Phần Hình học Chương GĨC VỚI ĐƯỜNG TRỊN  A - Góc tâm Số đo cung Góc tâm góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn  Số đo (độ) cung nhỏ số đo góc tâm chắn cung  Số đo (độ) cung lớn 3600 trừ số đo (độ) cung nhỏ  Số đo (độ) nửa đường tròn 1800 Trong đường tròn (hay hai đường tròn nhau):  Hai cung chúng có số đo (độ)  Trong hai cung, cung có số đo (độ) lớn gọi lớn 3.Nếu C điểm nằm cung AB thì: sđ � AC + sđ � AB = sđ � CB 3.1 a) Từ đến kim đồng hồ quay góc tâm độ ? b) Cũng câu hỏi từ đến ? 3.2 Một đồng hồ chạy chậm 15 phút Hỏi để chỉnh lại phải quay kim phút góc tâm độ ? 3.3 Hai tiếp tuyến A B (O) cắt M Tính số đo góc tâm � AOB , số số đo cung nhỏ AB cung lớn AB Biết: a) OM = 2R b) OM = R � 3.4 Hai tiếp tuyến A B (O) cắt M Biết AMB  70 a) Tính số đo góc tâm tạo hai bán kính OA, OB b) Tính số đo cung AB (cung lớn cung nhỏ) 3.5 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt hai điểm A, B) Đường phân giác OBO cắt đường tròn (O), (O) điểm thứ hai theo thứ tự C � � D So sánh BOC BO 'D 3.6 Cho đường tròn (O ; R), đường kính AB) Gọi C điểm � cung AB) Vẽ dây CD dài R Tính góc DOB 3.7 Cho hai đường tròn (O), (O) cắt hai điểm A, B) Dây cung AC (O) vng góc với AO, dây cung AD (O) vng góc với AO So � � sánh AOC AO 'D 3.8 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt A B) Hãy so sánh R r : a) Số đo cung nhỏ AB (O) lớn số đo cung nhỏ AB (O) b) Số đo cung lớn AB (O) nhỏ số đo cung lớn AB (O) c) Số đo hai cung nhỏ 3.9 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt A B) Hãy so sánh số đo hai cung nhỏ AB hai đường tròn : a) R > r b) R = r c) R < r � 3.10 Trên đường tròn (O) có sđ AB  140 , cung lớn AD nhận B làm điểm giữa, cung nhỏ CB nhận A làm điểm Tính số đo cung nhỏ CD, cung lớn CD � � � 3.11 Cho đường tròn (O) nội tiếp ABC ( A  B  C ) a) Gọi I, J, K tiếp điểm tương ứng với cạnh BC, CA, AB � � � So sánh góc tâm IOJ , JOK , KOI � �  900  A BOC Tìm cơng thức tương tự đỉn b) Chứng minh: � � � h B C ABC so sánh AOB , BOC , COA c) Gọi O1, O2, O3 theo thứ tự tâm đường tròn bàng tiếp ABC gó � � � � � � c BAC , CBA , ACB So sánh góc tâm BO1C , CO A , AO3 B 3.12 Cho đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) Dây AB (O; R) chứa dây AB (O; r), dây CD (O , R) chứa dây CD (O; r) Chứng minh: hai cung nhỏ AB, CD hai cung nhỏ AB CD 3.13 Cho ABC Gọi O tâm đường tròn qua điểm A, B, C a) Tính số đo góc tâm tạo hai ba bán kính OA, OB, OC b) Tính số đo tạo hai điểm A, B C B - Liên hệ cung dây Với hai cung nhỏ đường tròn (hay hai đường tròn nhau):  Hai cung căng hai dây  Hai dây căng hai cung Với hai cung nhỏ đường tròn (hay hai đường tròn nhau):  Cung lớn căng dây lớn  Dây lớn căng cung lớn Trong đường tròn hai cung bị chắn hai dây song song  Trong đường tròn đường kính qua điểm cung qua trung điểm dây căng cung  Trong đường tròn đường kính qua trung điểm dây cung (khơng qua tâm) chia cung dây thành hai phần  Trong đường tròn đường kính qua điểm cung vng góc với dây căng cung ngược lại 3.14 Cho ABC có (AB > AC) Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = AC Vẽ (O) ngoại tiếp DBC Từ O hạ đường vng góc OH, OK xuống BC BD (H  BC, K  BD) a) C/minh: OH < OK b) So sánh hai cung nhỏ BD BC 3.15 Cho đường tròn (O; r) với dây cung AB Gọi H trung điểm AB I điểm cung AB (cung nhỏ cung lớn cung nửa đường tròn) a) Chứng minh ba điểm H, I, O thẳng hàng b) Cho cung CD nhận I điểm Chứng minh : CD // AB CD  AB 3.16 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A, B Kẻ đường kính AOC AOD Gọi E giao điểm thứ hai đường thẳng AC với (O) a) Chứng minh điểm C, B, D thẳng hàng � � b) So sánh cung nhỏ BC BD � c) Chứng minh B điểm cung EBD 3.17 Trên dây cung AB đường tròn (O), lấy hai điểm C D cho AC = CD = DB) Các bán kính qua C D cắt cung nhỏ AB E F Chứng minh: �  FB � a) AE �  EF � b) AE O C A E D B Gọi E điểm đối xứng với O qua tâm C => AEDO hình bình hành Ta có AE = OD < R (do D nằm đt nên khoảng cách tới O < bán kính) = OA Trong ∆ AEO AE < OA nên góc AOC = góc AOE < góc AEO = góc EOD (so le) = góc COD Do đối xứng (hoặc tương tự) góc DOB = góc AOC < góc COD 3.18 Trên nửa đường tròn (O) đường kính AB lấy hai điểm C, D Từ C kẻ CH  AB, cắt đường tròn điểm thứ hai E Từ A kẻ AK  DC, cắt đường tròn điểm thứ hai F Chứng minh: a) Hai cung nhỏ CF DB b) Hai cung nhỏ BF DE c) DE = BF 3.19 Cho đường tròn (O; R) đường tròn (O; 2R) Từ M  (O; 2R) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O; R), tiếp tuyến cắt (O; 2R) N K a) Tính số đo cung AB b) So sánh hai cung MN NK c) Gọi OC bán kính (O; 2R) song song với với BM (C  cung NK), bán kính cắt đường tròn (O; R) D Tính số đo (độ) cung AD NC 3.20 ABC có AM trung tuyến, BH đường cao a) So sánh cung nhỏ MH MC đường tròn qua ba điểm C, M, H b) Trong trường hợp CH đường kính đường tròn (CMH), tính số đo � HBC 3.21 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Điểm C D chia nửa đường tròn thành ba phần (C gần B hơn) a) Tứ giác BCDO hình ? Tính số đo góc tứ giác b) Gọi I điểm cung AD Tiếp tuyến đường tròn A � cắt OI E cắt tia BD F Chứng minh: OCI  45 OE = AF 3.22 Cho (O; R) đường kính AB điểm C thuộc đường tròn (C  A, C  B) Gọi M, N trung điểm cung nhỏ AC CB Kẻ ND  AC (D  AC) a) Chứng minh: ND tiếp tuyến (O) b) Tính số đo (độ) cung MN c) Chứng minh: C di chuyển (O) MN ln tiếp xúc với đường tròn cố định 3.23 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt A B (R > r) Kẻ hai đường kính BOC BOD hai đường tròn a) So sánh số đo (độ) hai cung nhỏ AC AD b) Lấy điểm M đoạn AC cho MA < MC Đường thẳng vng góc với AC M cắt (O) N So sánh cung AN cung CN 3.24 Cho ABC Ở miền tam giác vẽ nửa đường tròn đường kính BC Trên nửa đường tròn lấy hai điểm M N cho ba cung BM = MN = NC) Chứng minh đường thẳng AM AN chia BC thành phần C - Liên hệ góc đường tròn Góc nội tiếp: a) Góc nội tiếp góc có đỉnh thuộc đường tròn hai cạnh góc chứa hai dây cung đường tròn b) Trong đường tròn số đo góc nội tiếp nửa số đo cung bị chắn c) Trong đường tròn:  Các góc nội tiếp chắn cung  Các góc nt chắn cung cung  Góc nội tiếp (nhỏ hay 900) có số đo nửa số đo góc tâm chắn cung  Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn góc vng Góc tạo tia tiếp tuyến dây cung: a) Số đo góc tạo tia tiếp tuyến dây cung nửa số đo cung bị chắn b) Trong đường tròn, góc tạo tia tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn cung Góc có đỉnh bên hay bên ngồi đường tròn: a) Số đo góc có đỉnh bên đường tròn nửa tổng số đo hai cung bị chắn b) Số đo góc có đỉnh bên ngồi đường tròn nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 3.25 Cho đường tròn (O) hai đường kính AB, CD vng góc với Lấy điểm M cung AC vẽ tiếp tuyến với (O) M Tiếp tuyến � � cắt đường thẳng CD S Chứng minh: MSD = MBA 3.26 Từ điểm T bên đường tròn (O) ta kẻ tiếp tuyến TP (P tiếp điểm) cát tuyến TBA qua tâm O đường tròn (A B thuộc (O), � � B nằm O T) Chứng minh: BTP  2BPT  90 3.27 Cho đường tròn (O) hai dây AB, AC Dây AE cắt dây BC D cắt (O) E Chứng minh: AB2 = AD AE 3.28 Bài toán (Nhớ cách chứng minh để áp dụng sau này): a) Từ điểm M bên ngồi đường tròn (O; R) kẻ tiếp tuyến MT hai cát tuyến MAB MCD với đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)) Chứng minh: MA MB = MC MD = MT2 = OM2 – R2 b) Qua điểm M bên đường tròn (O; R) kẻ hai dây cung AB CD đường tròn (O) (A, B, C, D  (O)) Chứng minh: MA MB = MC MD = R2 – OM2 3.29 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R), M điểm cung nhỏ BC, MA cắt BC D Trên AM lấy N cho MB = MN Chứng minh: a) MBN b) BNA = BMC c) AD AM = AB2 d) MA = MB + MC e) MA + MB + MC  4R 1   f) MD MB MC 3.30 Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (O) cho tiếp tuyến A cắt tia � � BC D Tia phân giác BAC cắt đường tròn M, tia phân giác D cắt AM I Chứng minh: DI  AM 3.31 Trên đường tròn (O; R) vẽ ba dây liên tiếp AB = BC = CD < R Các đường thẳng AB CD cắt I, tiếp tuyến đường tròn (O) B D cắt K Chứng minh: � � a) BIC  BKD � b) BC tia phân giác KBD 3.32 Cho đường tròn tâm O, với M bên Kẻ tiếp tuyến MA, MB đường kính AC (O) Chứng minh: MO // BC 3.33 Cho đường tròn (O) đường kính AB cung CB có số đo 45 Lấy điểm M cung nhỏ AC kẻ dây MN, MP tương ứng vng góc với AB OC Tính số đo cung nhỏ NP 3.34 Cho ABC nội tiếp đường tròn Gọi P, Q, R theo thứ tự điểm cung BC, CA, AB a) Chứng minh: AP  QR b) AP cắt CR I Chứng minh: CPI cân 3.35 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A B Hai dây cung AC, BD đường tròn (O) cắt điểm I cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C D Chứng minh: CD // CD � 3.36 Cho góc xOy   độ dài l Hai điểm A, B di động hai cạnh tương ứng cho độ dài AB ln l Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp OAB a) Chứng minh IAB có chu vi khơng đổi b) Tìm tập hợp điểm I 3.37 Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) cắt hai điểm A B Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn (O), (O) điểm thứ hai C D Tia BD cắt (O) điểm thứ hai M Các tia OB, BO cắt (O) điểm thứ hai N P So sánh: � � a) ACB BOO' � � b) CAM PAN 3.38 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AD, BE, CF cắt H Các tia AD, BE, CF cắt (O) điểm A, B, C Chứng minh: a) AB, BC, CA trung trực đoạn thẳng HC, HA, HB b) H tâm đường tròn nội tiếp DEF c) ABC DEF đồng dạng Suy bán kính đường tròn ngoại tiếp DEF nửa bán kính đường tròn (O) 3.39 Cho hai đường tròn (O) (O) cắt hai điểm A B Tiếp tuyến A (O) cắt (O) P Tia PB cắt (O) Q Chứng minh: AQ song song với tiếp tuyến P (O) 3.40 Cho AOB COD hai đường kính vng góc đường tròn (O; R) Trên cung BC lấy điểm F cho BF = R Trên cung BD lấy điểm M Tiếp tuyến M gặp tia AB E Đường nối CM gặp AB S a) Chứng minh: ES = EM � b) Gọi I giao điểm AB DF Tính AID c) Tính góc hợp tiếp tuyến F với AC 3.41 Các đường thẳng chứa dây cung AB CD đường tròn (O) cắt E ngồi đường tròn (B nằm A E, C nằm D E) Biết �  750 CEB �  220 AOD �  450 � � CBE , , Chứng minh: AOB  BAC 3.42 Cho đường tròn (O), AB CD hai dây cung song song với (A � � C nằm phía với BD) AD cắt BC I Chứng minh: AOC  AIC 3.43 Cho ABC vng A Đường tròn đường kính AB cắt BC D Tiếp tuyến D cắt AC P Chứng minh: PD = PC 3.44 Cho điểm A, B, C  (O), cho tiếp tuyến A cắt tia BC D Tia � � phân giác góc ABC cắt đường tròn M, tia phân giác D cắt AM I Chứng minh: DI  AM � 3.45 Cho ABC cân A ( A  45 ) Đường tròn (O) đường kính BC cắt AB, AC D E � a) Tính số đo DOE độ dài dây DE theo R b) Chứng minh: DE // BC � 3.46 Cho ABC vuông cân A, nội tiếp đường tròn (O; R) Trong ABC , vẽ tia Bx hợp với BA góc 30 0, Bx cắt AC D cắt (O) E Gọi H hình chiếu A Bx a) AHE tam giác ? Giải thích � � b) Chứng minh: EOH  ABE c) Tính độ dài BD theo R d) Gọi F hình chiếu E xuống đường thẳng AB EF cắt (O) M Tính độ dài dây cung AM, ME EC 3.47 Cho ABC đường cao AH M điểm BC Kẻ ME  AB E, MF  AC F a) Chứng minh: A, E, M, H, F thuộc đường tròn Xác định tâm O đường tròn b) Tứ giác OEHF hình ? Vì ? c) Tìm vị trí M để EF có độ dài ngắn 3.48 Cho nửa đường kính AB Gọi K điểm cung AB, M điểm cung AK, N điểm dây cung BM cho BN = AM Chứng minh rằng: � a) MKN vng cân MK phân giác ngồi AMN b) Khi K di chuyển cung AK đường vng góc với BM kẻ từ N ln qua điểm cố định tiếp tuyến nửa đường tròn điểm B 3.49 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Gọi AH đường cao ABC AD đường kính đường tròn (O) Chứng minh: a) AB AC = AD AH b) SABC  abc 4R , với a, b, c độ dài cạnh ABC 3.50 Cho nửa (O), đường kính AB Kẻ dây AC Gọi M điểm cung AC, OM cắt AC H Từ C kẻ tia song song với BM, tia cắt OM kéo dài D a) Tứ giác MBNC hình ? Giải thích b) AM cắt CD K Chứng minh: KH  AB 3.51 Cho ABC vng A có đường cao AH Hai đường tròn đường kính AB AC có tâm O O2 Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (O 1) (O2) M N a) Chứng minh: MHN tam giác vuông b) Tứ giác MBNC hình ? Giải thích c) Gọi I, E, F trung điểm O1O2, MN BC Chứng minh: I cách điểm E, F, A H d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A E di động đường ? 3.52 Cho ABC có đường phân giác AD, trung tuyến AM Vẽ đường tròn ngoại tiếp ADM cắt AB, AC theo thứ tự E F a) Chứng minh: BD BM = BE BA CD CM = CF CA b) So sánh BE CF 3.53 Cho ABC vng A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính HC Kẻ tiếp tuyến BK với (O) (K tiếp điểm) Tính tỉ số cạnh AB BK 3.54 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Qua đỉnh A kẻ đường thẳng song song với tiếp tuyến Bx, đường thẳng cắt BC D Chứng minh: a) AB2 = BC BD b) AB tiếp tuyến đường tròn (ACD) 3.55 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Trên nửa đường tròn lấy cung CD có số đo 900 Gọi M giao điểm AC BD, N giao điểm � � AD BC Tính số đo AMB ANB 3.56 Cho nửa đường tròn đường kính AB = 10cm, dây AC tiếp tuyến Bx � với đường tròn Đường phân giác góc BAC cắt dây BC F, cắt Bx D a) Chứng minh: BFD cân b) Cho biết AF = 8cm, tính độ dài AD 3.57 Cho đường tròn (O) hai tiếp tuyến gặp A (B, C tiêp điểm) Từ B kẻ dây BD song song với AC Đoạn thẳng AD cắt (O) E, BE cắt AC K Chứng minh: a) KA2 = KE KB b) KA = KC 3.58 Cho ABC cân A ngoại tiếp đường tròn (O) Các cạnh AB, AC, BC tiếp xúc với đường tròn M, N K BN cắt đường tròn (O) E, tia ME cắt BC I Chứng minh: a) MN // BC b) IK2 = IE IM 3.59 Cho hai đường tròn (O) (O) ngồi Đường nối tâm OO cắt (O) (O) điểm A, B, C, D theo thứ tự đường thẳng Kẻ tiếp tuyến chung EF (E  (O) F  (O)) Gọi M giao điểm AE DF, N giao điểm EB FC Chứng minh: a) MENF hình chữ nhật b) MN  AD c) ME MA = MF MD 3.60 Cho (O ; R) có bán kính OA OB vng góc với nhau, M điểm cung AB Gọi C giao điểm AM OB, H hình chiếu M OA a) Chứng minh: BA = BC b) Tính diện tích tứ giác OHMC theo R 3.61 Cho ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Điểm D di động cung AC Gọi E giao điểm AC BD, F giao điểm AD BC) Chứng minh: �  ABD � a) AFB b) Tích AE BF khơng đổi 3.62 Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Đường cao vẽ từ B cắt (O) M, đường cao vẽ từ C cắt (O) N MN cắt AB AC I J Chứng minh: a) AMN cân b) AI AB = AJ AC 3.63 Cho đường tròn (O) đường thẳng d cố định khơng cắt đường tròn A điểm cố định (O) B điểm cố định d Một đường tròn (O ) qua A B, đường tròn cắt (O) C cắt d E a) Chứng minh (O) thay đổi, đường thẳng CE luôn qua điểm cố định K (O) b) Đường thẳng BA cắt (O) F Chứng minh: FK // d 3.64 Cho đường tròn (O) dây cung AB M điểm tia đối tia BA, � kẻ tiếp tuyến MC MD với đường tròn Phân giác ACB cắt AB E Gọi I trung điểm AB Chứng minh rằng: a) MC = ME � b) DE tia phân giác góc ADB � c) IM tia phân giác góc AID D – C ung chứa góc – Bài tốn quỹ tích QuỹM tích (tập hợp) điểm nhìn đoạn thẳng cho trước góc  (00