Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị

109 6 0
  • Loading ...
1/109 trang
Tải xuống

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 12/05/2018, 11:23

B® GIÁO DUC VÀ ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I LÊ TH± HUYEN MY NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN CÚA ĐIEM KỲ D± KHĨA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC Chun ngành: Toỏn Giỏi tớch H Nđi-2011 CắN Bđ GIO DUC V ĐÀO TAO TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I LÊ TH± HUYEN MY NGHIfiCHUOI CÚA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYEN TÍNH TRONG LÂN C¾N CÚA ĐIEM KỲ D± Chun ngành: Tốn Giái tích Ngưài hưáng dan khoa hoc: TS Nguyen Văn Hào Hà N®i-2011 Lài cám ơn Em xin chân thành cám ơn thay giáo, cô giáo ban sinh viên khoa Tốn Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i đ®ng viên, giúp đõ đe em có đieu ki¾n tot nhat suot q trình thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p Đ¾c bi¾t, em xin bày tó lòng cám ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào đ%nh hưóng chon đe tài t¾n tình chí báo, giúp đõ em hồn thành tot khóa lu¾n Do thòi gian kien thúc có han nên khóa lu¾n khơng tránh khói nhung han che có thieu sót nhat đ%nh Em xin chân thành cám ơn tiep thu nhung ý kien đóng góp cna thay giáo, cô giáo ban sinh viên Hà N®i, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Th% Huyen My Lài cam đoan Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d%" đưoc hồn thành theo sn nh¾n thúc van đe cna riêng tác giá, khơng trùng vói bat kỳ khóa lu¾n khác Trong q trình nghiên cúu thnc hi¾n khóa lu¾n, tơi ke thùa nhung thành tnu cna nhà khoa hoc vói sn trân biet ơn! Hà N®i, tháng năm 2011 Sinh viên Lê Th% Huyen My Mnc lnc Má đau Chương M®t so kien thNc chuan b% 1.1 Đai cương ve phương trình vi phân 1.1.1 Mđt so khỏi niắm 1.1.2 Bài toán Cauchy 1.1.3 Van đe ton tai nhat nghi¾m cna phương trình vi phân 1.2 Phương trình vi phân tuyen tính cap n 1.2.1 Mđt so khỏi niắm 1.2.2 Sn phu thuđc tuyen tớnh v đc lắp tuyen tớnh cna hàm .8 1.2.3 Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 10 1.3 Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 1.3.1 Nghi¾m riêng cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 11 11 1.3.2 Cau trúc h¾ nghi¾m bán cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 12 1.3.3 Phương pháp giái phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 13 1.4 Nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyen tính khơng thuan nhat h¾ so hang so 13 1.4.1 Dang thú nhat 14 1.4.2 Dang thú hai .15 1.4.3 Dang thú ba .16 1.5 Chuoi lũy thùa 17 1.5.1 Sn h®i tu bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa .17 1.5.2 M®t so tính chat cna tong cna chuoi lũy thùa 20 Chương Điem kỳ d% phương trình Euler 22 2.1 Điem thưòng điem kỳ d% cna phương trình vi phân 23 2.1.1 Mđt so khỏi niắm 23 2.1.2 Phân loai điem kỳ d% 24 2.2 Phương trình Euler 26 2.2.1 Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc phân bi¾t 27 2.2.2 Phương trình chí so có hai nghi¾m thnc bang 28 2.2.3 Phương trình chí so có c¾p nghi¾m phúc liên hop 29 2.2.4 Đ%nh lý 31 Chương Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d% 33 3.1 Ý tưóng cna phương pháp tìm nghi¾m chuoi 33 3.2 Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân lân c¾n cna m®t điem kỳ d% quy 40 3.2.1 Các nghi¾m bang .45 3.2.2 Cỏc nghiắm sai khỏc mđt so nguyờn .46 3.2.3 Đ%nh lý 47 3.3 Phương trình Bessel 49 3.3.1 Phương trình Bessel cap 49 3.3.2 Phương trình Bessel cap 1/2 .53 3.3.3 Phương trình Bessel cap 56 Ket lu¾n 60 Tài li¾u tham kháo 61 Má đau Lý chon đe tài Như ta biet vi¾c tìm nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tớnh oc dna trờn c sú xỏc %nh mđt hắ nghi¾m bán cna phương trình vi phân thuan nhat cựng vúi viắc tỡm mđt nghiắm riờng cna phng trỡnh Nghi¾m tong qt cna phương trình tong nghi¾m riêng cna phương trình vói nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat tương úng Nhưng cho đen nay, ngưòi ta chí đưa đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tong qt cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vói phương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so khơng phái hang so, vi¾c tìm nghi¾m ó dang to hop cna hàm so sơ cap cna m®t so phương trình vi phân khó khăn (neu khơng muon nói khơng the) Đieu xáy cá phương trình vi phân có dang rat đơn gián Chang han, phương trình dưói yrr − 2x.yr + y = Đó phương trình vi phân cap hai vói hắ so l hm so cna mđt bien đc lắp, ta khơng the tìm đưoc nghi¾m riêng dưói dang mđt hm so s cap Tuy nhiờn, viắc giỏi cỏc dang phương trình phương trình rat quan náy sinh tù van đe thnc tien, đ¾c bi¾t xuat hi¾n nhieu vói tốn cna v¾t lý Chang han, liên quan en phng trỡnh Schrăodinger c hoc long tỳ Vì v¾y, can phái xây dnng phương pháp nham tìm nghi¾m cho phương trình dang M®t phương pháp thơng dung úng dung lý thuyet chuoi đe tìm nghi¾m cna phương trình dưói dang chuoi lũy thùa ∞ y(x) = anxn = a0 + a1x + a2x2 + + anxn + n=0 Cơ só Tốn hoc cna phương pháp thay the bieu thúc đao hàm cna vào phương trình vi phân can giái Tù đó, xác đ%nh giá tr% cna hang so a0, a1, a2, cho nghi¾m phương trình vi phân cho Sau đong nhat h¾ so h¾ thúc nh¾n đưoc, ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình cho Tuy nhiên, só cna phương pháp nói ó chí có giá tr% chuoi lũy thùa úng vói h¾ so tìm đưoc phái chuoi h®i tu Như ta biet, chuoi lũy thùa có nhieu tính chat đep đe, đieu cho phép ngưòi ta có the thnc hi¾n nhieu q trình tính tốn thu¾n loi Dĩ nhiên, mien h®i tu cna chuoi lũy thùa thu đưoc mđt hop khỏc rong v neu chuoi ly thựa có bán kính h®i tu R khống h®i tu cna chuoi (−R, R), ta có the lay đao hàm tích phân tùng so hang cna chuoi Chuoi mói nh¾n đưoc (sau lay đao hàm ho¾c tích phân) có bán kính h®i tu chuoi ban đau Đieu dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cna phương trình vi phân dưói dang chuoi lũy thùa Vì v¾y đưoc sn đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan, em chon đe tài "Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d%" đe hồn thành khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c đào tao cú nhân Tốn hoc Đe có the giái quyet đưoc van đe đ¾t ra, chúng tơi bo cuc khóa lu¾n thành ba chương Chương Trong chương này, đưa m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho muc ớch cna khúa luắn ú l mđt so van đe bán ve phương trình vi phân; Phương trình vi phân tuyen tính; Phương trình vi phân tuyen tính thuan loai điem cna phương trình vi phân liên quan đen vi¾c nhat tìm nghi¾m chuoi cna Đong thòi, h¾ so hang so; Phương trình vi phân tuyen tính khơng thuan nhat h¾ so hang so; Van đe can thiet bán ve chuoi lũy thùa C hươn g é chúng tơi trình bày ve chúng tơi đưa cách tìm nghi¾m cna phương trình Euler - m®t ví du đien hình cna phương trình vi phân có m®t điem kỳ d% quy Chương Đây phan cna khóa lu¾n, chúng tơi trình bày ve phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem kỳ d% quy, đưa m®t ví du minh hoa đien hình cho phương pháp phương trình Bessel - tốn cna v¾t lý 2.Mnc đích nhi¾m nghiên cNu Trình bày phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n cna điem kỳ d% quy Đoi tưang pham vi nghiên cNu Nghiên cúu m®t phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính Tuy nhiên, khn kho u cau đoi vói m®t khóa lu¾n tot nghi¾p b¾c cú nhân Tốn hoc, nên chúng tơi chí trình bày van đe pham vi tìm nghi¾m chuoi lân c¾n cna điem kỳ d% quy Vi¾c nghiên cúu nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tai nhung điem kỳ d% khơng quy phúc tap nên xin dành lai cho nhung nghiên cúu ve sau Phương pháp nghiên cNu Tra mang, tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop xin ý kien đ%nh hưóng cna ngưòi hưóng dan dù vói nghi¾m cna phương trình Bessel cap v Neu ta chia phương trình (3.35) cho x2, thu đưoc yrr + yr + v2 y = − x v2 x2 r y nhó có the y Vói x lón có the cho so x x hang đưoc bó qua Neu đieu phương trình Bessel cap v có the xap xí bói yrr + y = Các nghi¾m cna phương trình sin x cos x; phái nói trưóc rang nghi¾m cna phương trình Bessel vói x lón tương tn vói to hop tuyen tính cna sin x cos x Đieu hàm Bessel dao đ®ng; nhiên, chí m®t phan Vói x lón hàm J0 Y0 phân rã x tăng; phương trình yrr + y = khơng dan đen m®t sn xap xí thích hop vói phương trình Bessel vói x lón, tính giái tích cao đưoc u cau Th¾t v¾y, ta có the chí rang J0 (x) ∼= 1/2 cos x π −4 x → ∞ (3.43) x → ∞ (3.44) πx Y0(x) ∼= 1/2 π sin x −4 πx Sn xap xí ti¾m c¾n x → ∞, thnc sn rat tot Do đó, đe xap xí J0(x) mien ngun tù đen vơ cùng, ta có the sú dung hai ho¾c ba so hang cna chuoi (3.40) vói x ≥ sn xap xí ti¾m c¾n (3.43) vói s ≥ 3.3.2 Phương trình Bessel cap 1/2 Ví du minh hoa cho trưòng hop nghiắm cna phng trỡnh so sai khỏc mđt so ngun dương, khơng có so hang logarit nghi¾m thú hai Đ¾t v = phương trình (3.35) ta đưoc L[y]=xyrr + xyr x2 + y = −4 (3.45) Neu thay chuoi cna y = φ(r, x) ó phan 3.3.1 đao hàm cna vào phương trình trên, ta nh¾n đưoc ∞ L[φ](r, x) = an x n= 1 (r + n)(r + n − 1)+(r + a0 x r + − (r + ∞ (r + n) n=2 r+n + xr+n+2 an n=0 n)- = r2 ∞ − + 1) a n a1 xr+1 −4 + an−2 xr+n = (3.46) 1 r = ; Các nghi¾m cna phương trình chí so r1 2 = nghiắm ny sai khỏc mđt so nguyờn Hắ thỳc truy toán n− 2 , n ≥ (3.47) (r + n) a = − n −a r+1 , ta thay rang tù h¾ so cna phương trình Vói nghi¾m r1 x = (3.46) a1 = Do đó, tù h¾ thúc truy toán (3.47), a3 = a5 = · · · = a2n+1 = · · · = Hơn nua, vói r = , an−2 an = − n(n + 1) ; n = 2, 4, 6, , hay đ¾t n = 2m, ta đưoc a2m−2 a 2m = − ; m = 1, 2, 3, 2m(2m + 1) Giái h¾ thúc truy tốn này2 ta tìm đưoc m 3! (−1) a0 4a0 a =− , a = tong quát a0 5! , = a2m ; m = 1, 2, 3, (2m + 1)! Do đó, lay a0 = ta đưoc m ∞ (−1) x2 y1(x) = 1+ 1/2 m= m x (2m + 1)! ∞ m (−1) x2 = x−1/2 m (2m + 1)! m=0 , x > Chuoi lũy thùa phương trình chuoi Taylor cna sin x; ú mđt nghiắm cna phng trình Bessel cap x−1/2 sin x Hàm Bessel loai 1/2 m®t cna cap y1 Do , ký hi¾u J1/2, đưoc xác đ%nh π J1/2(x) sin x, x > (3.48) 1/2 = πx Vói nghi¾m r2 = − , ta có the thay khó khăn vi¾c tính a1 N = r1 − r2 = Tuy nhiên, tù phương trình (3.46) vói r = − h¾ so cna xr xr+1 đeu bang khụng phu thuđc viắc chon a0 v a1 Do đó, a0 a1 có the chon tùy ý Tự hắ thỳc truy toỏn (3.47) ta thu oc mđt t¾p hop h¾ so có chí so chan úng vúi a0 v mđt hop cỏc hắ so cú chí so lé úng vói a1 Do đó, khơng can so hang logarit đe thu đưoc nghi¾m thú hai trưòng hop Coi t¾p cho ban đoc đe chí rang, vói r = − n na a2n ( 1) ( 1) a − − , a2n+1 ; n = 1, 2, = = (2n + 1)! (2n)! Do y2(x) = x−1/2 ∞ n a cos x n= ∞ n (−1) x2 (2n)! + a1 n=0 sin x n (−1) x2n+1 (2n + 1)! = a0 + a1 1/2 ,x > x1/2 x Hang so a1 a vo mđt bđi so cna y1(x) Nghiắm đc lắp tuyen tính thú 1/2 hai cna phương trình Bessel cap thưòng đưoc lay vói a0 = π a1 = Nó đưoc ký hi¾u J−1/2 Khi (3.49) cos x, x > J−1/2(x) = 1/2 πx Nghi¾m tong quát cna phương trình (3.45) y = c1J1/2(x) + c2J−1/2(x) Ket hop phương trình (3.48) (3.49) vói phương trình (3.43) π (3.44), thay rang trù đ® d%ch chuyen pha cna , hàm J−1/2 J1/2 tương úng giong J0 Y0 vói x lón 3.3.3 Phương trình Bessel cap Ví du minh hoa cho trưòng hop nghi¾m cna phương trình chí so sai khác m®t so ngun dương v nghiắm thỳ hai nõng lờn mđt so hang logarit Đ¾t v = phương trình (3.35) ta đưoc L[y] = x2yrr + xyr + (x2 − 1)y = (3.50) Neu ta thay chuoi cna y = φ(r, x) ó phan 3.3.1 đao hàm cna vào phương trình rút gon so hang ó trưòng hop trưóc, thu đưoc L[φ](r, x) = a0(r2 − 1)xr + a1 (r + 1) − xr+1 ∞ + , , (r + n) − an + an−2 xr+n = (3.51) n=2 Các nghi¾m cna phương trình chí so r1 = r2 = −1 H¾ thúc truy tốn (r + n) − an(r) = −2(r), n ≥ −an Vói nghi¾m r = 1, h¾ thúc truy tốn tró thành a n= − an−2 ; n = 2, 3, 4, (n + 2)n Chúng ta thay tù h¾ so cna xr+1 phương trình (3.51) a1 = Do đó, tù h¾ thúc truy tốn ta có a3 = a5 = · · · = Vói giá tr% chan cna n = 2m, ta đưoc a2m−2 a2m = − (2m + 2)2m a2m−2 =− 22(m + 1)m ; m = 1, 2, 3, Giái h¾ thúc truy tốn ta nh¾n đưoc m (−1) a0 a2m = ; m = 1, 2, 3, 22m(m + 1)!m! Hàm Bessel loai m®t cna cap 1, ký hi¾u J1, thu đưoc bang cách chon Do m a0 (−1) x2m = (3.52) x ∞ 22m(m + 1)!m! J1(x) = m= Chuoi phương trình h®i tu tuy¾t đoi vói moi x, v¾y hàm J1 giái tích khap nơi Đe xác đ%nh nghi¾m thú hai cna phương trình Bessel cap 1, se sú dung phương pháp thay the trnc tiep Vi¾c tính tốn so hang tong qt phương trình dưói phúc tap, m®t vài so hang đau có the tìm thay de dàng Theo đ%nh lý ó phan 3.2.3, giá sú rang y2(x) = aJ1(x) ln x + x−1 ∞ 1+ , x > c nxn n=1 Tính yr (x), yrr(x), thay vào phương trình (3.50) sú sung J1 nghi¾m 2 cna phương trình (3.50), ta nh¾n đưoc ∞ r ∞ n−1 2axJ1 (x)+ [(n − 1)(n − 2)cn + (n − 1)cn − cn] x + cnxn+1 = 0, n=0 n=0 c0 = Thay J1(x) tù phương trình (3.52), d%ch chuyen chí so cna tong chuoi thú hai ó ve trái cna phương trình bien đoi m®t vài bưóc đai so, ta đưoc ∞ −c1 + [0 · c2+c0]x + 1)cn+1 + cn ∞ m = −a x + m=1 n= (n − −1 2m+1 xn (−1) (2m + 1)x 22m(m + 1)!m! Tù phương trình trên, trưóc tiên ý rang c1 = a = −c0 = −1 Hơn nua, chí có so mũ lé cna x ó ve phái, nên h¾ so cna moi so mũ chan cna x ó ve trái phái bang Do đó, c1 = nên ta có c3 = c5 = · · · = Vói so mũ lé cna x, ta thu đưoc h¾ thúc truy tốn (đ¾t n = 2m + chuoi ó ve trái cna phương trình trên) m (−1) (2m + 1) 22m(m + 1)! ; m = 1, 2, 3, .(2m + 1) − c2m+2 + m! (3.53) c2m = Khi đ¾t m = phương trình (3.53) ta thu đưoc (−1) · (3 − 1)c4 + 2 · 2! c2 = Chú ý rang, c2 có the đưoc chon tùy ý, phương trình xác đ%nh c4 Cũng ý rang phương trình vói h¾ so cna x, c2 nhân vói 0, phương trình đưoc dùng đe xác đ%nh a Hien nhiên c2 tùy ∞ c x −1 Tù đó, c2 tao ý, c2 h¾ so cna x bieu thúc x n n= n + thành m®t b®i so cna J1, y2 chí xác đ%nh m®t b®i so c®ng tính cna J1 Thơng thưòng thnc hành chon c2 Khi = nh¾n đưoc (−1) − − +1 = c4 = 1+ + = (H2 + H1 ) 4 · 24 · ·2 2 2! 2! Chúng ta có the chí rang nghi¾m cna h¾ thúc truy tốn (3.29) = c2m − m+1 (−1) 2m (Hm + Hm 1) m!(m − 1)! ; m = 1, 2, 3, vói H0 = Do ∞ m (−1) (Hm + Hm− 1)x m y2(x) = −J1(x) ln x + − 22 m!(m − 1)! m= , x > m x Vi¾c tính y2(x) sú dung phương pháp thay the (xem phương trình (3.29) (3.30) ó phan 3.2.2), ta xác đ%nh đưoc cn(r2) de dàng Đ¾c bi¾t, bưóc cuoi cho ta cơng thúc tong quát cna c2m mà không can thiet giái h¾ thúc truy tốn (3.53) Nghi¾m thú hai cna phương trình (3.50), hàm Bessel loai hai cna cap1, ký hi¾u Y1, thưòng đưoc lay to hop tuyen tính biet cna J1 y2, đưoc xác đ%nh Y1(x) = π [−y2(x) + (γ − ln 2)J1(x)] , γ đưoc xác đ%nh tù phương trình γ = lim (Hn ln n) ∼= 0, 5772 − n→∞ V¾y nghi¾m tong qt cna phương trình (3.50) vói x > y = c1J1(x) + c2Y1(x) Chú ý rang, J1 giái tích tai x = nghi¾m thú hai Y1 khơng b% ch¾n giong x → x Ket lu¾n Trên l ton bđ khúa luắn "Nghiắm chuoi cỳa phng trỡnh vi phân tuyen tính lân c¾n cúa điem kỳ d%" Khóa lu¾n trình bày H¾ thong hóa m®t so van đe bán ve phương trình vi phân tuyen tính; Cau trúc nghi¾m phương pháp giái phương trình vi phân tuyen tính h¾ so hang so; M®t so van đe bán ve lý thuyet chuoi Đó nhung van đe can thiet cho vi¾c trình by nđi dung chớnh cna khúa luắn Khỏi niắm loai điem cna phương trình vi phân liên quan đen vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân; Phân loai điem kỳ d%; Phương pháp tìm nghi¾m cna phương trình Euler Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính lân c¾n điem kỳ d% quy; Phương trình Bessel - ví du minh hoa đien hình cho phương pháp Tài li¾u tham kháo [1] W E Boyce and R C Diprima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley and Sons, Inc, Seventh edition (2000) [2] E A Coddington, An Introduction to Ordinary Differential Equations, Dover Publications, Inc, (New York, 1989) [3] W Hundsdorfer, Ordinary Differential Equations, Radboud Universiteit Nijmegen (2009) ... Cau trúc nghi¾m cna phương trình vi phân tuyen tính 10 1.3 Phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so hang so 1.3.1 Nghi¾m riêng cna phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat h¾ so... Trong chương này, chúng tơi đưa m®t so kien thúc chuan b% can thiet cho muc đích cna khóa lu¾n Đó m®t so van đe bán ve phương trình vi phân; Phương trình vi phân tuyen tính; Phương trình vi phân. .. nhieu bien đc lắp thỡ phng trình goi phương trình vi phân đao hàm riêng Trong khóa lu¾n này, chúng tơi chí xét phương trình vi phân thưòng Như v¾y phương trình vi phân thưòng có dang tong qt
- Xem thêm -

Xem thêm: Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị, Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị

Từ khóa liên quan

Mục lục

Xem thêm

Gợi ý tài liệu liên quan cho bạn

Nhận lời giải ngay chưa đến 10 phút Đăng bài tập ngay