Đang tải... (xem toàn văn)
CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ của hàm số lớp 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017
WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 I Lý thuyết cần nhớ: Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: Nếu hàm số f(x) đạt cực trị điểm x0 hàm số có đạo hàm điểm x0 f '( x0 ) Ý nghĩa hình học: Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị x0 tiếp tuyến với đồ thị hàm số ( x0 ; f ( x0 )) song song hay trùng với trục hoành Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị a.) Giả sử hàm số f(x) liên tục khoảng (a;b) chứa điểm x0 có đạo hàm khoảng (a; x0 ) ( x0 ; b) Khi đó: Nếu f '( x) 0, x (a; x0 ) f '( x) 0, x ( x0 ; b) hàm số f(x) đạt cực tiểu điểm x0 Nếu f '( x) 0, x (a; x0 ) f '( x) 0, x ( x0 ; b) hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0 b.) Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a;b) chứa điểm x0 , f '( x0 ) f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó: Nếu f "( x0 ) hàm số đạt cực đại điểm x0 Nếu f "( x0 ) hàm số đạt cực tiểu điểm x0 II BÀI TẬP Bài Xác định m để hàm số sau có cực đại cực tiểu: a.) y x 3x mx m b.) y x 2(m 1) x m x 2mx c.) y x 1 Gợi ý giải: a.) 2 + y ' 3x x m ; y ' 3x x m (*) + Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ' 3m m Vậy, với m hàm số ln có cực đại cực tiểu b.) + y ' x 4(m 1) x x( x m 1) x y ' x( x m 1) x m (*) + Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m m 1 Vậy, với m 1 hàm số ln có cực đại cực tiểu WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 WWW.DAYHOCTOAN.VN c.) x x 2m + y' ; ( x 1)2 x x 2m y' 0 ( x 1)2 x x x 2m (*) + Đặt: g( x ) x x 2m + Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác ' 2 m m 1 m 1 g(1) 2m m 1 Vậy, với m 1 hàm số ln có cực đại cực tiểu Bài Cho hàm số: y x3 mx (m m 1) x Xác định m để hàm số đạt cực đại điểm x = Lưu ý: Hàm số y ax bx cx d ,(a 0) đạt cực đại (hoặc cực tiểu) điểm x0 y '( x0 ) y ''( x0 ) y '( x0 ) ) y ''( x0 ) (hoặc Ghi nhớ: Hàm số bậc ba: y ax bx cx d , (a 0) có cực trị phương trình y ' có hai nghiệm phân biệt Hàm số trùng phương: y ax bx c, (a 0) có cực đại cực tiểu phương trình y ' có ba nghiệm phân biệt ax bx c , (aa ' 0) có cực trị phương trình y ' có hai nghiệm Hàm số: y a' x b' phân biệt khác b' a' Bài tập Cho hàm số y x mx mx Xác định m để hàm số đạt cực trị x1 ,x2 thoả mãn x1 x2 ? Gợi ý giải: * y ' x 2mx m ; y ' x 2mx m (*) + Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (*) có nghiệm phân biệt 2 m ' m2 m m * Ta có: x1 x2 (x1 - x )2 16 (x1 + x )2 4x1x 16 (**) x + x = 2m + Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có: x1 x =2 m 2 WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 - 17 m 2 (**) 4m 4m 16 m m + 17 m - 17 + 17 + Đối chiếu với điều kiện, ta kết quả: m m 2 WWW.DAYHOCTOAN.VN Bài tập Cho hàm số y x3 3mx 3x 3m có đồ thị Cm Xác định m để đồ thị Cm có điểm cực đại cực tiểu, đồng thời khoảng cách chúng nhỏ nhất? Gợi ý giải: 2 * y ' 3x 6mx 3; y ' x 2mx 0, (*) + Hàm số có cực đại cực tiểu phương trình (*) có nghiệm phân biệt ' m 0, m R Suy ra, với giá trị m, hàm số ln có hai điểm cực trị * Tìm tọa độ điểm cực trị Cm : Gọi A, B điểm cực trị đồ thị, hồnh độ điểm A, B nghiệm phương trình (*) Cách 1: Vì A, B Cm nên thay nghiệm (*) vào hàm số, ta có: A(m m2 1; 2m3 2m2 m2 m2 2) , B(m m2 1; 2m3 2m2 m2 m2 2) Cách 2: 3 - Chia y cho y’ viết lại hàm số dạng: y y '.( x m) (2m 2) x 2m - Suy ra, đường thẳng qua điểm cực trị A, B đồ thị có phương trình: y (2m2 2) x 2m (**) - Lần lượt thay nghiệm (*) vào (**), ta có: A(m m2 1; 2m3 2m2 m2 m2 2) , B(m m2 1; 2m3 2m2 m2 m2 2) + AB (2 m2 1;4m2 m2 m2 1) AB (m 1)(4m 8m 5) (m 1)[4(m 1)2 1] Cách 3: - Gọi x1 , x2 hai nghiệm (*) thay vào (**) , ta có: A( x1; (2m2 2)x1 2m 2) , B( x2 ; (2m2 2)x2 2m 2) AB ( x2 x1 )2 (2m2 2)2 ( x2 x1 )2 (4m4 8m 5)[( x2 x1 )2 x1 x2 ] x + x = 2m - Áp dụng định lý Vi-ét vào phương trình (*), ta có: x1 x =2 -1 WWW.DAYHOCTOAN.VN WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 AB (4m 8m 5)(4m 4) [4(m 1)2 1](m 1) + ABmin m + Đối chiếu với điều kiện, ta kết quả: m = Bài tập Cho hàm số y x mx 12 x Xác định m để hàm số có đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu vng góc với đường thẳng y = x -7? Gợi ý giải: * y ' 3x 2mx 12 y ' 3x 2mx 12 (*) + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu phương trình (*) có nghiệm phân biệt m 6 ' m 36 m 9 * Chia y cho y’ viết lại hàm số dạng: y ( x m).y ' (8 m ) x m Suy đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu có phương trình y (8 m ) x m * Hai đường thẳng vng góc với tích hệ số góc chúng -1 2 81 1.(8 m ) 1 m 1 81 m m m 9 2 + Đối chiếu với điều kiện, ta kết quả: m Bài tập Cho hàm số y x 3(2m 1) x 6m m 1 x (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị đố i xứng qua đường thẳ ng (d): y = x + Gợi ý giải: * y ' x 6(2m 1) x 6m m 1 y ' x 6(2m 1) x 6m m 1 x (2m 1) x m m 1 (*) + Vì 0, m nên phương trình (*) ln có nghiệm phân biệt x m, x m * Gọi A, B điểm cực trị đồ thị ta có: A(m;2m3 3m2 1) , B(m 1;2m3 3m2 ) Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị A, B đồ thị, ta có phương trình: y x 2m3 3m2 m Có thể học sinh giải cách khác: - Chia y cho y’ viết lại hàm số dạng: y [ x (2m 1)].y' x 2m3 3m m - Suy ra, đường thẳng qua điểm cực trị A, B đồ thị có pt: y x 2m3 3m2 m Trong trường hợp việc chia đa thức dễ dẫn đến kết sai 2 * Gọi I trung điểm AB, ta có: I (m ;2m3 3m ) WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 AB (d ) + A B đối xứng với qua đường thẳng (d) khi: I (d ), (Với I trung điểm AB) WWW.DAYHOCTOAN.VN Với m đường thẳng AB ln vng góc với (d) I (d ) 2m3 3m 1 m 2m3 3m m (m 1)(2m m 2) 2 m 1 m 1 17 Ghi nhớ: 1.) A B cách đường thẳng (d) d ( A, d ) d (B, d ) 2.) A B cách gốc tọa độ O OA = OB O AB OA OB 3.) A B đối xứng với qua gốc tọa độ O AB (d ) I (d ), (Với I trung điểm AB) 4.) A B đối xứng với qua đường thẳng (d) Bài tập Cho hàm số y x 2m x Xác định m để hàm số có điểm cực trị đỉnh tam giác vuông cân Gợi ý giải: 2 + y ' x 4m x x ( x m ) x y' 4 2 x m (*) + Hàm số có ba điểm cực trị Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác m0 + Gọi A(0;1), B(m; m 1), C(m; m4 1) điểm cực trị đồ thị + Tính: AB (m; m4 ) AB m2 m8 AC (m; m4 ) AC m2 m8 + Vì ABC cân A nên điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác vuông cân AB AC AB AC m2 m8 m2 (m6 1) m m 1 + Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m 1 Bài tập Cho hàm số y x 2mx m2 m (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 2 b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 120 Gợi ý giải: a) (Học sinh tự giải) WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 x b) + y ' x3 4mx x( x m) ; y ' x m (*) + Hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác m + Gọi A(0; m2 m), B( m; m),C( m; m) điểm cực trị đồ thị + Ta có: AB ( m; m2 ) AB m4 m AC ( m ; m ) AC m m BC (2 m ; 0) BC 4m m WWW.DAYHOCTOAN.VN + Vì ABC cân A nên điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có góc 120 ( AB, AC ) 1200 cos( AB, AC ) AB.AC m m4 m4 m 2(m4 m) m m AB.AC 2 m m m4 m m4 m m 3m m m(3m 1) m + Đối chiếu điều kiện, ta được: m Bài tập Cho hàm số y x 2mx m (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m 1 b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có diện tích Gợi ý giải: a) (Học sinh tự giải) x b) + y ' x3 4mx x( x m) ; y ' x m (*) + Hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác m + Gọi A(0; m 1), B( m; m2 m 1),C( m; m2 m 1) điểm cực trị đồ thị + Ta có: AB ( m; m2 ) AB m4 m AC ( m ; m ) AC m m BC (2 m ; 0) BC 4m m + Vì ABC cân A nên gọi I trung điểm BC IA đường cao + IA (0; m2 ) IA m2 + Diện tích: SABC IA.BC 2 m m m5 32 m5 (2)5 m 2 + Đối chiếu với điều kiện, ta có kết quả: m 2 WWW.DAYHOCTOAN.VN WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 Bài tập Cho hàm số y x 2mx m (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m b) Xác định m để hàm số (1) có ba điểm cực trị, đồng thời điểm cực trị đồ thị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Gợi ý giải: a) (Học sinh tự giải) x b) + y ' x3 4mx x( x m) x m + Hàm số (1) có ba điểm cực trị m + Gọi A(0; m 1), B( m; m2 m 1), C( m; m2 m 1) điểm cực trị đồ thị + Ta có: AB ( m; m2 ) AB m4 m AC ( m ; m ) AC m m BC (2 m ; 0) BC 4m m + ABC cân A, gọi I trung điểm BC, ta có: I (0; m2 m 1) AI (0; m2 ) AI m2 1 SABC AI BC m 2 m m m (1) 2 AB AC.BC m m m m m (m m) m (2) 4R 4.1 (m m ) m + Từ (1) (2) suy ra: m2 m m(m3 1) m 2m m m m m m m 1 2 m 2m (m 1)(m m 1) 1 m 1 + Đối chiếu với điều kiện, ta kết quả: m 1, m + Mặt khác: SABC III BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài Cho hàm số y x 3x m x m a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng (d ) : y x Bài Cho hàm số y x 3(m 1) x (2m 3m 2) x m(m 1) a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đường thẳng qua cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y x góc 450 Bài Cho hàm số y x 3x 3(m 1) x 3m WWW.DAYHOCTOAN.VN WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu cách gốc toạ độ O Bài Cho hàm số y x 9mx 12m x a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để hàm số có hai điểm cực đại x CD cực tiểu x CT đồng thời x CD x CT 2 Bài Cho hàm số y f x x m x m 5m a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C ) hàm số với m = b) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu tạo thành tam giác vuông cân Bài Cho hàm số y x 2mx 2m m a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác Hướng dẫn: b) + Điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu: m >0 + Gọi A(0;2m m4 ) , B( m; m4 m2 2m) , C( m; m4 m2 2m) điểm cực trị + ABC tam giác AB = AC = BC + Đối chiếu điều kiện để kết luận: m 3 WWW.DAYHOCTOAN.VN ... WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m = b) Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu cách gốc toạ độ O Bài Cho hàm số y x 9mx 12m x... WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 Bài tập Cho hàm số y x 2mx m (1) , với m tham số thực a) Khảo sát biến thi n vẽ đồ thị hàm số (1) m b) Xác định m để hàm số. .. có góc 120 Gợi ý giải: a) (Học sinh tự giải) WWW.DAYHOCTOAN.VN CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ LỚP 12 LUYỆN THI THPT QUỐC GIA 2017 x b) + y ' x3 4mx x( x m) ; y ' x m (*) + Hàm số có