Khóa luận tốt nghiệp Đại học GVHD: Th.S Phùng Đức Thắng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học môn khoa học gắn liền với thực tiễn Trong Tốn học, giải tích chiếm vị trí vô quan trọng Các kết nghiên cứu giải tích khơng áp dụng lĩnh vực Tốn học mà áp dụng ngành khoa học khác vật lý, hoá học, thiên văn học… Để có kiến thức giải tích cách có hệ thống khoa học việc nắm vững hiểu sâu sắc kiến thức ban đầu giải tích: “Phép tính vi phân” điều cần thiết quan trọng Vì lý tơi lựa chọn đề tài khóa luận: “Những nội dung phép tính vi phân giải tích tốn học” Hi vọng đề tài nghiên cứu góp phần hữu ích việc tìm hiểu khám phá kiến thức giải tích Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu giải tích, đặc biệt nội dung phép tính vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu theo đề cương nghiên cứu đề nhằm đạt mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Phép tính vi phân giải tích tốn học Phạm vi nghiên cứu: Những kiến thức giải tích tốn học Nguyễn Thị Hồng Thắm Lớp K33C - Toán Phương pháp nghiên cứu Khố luận hồn thành dựa kết hợp phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp… Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nghiên cứu sâu nội dung phép tính vi phân tạo điều kiện cho nghiên cứu chuyên đề khác giải tích phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, lý thuyết khơng gian ToPo lý thuyết giải tích hàm, ứng dụng thực tế tìm giới hạn, tìm cực trị hàm số, tìm giá trị lớn nhỏ hàm số, phương trình tiếp xúc mặt phẳng cong … Bố cục khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận tư liệu tham khảo phần nội dung khóa luận chia thành chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến Chương 3: Phép tính vi phân Rn NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.1 Một tập X gọi không gian tuyến tính nếu: a) Ứng với cặp phần tử x, y X ta có theo quy tắc phần tử X , goị tổng x y kí hiệu x y , ứng với phần tử x X số thực ta có theo quy tắc , phần tử X gọi tích x và kí hiệu x b) Các quy tắc nói thỏa mãn điều kiện sau đây: 1) x y 2) (x y y) x z x ( y z) 3) :x 0 x 4) x X , ( x) X :x 5) 1.x x 6) (x) ( )x 7) ( ( x) ( x) ) x 8) (x ( x) y) x y Định nghĩa 1.2 Ta gọi không gian định chuẩn khơng gian tuyến tính X trường K R K C ) với ánh xạ từ X vào tập số (K thực R Kí hiệu đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau đây: i) ( x (X) x x x ii)(x X ) ( iii) x, y X ( ) KÝ hiƯu phÇn tư không K) x x y x x y Số x gọi chuẩn vector x Không gian định chuẩn X Định nghĩa 1.3 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x X , lim x Ký hiệu n x n lim x n n x hay xn x(n ) Định nghĩa 1.4 Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim xn m,n xm Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X không gian Ba-nach, dãy X hội tụ 1.2 Tôpô gian định chuẩn Định nghĩa 1.6 Cho không gian định chuẩn X , a X số r Ta gọi: Tập hợp B a,r ' Tập hợp B a, r : x X: x a r hình cầu mở tâm a bán kính r x X r hình cầu đóng tâm a bán kính r x a Định nghĩa 1.7 Cho không gian định chuẩn X , Mọi hình cầu mở tâm x bán kính r gọi lân cận điểm x X Định nghĩa 1.8 Cho không gian định chuẩn X , Tập A gọi tập mở không gian X , x A B x,r tập hợp A , nếu: A Tập A gọi tập đóng không gian X , x A B x,r X A , nếu: Định lý 1.1 Trong không gian định chuẩn hình cầu mở tập mở, hình cầu đóng tập đóng Định lý 1.2 Trong không gian định chuẩn X , , tập A X A hợp A đóng khơng gian X dãy điểm , tập xn đến điểm x x A hội tụ A Định lý 1.3 Trong không gian định chuẩn X, , i) Giao họ tùy ý tập đóng tập đóng, hợp họ hữu hạn tùy ý tập đóng tập đóng ii) Hợp họ tùy ý tập mở tập mở, giao họ hữu hạn tập mở tập mở Định nghĩa 1.9 Cho không gian định chuẩn X , tập A X Hợp A hay tất tập mở chứa A gọi phần A , ký hiệu int A Giao tất tập đóng chứa A gọi bao đóng A kí hiệu A hay A Định lý 1.4 Trong không gian định chuẩn X, i) Bao đóng hình cầu mở hình cầu đóng tâm bán kính ii) Phần hình cầu đóng hình cầu mở tâm bán kính Định lý 1.5 Trong không gian định chuẩn X , , họ tất tập mở X lập thành tôpô X Định nghĩa 1.10 Cho không gian định chuẩn X , Tập K X gọi tập compact không gian X , dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc K Tập K gọi tập compact tương đối không gian X , dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc X 1.3 Không gian Euclide R k k Định nghĩa 1.11 Cho không gian vector thực k chiều R Rk x (x1 , x2 , , xk ) : x j R Với vector x : R x k (x1 , x2 , , xk ) k ¡ , Ta xét ánh xạ: R k xi1 x k i xi Khi chuẩn (gọi chuẩn Euclide) Không gian vector thực k chiều Rk với chuẩn Euclide gọi k k không gian định R , ( khơng gian Euclide) Kí hiệu R chuẩn k R với chuẩn Euclide không gian Banach Định lý 1.6 Sự hội tụ dãy điểm không gian Eukleides Rk tương đương với hội tụ theo tọa độ Định lý 1.7 Trong không gian định chuẩn k R , A đóng bị chặn tập 1.4 Tốn tử tuyến tính A compac Rk Định nghĩa 1.12 Cho hai không gian tuyến tính X ,Y trường K ( K trường số thực R số phức £ ).Ánh xạ xạ tuyến tính hay tốn tử tuyến tính : 1) A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 ( x1, x2 2) A( x) A(x) ( x X )( Để cho gọn ta viết Ax thay cho A: X Y gọi ánh X) K) A(x) để phần tử ứng với x ánh xạ A Định nghĩa 1.13 Cho X ,Y , Z ba khơng gian tuyến tính định chuẩn, A ánh xạ từ X Y vào Z ,biến cặp x X , y Y thành phần tử z A(x, y) Z Ta nói A tốn tử song tuyến tính với y cố định A(x, y) tốn tử tuyến tính từ X vào Z với x cố định A(x, y) toán tử từ Y vào Z Định nghĩa 1.14 Cho khơng gian tuyến tính X Một hàm số f (x) xác định X lấy trị số (thực hay phức, tùy theo X không gian thực hay phức) gọi phiếm hàm X Phiếm hàm gọi tuyến tính nếu: 1) f (x1 x2 ) f f(x), (x1 ) x f (xX2 ),x , 1, x2 K X 2) f ( x) Như phiếm hàm X chẳng qua toán tử tuyến tính từ X vào R hay £ (tùy theo X không gian thực hay phức ) Chương 2: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN 2.1 Đạo hàm vi phân R, f Định nghĩa 2.1 Giả sử U tập hợp mở :U số gia h bé cho x R x0 U Cho x0 f fx0 h fx0 h U Khi số gọi số gia hàm số ứng với số gia đối số h điểm x Nếu tỷ số có giới hạn hữu hạn giới hạn gọi f f h f h x0 x0 h df h f '(x) đạo hàm f x x0 kí hiệu f '(x0 ) lim h) h f (x h fx dx (x0 ) : (2.1) Hàm f gọi có đạo hàm U có đạo hàm điểm thuộc U Khi hàm số : f ':U R f '(x) xa gọi đạo hàm hàm số f U Định nghĩa 2.2 Cho tập hợp mở U gọi khả vi x0 R hàm số f :U R Hàm f U nếu: f (x0 h) f (x0 ) Ah o(h) (2.2) Trong A R đại lượng phụ thuộc x0 hàm f mà không phụ thuộc vào h o(h) vô bé bậc cao h , Khi đó, hàm tuyến tính h a Ah, h Ah R gọi vi phân hàm f Nhận xét: (x0 , y0 từ hệ Nếu lân cận điểm ) số y biến: g x y x f x0 , y0 x0 x, y cực trị địa phương hàm nhiều f x, y x Vậy trường hợp toán cực trị ràng buộc đưa tốn tìm cực trị tự hàm g x Tuy nhiên tìm hàm y x, y ta xác định f x, y x y xtừ điều kiện Do khơng phải lúc tốn tìm cực trị có điều kiện cung đưa tốn tìm cực trị tự Trong trường hợp tốn cực trị có điều kiện, ta muốn đưa tốn tìm cực trị tự phải sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange sau: Định lý 3.14 Giả sử U tập hợp mở R hàm f :U R x0 , y0 điểm cực trị hàm f với điều x, Hơn nữa, kiện y giả sử rằng: f x, y , x, y có đạo hàm riêng liên tục 1) Các hàm lân x0 , y0 cận điểm 2) y x0 , y0 Khi tồn số cho với hệ phương trình( , x y ): f x, y xf y x, y x, y x y x0 y0 tạo thành nghiệm x, y x, y (3.12) Số xác đinh gọi nhân tử Lagrange Đó điều kiện cần cực trị ràng buộc Đặt ) (x, y, f x, y Hàm x, y gọi hàm x, y, Lagrange Hệ phương trình (6) viết lại dạng: x y 0 Bây ta xét xem có cực đại cực tiểu Với mã x, y ta có: n x, y, x0 , y0 , 0 fx, y fx, y Vậy x0 , y0 điểm cực trị hàm x ,y 0 x2 x, y, x, y d Nếu , x ,y , 0 3.4.Một số tập dx 2 x y x ,y 0 th ì x0 , y0 x ,y , 0 dxdy x ,y , dy y2 điểm cực tiểu có điều kiện x ,y x0 , y0 Do ta tìm cực d Nếu th ì x, y x ,y , fx0 , y0 fx0 , y0 điểm cực trị hàm f x, y với điều kiện trị hàm x, y, Lagrange Xét dạng toàn phương: d , x, y x, y thỏa điểm cực đại có điều kiện Bài tập 3.1: Cho hàm số f (x) xy x2 0khi y2 x2 x2 y2 y2 0 Chứng minh rằng: 1) Hàm f (x, y) liên tục điểm (0,0) 2) Có đạo hàm riêng hàm bị chặn 3) Nhưng f (x, y) không khả vi điểm (0,0) Chứng minh 1) Ta có Do xy x2 f (x, y) y2 lim f (x, y) lim xy x y 0 x y Vậy f (x, y) 0 x2 f (0,0) liên tục điểm (0,0) x2 f , xy x2 y x x fy y2 0,0 y2 lim y y y2 0; lim 00 x xy2 y x y2 )3 (x x x2 0) y x2 y2 f 0,0lim f ( x, 0)f (0, 0) f y2 ) y2 2) Tính đạo hàm riêng f x 2(x x2 x (x f (0, y) x x y2 0; y2 )3 f (0, lim y 0 y y2 Các đạo hàm riêng f f x bị chặn lân cận điểm (0,0); , y x f 'x (x, y) x2 x2 y2 y2 x x2 2 y2 f ' y (x, y) Tương tự xy 3) Để xét tính khả vi f (x, y) điểm (0,0) , ta xét số gia: f (0,0) Như f (x, y) xy y2 x2 y2 x2 y2 f (0,0) có dạng: f (0,0) 0.x Trong đó: xy x2 f (0,0) x2 y) (x, y) 1;y n n n2 Vì f (x, y) xy x Nhận thấy (x, y) y , chẳng hạn cho (x nn, y n 1.1 n n 11 Nhưng (x nn, y ) (x, y) (x, y) y2 , (x, vô bé (x, y) xn y n2 n2 n (n ) n n2 không khả vi điểm (0,0) Bài tập 3.2: Khai triển hàm f (x, y) 2x3 xy y 6x 3y thức Taylor lân cận điểm (1, 2) Giải Ta có: f (x, y) 2x3 xy y 6x 3y ,f ( 1, 2) 5 theo công f f 6;( 1, 2) 4x y xf x y f x y 3; ( 1, 2) y f 4; x2 f f 2; x y y2 Mọi đạo hàm cấp n hàm f (x, y) Theo công thức Taylor ta nhận khai triển hàm f (x, y) (1, 2) sau f (x, y) f (1, 2) 1! f (x1)(1, 2) x f ( y 2)(1, 2) y 2! f f (x1)(1, 2) ( y 2)(1, 2) x y f (1, 2) 2f 2).(x1)2 (1, (x1)( y x2 x y 4(x1)2 2 Vậy f (x, y) 2(x1) Bài tập 3.3 Cho A cho det f '(x) 2(x1)( y (x1)( y điểm 2) f y2 (1, 2).( y2)2 ( y2)2 2) 2) ( y2)2 n R tập mở f : A n R hàm một-một x A Chứng minh f ( A) tập mở Giải f : f( A) Vì f hàm –một nên với b b f (a) f ( A) , tồn a Asao cho A hàm khả vi Vì det f '(a) nên theo định lý hàm ngược , tồn lân cận U a lân cận V cho f khả vi U :U V song ánh, f f ánh xạ Từ suy V f ( A) , điều có nghĩa b điểm cuả f ( A) Vậy f ( A) tập mở Bài tập 3.4 Tìm cực trị hàm f (x, y) x y2 2x y1 Giải Ta có f x f y 2x 2; 2y fx f y Giải hệ phương trình 2x x 2y y Vậy P(1, 2) điểm dừng f Lại có f x2 f 2; y Tại P(1, ta có A 2) P(1, 2) f 2; x y 2, B 0; C AC B2 Bài tập 3.5: Tìm cực trị hàm số G x, y, z x2 y2 z2 2x Giải Giải hệ phương trình: G 2x xG xG x 2y 2z y 6z nên f đạt cực tiểu Ta điểm dừng G H(-1,-2,3) d G G'' xx dx2 G'' yy dy2 G'' zz dz2 d 2G( 1, 2,3) dx2 G''xy dxdy dy2 dz2 2G''xz dxdy 2G''yz dydz Vậy H(-1,-2,3) điểm cực tiểu hàm số Bài tập 3.6: Tìm cực trị hàm số z y2 y với điều kiện x2 x Giải Ta lập hàm Lagrange: L x, y x2 x, y y2 Tìm điểm dừng hệ: L' x L' y x2 x y y2 0 Ta x1 x2 2,y 2,y 2, 2, 2 2 2 Tính vi phân cấp hai d L x Ta có: L''xx , L''xy 2dx2 d L x Từ d L 2 d L 0, L''yy , dy2 2 , 2 dx 2 dy 2 , , 2 2 dx 2 dy Vậy hàm z x y đạt cực tiểu có điều kiện 2 , ,2 22 đạt cực đại KẾT LUẬN Qua q trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, bước đầu làm quen với cách làm việc khoa học, hiệu Qua đó, tơi củng cố thêm kiến thức giải tích, đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Đặc biệt, khóa luận này, với việc nghiên cứu : Những nội dung phép tính vi phân giải tích tốn học, tơi hy vọng đóng góp phần nhỏ giúp bạn trình học tập nghiên cứu vấn đề giải tích nói riêng tốn học nói chung Mặc dù có nhiều cố gắng, song hạn chế thời gian kiến thức nên khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong đóng góp thầy giáo bạn yêu toán Hà Nội, ngày 08 tháng 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Thắm TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập 1, xb ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Phụ Hy (2005), Giáo trình giải tích hàm, Nxb Khoa học kỹ thuật Trần Đức Long – Nguyễn Đình Sang – Hồng Quốc Tồn (2001), Giáo trình giải tích tâp 1, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Đinh Thế Lục – Phạm Huy Điển – Tạ Duy Phượng (2002), Giải tích hàm biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Đinh Thế Lục – Phạm Huy Điển – Tạ Duy Phượng (2002), Giải tích hàm nhiều biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Mậu – Đặng Huy Ruận – Nguyễn Thủy Thanh (2002), Phép tính vi phân tich phân hàm biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Nguyễn Văn Mậu – Đặng Huy Ruận – Nguyễn Thủy Thanh (2002), Phép tính vi phân tich phân hàm nhiều biến, Nxb ĐH Quốc gia Hà Nội Hoàng Tụy (1979), Giải tích đại, Nxb Giáo dục ... luận, phân tích, tổng hợp… Ý nghĩa khoa học thực tiễn Nghiên cứu sâu nội dung phép tính vi phân tạo điều kiện cho nghiên cứu chuyên đề khác giải tích phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân, ... khảo phần nội dung khóa luận chia thành chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến Chương 3: Phép tính vi phân Rn NỘI DUNG Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1... (2.6) Rõ ràng so với (2.5) dạng vi phân cấp hai (2.6) có thêm số hạng f '(x)d x Kết luận: Vi phân cấp hai tính bất biến vi phân cấp 2.3 Các định lý phép tính vi phân Định nghĩa 2.7 Cho tập hợp