ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY Chuyên đề : PHƢƠNG TRÌNH BẬC MỘT ẨN A PHƢƠNG TRÌNH BẬC MỘT ẨN I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Công thức nghiệm: Phƣơng trình bậc 2: ax2+bx+c = (a  0) có:  = b2- 4ac +Nếu  < phƣơng trình vơ nghiệm +Nếu  = phƣơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b 2a +Nếu  > phƣơng trình có nghiệm phân biệt: x1 = b  ; 2a x2 = b  2a Công thức nghiệm thu gọn: Phƣơng trình ax2+bx+c = (a  0) có ’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ’ < phƣơng trình vơ nghiệm +Nếu ’= phƣơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b a +Nếu ’> phƣơng trình có nghiệm phân biệt: x1 =  b  ' ; a x2 =  b  ' a II BÀI TẬP Giải phƣơng trình a) x2 - 49x - 50 = b) (2- )x2 + x – – = Hướng dẫn a) Giải phƣơng trình x2 - 49x - 50 = (a = 1; b = - 49; c = 50)  = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601;  = 51 Do  > nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: Bài 1: x1   (49)  51  (49)  51  1 ; x2   50 2 b) Giải phƣơng trình (2- )x2 + x – – = Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- ; b = ; c = – – ) ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY  = (2 )2- 4(2- )(– – ) = 16;  = Do  > nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1  2 34 2 34  ; x2   (  ) 2(2  ) 2(2  ) + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- ; b’ = ; c = – – ) ’ = ( )2 - (2 - )(– – ) = 4;  = Do ’ > nên phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1   32  32  ; x2   (7  ) 2 2 Bài 2: Giải phƣơng trình sau: 3x – 7x - 10 = x2 – 3x + = x2 – 4x – = 3x2 – x – = x2 – (1+ )x + = x2 – (1- )x – = 7.(2+ )x2 - x – + = III CÁC DẠNG PHƢƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI Phƣơng trình có ẩn số mẫu * Phương pháp giải: - Tìm điều kiện xác định - quy đồng phân thức, bỏ mẫu -Giải phương trình - So sánh giá trị tìm với điều kiện, kết luận nghiệm 2x x2  x  Ví dụ 1: Giải phƣơng trình (2)  x  ( x  1)( x  4) Giải + ĐK: x≠ -1; x≠ + (2)  2x(x- 4) = x2 – x +  x2 – 7x – = (*) + Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = nên phƣơng trình (*) có nghiệm x1 =1(không thoả mãn ĐK) ; x2 = (thoả mãn ĐK) Vậy phƣơng trình (2) có nghiệm x = Bài 1: Giải phƣơng trình sau: ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY x x3  6 x  x 1 2x  x3 b) 3 x 2x  2 t 2t  5t c) t  t 1 t 1 a) Phƣơng trình chứa thức  A  (hayB  0) Lo¹i A  B   A  B B  AB A  B Bài 1: Giải phƣơng trình sau: Lo¹i a) 2x  3x  11  x  b) c) 2x  3x   x  d) x  22  3x  5x  14 x  12x  3  x  e) x  1 x  3x 3.Phƣơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối * Phƣơng pháp: - Xem xét điều kiện (chú ý |x|≥0 ∀x)  xkhix   xkhx  - Bỏ dấu giá trị tuyệt đối | x |  Bài 1: Giải phƣơng trình sau: a) x   x  x  b) x   2x   x  2x  c) x  2x   x  x  x  4x d) x   x  4x   3x Phƣơng trình trùng phƣơng * Phương pháp: - Đặt x2=t (t≥0) - Giải phương trình bậc theo t - So sánh nghiệm t tìm với điều kiện, t thỏa mãn thay lại tìm x Ví dụ: Giải phƣơng trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Giải Ta có: (3)  5x – 3x – 26 = Đặt x2 = t (t  0) (3)  5t2 – 3t – 26 = ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY Xét  = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529   = 23 Nên: t1 = Với t =  (3)  23 13  (thoả mãn t  0) ; 2.5 t2 =  (3)  23  2 (loại) 2.5 13 13 13  x2 =  x =  5 13 ; x2 = Vậy phƣơng trình (3) có nghiệm x1 =  13 Bài 1: Giải phƣơng trình sau: a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – = Phƣơng trình bậc cao * Phương pháp: đưa dạng tích đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc hai: - Chú ý: phương trình bậc nhẩm nghiệm (hoặc giải máy tính) để đưa dạng tích Ví dụ 1: Giải phƣơng trình x3 + 3x2 – 2x – = (1) Giải PT(1)  (x2 - 2)(x + 3) =  (x + )(x - )(x + 3) = x=- 2;x= 2;x=-3 Vậy phƣơng trình (1) có nghiệm x = - ; x = ; x = - Ví du 2: Giải phƣơng trình 3(x2+x) – (x2+x) – = (4) Giải Đặt x2+x = t Khi (4)  3t2 – 2t – = Do a + b + c = + (- 2) + (- 1) = Nên t1 = 1; t2 =  t1 = 1 x2+x = 1 x2 + x – = 1 = 12 - 4.1.(-1) = > Nên x1 =  1  1 ; x2 = 2 t2 =   x2+x =   3x2 + 3x + = (*) 2 = 32 - 4.3.1 = -3 < Nên (*) vơ nghiệm Vậy phƣơng trình (4) có nghiệm x1 = Bài 1: Giải phương trình a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ;  1  1 ; x2 = 2 b) 2x3 – x2 – 6x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2 ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY Giải biện luận phƣơng trình Phương pháp: - Xét trường hợp hệ số a=0 (nếu có) - Tính  theo tham số + >0 (giải BPT tìm m) phương trình có nghiệm phân biệt, giải nghiệm theo m; + Nếu =0 ( Gải PT tìm m) phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép theo m; + Nếu   phƣơng trình vơ nghiệm Nếu ’=  1- k =  k =  phƣơng trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ’>  1- k >  k <  phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1-  k ; x2 = 1+  k Kết luận: Nếu k > phƣơng trình vơ nghiệm Nếu k = phƣơng trình có nghiệm x=1 Nếu k < phƣơng trình có nghiệm x1 = 1-  k ; x2 = 1+  k Ví dụ 1: Ví dụ 2: Cho phƣơng trình (m - 1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)? Giải a) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phƣơng trình bậc hai:’=12 - ( -3)(m - 1) = 3m - (1) có nghiệm  ’ = 3m-2   m  + Kết hợp hai trƣờng hợp ta có: Với m  phƣơng trình có nghiệm ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY b) + Nếu m-1 =  m = (1) có dạng 2x - =  x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phƣơng trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm  ’ = 3m-2 =  m = Khi x =  (thoả mãn m ≠ 1) 1  3 m 1 1 +Vậy với m = phƣơng trình có nghiệm x = Với m = 2 phƣơng trình có nghiệm x = 3 c) Do phƣơng trình có nghiệm x1 = nên ta có: Khi (1) phƣơng trình bậc hai (do m -1 = -1=  ≠ 0) 4 (m - 1)22 + 2.2 - =  4m – =  m = nghiệm lại x2 = Bài Cho phƣơng trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = ( ẩn x) a) Định m để phƣơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để phƣơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài Cho phƣơng trình : x2 – 4x + m + = Tìm m để phƣơng trình có nghiệm III BÀI TẬP Bài 1: Giải phƣơng trình sau: 1 a)   2x  1 x  c) 2x  x2 x  x4 b) 4x x   6 x 1 x d) x  2x  2x   8 x2 9 x  3x  2 a) x4 – 34x2 + 225 = c) 9x4 + 8x2 – = e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = b) x4 – 7x2 – 144 = d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = (a ≠ 0) a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = a) x3 – x2 – 4x + = c) x3 – x2 + 2x – = e) x3 – 2x2 – 4x – = b) 2x3 – 5x2 + 5x – = d) x3 + 2x2 + 3x – = a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 77 = b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – c) x2 – 4x – 10 - x  2x  6 = 2x    2x   d)    4 3   x2   x2  e) x   x  x5  x   a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 1 c) 3 x    16 x    26  1 d) 2 x    7 x      x   x  x   x a) x  4x  x  14 b) 2x  x   x  c) 2x  6x   x  d) x  3x   x  e) 4x  4x   x   x  f) x  x   x  x  Định a để phƣơng trình sau có nghiệm a) x4 – 4x2 + a = c) 2t4 – 2at2 + a2 – = Bài 2: Giải phƣơng trình sau: x3+3x2+3x+2 = (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 x4 – 5x2 + = 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = x3 + x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 b) 4y4 – 2y2 + – 2a = (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - = 1  x    4 x     x x   x2 3  x5 2 x x x 1  10 3 x 1 x ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY Bài 3: Giải phƣơng trình a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = b) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 =  1   c) x  x  x  x   d) 4 x    16 x    23  x x    x2  x 5 3x 21 e)  40 f)  x  4x   x x  x 5 x  4x  10 x 48 x 4 g) 32x  3x  1  52x  3x  3  24  h)   10    x 3 x 2x 13x i)  6 k) x  3x   x  3x  2x  5x  2x  x  Bài 4: Giải phƣơng trình a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = Bài Cho phƣơng trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Chứng minh phƣơng trình ln ln có hai nghiệm m thay đổi Bài Cho phƣơng trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – = Chứng tỏ phƣơng trình có nghiệm x1, x2 với m Bài Cho phƣơng trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = C/m phƣơng trình ln có nghiệm x1, x2 với m Bài Cho phƣơng trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = (1) Giải biện luận phƣơng trình (1) theo m ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY B HỆ THỨC VI-ÉT VÀ ỨNG DỤNG I KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 nghiệm phƣơng trình ax2 + bx + c = (a0) : S = x1+x2 = b c ; P = x1.x2 = a a Ứng dụng: +Hệ 1: Nếu phƣơng trình ax2+bx+c = (a  0) có: a + b + c = phƣơng trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = c a +Hệ 2: Nếu phƣơng trình ax2+bx+c = (a  0) có: a- b+c = phƣơng trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = c a Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P x1; x2 nghiệm phƣơng trình : x2- S x+P = (x1 ; x2 tồn S2 – 4P  0) Chú ý: + Định lí Vi-ét áp dụng đƣợc phƣơng trình có nghiệm (tức  ≥ 0) + Nếu a c trái dấu phƣơng trình ln có nghiệm trái dấu II CÁC DẠNG BÀI TẬP Giải PT cách nhẩm nghiệm Phương pháp giải : c ; x1.x2  a c * Nếu a + b + c = Thì x1 = ; x2 = a c * Nếu a - b + c = Thì x = -1 ; x2 = a áp dụng định lí vi-ét: x1  x2   b a *Nhẩm có số m,n để m+n = S, m.n = P phương trình có nghiệm x1 = m ; x2 = n Bài 1: Giải phƣơng trình sau cách nhẩm nghiệm: 1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ; 3) x2 – (1 + )x + = ; 4) (1 - )x2 – 2(1 + )x + + = ; 5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ; 7) ( + 1)x2 + x + - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ; 9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY Khơng giải phƣơng trình, tính tổng tích nghiệm số Phương pháp giải : * Tính   để phương trình có nghiệm * áp dụng định lí vi-ét: S = x1  x2   b a ; P  x1.x2  c a 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng * Phương pháp: áp đụng định lý Ta-lét đảo Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P x1; x2 nghiệm phương trình : x2- S x+P = (x1 ; x2 tồn S2 – 4P  0) Ví dụ 1: Tìm hai số u v biết: u + v = 42 u.v = 441 Giải Du u+v = 42 u.v = 441 nên u v nghiệm phƣơng trình x2 – 42x + 441 = (*) Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = Phƣơng trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 Bài 1: Tìm hai số u v biết: a) u + v = -42 u.v = - 400 b) u - v = u.v = 24 c) u + v = u.v = - d) u - v = -5 u.v = -10 Bài Tìm kích thƣớc mảnh vƣờn hình chữ nhật biết chu vi 22m diện tích 30m2 Tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm x1;x2 phƣơng trình bậc hai Phƣơng pháp: - Biểu thức x1;x2 gọi đốixứng ta thay x1 x2 x2 x1 biểu thức khơng thay đổi - Biểu diễn biểu thức đối xứng qua S P(tổng tích nghiệm) ) x1  x22  ( x1  x2 )  x1 x2  S  P ) 1 x1  x2 S    x1 x2 x1 x2 P ) x13  x23  ( x1  x2 )3  3x1 x2 ( x1  x2 )  S  3PS 2 x1 x2 x1  x2 S  P )    x2 x1 x1 x2 P 10 ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY Ví dụ 1: Cho phƣơng trình x2 + x - = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phƣơng trình tính giá trị biểu thức sau: A= 1  ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C= 1  2; x2 x2 D = x13 + x23 Giải Do phƣơng trình có nghiệm x1 x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 =  ; x1.x2 =  A= x  x2 1     x2 x2 x1 x  2  15 ; B = x1 + x2 = (x1+x2) - 2x1x2= ( 3)  2( )   C= x12  x22    (3  ) ; x12 x22 ( ) D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3)[3   ( )]  (3  15 ) Bài 1: Cho phƣơng trình x2 + 2x - = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phƣơng trình tính giá trị biểu thức sau: A= 1  ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C= 1  2 ; x2 x2 D = x13 + x23 3x12  x1 x2  3x 22 x12  10 x1 x  x 22 E= ; F= x1 x22  x12 x x1 x23  x13 x Bài 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phƣơng trình: x2 – 3x – = Tính: A  x1  x ; C B  x1  x ; D  3x1  x 3x  x1 ; 1  ; x1  x  E  x1  x ; F  x1  x 4 Xét dấu nghiệm phƣơng trình bậc 2: ax2 + bx + c = (a≠0) * Phương pháp: +) Phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu : P= c  (Hoặc ac < 0) a +)Phƣơng trình có hai nghiệm dấu :   0;P  +) Phƣơng trình có hai nghiệm âmkhi :   0;S  0;P  +)Phƣơng trìnhcó hai nghiệm dƣơng : 11 ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY   0;S  0;P  +) Phƣơng trìnhcó hai nghiệm khơng âmkhi   0;S  0;P  +) Phƣơng trình có hai nghiệm tráidấu nghiệm âmcó giá trị tuyệt đốilớn hơnnghiệm dƣơng khi:P Ví dụ 1: Cho phƣơng trình: x2 - 2(m - 1)x – – m = ( ẩn số x) a) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu b) Tìm m để phƣơng trình có hai nghiệm âm Giải a) Phƣơng trình có hai nghiệm trái dấu  a.c <  – – m <  m > -3 Vậy m > -3 15 b) Ta có:  = (m-1) – (– – m ) =  m    2  ’ 2 15    > với m Do  m    với m; 2   Phƣơng trình ln có hai nghiệm phân biệt Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phƣơng trình có hai nghiệm âm  S < P > 2(m  1)  m     m  3  (m  3)  m  3 Vậy m < -3 Dạng 6: Xác định tham số (m chẳng hạn) để phƣơng trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện (T) cho trƣớc Phương pháp giải: a  Bước 1- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x1;x2 :  (*)  Bước 2-áp dụng định lý Vi-ét ta tính S = x1+x2; P = x1.x2 Bước 3- Từ ĐK (T) S tính x1,x2 theo m vào P để tìm m thử lại điều kiện (*) kết luận Ví dụ 1:Cho phƣơng trình: (m+1)x2 -2(m - 1)x + m - = (1) (m tham số) a/ Giải phƣơng trình (1) với m = 12 ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY b/ Tìm giá trị m để phƣơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 1   x1 x2 (Trích đề thi vào lớp 10 THPT Năm học 2009 - 2010 -Bắc Ninh) Giải a)Với m = ta có PT (3+1 )x2 - 2(3 - 1)x + - = 4x2 - 4x + =   (2x  1)2  (Hoặc tính đƣợc  hay  ' ) Suy PT có nghiệm kép x = 1/2 m   b)Để PT có nghiệm phân biệt   '  m  2m   (m  1)(m  2)  m  1 m  m     (*)    2  m   m    '  m  2m   m  m      Mà theo ĐL Vi-ét ta có: x1  x  2(m  1) m2 ; x1x  m 1 m 1 1 x1  x    Từ ta có: x1 x 2 x1x 2   2(m  1) m  2(m  1) m   :   m 1 m  2 m 1 m 1 2(m  1)   4m   3m   m  2 thoả mãn (*) m2 Vậy m phải tìm -2 Bài 3: Tìm m để phƣơng trình : x  2( m  ) x  m  3m  có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = Bài 4: Tìm m để phƣơng trình : x  ( 2m  ) x  m   có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 + x22 = 10 Bài 5: Tìm m để phƣơng trình : ( 2m  ) x  2( m  ) x  m   có nghiệm x1,x2 thoả mãn x12  x 22  x1 x  16 Bài 6: Tìm m để phƣơng trình: ( m  ) x  2mx  m   có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 x    x x1 Hệ thức liên hệ nghiệm x1;x2 phƣơng trình bậc hai ax2  bx  c  0(a  0) không phụ thuộc tham số 13 ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY * Phƣơng pháp giải: - Bước1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2: - Bước 2:Tính S = x1+x2; P = x1.x2 - Bước3 Khử m từ bước phương pháp (Rút m theo x vào S P) cộng đại số ta biểu thức cần tìm Ví dụ 1: Cho phƣơng trình x2 - mx + 2m - = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: +)Phƣơng trình có nghiệm khi:  =m2 - m + 12 ≥ m  (m- 2)(m-6) ≥ 0  m   x1  x2  m(1)  x1 x2  2m  3(2) +)Theo hệ thức Vi-ét ta đƣợc :  +)Cách 1:Thế m từ (1) vào (2) ta đƣợc : x1x2=2(x1+x2) - Cách 2:Nhân hai vế của(1) với trừ vế với vế cho (2) ta đƣợc: =2(x1+x2)- x1x2 Ví dụ 2:Cho phƣơng trình: (m - 1)x2- 2(m - )x +m - = Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số m Giải: Trƣớc hết ta cần tìm m để pt có nghiệm x1;x2 : m  m   11   11   m   ,   2m  11  m  Khi phƣơng trình có nghiệm x1;x2 Theo hệ thức Vi-ét ta đƣợc : 2(m  4)   x1  x2  m   x x  m  m 1    x1  x2   m   Từ ta đƣợc: 2(x1+x2) - x1x2=1 x x  1 m 1  Bài :Giả sử x1;x2 nghiệm phƣơng trình: x2- (m - ) x+m - 1= Tìm hệ thức x1;x2 khơng phụ thuộc vào m Bài 2: Gọi x1, x2 nghiệm phƣơng trình: ( m  ) x  2( m  ) x   m  Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 3: Gọi x1, x2 nghiệm phƣơng trình: x  2( m  ) x  m   Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m 14 ĐT: 01663837616 - CHO ĐI LÀ ĐỂ NHẬN LẠI ĐẠI SỐ - PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN - LÊ VĂN HUY Bài 4: Gọi x1, x2 nghiệm phƣơng trình: ( m  ) x  2( m  ) x  m   Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 5: Gọi x1, x2 nghiệm phƣơng trình: ( m  ) x  3( m  ) x  2m   Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 6: Gọi x1, x2 nghiệm phƣơng trình: x  ( 2m  ) x  m  m   Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 7: Gọi x1, x2 nghiệm phƣơng trình: ( m  ) x  2( m  ) x  m  0.Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Dạng So sánh nghiệm phƣơng trình bậc với số a Phương pháp: - Bước 1: Xét dấu hiệu nghiệm pt với a - Bước 2: Xét dấu tổng tích tổng tích hiệu bước - Bước 3: áp dụng định lý Vi ét biểu diễn kết bước theo tham số - Bước 4: Tìm tham số đối chiếu điều kiện có nghiệm kết luận Ví dụ 1: Tìm m để phƣơng trình sau có nghiệm phân biệt nhỏ 1: x2 – (m – 1)x – m = Giải + Phƣơng trình có nghiệm phân biệt khi:   (m  1)  4m   m  2m    (m  1)   m  1(1) + Gọi nghiệm phƣơng trình x1, x2 + nghiệm phƣơng trình nhỏ khi:  x1   ( x1  1)( x  1)  ( x1x  ( x1  x 2)     (I )  x   x   x   x  x       x1x  m + Theo Vi-ét ta có:  Thay vào (I) ta có:  x1  x  m  ( m (m  1)   (2m  2 m  (I)     (2) m 1    m3 m  + Từ (1) (2) ta có với m