tận Cách 2: Đặt M = 9k, k N + Nếu k chẳn  k = 2m, đó: M = 92m = (81)m = (80+1)m = (10q+1)m = 10t+1 (với m,q,t  N ) Vậy M có chữ số tận k chẳn + Nếu k lẻ  k = 2m+1, đó: M = 92m+1 = 92m.9 = (10q+1).9 = 10t+9 ( với m,q,t  N ) Vậy M có chữ số tận k lẻ 99 Ta có: 99 số lẻ Do đó: A = có chữ số tận Trang: 13 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 34 Bài 2: Tìm chữ số tận số B = Giải: Cách 1: 34 Do = 281 Theo phương pháp (H), Ta chia số mũ 81 cho ta có số dư 34 phép chia Thuộc D2-1 Nên số B = có chữ số tận Cách 2: 34 B=2 = 281 = (25)16.2 = (30+2)16.2 = ( m6 ).2 = 10t+2 34 Vậy: B = có chữ số tận Bài 3: Tìm chữ số tận số 62002; 71999; 18177 Giải: * Theo phương pháp (H) Ta có: 6n ln có chữ số tận Nên: số 62002 có chữ số tận * Cách 1: Theo phương pháp (H), ta chia số mũ 1999 cho số dư 3; Số dư thuộc D7-3 Vậy số 71999 có chữ số tận Cách 2: Ta có 74 = 2401 tận Nên: 71999 = (74)496+3 = (2401)496.343 = (… 1) 343 = ( 3) Suy ra: 71999 có chữ số tận * Cách Ta có: 18177 = (10+8)177 theo phương pháp (H) ta tìm chữ số tận 8177, ( vì: 177: dư 1) Nên số 8177 có chữ số tận Do đó: 18177 có chữ số tận Cách 2: Ta có 184 = n6 có chữ số tận Suy ra: 8177 = (184)44.18 = (… 6).18 = (…….8) Vậy: 8177 có chữ số tận Trang: 14 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG DƯ: I Cơ sở lý thuyết: Định nghĩa: Cho số nguyên m > 0, hai số nguyên a b chia cho m có số dư, ta nói a đồng dư với b theo mô đun m viết a b (mod m) Định lý: Ba mệnh đề sau tương với nhau: 2.1/ a đồng dư với b theo mô đun m; 2.2/ a – b chia hết cho m; 2.3/ Có số nguyên t cho a = b + m.t Tính chất: 3.1/ a  a (mod m); 3.2/ a  b (mod m)  a  c (mod m) b  c (mod m) 3.3/ a  b (mod m) a  c  b  d (mod m)  c  d (mod m) a.c  b.d (mod m) Hệ quả: a + c  b (mod m)  a  b – c (mod m) a  b (mod m)  an  bn (mod m) 3.4/ Nếu a  b (mod m); k  ƯC (a,b), (k,m) = Thì a b  (mod m) k k 3.5/ a  b (mod m) với k  z, k > suy ra: ka  kb (mod m) 3.6/ d  ƯC (a,b,m) a  b (mod m) suy ra: a b m  (mod ) k k d Trang: 15 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 3.7/ a  b (mod m1) a  b (mod m2) suy a  b (mod m) M = BCNN ( m1, m2 ) Hệ quả: ( m1, m2, …… , mn ) = nguyên tố đôi Suy ra: a  b (mod m1), a  b (mod m2), …… a  b (mod mn) a  b (mod m1.m2……mn) II Bài tập áp dụng: Tìm chữ số tận số 19911997, 6195, 19971996 Giải: *) Ta có: 1991  (mod 10) suy 19911997  (mod 10) Vậy: 19911997 có chữ số tận *) Ta có: 62 = 36  (mod 10) suy 6n  (mod 10) Với N số tự nhiên khác Suy ra: 6195  (mod 10) Vậy chữ số tận số 6195 *) Ta có: 1997  (mod 10)  19972  49  (mod 10) Suy ra: 19974  (mod 10) Suy (19974)409  (mod 10) Suy 19971996  (mod 10) Vậy: 19971996 có chữ số tận PHƯƠNG PHÁP TÌM HAI CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN Phương pháp 1: Nếu x  N x = 100 + y; k,y  N hai chữ số tận x hai chữ số tận y Hiển nhiên y  x Như để đơn giản việc tìm hai chữ số tận số tự nhiên x thay vào ta tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên y ( nhỏ ) Rõ ràng số y nhỏ việ tìm hai chữ số tận y đơn giản Trang: 16 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Từ nhận xét ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận hai số tự nhiên x = am sau: Trường hợp 1: Nếu a chẳn x = am 2m Gọi n số tự nhiên cho an-1  25 Viết m = pn (p,q  N ), q số nhỏ để aq 4 ta có: x = am = aq (apn-1) + aq Vì an-1 25 Mặt khác: Do ƯCLN ( 4;25 ) = nên aq ( apn-1 ) 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận Tiếp theo ta tìm chữ số tận aq Trường hợp 2: Nếu a lẻ, gọi n số tự nhiên cho an-1 100 Viết m = un + v ( u,v  N,  v < n ) Ta có: X = am = av ( aun-1 ) + av Vì: an-1 100 Vậy hai chữ số tận am hai chữ số tận av Tiếp theo ta tìm hai chữ số tận av Với khoảng hai trường hợp nêu chìa khóa để giải tốn phải tìm số tự nhiên n; Nếu n nhỏ q v nhỏ nên dễ dàng tìm hai chữ số tận aq av Phương pháp 2: Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý đến số đặc biệt sau: - Các số có chữ số tận bằng: 01; 25; 76 Khi nâng lên lũy thừa với số mũ khác có hai chữ số tận bằng: 01; 25; 76 - Các số 320; (hoặc 815); 74; 512; 992 Có hai chữ số tận 01 - Các số 220; 65; 184; 242; 684; 742 Có hai chữ số tận 76 Các tốn tìm hai chữ số tận số tự nhiên Trang: 17 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Bài 1: Tìm hai chữ số tận 2999 Giải: Ta có: 210 + = 1024 + = 1025  25 Suy ra: 210 +  25 Ta lại có: 21000 – = [(220)50 – 1]  (220 – 1) Suy ra: 21000 –  25 Do đó: 21000 có hai chữ số tận 76, 21000  Suy ra: 2999 có hai chữ số tận 88 Bài 2: Tìm hai chữ số tận số 78966 Giải: Ta có: 74 có hai chữ số tận 01 Suy ra: 78966 = (74)2241.72 = (a01)2241 49 = c01 49 = n49 ( Với a,c,n  N) Vậy: 78966 có hai chữ số tận 49 Bài 3: Tìm hai chữ số tận 247561 Giải: Ta có: 242 có hai chữ số tận 76 nên: Suy ra: 247561 = (242)3765 24 = (m76)3765 24 = k76 24 = n24 (Với m,k,n  N) Vậy: 247561 có hai chữ số tận 24 Bài 4: Tìm hai chữ số tận 816251 Giải: Ta có: 815 có hai chữ số tận 01 Nên: 816251 = ( 815 )1250 81 = (k01)1250.81 = t01.81 = m81 (Với k,t,m  N) Vậy: 816251 có hai chữ số tận 81 Bài 5: Tìm hai chữ số tận 31000 Giải: Trang: 18 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Ta có: 34  19 (mod 100) suy 38  192  (mod 100) Suy ra: 310  61.9  49 (mod 100) suy 3100  492  (mod 100) Suy ra: 31000  01 (mod 100) Vậy: 31000 có hai chữ số tận 01 Bài 6: Tìm hai chữ số tận 21000 Giải: Ta có: 210 = 1024 suy ra: (210)2 = 76 Suy ra: 21000 = ( 76)50 = 76 Vậy : 21000 có hai chữ số tận 76 Bài 7: Tìm hai chữ số tận 262088 Giải: Ta có: 264 có hai chữ số tận 76 Suy ra: 262088 = (244)522 = ( 76 )522 = .76 ( số có hai chữ số tận 76 ta lũy thừa với số mũ khác ln có hai chữ số tận 76 ) Vậy: 262088 có hai chữ số tận 76 Bài 8: Tìm hai chữ số tận 71991 Giải: Ta có: 74 = 2401; số có hai chữ số tận 01, ta nâng lên lũy thừa khác có hai chữ số tận 01 Do: 71991 = ( 74 )497 73 = ( 01)497 343 = ( 01).343 = 43 Vậy: 71991 có hai chữ số tận 43 Bài 9: Tìm hai chữ số tận 68194 Giải: Ta có: 684 = 21381376 số có hai chữ số tận 76 682 = 4624 số có hai chữ số tận 24 Ta lại có: 68194 = ( 684)48 682 = (n76)48 4624 = k76 4624 = t24 Vậy: 68194 có hai chữ số tận 24 Trang: 19 www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Phần 3: Một số dạng tốn lũy thừa chương trình toán B- NỘI DUNG: I- Lý thuyết: Dựa vào số kiến thức sau: 1) Định nghĩa lũy thừa 2) phép tính lũy thừa 3) Chữ số tận lũy thừa 4) Khi hai lũy thừa 5) Tính chất đẳng thức, bất đẳng thức? 6) Tính chất chia hết 7) Tính chất dãy tốn có quy luật 8) Hệ thống ghi số II- Bài tập: Viết biểu thức dạng lũy thừa: a) Ph©n tÝch số thừa số nguyên tố Ti ti liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/zhmwRE Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/zhmwRE Tải tài liệu đầy đủ tại: https://goo.gl/zhmwRE Tổng Hợp Đề Tài Sáng Kiến Kinh Nghiệm Sư Phạm>> https://goo.gl/GEBWuN Trang: 20 ... CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN * Tìm chữ số tận số 518400 Để tìm chữ số tận số 518400 ta cần tìm chữ số tận số 8400,... Nên có chữ số tận www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ LŨY THỪA TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN Ví dụ: Tìm chữ số tận của: 3999... số 6, số mũ lũy thừa số lẻ chữ số tận số Ví dụ: Tìm chữ số tận 418 , 487 , 18942n Trang: www.huongdanvn.com PHƯƠNG PHÁP TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNG CỦA MỘT SỐ TỰ NHIÊN DƯỚI DẠNG LŨY THỪA VÀ MỘT SỐ DẠNG