TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN THỊ QUỲNH TRANG SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành : Hình học Ngƣời hƣớng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội - 2011 LỜI CẢM ƠN Để hồn thành khố luận trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, giáo khoa Toán -Trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình Đặc biệt em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Năng Tâm tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành khố luận Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Trang LỜI CAM ĐOAN Luận văn hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Trong trình nghiên cứu em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khoá luận tốt nghiệp kết nghiên cứu thân không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Trang MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Là ngành tốn học nghiên cứu liên hệ không gian Từ hàng ngàn năm trước cơng ngun, hình học xuất sớm, người phải đo đạc ruộng, đong thóc gạo thu hoạch hay xây dựng kim tự tháp khổng lồ… Mơn hình học lúc đầu đời có ý nghĩa mơn khoa học đo đạc Tuy nhiên, hình học trở thành mơn khoa thực người nêu lên tính chất hình học đường suy diễn Nó giúp rèn luyện tư duy, nâng cao khả tưởng tượng không gian người Một không gian hình học khơng gian vectơ Với mục đích, khơng tìm hiểu kĩ đặc điểm, tính chất khơng gian vectơ mà tìm hiểu mối liên hệ đẳng cấu chúng Em chọn đề tài: “Sự đẳng cấu khơng gian vectơ” làm khố luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu đẳng cấu không gian vectơ hữn hạn chiều Ứng dụng giải tốn 3.Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Không gian vectơ, phép đẳng cấu Phạm vi nghiên cứu: Trong không gian hữu hạn chiều 4.Nhiệm vụ Trình bày sở lý thuyết Nghiên cứu hệ thống kiến thức không gian vectơ 5.Phƣơng pháp nghiên cứu Cơ sở lý luận, phân tích, tổng hợp đánh giá 6.Cấu trúc Ngoài phần mở đầu kết luận, tài liệu tham khảo Đề tài gồm chương Chương I Một số kiến thức chuẩn bị Chương II Sự đẳng cấu không gian vectơ CHƢƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương sau nhắc lại khái niệm tính chất ánh xạ không gian vectơ 1.1 ÁNH XẠ 1.1.1 Khái niệm ánh xạ 1.1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1.1 Cho hai tập hợp X ,Y Ta nói ánh xạ f : X Y quy tắc cho tương ứng phần tử x X có tương ứng theo quy tắc phần tử y Y Kí hiệu f : X Y , (đọc: f ánh xạ từ X vào Y ) Trong X tập nguồn Y tập đích 1.1.1.2 Đơn ánh Định nghĩa 1.1.2 Ánh xạ f : X Y gọi đơn ánh ảnh hai phần tử phân biệt hai phần tử phân biệt Nghĩa Điều kiện tƣơng đƣơng x1 , x2 X : f ( x1 )= f ( x2 ) f :X x1 , x2 V,x1 x2 f(x1 ) f(x2 ) Y đơn ánh x1 = x2 1.1.1.3 Toàn ánh Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ f : X Y gọi toàn ánh phần tử Y ảnh phần tử thuộc X Nghĩa f(x) = y y Y, x X cho Điều kiện tƣơng đƣơng Ánh xạ f : X Y toàn ánh f (X)= Y 1.1.1.4 Song ánh Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ f : X Y gọi song ánh f đơn ánh toàn ánh Định lý 1.1.1 Ánh xạ f :X Y xa f(x) song ánh tồn ánh xạ g(y) g :Y X ya cho ánh xạ f o g = id g o f = id X X 1.1.2 Ánh xạ với phép toán 1.1.2.1 Phép cộng hai ánh xạ Định nghĩa 1.1.5 Cho f :X Y x a f (x) a hai ánh xạ từ X g : Xx Yg(x) Y Khi tổng f g kí hiệu f + g ánh xạ xác định f +g:X Y + g)(x)= f(x)+ g(x) (f xa 1.1.2.2 Tích hai ánh xạ Định nghĩa 1.1.6 Cho f :X Y f (x) xa a g :Yy Zg(y) hai ánh xạ Khi ánh xạ g o f xác định gof :X Z ( g o f)(x)= g(f(x)) xa gọi tích ánh xạ f ánh xạ g 1.1.2.3 Ánh xạ ngƣợc Định nghĩa 1.1.7 Cho f : X ánh xạ Y ánh xạ từ X vào Y song ánh Khi tồn g :Y X cho g o f = i dX o g = i Ánh xạ dY f g :Y X gọi ánh xạ ngược của ánh xạ f , kí hiệu -1 g= f 1.2 KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VECTƠ 1.2.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.2.1 Cho V tập khác rỗng trường Giả sử V trang bị phép toán gồm Phép cộng V.V (u,v) a V V Phép nhân K.V (k,u) a u+ v k.u Thỏa mãn tiên đề sau (V1) (u + v)+ w= u +(v + w) u,v,wV (V2) uV V : 0+= u +0 = u (V3) u +u´= u´+u = u (V4) u+v= v+u u,vV (V5) (k + l).u = k.u + l.u (V6) k.(u + v) = k.u V,u´V k,l k.v (V7) k.(l.u)= (k.l).u K,u,vV k K,u,vV k,l V,u (V8) 1.u = u.1= u V uV Khi V với hai phép tốn cho gọi khơng gian vectơ trường K ( hay K - không gian vectơ) Nếu K trường số thực khơng gian V gọi không gian vectơ thực Nếu K trường số phức V gọi khơng gian vectơ phức Ví dụ n Khơng gian R Khơng gian Mmn(R) ma trận số thực kích thước mn Không gian gồm tất hàm f[a,b] R 1.2.2 Độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 1.2.2 Cho K - khơng gian vectơ V a Một tổ hợp tuyến tính không gian vectơ { bỉểu thức dạng n i , , n K r i r = + + i 11 n r n r r r , , , n } V Chứng minh r Ta có f đơn cấu Kerf = {0} Lại có f tòan cấu dim(Imf)= dimV Mặt khác dimV = dim(Imf)+ dim(Kerf) Suy f đơn cấu dim(Kerf)= dimV = dim(Imf) f toàn cấu Vậy b) tương đương với c) chúng có tương đương với a) Nhận xét f đẳng cấu tuyến tính Kerf = {0} Imf = V Định lý 2.2.4 Cho V,W không gian vectơ hữu hạn chiều Ánh xạ tuyến tính f :V W đẳng cấu tuyến tính tồn ánh xạ tuyến tính g :W V cho fg = id gf = id V W Chứng minh Thật vậy, f đẳng cấu f lại, có đồng cấu g = W -1 f idV ff -1 idW Ngược V cho gf = id , gf = id V W , f vừa đơn cấu vừa tồn cấu Vì thế, f đẳng cấu Khi đó, nhân hai vế đẳng thức gf = id -1 -1 V với f từ bên phải ta thu g = f 2.3 SỰ ĐẲNG CẤU GIỮA HAI KHÔNG GIAN VECTƠ 2.3.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.3.1 Hai không gian vectơ V , V´ gọi đẳng cấu tồn đẳng cấu tuyến tính f :V V´ Ví dụ Định lý 2.3.1 f :R (x1 , x2 ) a R2 (x1 - x2 , x2 ) Hai không gian vectơ hữu hạn chiều trường K đẳng cấu với chúng có số chiều n 2.3.2 Sự đẳng cấu không gian vectơ n chiều với R Định lý 2.3.2 Tự đồng cấu tuyến tính f : V W phép đẳng cấu tuyến tính khơng gian vectơ hữu hạn chiều V W dimV = dimW Chứng minh Giả sử V r r r { , W có đẳng cấu r W Khi đó, f :V r r } sở Vr hệ r ), r ), , r n ) f() f( vớinào}đó {f( V thì= f( , n , sở W Thật vậy, vectơ Ta có r = n i V r xiinên r r = f()= f( r xi i )= i r tức n biểu thị tuyến tính qua hệ {f( r có biểu thị tuyến tính n i = r n i 1 ), r xi f ( i ) r r ), , n )} Nếu f( f( r n r r y iif () = f( i iy)i r nên r r n r yi ) Do f đơn ánh nên r = ( ni iy) diễn f( )= i Do biểu i f( r r qua sở { , , , } nên ta có x = y , i= 1,2, ,n Do r r r r n r i i r bểu diễn qua hệ {f ), ), , n ) Từ ta có hệ r r ( f( f( } r {f ), ), , n )} sở W Vậy dimW = n= dimV r r r ( f( f( Ngược lại, giả sử dimW = dimV = n Khi lấy , n } { , , r r r sở V , n } sở W ta có ánh xạ tuyến tính { , , r r ánh xạ tuyến tính g( i ) i ,i = = 1,2, ,n r r h : định V xác ) i i ,i = 1,2, ,n Khi rõ ràng h( W = h.g = id ; g.h= id V W nên g song ánh Do g đẳng cấu g :V W xác định V W Hệ 2.3.1 Mọi không gian n chiều V đẳng cấu với không gian n R Nhận xét Từ kết định lý ta thấy không gian vectơ U , n chiều đẳng cấu với Rn Nên vectơ x U đặt tươg ứng với số (x1 , ,x ) Rn Vì thay nghiên cứu khơng gian vectơ U ta xem xét nghiên cứu Rn Định lý 2.3.3 Cho U ,V không gian vectơ tương ứng n, m chiều K Khi L(U,V) Mat(m,n) Hệ 2.3.2 Cho U ,W không gian vectơ tương ứng n, m chiều K Khi dimL(U ,V )= m.n Định lý 2.3.4 (Định lý đồng cấu tuyến tính) Mọi ánh xạ tuyến tính f :U V xa Sinh đẳng cấu tuyến tính f (x) f :U / Imf Kerf x a f (x)= f(x) Hệ 2.3.3 Cho U1 ,U không gian vectơ U , U2 U/ (U / ) / (U / U U 1 U1 Khi )U Chứng minh Xét f :U / U / U2 U1 xU ax U1 toàn cấu tuyến tính Ta có Krfx U2 x x U1 U1 U xU1 U1 / U Theo định lý đồng cấu tuyến tính (U / U ) / (U / U1 ) (U1 / U ) Ví dụ Ui m Vi , i= 1, ,m m Ui i Vi i Chứng minh Xét ánh xạ i :Ui Vi đẳng cấu tuyến tính, 1, ,m i Khi ánh xạ : m m Ui i i i Vi i (x )m a ( (x ))m i i i Xác định đẳng cấu tuyến tính Suy m Ui i m Vi i U1 ,U không gian vectơ U (U1 +U ) /U U1 / (U U2 ) Chứng minh Xét ánh xạ :U1 (U x x U2 U2 ) / a Khi tồn cấu tuyến tính ker đồng cấu tuyến tính Ta có U2 U2 Do theo định lý U1 (U1 +U ) /U U1 / (U U2 ) BÀI TẬP Bài Cho V, W hai không gian vectơ trường K với số chiều W hữu hạn, f :V W toàn cấu Chứng minh tồn ánh xạ tuyến tính g :W V cho f.g ánh xạ đồng W Ánh xạ g có không? Giải r r r Giả sử {e , e , , } sở W Vì f tồn cấu nên: f r Với i chọn i -1 r (e ) 0, i = 1, ,n i r f -1 -1 (ei ), ta có f r i ), i = 1, ,n ( Xét ánh xạ tuyến tính g :W V xác định bởi: r r r g:e g(ei ) i , i= 1,2, ,n a i = r r r Ta có với r x = x1e1 + x2e2 + + xnen W n n n r r x xiei )= f( xi g(ei ))= f(xi i ) f.g( ) = f.g( i = n i i n r r xi f (i )=xiei = x i i Vậy f.g ánh xạ đồng W g khơng f ) r (e -1 i ví dụ tồn cấu sau f : R3 (x1 ,x2 ,x3 ) a có nhiều phần tử Ta lấy R x1 + x2 + x3 Xét sở {1} R Ta có f (1) với nhiều phần tử, chẳng hạn (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) thuộc f 1(1) Từ ta có nhiều g cho fg = , chẳng hạn R x a (x,0,0) x a (0,x,0) x a (0,0,x) Ta ý tốn bỏ giả thiết dimW hữu hạn r r r ´ ´ ´ V´ toàn cấu, hệ vectơ {e1 ,e , ,e Bài Cho f :V } n r r cố định cho r r´ sở V´ Với e ,chọn f ( )= ,i = 1,2, ,n ´ ei e r r r Gọi W không gian V sinh hệ vectơ { e1, e2, , } U = Kerf Chứng minh V =U W Giải r´ r´ r´ Hệ vectơ {e1 ,e2, } ,e độc lập tuyến tính, hệ vectơ sở không gian W sinh vectơ hệ Vậy W ; V´ đẳng cấu g mà tồn xác định quan hệ fg = v r r r Giả sử x V Xét vectơ x gf ( x ).Ta có: r f (x r r r r gf ( x ))= f ( x )1f ( x )= f ( x ) V´ r r f ( x )= r r r r Vậy y = x gf ( ) , gf ( ) g(V´)=W x Kerf x r r r r r r r Từ x= y+ gf ( x ) U +W Xét z U W z U cho ta f ( z )= Mặt r r r r z = g( z ) khác z W cho ta với z V´ Từ r r r r = f ( z )= fg( z´)= z´, f.g = V r r r r r Vậy z = g( z )= g(0)= , nghĩa U W = {0} ,do V W Từ tổng =U trực tiếp ta suy dimV = dim(Kerf)+ dim(Imf) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Giả sử E K - không gian vectơ, :E E r r1 r (x1 , x2 ) a x1 a) Chứng minh b) Chứng minh Ker đẳng cấu với E1 c) Từ a) b) suy r x2 ánh xạ tuyến tính cho biết Im dim( E1 Khi dimE1 hai không gian E1 E2 E Giả sử E2 E2 )= dimE1 dimE2 dim( E1 E2 ) dimE hữu hạn 2 Giả sử E K - không gian vectơ f : E E tự đồng cấu Chứng minh Imf Imf E Kerf Imf Cho f g hai ánh xạ tuyến tính từ V đến V´ Chứng minh Ker( f g) Kerf Kerg 2.4 DÃY KHỚP 2.4.1 Phức Định nghĩa có tính chất phổ dụng sau Giả thiết f :V 2.4.1 W Khơng gian V / U ánh xạ tuyến tính biến U vào Khi f cảm sinh ánh xạ tuyến tính f :V / U W , xác định f(v +U)= f(v) Dễ thấy f đơn ánh f hợp thành f với ánh xạ thương (là ánh tồn ánh), f xác định Ta có sơ đồ q V /U V ] [ W f !f Dãy ánh xạ tuyến tính fi fi V gọi phức V i+1 Im(fi ) fi V i i Ker(fi ) với i 2.4.2 Dãy khớp Định nghĩa 2.4.2 Một phức gọi khớp nế Im(fi )= Ker(fi ) Vi u Một dãy khớp dạng f U V g W (1) gọi dãy khớp ngắn Định nghĩa 2.4.3 Dãy khớp ngắn f g U h :W cho W V V ánh xạ tuyến tính gọi chẻ tồn id W g.h Định lý 2.4.1 Dãy (1) khớp f đơn cấu đồng thời g toàn cấu Ví dụ dãy khớp ngắn kerf f :V x a V Imf f , (x) f Imf : kerf V xa x Định lý 2.4.2 Cho U f khớp ngắn chẻ Khi V ; U V g W W Tiểu kết chƣơng Trong chương ta mối liên hệ đẳng cấu không gian vectơ có số chiều Mối liên hệ khơng gian vectơ n chiều với n R Ngoài cuối chương có nhắc tới khái niệm phức dãy khớp, giúp bạn đọc tham khảo thêm KẾT LUẬN Qua q trình tìm hiểu nghiên cứu khóa luận em bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua em củng cố kiến thức không gian vectơ, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt khóa luận em nghiên cứu cách khái quát đẳng cấu không gian vectơ Hi vọng tài liệu giúp ích cho bạn sinh viên quan tâm tới môn Đại số tuyến tính nói riêng tốn học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song nhiều hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận đóng góp quý báu bạn đọc Hà Nội, tháng năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Quỳnh Trang TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số tuyến tính, Nhà xuất ĐHQG 2000 [2] Phan Hồng Trường, Đại số tuyến tính, ĐHSP Hà Nội – 2003 [3] Jean Marie Monier, Đại số 1-2, Nhà xuất Giáo dục 2006 [4] Phùng Hồ Hải, Đại số đa tuyến tính, Nhà xuất Quốc gia 2010 [5] Hồng Xn Sính, Bài tập đại số tuyến tính, Nhà xuất Giáo dục 2010 [6] S.Lang, Linear Algebra, Wesley 1972, Second edition ... Mệnh đề 1.2.1 Giao họ không gian vectơ không gian vectơ V không gian vectơ V Định nghĩa 1.2.7 Cho X tâp không gian vectơ V Giao tất không gian vectơ V chứa X gọi không gian vectơ V sinh X kí hiệu... khơng gian vectơ trường K Ví dụ r 1) Tập {0} V hai không gian K - không gian vectơ V Và gọi không gian vectơ tầm thường V 2) Tập P [X] = {a + a X + + a X | a K} không gian vectơ K n n i không gian. .. gọi không gian vectơ trường K ( hay K - không gian vectơ) Nếu K trường số thực khơng gian V gọi khơng gian vectơ thực Nếu K trường số phức V gọi khơng gian vectơ phức Ví dụ n Không gian R Không